Hättest du DAS gedacht? - Zu wie viel Prozent ist das Glas gefüllt?
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- เผยแพร่เมื่อ 2 ส.ค. 2024
- Zu wie viel Prozent ist das Glas gefüllt? - Mathe Rätsel
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man das Volumen von einem Kegel berechnen kann. Das Sektglas ist zur halben Höhe gefüllt, aber ist es auch halb voll? Wir werden den Strahlensatz anwenden, um den Radius des Kegels zu bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wie voll ist das Glas?
0:47 Volumen berechnen Kegel
3:40 Strahlensatz 1
5:18 Volumen Kegel
6:50 Brüche in Prozent umwandeln
8:12 Bis zum nächsten Video :)
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Ohne nachzurechnen: Volumen "ähnlicher" 3D-Körper sind in 3. Potenz proportional zur (einer) Länge (Strecke), welche die Proportion der Ähnlichkeit bestimmt.
Die hier gezeigten Kegel sind zueinander ähnlich (gleiche Öffnungswinkel), daher führt halbe Höhe zu 1/2³= 1/8 = 12,5% Volumen. Vergleichbar zu einem Würfel mit halber Kantenlänge.
...genau so war mein Gedankengang auch, ich habe es auch mit dem Würfel verglichen. Mit einer Kugel verhält es sich genauso.
@@Antonio-0654 Ja, es sieht bei einem Kegel aber irgendwie anders aus, also wenn man einfach intuitiv schätzt. Da würde man denken, dass es ein Viertel wäre.
Genauso wird effizient gerechnet. Dauert im Kopf ein paar Sekunden.
by the way. Das erklärt auch das absurde Volumen der ägyptischen Pyramiden. Cheops pyramide: 250*250*150/2 = 4.687.500 m³
Hallo Susanne, ich mache es kurz. Deine Videos zum Thema Mathematik sind absolut Spitze. Ich bin aus diesem Thema eigentlich seit Jahrzehnten raus, halt ein anderes Arbeitsgebiet. Aber mit Dir macht es einfach Spaß sich wieder mit der Materie zu beschäftigen.
Und Deine Musik die ihr macht ist auch einfach nur super g....l .
Bitte weiter so.
Ich wünsche ein frohes Fest, gute Gesundheit und ein weiter glückliches Leben.
Ganz liebe Grüße aus Thüringen...😘
Da macht es wirklich Spaß, sich wieder in alte Matheunterricht-Zeiten zurückversetzt zu sehen. Besser (spritzig, humorvoll, professionell, anschaulich, sympathisch und bei alledem nicht übertrieben oder künstlich) kann es wohl nicht erklärt werden! Kompliment! 👍
Hallo Susanne, bin von deinen pädagogischen Fähigkeiten wirklich begeistert ...... Jedes Video ist wirklich bereichernd....
Als Idee für ein weiteres Video habe ich mich an meine Schulzeit erinnert, wo wir einmal den Nachweis geführt haben, warum die Blechdosen im Handel 750ml .....
Sehr schön, tolles Video und die Prozentrechnung nebenbei auch nochmal erklärt.:-)
Na klar hat es Spaß gemacht!
Hab mich auch gleich erinnert, dass Rotationskörper zu berechnen in der Schule eine meiner liebsten Aufgaben waren. Danke für die nette Erinnerungsbrücke 😁
Wow, hab ihre musikalische Seite entdeckt. Ich bin beeindruckt! Auch hier bin ich ein absoluter Fan von Ihnen. Sie haben eine tolle Stimme! Sie haben mir eine große Freude gemacht. Ich wünsche Ihnen und Ihrer Familie ein schönes Weihnachtsfest .
Eine ähnliche Aufgabe hatte ich vor einiger Zeit auch bei meinem Nachhilfe-Schüler. Der war doch sehr verblüfft, dass sich in der unteren Hälfte eines Kegelglases doch nur ein Achtel der max. einfüllbaren Flüssigkeit befindet. Sehr gut erklärt von Dir. Ich selbst bleibe durch Deine Videos immer sehr gut Mathematik-technisch "aufgefrischt". Großer Dank an Dich 🙏👍💛. Frohe Festtage für Dich und Deine Lieben. 🎄🧑🎄🌟💫
Sehr schön logisch erklärt. Gut gemacht!
Wundervolle Aufgabe & Auffrischung ;) Vielen Dank.
Du bist einfach großartig, das macht soviel Spaß alles nachzuvollziehen und das nach vielen,vielen Jahren Schule.
Unglaublich, aber genial! Ich habe mir ein Mathevideo angesehen und es hat tatsächlich Spaß gemacht! 🍸 An Silvester beim Anstoßen werde ich das mit den Volumenprozenten mal verifizieren! Prost Neujahr!
Danke das du da bist!Du hast meinen Tag gerettet habe am Montag eine Schularbeit
Kegel-Aufgaben hatte ich in der Schule nie rechnen müssen, finde ich aber trotzdem interessant an diese Formel erinnert zu werden!
Halli, hallo ich habe 25% geschätzt:-) jetzt schau ich mir deine Auflösung mal an, danke für deine super frische Art, wie du das präsentierst.
Ein Viertel müsste es beim 2D Dreieck sein.
Das hier ist aber ein Körper.
Also denke ich ein Achtel.
12,5%
Stell dir einmal ein kleines Dreieck vor.
Wenn du da die Höhe verdoppelst ohne die Form zu ändern dann verdoppeln sich auch alle anderen Strecken im Dreieck.
Und das kleine Dreieck kannst du genau 3 mal in den neuen Bereich legen.
Bei Quadraten genau so.
Verdoppelt und es passen 3 zusätzliche kleine rein.
Bei Kreisen kann man es nur an der Formel erkennen. (d^2)*π/4
Doppelter Radius ist vierfache Fläche.
Also bleibt von den vorgegebenen Antworten eh nur eine übrig.
Macht auch Sinn.
Kugel ist (d^3)*irgendwas.
Würfel macht 4-fache Fläche mal doppelte Höhe also 8-Fach.
Kegel muss genau so sein.
Super geklärt!
Ich sehe und höre dich zu gerne Du überra.schst mich auch immer wieder mit deinen klaren Gedankengängen.
Es macht mir immer wieder großen Spass
Sehr gute Möglichkeit für mich, altes verschollenes Wissen wieder auszugraben. Danke.
Mein Tipp bevor ich das Video gesehen habe war 1/6, ich finde gar nicht so schlecht geschätzt. Vielen Dank für deine Videos, immer wieder schön anzusehen. Ich wünsche dir und deinen Lieben ein schönes Fest und einen guten Start ins neue Jahr.
Ich habe 25% geschätzt! Tolles Video. Danke für die immer wieder gut erklärten Mathe- Übungen!
In 25% steckt der Denkfehler, dass das Volumen mit r^2 wächst. Aber es ist in Wirklichkeit h^3. Deswegen: Halb so hoch -> ein Achtel so viel. Keine Macht den Drogen. Das nächste Mal nehmen wir ein Saftglas und da ist ein halb auch wirklich ein halb. Prosit und frohes Fest 🎄🎉
@@turkishmaid Wenn ich jetzt ein zylinderförmiges Pipettierfläschchen, welches mit LSD gefüllt ware ausspüle, sehe ich dann 90° um 1/2 oder 1/3 gestaucht?
@@rainerzufall5916, falls Sie das LSD berührt oder anderweitig "ausgespült" haben, sehen Sie womöglich keine 90° mehr😳.
@@rainerzufall5916 - ob 1/2 oder 1/3, das ist dann reiner Zufall. Generell würde ich dir aber raten, von Halluzinogenen eher die Finger zu lassen.
Wenn wir mit dem Faktor 1/2 strecken, ist der Volumenfaktor 1/8 (=1/2^3)
Das ist es, direkt auf den Punkt gebracht. In der Kürze liegt die Würze.
Schade, dass du es spoilerst. Muss das sein?
@@maya_unplugged Tut mir Leid! Ich lese die Kommentare immer erst, wenn ich das Video gesehen habe, da dort ja oft alternative Lösungen präsentiert werden.
Herzlichen Dank für diese Morgengymnastik 🙏
Ich habe mit den Proprotionsrechungen losgelegt, der kleine (1/2 h) und der große Kegel mit der Höhe H, dann wäre (1/2)h versus zu h, sowie der Verhältnis von der Basis r zu 2r, der kleine hätte dann das Volumen von V=Pi*r²*h der große V=Pi*(2r)²*2h, der Verhältnis wäre dann 1 zu 8, somit 12,50 %
Du kannst aber nicht davon ausgehen, dass der Radius des ganzen Glases doppelt so groß ist wie der Radius des Sekts. Also wenn du verstehst was ich meine?
Naja wenn der Sekt h/2 ist ergeben die Strahlensätze schon das auch r/2 sein muss. Daraus ergibt sich r/2 hoch 2 mal h/2 ergibt 1/8 des Gesamten
@@nummergegenkummer7732 Doch, du kannst hier den Strahlensatz anwenden: rx/2r=(h/2)/h, daraus kommt rx=r. (Falls Du den Radius von dem Glas 2r nehmen solltest, eine Möglichkeit)
Volumen des Glases: πr²*h/3, Volumen vom Sekt (kleiner Kegel): π*(r/2)²*(h/2)/3= πr²h/24, somit wäre das Verhältniss: πr²h/24/πr²*h/3 = 3/24 = 1/8= 12,50 % 😎
@@vanikkan872 Danke für Dein Feedback 👌
Erst mal vielen Dank für die tollen Mathevideos. Ich hätte einen Wunsch/Vorschlag: vor langer Zeit habe ich mal einen Vortrag darüber gesehen, das 1,99 (9 Periode) gleich 2 ist inkl. Beweis. Könntest du das auch mal machen in deiner unverwechselbaren Art? Ist das wirklich gleich?
Wieder einmal gut, Danke
Genial✨!
Du erklärst echt super ❤
Dankeschön! 🥰
Liebe Susanne,
die vorgestellte Aufgabe ist ein weiteres wunderbares Beispiel dafür, wie leicht wir uns verschätzen können und uns die Mathematik davor bewahren kann. Dies liegt sicherlich auch daran, daß das Volumenverhältnis umgekehrt proportional zur dritten Potenz des Füllstandverhältnisses ist, also nicht linear. Weiterhin finde ich es bemerkenswert, daß dieses Ergebnis unabhängig von dem Öffnungswinkel des Glaskegels ist.
Der Öffnungswinkel ist tan(r/h)x2. Da beides in der Volumenformel enthalten ist, ist der Winkel fürs Volumen irrelevant.
Hallo Susanne, danke für die informative und zugleich unterhaltsame Videos! Ich habe deinen Kanal erst vor kurzem entdeckt und schau mir gerne hier und da ein Video an, um mein Mathematikwissen aus meiner Schulzeit aufzufrischen.
Eine Idee zu einer ähnlichen Aufgabe wäre: Bis zu welcher Höhe müsste das Glas eingegossen werden, wenn jemand nach einen halben Glas bzw. nach einer halben Portion fragt .
Susanne ? Eher…
@@964cuplove danke für den Hinweis, da ist hat wohl die Autokorrektur zugeschlagen 🙈
👍 Super erklärt. Wie uns doch die Augen täuschen können. Der Inhalt sieht auf dem Bild viel mehr aus.
Ich danke sehr! Sehr gut!
Und was lernen wir daraus? Ein Martiniglas ist quasi eine Mogelpackung, es soll nach viel aussehen. Genauso wie Longdrink Gläser oder die Kölner Stange.
Interessant ist doch, wie voll der Besitzer des Glases ist. 😂 Ist übrigens ein seltsamer Sekt, wenn er im Martiniglas mit Olive serviert wird. 🤔😆 Trotzdem schöne Rechenaufgabe. 😁👍🏻
Tolle Aufgabe !
Tatsächlich kann ich mich an die korrekte Antwort aus der Schulzeit erinnern, weil ich mich total verschätzt hatte und die Antwort mich völlig überrascht hatte! Die Herleitung dazu hätte ich allerdings nicht mehr zusammengebracht… 😮😅
Dafür weiß ich als Restaurantfachfrau zu berichten, dass es sich um ein Martini- oder Cocktailglas handelt und nicht um ein Sektglas.😘
Danke. Als oller Martini-Trinker triggert mich das "Sekt" die ganze Zeit, ich konnte mich gar nicht auf die eigentliche Aufgabe konzentrieren ... 🤨
Danke:)
Hatte mich schon gewundert - hab das Glas nur halb geleert aber hab mich trotzdem verschätzt. 😄
Um deine Frage zu beantworten die du am Anfang gestellt hast: Ich hätte gefühlt auf c) 37,5% getippt. War aber sehr überrascht dass das doch nicht so ist!
spontane Antwort ohne es zu zerdenken ist 1/8, also 12,5%
der Gedanke ist dass ich um von der halben Füllung auf die ganze zu kommen nicht nur mal 2 nehmen muss sondern auch für jede der 2 weiteren Dimensionen in der das Glas nach oben hin genau doppelt so groß wird.
also 2^3 = 8
Der 2. Gedanke ist, dass die Füllung ja auch ein Kegel ist, der umgedreht nochmal drauf passt, also mit der Spitze nach oben. Dann passt noch so ein Kegel links und rechts hin und ich habe schon mal 4x die original Füllung und noch Lücken. Also muss der Faktor größer sein als 4, also ist das Glas deutlich weniger als 25% gefüllt, was, bei den Antwortmöglichkeiten, meine Antwort beweist.
Wie immer. SPITZE. Danke!
Jetzt erst gesehen.
Das Neue Jahr 2023
fängt ja KLUG an.
Danke + Respekt !🎉🥳🍀
Wie immer sehr schön erklärt. Ich hätte auf b getippt. Das Ergebnis hat mich am Ende überrascht.
Liegt daran, dass die Schaugrafik nicht richtig ist und du hast das Schaubild verglichen hast statt die Zahlen. :D Das Schaubild zeigt etwa 60% voll und das entspricht etwa 21%. Ist nur ein billiger Trick, deine Augen hatten nicht unrecht. :D
Instinktiv hatte ich 1/4 bis 1/3 erwartet und dann 25% genommen.
Du zerstörst immer meine klischeehaften Vorstellungen von Mathematik-interessierten Damen. ;-)
Habe auf 25% getippt.
Wieder eine tolle Aufgabe.🙋
Hab mich total verschätzt🤣🤣🤣
Hast Du gut gemacht
Zum Wohl
Zentrische Streckung des norm. Kegels (norm. h) um Faktor 0,5
Dreidimensional, daher ^3
0,5^3 = 0,125
Komplett verschätzt. Ich schätze vorab auf etwa 1/3 - Das nur 1/8 rauskommt, hat mich schwer erschüttert.. 🙂
Jetzt ist klar, warum bei Sektempfängen die Gläser meist nur wenig voller als halbvoll sind..
Liegt an der Schaugrafik. Du wirst ausgetrickst. Die eingezeichnete Höhe ist nicht 1/2 sondern mehr. Dadurch kannst du es auch gar nicht richtig schätzen, weil du das schätzt was dein Auge sieht und nicht da, was Zahlentechnisch vorgegeben wurde. Die 25% entsprechen 63% Füllstand und das sieht man ungefähr in der Grafik... ;)
Für das Volumen V eines Kegels gilt: V_k = 1/3 * G * h = 1/3 * pi() * r^2 * h
Da r (= Radius der Grundfläche, s. Strahlensatz) und h (gegeben) gleichermaßen halbiert sind, sollte es ausreichen, den Faktor (1/2)^3 für die Berechnung des Volumenanteils zu berücksichtigen. Das Ergebnis somit 1/8 bzw. 12,5 % 🙂 ... denke ich zumindest.
Habe die Aufgabe von ChatGPT bearbeiten lassen.
Meine Eingabe:
Ein Sektglas hat die Form eines Kegels, bei dem die Spitze nach unten gerichtet ist. Sekt ist bis zur halben Höhe des Kegels eingefüllt. Zu wieviel Prozent ist das Sektglas gefüllt? Gib den Rechenweg mit an!
ChatGPT:
Ein Sektglas hat die Form eines Kegels, bei dem die Spitze nach unten gerichtet ist. Dies bedeutet, dass das Sektglas eine kegelförmige Hohlkörper ist, wobei die Spitze nach unten gerichtet ist.
Die Füllmenge eines Hohlkörpers wie eines Kegels kann berechnet werden, indem man das Volumen des Kegels mit der Flüssigkeit, die sich darin befindet, dividiert und das Ergebnis mit 100 Prozent multipliziert.
Das Volumen eines Kegels kann wie folgt berechnet werden:
V = (1/3) * pi * r^2 * h
V ist das Volumen des Kegels, r ist der Radius des Kegels an der Basis und h ist die Höhe des Kegels. pi ist die Kreiszahl und hat einen Wert von etwa 3,14.
Angenommen, das Sektglas hat einen Radius von 5 cm und eine Höhe von 10 cm. Dann wäre das Volumen des Sektglases:
V = (1/3) * 3,14 * 5^2 * 10
= (1/3) * 3,14 * 25 * 10
= (1/3) * 785
= 262,5
Angenommen, das Sektglas ist bis zur Hälfte der Höhe des Kegels gefüllt, das heißt, das Sektglas ist 5 cm hoch. Dann wäre das Volumen der Flüssigkeit im Sektglas:
V_flüssigkeit = (1/3) * 3,14 * 5^2 * 5
= (1/3) * 3,14 * 25 * 5
= (1/3) * 392,5
= 130,8
Um die Füllmenge des Sektglases in Prozent zu berechnen, teilen wir das Volumen der Flüssigkeit durch das Volumen des Sektglases und multiplizieren das Ergebnis mit 100 Prozent:
Füllmenge = (V_flüssigkeit / V) * 100%
= (130,8 / 262,5) * 100%
= 50%
Daher ist das Sektglas zu 50 Prozent gefüllt.
Dumm nur, dass der Radius des gefüllten Kegels bei der Hälfte der Höhe nicht mehr 5 cm, sondern 2,5 cm beträgt. Und genau das ist das Problem von ChatGPT. Tolles Sprachmodul, was wohl viele beeindruckt, aber eben keinerlei "Verständnis".
Hallo,
das hier ist ein echt toller Kanal mit richtig kniffligen Aufgaben.
Einiges bekomme ich hin, bei anderen Sachen schaue ich bis zum Schluss.
Weiter so!
Ich habe jetzt aber mal eine Frage:
Wie berechnet man den genauen! Rauminhalt eines liegenden Zylinders mit kugelförmigen Endkappen (z.B. liegender Chemikalientank, kein ovaler Heizöltank!) abhängig von der Füllhöhe?
Bei allen Formeln, die ich bislang gefunden habe, wird das Ergebnis immer als mehr oder weniger genaue Schätzung angegeben.
Wäre das einen Clip wert? Wenn ja, Danke im Voraus. 🤗
Deswegen liebe ich Mathe 😍
Geht sogar ganz ohne die Volumen-Formel des Kegels. Es reicht die beiden Kegel als zentrische Streckung aufzufassen. Und für das Volumen bei einer zentrischen Streckung gilt: V ' = k³ * V und Streckfaktor k ist in diesem Fall natürlich 2.
Das Bauchgefühl sagte erst mal 25%. Kurz die Volumenformel aufgeschrieben und den Strahlensatz erkannt und so war nach 1 min klar, dass es (1/2)^3 sein muss. Wer das jetzt weiß, kann jeden unter den Tisch saufen: "Du trinkst ein Glas und ich 2 halb volle" 😎😎 Lustig für Silvester.
Das funktioniert mit einem normalen Glas nicht. Das geht nur, weil die Höhe proportional zur Skalierung ist. Ein halbes Weizenglas ist halb voll auch nur halb voll.
Genialer Lösungsansatz, da wäre ich so schnell nicht drauf gekommen
Liebe Susanne, Sekt hat immer 11 - 12 % ;-) Als Wertschätzung für deine Arbeit habe ich Dir einen kleinen Energieausgleich übermittelt - womöglich für Champagner - Frohe Weihnachten. LG Michael
Überragend!! 😄
Ich hatte auf den ersten Blick 25% geschätzt. Nach kurzem Überlegen aber dann auf 12,5% korrigiert. Ist im Prinzip logisch, da ich die Länge in allen drei Raumdimensionen halbiere geht der Faktor 0,5 letztlich in der dritten Potenz ein. Da merkt man mal wie wenig man bekommt, wenn das Cocktailglas nur bis zur halben Höhe gefüllt angeboten wird...
Das ist wahrscheinlich der Grund, warum Cocktails in kegelförmigen Gläsern serviert werden. Weil die meisten DAS nicht gedacht hätten und es für mehr halten, als es ist.
Dein Blick ist auch korrekt. 25% würde einem Füllstand von 63% entsprechen und das zeigt es auch ungefähr. Wurdest halt ausgetrickst. :D
Das ist zum Beispiel auch interessant im Zusammenhang mit der Großen Pyramide von Gizeh. Dort stecken im ersten unteren Drittel schon 80% der Gesamtmasse des Bauwerks.
Ne andere Frage: Wie hoch muss das Glas gefüllt sein, um zur hälfte voll zu sein? (Halbes Volumen)
Lässt sich das ohne Angaben zur Kegelform (Winkel) überhaupt berechnen?
Mein Vorschlag: ganzer Kegel V1=1/3*pi*r*r*h, wegen Strahlensatz setze h=x*r, bei V1 sei x=1, also V1=1/3*pi*r*r*r*x, V2 Kegel mit halbem Volumen, mit Substitution, V1=2*V2, 1/3*pi*r*r*r*x=2*(1/3*pi*(x*r)*(x*r)*(x+r)) => kürzen => 1 = 2*x*x => x=Wurzel(1/2) => Taschenrechner 0,707... negative Wurzel ist nicht relevant. Das Glas müsste zu 70,7% der Höhe gefüllt werden für 50% des Volumens
@@John77744 ich habe eine Probe gerechnet. Es scheint nicht zu stimmen. Es ist ca. 80%, aber ich habe es approximiert. Es könnte aber auch falsch sein.
@@Mac-jk3gy Flüchtigkeitsfehler bei mir: x kommt dreimal vor, daher lautet die Lösung 3. Wurzel aus 1/2, Taschenrechner wirft dafür 0,7935... aus und damit einen Wert ziemlich nah an Deinen 80%
@@John77744 ja, das klingt gut :)
Seien V und x das Volumen und die Höhe eines ganzen Kegels und W sowie y das Volumen sowie die Höhe eines Teilkegels. Mit Strahlensatz kann man schnell herleiten:
W/V=y³/x³
Also folgt:
W/V=(h/2)³/h³=1/8 W=(1/8)*V
=> W/V=1/8=0,125=12,5%
Frohe Weihnachten, guten Rutsch :)
Und man kann sich nun fragen wie hoch die Füllhöhe sein muss, damit es zu 50% gefüllt ist. Da das Volumen x³ der Höhe abhängt, folgt, dass die Höhe x⅓ des Füllstandes sein muss (3. Wurzel), somit 1/2^⅓. Das sind etwa 79.4%, somit stecken in den letzten 20% genauso viel Wein wie in den ersten 80%
Hab mir das Ganze in Paint in 2D skizziert. Wenn man das Glas als Dreieck mit der Höhe in der Mitte skizziert und dann die halbe Füllhöhe einträgt, fällt auf, dass unten zwei Dreiecke entstehen, die Flächen oben sich ebenfalls in gleich große Dreiecke wie unten aufteilen lässt. Insgesamt 8, davon 2 unten, also 1/4.
Dann ist mir klar geworden, dass bei einem 3D Körper das Verhältnis auch in die dritte Dimension eingehen muss, damit aus der Fläche ein Volumen wird. Das Verhältnis muss also noch geringer sein. Da es um Kegel mit kreisförmiger Grundfläche geht, dachte ich es muss irgendwas mit Pi oder Dritteln kommen, doch laut den Antwortmöglichkeiten blieb dann nur noch 1/8 bzw. 12,5%
ach war das schön!
Naja, der kleine Kegel passt ja schon mal problemlos 5x in den Oberen Teil (1x umgekehrt und 4x im Kreise)*. Das wäre 1 Sechstel. Wenn man es aber aufzeichnet, sieht man dass diese Kegel das Glas nicht füllen, also musste es weniger als 1/6 sein. Da bleibt nur 1/8.
Schon in 2D ist es nur 1/4 (Das kann man mit Dreiecken einfach Zeigen).
Ich finde deine Clips cool, schau ich auch mal, wenn ich mit dem ÖV unterwegs bin. Eine (nicht mathematische ;-) ): Bist du Lehrerin oder hast Mathe studiert, weshalb du dies alles so einfach verstehst?
Egal wie voll oder leer!
Noch ne Runde!
Ich hatte die Volumenformel für Kegel nicht mehr auf dem Schirm. Da abe ich es mit Integralrechnung probiert und kam aufs selbe Ergebnis.
Da muss ich erst fast 80 Jahre alt werden um an Mathe Spaß zu haben. Danke für die Nachbildung von mir.
Nach den ersten 30 Sekunden tippe ich auf auf die 37,5%. Begründung: Volumen eines Kegels ist 1/3 Grundfläche mal Höhe. Halbiere ich den Kegel, wird die Grundfläche natürlich kleiner, aber nicht um die Hälfte, weil die Fläche proportional zu r² ist. Gefühlt müsste da also irgendwo die Wurzel von 2 im Spiel sein. Da sind schon mal zwei markante Zahlen im Raum. Und 1/3 und die Wurzel von 2 liegen als Überschlagsrechnung im Kopf als Produkt ziemlich nahe an den 37,5%. Aber das ist nur mein Bauchgefühl, bin gespannt, was wirklich stimmt. :)
Wenn die Fläche proportional zu r^2 ist, dann muss sie bei halbem r nur ein 4tel groß sein (1/2)^2 = 1/2 * 1/2 = 1/4 und nicht wurzel 2
@@jeffreylebowski4927 War auch nur der erste spontane Gedanke nach dem Ansehen der Aufgabe. Daß es weniger als die Hälfte sein muss, ist selbstverständlich. Und da kamen mir die 37% irgendwie plausibel vor. Aber wie gesagt: es war der erste spontane Gedanke, der sich als falsch erwiesen hat.
@@lupus.andron.exhaustus klar ich wusste zuerst auch nicht die antwort...
Viele Wege führen nach Rom.
Geraten hatte ich 25%, ja ich weiß, daher spiele ich auch kein Lotto.
Nachdem ich mir beide Kegel ausgerechnet hatte, kam ich auch auf 12,5.
Habe es aber nicht so kompliziert gemacht.
Aber auch schön Deinen Rechenweg zu sehen.
Deine Augen haben bei 25% aber richtig geschätzt, weil 25% würde einem Füllstand von 63% Höhe entsprechen, den es ca. auch zeigt. Einfache Trickserei... :D
Man kann es schnell überschlagen, wenn man weis, dass man die Grundfläche mal die Höhe rechnet bei einem Kegel.
Da sich das glas linear öffnet, ist der Durchmesser oben doppelt so groß wie auf halber höhe, also muss die Grundfläche des Kegels oben 4 mal so groß sein (Flächen wachsen quadratisch).
Jetzt muss man die 4x größere Grundfläche noch mit der doppelten höhe multiplizieren und bekommt 8.
Also ist das Volumen des gesamten Glases 8x größer als das des halb vollen glases.
Dass durch 3 geteilt wird ist egal, denn das passiert für beide Volumen gleichermaßen und man soll nur das Verhältnis ermitteln.
What height percentage of the full glass will result in a half measure?😊
Third root of 0.5, approx. 0.8.
This means ca. 80%.
Höhe und Radius verdoppeln heißt wir setzen 2r statt r und 2h statt h in die Gleichung. Ergibt den Faktor 8. 1/8 sind 12,5 %.
Interessanter Aspekt. Ich habe mich mal nur auf das Dreieck konzentriert ( das ist 2D ) , da komme ich auf 25%, also 1/4. Sieht man sich die Lösung mit 12,5% an, heisst das klar, (1/2)^Raumdimension :-). Im 4D Raum wäre das dann 6,25%, 3D -> 12,5%, 2D->25%, 1D aus der Aufgabe 1/2=50%
Hi Susanne. Ganz toll wie Du "unterrichtest". Stets kommen alte Erinnerungen aus schulischen Zeiten hoch. Schade warst Du damals nicht meine Mathe Lehrerin, hätte Dich glattwegs geheiratet.😉 Und wie schon von anderer Seite geschrieben, ein Sektglas sieht anders aus.🥂
Falls sich wer fragt, woher die Zahlen kommen: das sind Tricksereien mit der Schaugrafik.
50%^3=12.5% (=A)
Das ist der echte Wert, aber das sieht man in der Schaugrafik nicht.
63%^3=~25% (=B)
Das sieht man etwa in der Schaugrafik, darum "vergucken" sich viele Leute mit 25%.
Alternativ würde das dem Volumen bei einem Dreieck entsprechen mit halber Höhe, man vergisst also die Tiefe beim schauen.
72%^3=~37.5% (=C)
Wenn man die obere Kante der Flüssigkeit nimmt und die Mitte des Glasrandes, wäre das etwa 72% Höhe.
80%^3=~50% (=D)
Wenn man die obere Kante der Flüssigkeit und die untere Kante der Flüssigkeit nimmt und die untere Kante des Glasrands, wäre das etwa 80% Höhe.
A sieht man nicht, B ist eine Trickserei auf die eine oder andere Art, C und D gehen davon aus, dass man die Höhenpunkte falsch bemisst.
Interessanter Lösungsansatz, da ich in G 9 bin und deswegen nicht den Strahlensatz gelernt habe, habe ich was völlig anderes probiert. Da das Glas ja zur Hälfte befüllt ist, muss das ja heißen, dass eine neue Menge an Sekt mit derselben Form ja genau über die eigentliche Menge Sekt passen muss. Und da der Glasrand in diesem Beispiel ja konstant also gerade ist, habe ich einfach probiert soviele identisch große Mengen " an Sekt" wie möglich einzusetzen. Das hat dann auch grob auf nem Schmierzettel funktioniert, bin dann auf ca 7 weitere Mengen gekommen plus die Originalmenge macht 8. 1 : 8 sind 12, 5 %. Wahrscheinlich mathematisch nicht ganz korrekt aber immerhin richtiges Ergebnis 😂
Zwischen Zahl und Prozentzeichen gehört ein Leerschritt/Leerzeichen.
Interessant 🤔 Ich hätte gedacht, dass das Volumenverhältnis abhängig vom Winkel ist, da dieser in der Berechnung nicht benötigt wurde. Ist das Verhältnis bei halber Höhe dann immer 1/8, egal wie spitz oder stumpf (0°
Wenn die Körper ähnlich sind (alle Winkel und Streckenverhältnisse gleich), dann sind bei halber Grösse alle Flächen (1/2)² = 1/4 so gross und das Volumen (1/2)³ = 1/8 so gross.
So paradox ist das gar nicht mehr, wenn du bedenkst, dass eine Änderung des Winkels auch eine Änderung des Gesamtvolumens zur Folge hat; klar ist bei einem spitzeren Winkel weniger in einem "halbvollen" Glas, aber in einem vollen Glas eben auch. Das Volumenverhältnis zwischen "halbvoll" und voll kann dadurch trotzdem konstant sein.
Mathematisch sieht's ja so aus: V = c * r² * h (die ganzen konstanten Faktoren habe ich jetzt mal zu einem c zusammen gefasst). Aufgrund deiner Definitionsmenge für α vermute ich jetzt mal, dass das aus deiner Sicht der Winkel zwischen den beiden Glasrändern ist. D. h. der Winkel zwischen einem Glasrand und der Höhe ist dann α/2. Da die Höhe senkrecht auf dem Radius steht, gilt tan(α/2) = r/h und damit r = tan(α/2) * h. Oben einsetzen liefert V = c * tan²(α/2) * h³. Jetzt kannst du's sehen: Egal, wie du den Winkel α wählst, erhältst du wegen "h³" ein Achtel des Volumens, wenn du die Höhe halbierst.
Hallo,
wie machst du das mit dem schreiben auf dem Bildschirm? was benutzt du dafür?
ah das ist ja verlinkt 😀 cool, danke 😀
und welches programm ist dafür gut?
Eine Frage: wie lautet die Höhe,wenn genau das halbe Volumen vom randvollen Sektglas eingefüllt ist?
@@arturvani108 vielen Dank,muß ich Mal ausprobieren
Wenn ich wissen möchte, welchen Anteil V_2 an V_1 hat, dividiere ich (für V_1 = 0 machte die Aufgabe keinen Sinn):
V_2/V_1 = x²/2r² (nach komplettem Rauskürzen und Umstellen der "1/2" vor dem h aus dem Zähler).
Da ich den Strahlensatz so nicht mehr auf dem Schirm hatte, hätte ich mit Pythagoras weiter gemacht. Da der schräge Kegelrand (ich nenne ihn mal s) gerade ist, muss der ja auch auf der Höhe h/2 genau seinen Mittelpunkt haben. Daraus ergibt sich mit Pythagoras:
I) h² + r² = s²
II) (h/2)² + x² = (s/2)²
h²/4 + x² = s²/4 | * 4
h² + 4x² = s²
Daraus folgt mit I) dann r² = 4x² ... jetzt überlege ich gerade, ob der Strahlensatz nicht genau so bewiesen wurde. 🤔😅
Oben einsetzen ergibt V_2/V_1 = x²/8x² = 1/8.
Dass das 12,5% sind, kann man aber auch durch Wissen, dreimaliges Halbieren der 100 oder Kürzen der 125/1000 mit 10 herausfinden. Vor allem: Wenn man weiß, dass man mit 125 erweitern muss, weil 125 * 8 = 1000 ist, wieviel * 8 wird dann wohl 100 sein? Da hast du dir von zig möglichen Wegen den längsten und umständlichsten herausgesucht.😉
Ja, meine Erklärung geht in etwa auf den Strahlensatz zurück.
Ich hatte eben im Text erst Dreiecke und Quadrate und am Ende die Kreisformel für die Fläche genommen und dann nochmal Faktor 2 für die Höhe.
Ich bin ja bestimmt nicht neutral.
Aber obwohl meine Erklärung ziemlich abschweifend war gefällt mir meine besser.
Hatte ich oben irgendwo zu einer falschen Erklärung als Antwort geschrieben.
Falls du es ausführlich lesen willst.
@@alexanderweigand6758 Hab sie gefunden und finde sie auch nicht schlecht, aber die darunter stehenden Kommentare haben mich auf einen, wie ich finde, noch besseren Lösungsweg gebracht, für den man gar nicht zu wissen braucht, wie groß der Radius auf halber Höhe ist:
Sei α der Winkel in der Glasspitze zwischen Glasrand und Höhe. Dann gilt tan(α) = r/h r = tan(α) * h, weil die Höhe senkrecht auf dem Kreis steht.
Die Volumenformel ist V = [mehrere konstante Faktoren] * r² * h. Einsetzen der obigen Gleichheit liefert V = [mehrere konstante Faktoren] * tan²(α) * h³.
Der Winkel α ist zwar unbekannt, aber fix, da wir einen starren Glaskörper haben, also ist tan²(α) ebenfalls ein konstanter Faktor.
Daraus folgt nun V = [mehrere konstante Faktoren] * h³, d. h. V verhält sich proportional zu h³, und eine Halbierung der Höhe liefert somit ein Achtel des Volumens.
In der Form kann man V auch als Funktion von h interpretieren: V(h) = c * h³ (wobei c das Produkt der konstanten Faktoren sei) => V(h/2) = c * (h/2)³ = 1/8 * c * h³ = 1/8 V(h).
Und das ist dann auch der Beweis für den Strahlensatz. denn tan(α) = x/(h/2) = 2x/h gilt ja auch, woraus direkt x = r/2 folgt. tan(α) ist genau der konstante Verhältnisfaktor zwischen jeder Höhe und dem ihr zugehörigen Kreisradius.
👍🏻👍🏻👍🏻
Die Sache ist einfach wenn man weiss , dass bei ähnlichen Körpern die Volumina sich verhalten wie die 3. Potenz entsprechender Strecken , hier also die Höhen : also (1/2)^3 = 1/8 012.5 %.
Ich finde alle Aufgaben sehr interessant. Praktisch hinkt diese aber etwas, da ein solches Glas nie randvoll gemacht wird. Die Frage wäre also laut Praxis besser zu stellen, wieviel % im Glas sind bei halber Füllung gegenüber 90% Füllung? Ich gehe also von einer Füllhöhe von 9/10 aus.
Herzliche Grüße, ich melde mich später noch einmal.
Burgoldos.
Gehe von Antwort a aus
Das Teil öffnet sich ja gleichmäßig und ist ja rund und geht in alle Richtungen gleich. Nennen wir es mal Kegel.
Ein 4tel ist mir da zuviel dann, 1/8 passt mir da besser hin.
Wären in den Antworten noch 1/7 1/6 drin wäre ich vielleicht noch mit 1/6 mitgegangen.
Aber ein gleichschenkliches Dreieck hat doch in der Hälfte vom rechten Winkel aus circa 1/3 bis 1/4 der Fläche nur, oder? Bei einem Kegel würde das das ganze dann grob verdoppeln/verdreifachen.
Das wären in dem Fall bei den Antworten dann die 12,5 am Ende 😅
So bis zum Ende geguckt und war ja richtig, nur meine Herleitung halt nur glücklich 😅✌️
1/8 = 12,5% mein Tipp ohne die Vorgaben gesehen zu haben. Logik:
Volumen geht linear mit der Höhe und linear mit der Kreisfläche, welche quadratisch zur Höhe wächst.
Darum ist das Volumen proportional zu h mal h^2, also h^3.
verdopple ich h, verachtfache ich also das Volumen. 100%/8=12.5%. q.e.d.
edit: Herleitung im Video ist etwas sehr umständlich finde ich.
Alles was man braucht ist das Wissen, dass das Volumen des Kegels wie bei der Pyramide der Formel V = const mal Grundfläche mal Höhe ist, und dass natürlich der Kreisdurchmesser mit der Höhe linear wächst bei gegebenem festen Kegelwinkel.
Alleine schon die Zeit, die sie noch braucht um 1/8 in 12,5% umzurechnen ist ja extrem umständlich, damit geht der Blick fürs Wesentliche, für die prinzipiellen Zusammenhänge verloren. Das tötet jegliche Intuition ab und ersetzt diese durch Technokraten-Mathematik. Mein Fall ist das nicht, mich hätten solche Lehrer von der Mathematik ferngehalten, diese "Didaktik" dieses Videos wirkt auf mich ziemlich abschreckend.
Aber das ist nur meine Meinung natürlich - Menschen sind unterschiedlich und ich bin auch meinen Neigungen gemäß kein Freund bürokratischer Kleinteiligkeiten, woran andere Freude haben. Also alles Geschmackssache.
@Mathematrick wie wirkt sich das eigentlich auf den TH-cam - Algorithmus aus, wenn ich die Videos erst anklicke, sofort pausiere um das selbst zu lösen, und dann nur einen Teil des Videos schaue als Selbstkontrolle? Und dann auch noch früher abschalten?
V=1/3*pi*r^2*h
r und h sind jetz jeweils halb so lang.
Also V=1/3*pi*r^2*h*(1/2)^3
(1/2)^3=1/8
also 12,5%
Mir kam sofort 1/8 in den Sinn, weil die Kegel ähnlich sind und das Volumen aus drei Längen berechnet wird.
Exakt. Höhe ist die Hälfte und Radius der Grundfläche auch. Der konstante Faktor π/3 spielt keine Rolle.
Delphin an Libelle !
Ich nehme dafür meinen Strecken-Volumen-Strahlensatz her:
h/H=3.Wurzel (v/V)
0,5=3.Wurzel (v/V) /()hoch 3
0,5hoch3=v%/100%. /*100%
0,5hoch 3 Mal 100%=v
v=12,5%
Wenn die benetzte Fläche gefragt wäre,so benützte ich meinen Strecken-Flächen-Strahlensatz:
h/H=zweite Wurzel(f/F)
Herzliebe Grüße und lieben Dank,dass ich darüber nachdenken mußte, es einfacher und schöner (KISS - keep it simple and smart) hinzubekommen.
Deine Bleuette Naomi - mal Delphin, mal Schülerin in Freiburg
Danke für die tollen Videos. Ein bisschen irritieren, dass hier weder Sekt noch ein Sektglas abgebildet sind noch gesagt wird, dass man die Grafik zu Grunde legen soll.
Am besten so ein Glass Bellini trinken, bei halber Höhe ist es fast leer. Und jedes Mal wieder faszinierend was man mathematisch wieder vergessen hat.
Gut erklärt!
Aber eigentlich geht es noch einfacher. Alle Körper die verkleinert oder vergrößert werden haben die gleiche Veränderung in 3 Dimensionen. also beim Vergößern den Faktor im Kubik und beim verkleinen die 3. Wurzel aus dem Faktor. Das gilt bei allen Körpern (glaub ich wenigstens).
Da sieht mans wieder, man wird abgezockt an der Bar😜
Ob Sekt- oder Martiniglas, das Ergebnis ist schon überraschend!!
Das Video hat mir ein dickes Grinsen ins Gesicht gezaubert!
Mein erster Gedanke war "Ist doch unmöglich lösbar ohne den Winkel des Kegels zu kennen..."
Daraus wurde im Laufe des Videos "Ahhh, cool!" :D
Hier mein Beitrag aus der "Wahrscheinlichkeitsrechnung":
Wenn ich damals eine so sympathische Mathe-Lehrerin gehabt hätte, wäre ich wahrscheinlich kein besserer Mathematiker geworden,
hätte mich aber ebenso wahrscheinlich deutlich mehr auf den Unterricht gefreut :-)
Sehr schöne Aufgabe!
Es handelt sich hier aber nicht um ein Sekt- sondern um ein Cocktailglas. 😎
Bevor ich den Sekt aus verschwitzten High Heels schlürfe nehme ich lieber ein Cocktailglas