Excellente vidéo, c'est rigolo de transformer une situation corporative et d'en faire une comédie. Dans mon travail, je tente de voir tout sous la forme d'un spectacle... merci de participer a alimenter mon imaginaire au boulot... Bravo pour votre travail!
Le nombre dérivé d’une fonction f : R → R en un point x 0 est habituellement introduit comme la limite, lorsque h tend vers 0, du taux d’accroissement ( f ( x 0 + h ) − f ( x 0))/h. Si cette dé finition reste valable pour les fonctions f : R → F qui prennent leurs valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque F, elle ne peut pas être étendue aux fonctions dont la variable est un vecteur, pour la simple raison que la division par un vecteur h n’a plus de sens. Lorsque les vecteurs sont des éléments de R n , l’idée classique consiste à fixer toutes les variables sauf une puis à dériver la fonction par rapport à la variable restante. Autrement dit, on étudie la dérivée de la fonction fi : t ∈ R → f ( x 1, . . . , x i − 1, t, x i+1, . . . , x n ) ∈ F, et une telle dérivée s’appelle une dérivée partielle. Malheureusement, une fonction peut admettre des dérivées partielles en un point sans pour autant avoir un comportement régulier en ce point (voir l’exemple 2). D’un point de vue pratique, cependant, l’emploi des dérivées partielles est dans bien des cas su ffisant. On verra que si toutes les dérivées partielles sont des fonctions continues alors la fonction elle-même a les propriétés de régularité attendues (théorème 12). Pour cette raison, on a pendant longtemps pu se limiter à cette notion de dérivée partielle et beaucoup d’ingénieurs, CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM 2 Chapitre 1. Di fférentielles encore aujourd’hui, ne connaissent et n’utilisent qu’elle. L’inconvénient principal de se limiter à l’étude des dérivées partielles est le suivant. Pour pouvoir parler de dérivées partielles, il faut d’abord disposer de variables ; lorsque l’on travaille sur Rn avec des vecteurs x = ( x 1, . . . , x n ) les variables x i paraissent s’imposer. Pourtant, nous savons qu’en géométrie le choix d’un repère adapté peut considérablement simpli fier la solution d’un problème. De même il est tout à fait possible que dans un problème donné, il soit plus utile de travailler avec une base ( v i ) de R n di fférente de la base canonique et, avec des vecteurs qui s’écrivent x = Pni=1 ci(x)vi , les variables naturelles sont les nombres c i ( x ) (qui se déduisent des x i par une application linéaire bijective). Il faut alors véri fier que les énoncés des théorèmes construits en utilisant les dérivées partielles ne dépendent pas du choix préalable des variables c’est-à-dire du repère et ceci finit par conduire à la théorie que nous allons présenter. Celle-ci est intrinsèque, c’est-à-dire indépendante de la manière par laquelle on représente la variable. Un troisième inconvénient est qu’il est possible de considérer des dérivées partielles maniables (dans le sens donné ci-dessus) uniquement dans la mesure où nous manipulons des fonctions définies sur un espace de dimension finie et cette approche masque la généralisation de la notion de dérivée aux fonctions dé finies sur un espace vectoriel de dimension in finie. Cette di fficulté est sans doute moins déterminante que la précédente car le calcul di fférentiel sur des espaces vectoriels de dimension infinie possède un champ d’application relativement limité qui ne justifierait pas en lui-même l’enseignement de cette notion à un niveau élémentaire. 1.1 La définition d’une différentielle Pour trouver la meilleure généralisation de la notion de dérivée, nous devons nous concentrer sur une autre propriété que celle du taux d’accroissement. La propriété caractéristique généralisable du nombre dérivé est qu’il permet de construire une approximation locale de la fonction f au point x 0 ; autrement dit, la fonction a ffine Tx 0 : x → f ( x 0) + f 0 ( x 0)( x − x 0 ) fournit une approximation locale de la fonction f et cette approximation est précise à l’ordre 1 dans le sens où f ( x ) − Tx 0 ( x) = ( x − x 0 )
( x − x 0 ) avec limx→x0
( x − x 0) = 0 . (1.1) Dans l’expression ‘approximation locale’, l’adjectif ‘local’ est important. Il signi fi e que la seule information dont nous disposons est une information ‘à la limite’, en particulier la seule formulation (1.1) ne permet aucune estimation (quantitative) de l’erreur entre f ( x ) et Tx 0 ( x ) en dehors de x 0 (où elle est évidemment égale à 0). Les informations purement locales ont peu d’intérêt, mais comme nous l’a déjà appris l’analyse des fonctions de la variable réelle, des informations locales en un ensemble ouvert de points conduisent, sous certaines hypothèses, a des informations globales. Voyons si la relation (1.1) garde un sens lorsque la fonction f est dé finie sur un ouvert Ω d’un espace vectoriel normé E à valeurs dans un autre espace vectoriel CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM 1. Introduction et dé finition 3 normé F. Il y a un problème super ficiel, le produit ( x − x 0 )
( x − x 0 ) n’aura pas de sens en général dans E mais nous pouvons, sans rien changer à sa signi fication, récrire (1.1) sous la forme |f(x) − Tx0 (x)| = |x − x 0| ( x − x 0 ) avec limx→x0
( x − x 0) = 0 (1.2) où la nouvelle fonction est la valeur absolue de la précédente. Cette dernière relation se laisse étendre en kf(x) − Tx0 (x) k F = k x − x 0 ) k E
( x − x 0 ) avec limx→x0
( x − x 0) = 0 . (1.3) Il reste à voir quel sens nous pouvons donner à l’application Tx 0 . La dé finition d’une application a ffine de E dans F ne cause aucune di fficulté : c’est une application de la forme A ( x) + b où A est une application linéaire de E dans F et b ∈ F . L’application Tx 0 ( x ) devra donc être recherchée sous la forme Tx 0 ( x) = f ( x 0) + A ( x − x 0 ) et c’est alors l’application linéaire A qui va servir de généralisation du nombre dérivé. De finition 1.1. Soit f : Ω ⊂ E → F et a ∈ Ω. Nous dirons que f est di fférentiable en a s’il existe une application linéaire continue A de E dans F, i.e. A ∈ L (E, F ) , et une fonction réelle dé finie sur un voisinage de l’origine dans E, de limite nulle en 0 et telle que k f ( a + h ) − f ( a ) − A ( h ) k F = k h k E
( h ) . (1.4) Soulignons le fait que l’application linéaire A doit être continue. L’utilité de cette hypothèse apparaîtra dès la démonstration du théorème 2. Naturellement, d’après le théorème 4 de l’annexe, la véri fication de la continuité de A est super flue lorsque E est de dimension finie. Notons aussi que, dans la pratique, on reformule souvent la dé finition (1.4) en faisant intervenir une fonction d’erreur allant de U vers F. Ceci est expliqué plus bas, au point 1.3. Soulignons encore que la condition que soit de limite nulle dépend, en général, des normes utilisées sur E et sur F. Cependant lorsque
STMG 2020/2021 ON EST LAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Bien sûr on est là
STMG FORCE
On n’ai laaaaa
ekip
Qui est là pour la STMG ?
Stmg gangggg
Stmg 2020/2021 forceeee❤❤❤😭😭😭
J'aime mangé du Mulet !!!!! 1ère STMG IZY
Jeu d'acteur exceptionnel en tout point, dialogue énome DU SALE MAMENE !!!!! cela ma beaucoup servi merci ;*
bjr mme corre, ewen passe son temps a lire les commentaires des videos, merci de le renvoyer. biz
Stmg gvng✊🏾🔥
Excellente vidéo, c'est rigolo de transformer une situation corporative et d'en faire une comédie. Dans mon travail, je tente de voir tout sous la forme d'un spectacle... merci de participer a alimenter mon imaginaire au boulot... Bravo pour votre travail!
Le nombre dérivé d’une fonction
f
:
R
→
R en un point
x
0 est habituellement
introduit comme la limite, lorsque
h tend vers
0, du taux d’accroissement
(
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0))/h. Si cette dé
finition reste valable pour les fonctions
f
:
R
→
F qui
prennent leurs valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque
F, elle ne peut
pas être étendue aux fonctions dont la variable est un vecteur, pour la simple raison
que la division par un vecteur
h n’a plus de sens. Lorsque les vecteurs sont des
éléments de
R
n
, l’idée classique consiste à
fixer toutes les variables sauf une puis
à dériver la fonction par rapport à la variable restante. Autrement dit, on étudie la
dérivée de la fonction fi : t
∈
R
→
f
(
x
1, . . . , x
i
−
1, t, x
i+1, . . . , x
n
)
∈ F,
et une telle dérivée s’appelle une dérivée partielle. Malheureusement, une fonction
peut admettre des dérivées partielles en un point sans pour autant avoir un comportement régulier en ce point (voir l’exemple 2). D’un point de vue pratique, cependant,
l’emploi des dérivées partielles est dans bien des cas su
ffisant. On verra que si toutes
les dérivées partielles sont des fonctions continues alors la fonction elle-même a les
propriétés de régularité attendues (théorème 12). Pour cette raison, on a pendant
longtemps pu se limiter à cette notion de dérivée partielle et beaucoup d’ingénieurs,
CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM
2 Chapitre 1. Di
fférentielles
encore aujourd’hui, ne connaissent et n’utilisent qu’elle. L’inconvénient principal de
se limiter à l’étude des dérivées partielles est le suivant. Pour pouvoir parler de dérivées partielles, il faut d’abord disposer de variables ; lorsque l’on travaille sur Rn
avec
des vecteurs
x = (
x
1, . . . , x
n
) les variables
x
i paraissent s’imposer. Pourtant, nous
savons qu’en géométrie le choix d’un repère adapté peut considérablement simpli
fier
la solution d’un problème. De même il est tout à fait possible que dans un problème
donné, il soit plus utile de travailler avec une base
(
v
i
) de
R
n di
fférente de la base canonique et, avec des vecteurs qui s’écrivent x = Pni=1 ci(x)vi
, les variables naturelles
sont les nombres
c
i
(
x
) (qui se déduisent des
x
i par une application linéaire bijective).
Il faut alors véri
fier que les énoncés des théorèmes construits en utilisant les dérivées
partielles ne dépendent pas du choix préalable des variables c’est-à-dire du repère
et ceci
finit par conduire à la théorie que nous allons présenter. Celle-ci est intrinsèque, c’est-à-dire indépendante de la manière par laquelle on représente la variable.
Un troisième inconvénient est qu’il est possible de considérer des dérivées partielles
maniables (dans le sens donné ci-dessus) uniquement dans la mesure où nous manipulons des fonctions définies sur un espace de dimension finie et cette approche
masque la généralisation de la notion de dérivée aux fonctions dé
finies sur un espace
vectoriel de dimension in
finie. Cette di
fficulté est sans doute moins déterminante que
la précédente car le calcul di
fférentiel sur des espaces vectoriels de dimension infinie possède un champ d’application relativement limité qui ne justifierait pas en
lui-même l’enseignement de cette notion à un niveau élémentaire.
1.1 La définition d’une différentielle
Pour trouver la meilleure généralisation de la notion de dérivée, nous devons nous
concentrer sur une autre propriété que celle du taux d’accroissement. La propriété
caractéristique généralisable du nombre dérivé est qu’il permet de construire une
approximation locale de la fonction
f au point
x
0 ; autrement dit, la fonction a
ffine
Tx
0
:
x
→
f
(
x
0) +
f
0
(
x
0)(
x
−
x
0
) fournit une approximation locale de la fonction
f
et cette approximation est précise à l’ordre
1 dans le sens où
f
(
x
)
−
Tx
0
(
x) = (
x
−
x
0
)
(
x
−
x
0
) avec limx→x0
(
x
−
x
0) = 0
. (1.1)
Dans l’expression ‘approximation locale’, l’adjectif ‘local’ est important. Il signi
fi
e
que la seule information dont nous disposons est une information ‘à la limite’, en
particulier la seule formulation (1.1) ne permet aucune estimation (quantitative) de
l’erreur entre
f
(
x
) et
Tx
0
(
x
) en dehors de
x
0 (où elle est évidemment égale à
0). Les
informations purement locales ont peu d’intérêt, mais comme nous l’a déjà appris
l’analyse des fonctions de la variable réelle, des informations locales en un ensemble
ouvert de points conduisent, sous certaines hypothèses, a des informations globales.
Voyons si la relation (1.1) garde un sens lorsque la fonction
f est dé
finie sur un
ouvert
Ω d’un espace vectoriel normé
E à valeurs dans un autre espace vectoriel
CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM
1. Introduction et dé
finition
3
normé
F. Il y a un problème super
ficiel, le produit
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
0
) n’aura pas
de sens en général dans
E mais nous pouvons, sans rien changer à sa signi
fication,
récrire (1.1) sous la forme |f(x) − Tx0 (x)| = |x
−
x
0|
(
x
−
x
0
) avec limx→x0
(
x
−
x
0) = 0 (1.2)
où la nouvelle fonction
est la valeur absolue de la précédente. Cette dernière relation
se laisse étendre en kf(x) − Tx0 (x)
k
F
=
k
x
−
x
0
)
k
E
(
x
−
x
0
) avec limx→x0
(
x
−
x
0) = 0
. (1.3)
Il reste à voir quel sens nous pouvons donner à l’application
Tx
0
. La dé
finition d’une
application a
ffine de
E dans
F ne cause aucune di
fficulté : c’est une application
de la forme
A
(
x) +
b où
A est une application linéaire de
E dans
F et
b
∈
F
.
L’application
Tx
0
(
x
) devra donc être recherchée sous la forme
Tx
0
(
x) =
f
(
x
0) +
A
(
x
−
x
0
) et c’est alors l’application linéaire
A qui va servir de généralisation du
nombre dérivé.
De
finition 1.1. Soit
f : Ω
⊂
E
→
F et
a
∈
Ω. Nous dirons que
f est di
fférentiable
en
a s’il existe une application linéaire continue
A de
E dans
F, i.e.
A ∈ L
(E, F
)
,
et une fonction réelle
dé
finie sur un voisinage de l’origine dans
E, de limite nulle
en
0 et telle que
k
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
−
A
(
h
)
k
F
=
k
h
k
E
(
h
)
. (1.4)
Soulignons le fait que l’application linéaire
A doit être continue. L’utilité de cette
hypothèse apparaîtra dès la démonstration du théorème 2. Naturellement, d’après le
théorème 4 de l’annexe, la véri
fication de la continuité de
A est super
flue lorsque
E
est de dimension
finie. Notons aussi que, dans la pratique, on reformule souvent la
dé
finition (1.4) en faisant intervenir une fonction d’erreur allant de
U vers
F. Ceci est
expliqué plus bas, au point 1.3. Soulignons encore que la condition que
soit de limite
nulle dépend, en général, des normes utilisées sur
E et sur
F. Cependant lorsque
nardinimouk je veux des pouces bleu !!!!
kdo
pas comprire
Enseirb le sang
STMG saint charles on est la avec Ragot le sang
faut que sa biche quand meme
@@flammerumeur38 couleurs chiotte comme ça mais pas ternie
@@chibratv2518 l'image c'est important
Haha meilleur stmg c la stmg 1
S/o 1ere stmg Vincent d'indy privas
pareil pour moi
la zoneeee
Eh ouaiiis
Clin d'oeil aux stmg 2 de nyons ! 😉
Lol MDR
PUTAIN MAIS VOUS ÊTES OÙ LES MECS DRÔLES DANS LES COMMENTAIRES ?
WSH LA ZONE
like si tm bi1 youtoub
oui j'aime ienb
Poquelin saint ger en force
Je ferais exactement comme lui
STMG 632 on est la
et c'est quoi le message les gars
Suuuuu
whalla la radine XDD arreter avec vos commentaire inapproprié
ctoi le commentaire inapproprié
non c'po vrai
trop des barres
rpz malraux 1Mg2 !!!!!
Aidez moi avec ce putain de TD svp 😭😭
Roxy Redvoxsentence ta le livre 1er stmg delagrave ?
la réponse c'est 8.
1 STMG toujours presente !
ou pas faut croire
wllh tu forces
CHIPS O CREVETTES
Donner les réponse
Si je peux permettre la vidéo n'est pas assez pertinente pour notre chaleureuse classe de stmg2
vive la STMG
ILAN TG
oh garon bonne anniversaire :) :) :) :) :)
salut salim
stmg oéoéoé
prk tu bosse pas gugus
STMG 20 lyautey 2016
Bande de pingouin
bite mdr
elle est trop fraiche la meuf
marvin arrete de brasser
comment utn tap)elelle
Sa m’a énormément pas trop aider bof bof
antoine arrete d'écouter du jul, assume tes actes
tg je vais devenir sourd
Sqrt(9)