Drugie zadnie wymaga stwierdzenia z założeń tezy, więc rozwiązanie ucznia pokazane jest błędne. Natomiast w pierwszym powiedziane jest, że istnieje taki trójkąt, czyli wina jest po stronie autora.
chyba że uczniowie wiedzieli że zadania są podchwytliwe (tzn. mogą być wewnętrznie sprzeczne). Poobnie jak Ty, nie winił bym ucznia za to że ufał że założenia podane w zadaniach są prawdziwe/prawidłowe - bo nikt go nie ostrzegł że jest inaczej. To trochę jak pójść do piekarni i ufać że nie kupuje się drożdżówi półapki z trucizną... tylko ufa się że jest inaczej
11:46 alternatywne rozwiązanie: Jeśli P=ab/2=12 i R=c/2=3 to ab=24 oraz (z tw. Pitagorasa) a²+b²=c²=36. Artemetyka nas óczy rze: (a-b)²≥0 więc a²+b²≥2ab, podstawiajac więc dane trójkąta mamy 36≥48, sprzeczność ⚡
@@krzysztof_kwieciennajprościej chyba rozpisać h jako √mn gdzie m i n to odcinki na które wysokość dzieli przeciwprostokątną. I wystarczy zauważyć że √mn≤(m+n)/2 czyli h≤6/2 czyli h≤3
@@nonameee0729 Nie wiem czy NAJprościej ale na pewno jest to jedno z prostszych rozwiązań. Ten wzór jest w karcie wzorów cke, można go też szybko wyprowadzić z podobieństwa trójkątów. Ważne, żeby w rozważaniach nad rozwiązaniami problemów (zadań) pojawiała się różnorodność i żeby każdy mógł wybrać swoją drogę do poprawnego wyniku. A jeszcze lepiej jak w grupie rozwiązujących pojawia się dyskusja nad tym, które rozwiązanie jest lepsze, które prostsze, które szybsze a które ładniejsze. :) PS. A uzasadnienie zauważonej nierówności? Zależności między średnimi czy jakoś inaczej? To nie każdy zauważa = niekoniecznie najprościej. :)
Rozwiązanie ucznia jest oczywiście na zero punktów, zakładamy, że trójkąt jest równoboczny żeby udowodnić, że jest równoboczy... ale biorąc pod uwagą poziom dowodów w szkołach (nie wszystkich, ale w większości), to nie dziwi mnie to, że zostało ocenione pozytwnie. A szkoda, bo jednak matematyka jest nauką o myśleniu i dowodzeniu twierdzeń, a nie bezmyślnym podstawianiem do wzorów.
18:24 uczeń założył że AB=BC (i na tej podstawie wyliczył x) - a to trzeba było udowodnić. Ponadto, przekreślone założenie że AC=BC (przez autora filmiku) jest ISTOTNE i nie można go pominąć tzn. bez tego założenia nie da się udowodnić że trójkąt opisany takimi równaniami jest zawsze równoboczny (np. dla x=21 mamy AC!=BC i trójkąt nie jest równoboczny).
@@krzysztof_kwiecien w zadaniu o zredukowanej treci (wykreślonej w 18:24) mamy do czynienia już nie z pojedynczym trójkątem a z "rodziną" trójkątów (sprametryzowaną z użyciem x). Nie ktażdy trójkąt z tej "rodziny" jest równoboczny. Dopiero wprowadzenie (wykreślonego) warunku AC=BC powoduje, że x=20 i w konsekwencji zredukowanie tej rodziny do jednego konkretnego trójkąta który jest akurat równoboczny.
Dowód typu wykaż, że dla dowolnych x, y takich, że x!=y nierówność x^2+y^2>2xy jest spełniona, dowodzenie rozpoczynamy od tezy. Zakładamy że jest prawdziwa i przy pomocy równoważnych przekształceń dochodzimy, przy wsparciu założenia, do prawdy. Problem w tym zadaniu z egzaminu ósmoklasisty był inny. Założył że trójkąt jest równoboczny, wyliczył x dla którego ten trójkąt jest równoboczny. I wykazał, że jeśli ten trójkąt jest równoboczny to istnieje x, że AC=BC=AB. Założenie o równości dwóch boków wyszło mu przy okazji. Wbił gwoździa uderzając deską w młotek :)
@@onlydressed4375 To mi trochę przypomina zadania maturalne z j.polskiego za komuny "Kto jest dla Ciebie największym autorytetem i uzasadnij dlaczego Stalin". Ten przykład który podałeś - wcale nie udowadniamy go wychodząc od tezy. My SZUKAMY dowodu "cofając się od tezy": x²+y²>2xy dalej x²-2xy+y²>0 dalej (x-y)²>0, ale formalnie dowód stanowi poniższy ciąg nierówności: (x-y)²>0 ⇒ x²-2xy+y²>0 ⇒ x²+y²>2xy zaczynamy od nierówności tyrwialnej a kończymy na tezie (rzeczy nietrywialnej). Nie mylmy procesu poszukiwania dowodu z samym dowodem
@@gbkEmilgbk Zgadza się, ale czy łańcuch równoważanych przekształceń i "cofanie się" od tezy w przytoczonym przeze mnie zadaniu, jest tak samo intuicyjne jak "cofanie się" przez tego ucznia, który założył, że ten trójkąt jest równoboczny?
Nie mam pojęcia jak YT proponuje mi takie filmy ale dla mnie to jest coś niesamowitego jak komuś z taką łatwością przychodzi matematyka. Ja to czytam,i mam wrażenie jakby to ktoś mi to po chińsku napisał. Całe życie nienawidziłem tego przedmiotu i zdawałem ledwo na dopuszczających. Fajnie się to ogląda
Każdemu z nas jedne rzeczy przychodzą łatwiej a inne trudniej. Mnie też wiele rzeczy przychodzi z niekłamaną trudnością ale dawno temu postanowiłem, że nie będę się nimi zajmował ani przejmował. Zostawiam je lepszym ode mnie. A matematyka obecna była u mnie w domu jeszcze zanim się urodziłem - czekała na mnie :) W przedszkolu dziwiłem się że "oni nic nie rozumieją" i podejrzewałem wszystkich o jakiś umówiony wspólny żart ale w pierwszej klasie podstawówki zacząłem już badać zjawisko i tłumacząc aksonometrię zadawałem podchwytliwe pytania z geometrii, żeby sprawdzić czy mnie ktoś nie wkręca. Powodzenia w szukaniu własnych i cudzych talentów!
Może rzeczywiście przesadziłem w tym zadaniu z trójkątem równobocznym. Nie jest ono aż takie złe a przede wszystkim nie jest "wewnętrznie sprzeczne" tak jak zadanie z trójkątem wpisanym w okrąg. Największy problem to oczywiście nie samo zadanie tylko to jak do niego podchodzą nauczyciele i uczniowie. Poza tym to jest zadanie "na dowodzenie" więc oprócz obliczeń powinien być pokazany dowód czyli: Założenie: długości boków AC i BC są równe. Teza: Trójkąt ABC jest równoboczny. Dowód: itd. i najważniejsze, żeby dowód był poprawny logicznie, na przykład, żeby nie wykorzystywać założeń, które nie pojawiają się w treści zadania, jak np. tego, że AB = BC. Logika jako dział matematyki i rozdział w podręcznikach i zbiorach zadań zniknęła z polskiego szkolnictwa chyba jakieś 20 lat temu, zostały tylko 3 (słownie trzy) operacje na zbiorach czyli suma, różnica i iloczyn. A co jak co ale logika na pewno się w życiu przydaje.
Proszę się nie linczować. Ma Pan w 100% rację. Matematyka, a zwłaszcza zadania na egzaminach, powinna być elegancka. Tutaj mamy bałagan i zadanie wykonane od końca. Uczeń zaczął od tezy i wyszło mu założenie.
Takich okropnych zadań jest więcej. Proszę rzucić na zadanie z matury. Poziom podstawowy maj rok 2024, zadanie numer 10, a dokładniej na odpowiedzi do tego zadania.
Zadanie z serii "dziwnych". Według mnie takie właśnie zadania tworzą w uczniach przekonanie, że matematyka do niczego się w życiu nie przydaje. Efekt takiego przekonania => "po co się w ogóle tego uczyć?". Usłyszałem ostatnio od tegorocznego 8-klasisty, dosyć słabego matematycznie, który rozwodził się nad tym, że wcale nie wie czy podejdzie do matury (!), że "i tak będzie zarabiał więcej niż nauczyciel". Coś konkretnego w tych odpowiedziach?
@@krzysztof_kwiecien Zadanie 10 to zadanie z treścią, do którego należy stworzyć układ równań. Zastanawia mnie dlaczego to zadanie zostało "wyniesione" do rangi "zadanie z układem równań" skoro w każdej odpowiedzi jedno z równań jest identyczne. Równie dobrze, można było zrobić zadanie typu "wskaż równanie opisujące zależność między tymi i tymi drzewkami" bez informowania ile tych drzewek było łącznie. Informacja że było ich 1900 z hakiem do niczego nie służy. Jeśli prześledzi się podobne zadania w innych arkuszach to widać, że do każdego z równań należy podejść oddzielnie i wybrać taką odpowiedź z ABCD aby i pierwsze i drugie równanie pasowało.
@@onlydressed4375 Takich "wyniesień do rangi" jest w ostatnich latach całe mnóstwo. Niestety. Oprócz coraz słabszej edukacji cke dodaje do kompletu udawanie, że czegoś się uczymy. Tak jest w wielu "szkolnych" działach matematyki. Np. funkcja kwadratowa na maturze to coraz częściej odczytywanie własności funkcji z "obrazków". Przy czym współrzędne punktów charakterystycznych paraboli zawsze są liczbami całkowitymi, itd. Większość uczniów myśli, że układ równań to dwa proste równania liniowe i "klamerka". Przy czym "klamerka" chyba jest najważniejsza. Przy trzech równie prostych równaniach już mówią, że "tego nie było". Polecam z układów równań zadanie 4 z OMG z roku 2005/6. Układ jest fantastycznie przepiękny i ma takie fajne rozwiązanie (przynajmniej to, które ja znalazłem), że się człowiekowi od razu humor poprawia. Ale ze szkołą nie ma nic wspólnego niestety bo równania są trzy, do tego kwadratowe i do tego w postaci uwikłanej. No i układ ma jedną cechę, której chyba cke nie lubi - uczy myśleć. A zadanie pojawiło się na 1szym (najprostszym, lokalnym, szkolnym) etapie olimpiady gimnazjalistów czyli jest rozwiązywalne przez uczniów 7mej i 8mej klasy. :) ZADANIE 4 w linku. omj.edu.pl/uploads/attachments/omg01_1.pdf
Jako programista muszę obronić swój dział bo został skrytykowany ;) w programowaniu ogromnym problemem jest właśnie czy napisany pogram działa poprawnie i na to jest wiele książek i metod jak poprawnie testować oprogramowanie. I bardzo często się rozbija o skrajne przypadki (np. jak się powinien zachować procedura która szuka największy element na pustej liście?) Najbardziej profesjonalny pisany kod najpierw posiada założenia, później testy (np. jednostkowe czyli testują jedną rzecz), a na samym końcu jest pisany kod. Jakby oprogramowanie było pisane tak, że najpierw sprawdza czy taki trójkąt jest realny, a później proponowało liczby to wtedy uniknęlibyśmy chorego zadania. Aczkolwiek zdaje mi się, że zostały zmienione tylko liczby, a nie wygenerowane zadanie, co pan zasugerował.
Największym problemem jest wg mnie bezmyślne oddawanie odpowiedzialności maszynie. Pamiętam jak 50 lat temu, po wprowadzeniu systemów hamowania ABS do seryjnej produkcji aut osobowych liczba wypadków wzrosła. Niemieckie badania ADAC wykazały, że kierowcy cisnęli pedał hamulca na maksa i czekali aż auto za nich wyjdzie z poślizgu. Wcześniejszy system - hamowanie pulsacyjne, uczony na kursach, zakładał, współpracę kierowcy w trakcie hamowania czyli hamuję pulsacyjnie, obserwuję co się dzieje, nadrabiam kierownicą itp. trochę jak zawodowy kierowca na rajdzie. Wierzę, że programiści robią co w ich mocy. Wierzę, że wydawnictwa robią co w ich mocy. Nie wierzę tylko w to, że , ministerstwo dba o naszą edukację. I z tym problemem się w wszyscy tak naprawdę mierzymy.
@@krzysztof_kwiecien Mówił Pan o generatorze. Nie mam niestety bezpośredniego dostępu, ale wydaje mi się, że te tzw. generatory generują testy z gotowych zadań przygotowanych przez ludzi. Jedyny element generowania jaki tam zachodzi to tworzenie różnych wariacji z pewnej puli przygotowanych zadań. Niebezpieczeństwo o którym Pan wspomniał, wydaje się dopiero nadchodzić. Zadania generowania przez sztuczną inteligencję. Sam miałem niedawno "przyjemność" poprosić chat gpt o wygenerowanie zadań, które uczeń zrobi przy użyciu tw. Bayesa. Jedno z zadań które stworzył było do zrobienia przy użyciu prawdopodobieństwa warunkowego, co też sam zrobił gdy go o to poprosiłem. Gdy zacząłem dopytywać dlaczego dał mi takie zadanie, gdy prosiłem o Bayesa, odpowiedział, "można je zrobić również Bayesem, ale w tym przypadku prościej użyć prawdopodobieństwa warunkowego". Prosić o jedno, dostać drugie :)
@@onlydressed4375 Dzięki! - Dobry przykład tego jak należy rozmawiać z maszyną, jak sprawdzać to co wypluje, czego się spodziewać a czego obawiać i ile czasu potrzeba, żeby zaoszczędzić trochę czasu.
To jest dobre pytanie ale chyba nie ma na nie dobrej odpowiedzi. Wybór nie jest wielki a jakość podręczników wszystkich wydawnictw jest podobna. Ważniejszy od podręcznika jest sposób uczenia (się). W internecie jest też dużo materiałów - filmów, kanałów i stron, warto wybrać dla siebie te, które są najbardziej zrozumiałe i przyjazne i równolegle do podręcznika papierowego korzystać z sieci.
Nie powinno się karać ucznia za posiadanie wiedzy. Istnieje wiele sposobów rozwiązywania zadań na dowód, które niekoniecznie muszą być takie same. W treści zadania jasno napisano, aby uzasadnić, dlaczego dany trójkąt jest równoboczny, więc jeśli uzasadnienie jest poprawne, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Myślenie "out-of-the-box" powinno być szerzone w matematyce, a nie potępiane na rzecz monotonnych schematów rozwiązywania zadań.
Oczywiście, że nie należy karać ucznia. W tym filmie oceniane i dyskutowane jest zadanie i system edukacyjny PL a nie uczeń. Według mnie należy przedyskutować zadanie z nadzieją, że czegoś się wszyscy przy tym nauczymy (nauczyciel również) natomiast korzystanie z nieistniejących założeń lub wyprowadzanie założenia na podstawie tezy to zdecydowanie nie jest "out of the box".
@@krzysztof_kwiecien Zgadzam się. Dla mnie uczeń tu nie zawinił. Jedynie nauczyciele / matematycy, którzy bronią tego sposobu :)) Równie dobrze, ten uczeń popełnił czeski błąd. Nie doczytał o równość których boków chodzi a my dopisujemy tam drugie dno.
generalnie to 1 zadanie nie ma nawet prawa bytu w zbiorach czy nawet w egzaminach, bo to jest ewidentnie sprzeczne. Spytałem się ChatuGPT i mamy kolejny dowód, który obala to zadanie: Wiemy, że są wzory na P i R: P = 1/2*ab R = c/2 podstawiając P i R otrzymujemy: 12 = 1/2*ab ab = 24 3 = c/2 c = 6 Dalej, z tw. pitagorasa otrzymujemy: a^2+b^2=c^2 ponieważ znamy c, to otrzymujemy: a^2+b^2=36 i teraz żeby to zadanie było prawdziwe, to oba warunki muszą być spełnione, więc tworzymy układ równań: { ab = 24 { a^2+b^2=36 wyznaczmy b i otrzymujemy: b = 24/a podstawiamy do drugiego równania: a^2+(24/a)^2=36 a^2+576/a^2=36 a^4+576=36a^2 a^4-36a^2+576=0 mamy równanie dwukwadratowe, więc jako zmienną pomocniczą przyjmijmy 'x', wtedy: x^2-36x+576=0 teraz jeżeli ten warunek musiałby być spełniony, to delta nie może być ujemna. także liczymy: Δ = b^2-4ac Δ = (-36)^2-4*1*576 = 1296-4*576 = 1296-2304 = -1008 A więc delta jest ujemna, także już cały układ jest sprzeczny, a mówiliśmy, że żeby to zadanie było prawdziwe, to oba warunki muszą być spełnione, ale jak się okazuje, to przynajmniej jeden warunek nie jest spełniony i to już dowodzi, że na trójkącie prostokątnym o polu 12 nie można opisać okręgu o promieniu 3. I to kończy dowód
Wszystko się zgadza, dowód bardzo na około, jak to bywa w przypadku botów, ale zadanie jest wzięte ze zbioru. Na filmie 4:35 widać z jakiego zbioru. Niby nie ma prawa bytu ale kto im zabroni drukowania takich bzdur?
@@onlydressed4375 No właśnie! A mogłoby być odwrotnie. Wystarczy w podstawówce mówić, że są też inne liczby więc lepiej, dla bezpieczeństwa, mówić o jakich liczbach się mówi. Jak tłumaczę 10latkom co to są liczby zespolone to zawsze rozumieją. Oczywiście w prosty, obrazowy sposób. Tak samo jest później z pierwiastkami wyższego niż 2 stopnia, z logarytmami, ... jak wprowadzimy równocześnie pojęcie potęgi, pierwiastka i logarytmu to potem jest łatwo a jak nie, to potem wszyscy się boją logarytmów a pierwiastek 3go stopnia jest "trudny", że nie wspomnę o wyższych.
@@krzysztof_kwiecien Ja dużą winę upatruję w systemie. Ze szkoły podstawowej wypuszczamy osoby, które nie potrafią podstaw. Nie egzekwujemy tego, tylko przepychamy ich dalej i dalej i dalej. Później trzeba uczniom w technikum czy w liceum tłumaczyć np. jak działać na liczbach ujemnych czy ułamkach zwykłych, np. 2 : 7 = nie wiem, nie da się, albo 0 - 4 = 0, bo jak od 0 coś odejmuję, to nadal nic nie mam. Mentalnie niektórzy nadal w 4 klasie podstawówki.
@@onlydressed4375 Oczywiście, że system jest totalnie zrąbany i już dawno nienaprawialny i tylko złomowanie i budowa od nowa. A idąc dalej w wypuszczaniu tych co nie znają podstaw to na 1szym roku studiów technicznych wykładowcy muszą przerobić jeszcze raz całe liceum lub technikum bo bez podstaw tych całek się nie da.
1. Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej, WSiP 1978, Białas, Lipczyński, Olczak 2. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT 1984, Leitner, Żakowski 3. Ćwiczenia z logiki, PWN 1980, Stanosz 4. Po rozum do głowy, MAW 1979, Nowak. 5. Zbiór zadań z olimpiad fizycznych, WSiP 1984, Gorzkowski, Kotlicki Albo na allegro sortując od najniższych cen albo w antykwariatach.
Sam sobie przeczysz. "Bylo by fanie, gdyby byly bledy w danych" - tak wlasnie jest w zad. 1 - bardzo fajne zadanie, jeszcze wypada spytac gdzie popelnilismy blad... A tego ucznia, ktory wyliczyl inaczej zad. 2, bym specjalnie wyroznil. Ja na swoim kanale mam przyklady naprawde glupich zadan. Najgorsze jest to, ze sa to zadania banalne, a nauczycielka nie potrafi tego wylapac.
@@shb0018 1. To tzw zadanie podchwytliwe - normalna rzecz. 2. Ja bym uznal, ze istnieje trojkat prost. o bokach 1 i 0. A drugiego twego komentarza nawet nie komentuje... :P
8:50 niepotrzebnie dorysowany odcinek imitujacy promien okregu opisanego. Wysokosc z kata prostego na przeciwprostokatna w trojkacie prostokatnym jest zarazem promieniem okregu opisanego. (Jest to czesc symetralnej przeciwprostokatnej)
Tak jest tylko w trójkącie prostokątnym równoramiennym czyli w przypadku szczególnym. Rysunki do zadań najlepiej rysować tak, żeby odzwierciedlały przypadki jak najogólniejsze, żeby niepotrzebnie nie upraszczać zadania. Takie uproszczenie może spowodować, że w trakcie rozwiązywania zmienimy treść zadania. W tym zadaniu tak by było gdyby pole trójkąta było równe 9 (wtedy h=3 i trójkąt jest prostokątny i równoramienny) ale wtedy i tak lepiej zacząć zadanie od narysowania trójkąta dowolnego czyli NIE równoramiennego, bo o tym, że h=3 dowiadujemy się PO rozwiązaniu zadania a nie, telepatycznie, w trakcie czytania treści. Jeżeli trójkąt prostokątny nie jest równoramienny to symetralna przeciwprostokątnej, wysokość z wierzchołka kąta prostego i promień okręgu opisanego to 3 RÓŻNE odcinki.
2 zadanie moim zdaniem nie jest zle zrobione, bo zadania mozna tez zaczynac od tezy, i jakos ja przeksztalcic zeby dojsc do czegos co jest prawdziwe na pewno i jednoczesnie pamietajac o tym zeby kazdy nasz krok i kolejene przeksztalcenia tezy byly ze sobą równoważne. W tym przypadku, trojkat jest rownoboczny=>wszystkie boki równej dlugosci=>wszystkie wyrazenia maja ta sama wartosc=>wybranie 2 i policzenie=> podstawienie do reszty, dostajemy ze AC=BC czyli nasze zalozenie, wiemy ze jest prawdziwe czyli nasze kroki doprowadzily nas do prawdy. Oczywiscie ze nie jest to "wzorcowka", ale da sie uzasadnic ten tok rozumowania. Bo sytuacja wyglada tak ze bez zalozenia ze AC=BC nie wiemy nic o wartosci x, i to ze znajdziemy x dla ktorego wszystkie boki będą równe to nic nam nie da bo nie jestesmy pewni czy taki ten x ma byc, ale jako ze mamy zalozenie ze 2 boki sa rowne, to juz nam potwierdza ze wartosc x ktora dostalismy jest dobra. Takze podsumowywujac, lepiej zrobic tym 1 sposobem, ale drugi tez jest poprawny.
Niestety dowodu nie można zaczynać od tezy. Teza (jej prawdziwość lub nie) powinna być wynikiem dowodu. Tak działa logika - ta matematyczna, nie ta potoczna z dnia codziennego. Oczywiście można oprzeć się na tezie, żeby znaleźć rozwiązanie danego problemu albo zadania ale jak już mamy rozwiązanie to potem należy poprawnie zapisać cały dowód zaczynając od założeń i wyprowadzając z nich tezę. Często jest tak, zwłaszcza na egzaminach, że najszybciej znajduje się rozwiązanie właśnie idąc od tezy do założenia ale to nie jest dowód i to nie jest rozwiązanie zadania. W tym filmie widać jak z takiego "odwrotnego rozwiązania" przejść do poprawnie zapisanego dowodu. th-cam.com/video/wF6oXhtfXu8/w-d-xo.html
@@krzysztof_kwiecien musze sie nie zgodzic. Dopoki dowod jest logiczny a kazdy krok spelnia "zasady matematyki" to moze byc on zrobiony w dowolny sposob. Przeksztalcanie tezy to cos co jest bardzo czesto stosowane w różnych zadaniach(szczegolnie olimpijskich)> Czesto wystepuje struktura Teza=>przeksztalcona wersja tezy=>dowod przeksztalconej wersji tezy. I to jest akceptowane, tak jak mowilem na olimpiadzie, a tam sa raczej ludzie kompetentni. Takie ścisłe ramy nie sa potrzebne dopoki caly wywód jest logiczny i zrozumiały. Pozatym zdażają się zadania w których założenie okazuje sie niepotrzebne, i wtedy nie da sie go zrobic inaczej niz przekształcając teze. Oczywiście są tez zadania w ktorych implikacja działa tylko w jedna stronę, i to że teza w jakims przypadku jest spelniona nie znaczy ze zalozenia tez ale czesto mozna tak zrobic jak np w zadaniu z filmu który Pan podlinkował. Uważam ze zupelnie wystarczyło by pokazanie ze po przeksztalceniu algebraicznym nierównosci dostajemy cos co jest zawsze prawdą(dzieki założeniom ze 2x>y i x,y są Rzeczywiste)
@@moklking1731 Oczywiście, że możemy "przekształcać tezę" ale ma to przekształcanie tezy pewne granice. Jeżeli dobrze rozumiem to przykładem "przekształcenia tezy"może być zaprzeczenie tezy prowadzące do sprzeczności czyli tzw dowód nie w prost. Natomiast założenie na początku dowodu, że teza jest prawdziwa zanim udowodnimy, że jest prawdziwa to chyba już nie jest "przekształcanie tezy".
Akurat to zadanie nie psuje się w trakcie odwrotnego rozumowania bo prawdą jest, że AC = BC wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest równoboczny. Jeżeli natomiast bok AB opisalibyśmy wyrażeniem stopnia drugiego to mogłyby wyjść dwa rozwiązania x1 i x2. Dla jednego trójkąt jest równoboczny, dla drugiego równoramienny i dowód od strony tezy, a dokładnie od strony równości AB = BC, do kosza. W zadaniu należało wykazać, że równość AC = BC jest wystarczająca, aby trójkąt był równoboczny i właśnie to "wystarczanie" nie zostało obronione przez ucznia.
@@moklking1731 kontr-przykład: Założenia: x=0, y=2. (hipo)Teza którą chcemy udowodnić: x=y-1. No to robimy ciąg logicznych kroków startując od tezy: x=y-1 => [mnożymy obydwie storny przez 0] x*0=(y-1)*0 => [dostajemy prawdę]] 0=0 A więc wystartowaliśmy od tezy (tj. założyliśmy że jest prawdziwa), i poprzez szereg logicznych kroków (spełniających zasady matematyki) doszliśmy do "prawdy" - zatem wykazaliśmy że x=y-1 czyli 0=2-1=1. ⚡ Swoją drogą, skoro ktoś na samym początku zakłada że teza jest prawdziwa - to jaki w ogóle byłby sens jej udowadniania? Dowód matematyczny polega na wyjściu od prawdy (rzeczy trywialnej/założeń) i poprzez szereg trywialnych operacji dojście do rzeczy nietrywialnej (tezy). [czyli dokładnie odwrotnie niż w powyższym kontr-przykładzie].
Z zadania wiemy, że trójkąt jest równoboczny. Skoro to twierdzenie jest prawdziwe, to i poprzednie (AC=BC) musi być prawdziwe. Oba rozwiązania są poprawne, jednak porównanie AB do BC oraz AC i korzystanie od razu z twierdzenia z treści jest wg mnie bardziej eleganckie. Pan natomiast sprawdza co wiemy z zadania i twierdzi, że tak powinno być, bo możemy zapisać równanie na podstawie podanej zależności, która wynika z samego (prawdziwego) twierdzenia na końcu (czyt. trójkąt jest równoboczny). Jeśli twierdzenie nie byłoby prawdziwe tzn. nie byłoby rozwiązania dla x, to łamałoby ono zasady implikacji i jednocześnie dla części rozwiązań było wewnętrznie sprzeczne. Inaczej, zadanie polega na skorzystaniu z twierdzenia na końcu czyt. AB=BC=AC i pokazania, że istnieje x. Żadna z par boków nie jest tu wyróżniona i nie można mówić, że trzeba zaczynać od ''góry''. Mamy tu zrobić dokładnie to, czego oczekiwał Pan w poprzednim zadaniu - sprawdzania wyników. Nie jest to ''suche'' zadanie i broń Boże nic poza schemat, a od razu jakaś klasa rozwiązań i umiejętność ''sprawdzania'' właśnie.
Po pierwsze: "Żadna z par boków nie jest tu wyróżniona" - jest wyróżniona. AC i BC. Po drugie: "nie można mówić, że trzeba zaczynać od ''góry''." - w dowodzie wykorzystuje się tzw. założenia, uczeń założył, że AB = BC. Do momentu jak nie udowodni, że to jest trójkąt równoboczny to nie powinien tego robić. Tak działa dowodzenia w matematyce. Chyba, że robił dowód nie wprost, ale to inna bajka, bo musiałby dojść do sprzeczności.
No właśnie. Mało tego, teza może nie być prawdziwa. I jak napisał (albo napisała) @onlydressed4375, nie wolno z tezy korzystać dopóki nie udowodnimy jej prawdziwości. A poza tym celem zadania jest udowodnienie prawdziwości tezy, obojętnie czy wiemy, że jest prawdziwa czy nie. A korzystanie z celu zadania w celu osiągnięcia celu ... W siadam do auta, w którym może nie być silnika, albo kół, i próbuję ruszyć, żeby dotrzeć do miejsca parkingowego, na którym stoję. Dobre porównanie? Niestety w szkole praktycznie nie pojawiają się zadania, w których teza nie jest prawdziwa. A szkoda. Może nauczylibyśmy się myśleć logicznie. A dowody nie w prost to chyba już w ogóle zostały przez ministerstwo edukacji zapomniane. Nie oni pierwsi - Sokratesa za podobne pomysły lokalna władza skazała na ... sami wiecie na co.
@@krzysztof_kwiecienno nie. Informacja ze 2 boki są równe była nadmiarowa. Równie dobrze można wyjść od tezy skoro trójkąt ABC jest równoboczny to wszystkie jego boki muszą być równej długości czyli AB=BC=AC. Wyliczam x na bazie dowolnej pary i sprawdzam przez podstawienie że zachodzi równość boków. Jeśli zachodzi to udowodniłem tezę. Problem z rozwiązaniem tego zadania przez ucznia (o ile widzieliśmy kompletne rozwiązanie) jest brak odpowiedniej narracji, której niestety nie uczy się obecnie w podstawówce, co też powoduje że zadania na dowodzenie są uznawane przez uczniów za trudne.
@@vitoswat Tak się robi przy przekształceniach równoważnych, czyli dowody "wtedy i tylko wtedy". Z równości boków AB i BC wcale nie musiałoby wynikać to, że trójkąt jest równoboczny. Wystarczy bok AB opisać wyrażeniem stopnia drugiego i równanie AB=BC daje nam x1 i x2. Dla jednego z nich trójkąt jest równoboczny, dla drugiego tylko równoramienny.
@@vitoswat Przez uczniów są uznawane za trudne ale ktoś tych uczniów musiał przekonać, że są trudne. Obawiam się, że przez nauczycieli też są uznawane za trudne. Przynajmniej tych w podstawówce. Albo jest tak, jak w wielu innych działach szkolnej matematyki, że podstawa programowa jest tak ilościowo przeładowana, że cierpi na tym jakość - nauczyciel musi "odchaczyć zrealizowanie dowodzenia" ale nie ma czasu więc 3 zadania i koniec.
![„Udowodnię Ci, że matematyka jest jak poezja” | Prof. Dawid Kielak [Wykład]](http://i.ytimg.com/vi/XI_-atbyiv4/mqdefault.jpg)
![„Udowodnię Ci, że matematyka jest jak poezja” | Prof. Dawid Kielak [Wykład]](/img/tr.png)
Wygląda pań jak Gandalf z władcy pierścieni
Drugie zadnie wymaga stwierdzenia z założeń tezy, więc rozwiązanie ucznia pokazane jest błędne. Natomiast w pierwszym powiedziane jest, że istnieje taki trójkąt, czyli wina jest po stronie autora.
Dokładnie tak.
chyba że uczniowie wiedzieli że zadania są podchwytliwe (tzn. mogą być wewnętrznie sprzeczne). Poobnie jak Ty, nie winił bym ucznia za to że ufał że założenia podane w zadaniach są prawdziwe/prawidłowe - bo nikt go nie ostrzegł że jest inaczej. To trochę jak pójść do piekarni i ufać że nie kupuje się drożdżówi półapki z trucizną... tylko ufa się że jest inaczej
@@gbkEmilgbk Uczeń ma prawo błądzić. Wydawnictwa raczej nie powinny.
11:46 alternatywne rozwiązanie: Jeśli P=ab/2=12 i R=c/2=3 to ab=24 oraz (z tw. Pitagorasa) a²+b²=c²=36. Artemetyka nas óczy rze: (a-b)²≥0 więc a²+b²≥2ab, podstawiajac więc dane trójkąta mamy 36≥48, sprzeczność ⚡
No i o to chodzi. Tę sprzeczność można prawdopodobnie pokazać na jeszcze więcej sposobów.
@@krzysztof_kwieciennajprościej chyba rozpisać h jako √mn gdzie m i n to odcinki na które wysokość dzieli przeciwprostokątną. I wystarczy zauważyć że √mn≤(m+n)/2 czyli h≤6/2 czyli h≤3
@@nonameee0729 Nie wiem czy NAJprościej ale na pewno jest to jedno z prostszych rozwiązań. Ten wzór jest w karcie wzorów cke, można go też szybko wyprowadzić z podobieństwa trójkątów. Ważne, żeby w rozważaniach nad rozwiązaniami problemów (zadań) pojawiała się różnorodność i żeby każdy mógł wybrać swoją drogę do poprawnego wyniku. A jeszcze lepiej jak w grupie rozwiązujących pojawia się dyskusja nad tym, które rozwiązanie jest lepsze, które prostsze, które szybsze a które ładniejsze. :) PS. A uzasadnienie zauważonej nierówności? Zależności między średnimi czy jakoś inaczej? To nie każdy zauważa = niekoniecznie najprościej. :)
Rozwiązanie ucznia jest oczywiście na zero punktów, zakładamy, że trójkąt jest równoboczny żeby udowodnić, że jest równoboczy... ale biorąc pod uwagą poziom dowodów w szkołach (nie wszystkich, ale w większości), to nie dziwi mnie to, że zostało ocenione pozytwnie. A szkoda, bo jednak matematyka jest nauką o myśleniu i dowodzeniu twierdzeń, a nie bezmyślnym podstawianiem do wzorów.
18:24 uczeń założył że AB=BC (i na tej podstawie wyliczył x) - a to trzeba było udowodnić. Ponadto, przekreślone założenie że AC=BC (przez autora filmiku) jest ISTOTNE i nie można go pominąć tzn. bez tego założenia nie da się udowodnić że trójkąt opisany takimi równaniami jest zawsze równoboczny (np. dla x=21 mamy AC!=BC i trójkąt nie jest równoboczny).
Jakim cudem x=21 ????
@@krzysztof_kwiecien w zadaniu o zredukowanej treci (wykreślonej w 18:24) mamy do czynienia już nie z pojedynczym trójkątem a z "rodziną" trójkątów (sprametryzowaną z użyciem x). Nie ktażdy trójkąt z tej "rodziny" jest równoboczny. Dopiero wprowadzenie (wykreślonego) warunku AC=BC powoduje, że x=20 i w konsekwencji zredukowanie tej rodziny do jednego konkretnego trójkąta który jest akurat równoboczny.
Dowód typu wykaż, że dla dowolnych x, y takich, że x!=y nierówność x^2+y^2>2xy jest spełniona, dowodzenie rozpoczynamy od tezy. Zakładamy że jest prawdziwa i przy pomocy równoważnych przekształceń dochodzimy, przy wsparciu założenia, do prawdy. Problem w tym zadaniu z egzaminu ósmoklasisty był inny. Założył że trójkąt jest równoboczny, wyliczył x dla którego ten trójkąt jest równoboczny. I wykazał, że jeśli ten trójkąt jest równoboczny to istnieje x, że AC=BC=AB. Założenie o równości dwóch boków wyszło mu przy okazji. Wbił gwoździa uderzając deską w młotek :)
@@onlydressed4375 To mi trochę przypomina zadania maturalne z j.polskiego za komuny "Kto jest dla Ciebie największym autorytetem i uzasadnij dlaczego Stalin". Ten przykład który podałeś - wcale nie udowadniamy go wychodząc od tezy. My SZUKAMY dowodu "cofając się od tezy": x²+y²>2xy dalej x²-2xy+y²>0 dalej (x-y)²>0, ale formalnie dowód stanowi poniższy ciąg nierówności:
(x-y)²>0 ⇒ x²-2xy+y²>0 ⇒ x²+y²>2xy
zaczynamy od nierówności tyrwialnej a kończymy na tezie (rzeczy nietrywialnej).
Nie mylmy procesu poszukiwania dowodu z samym dowodem
@@gbkEmilgbk Zgadza się, ale czy łańcuch równoważanych przekształceń i "cofanie się" od tezy w przytoczonym przeze mnie zadaniu, jest tak samo intuicyjne jak "cofanie się" przez tego ucznia, który założył, że ten trójkąt jest równoboczny?
Nie mam pojęcia jak YT proponuje mi takie filmy ale dla mnie to jest coś niesamowitego jak komuś z taką łatwością przychodzi matematyka.
Ja to czytam,i mam wrażenie jakby to ktoś mi to po chińsku napisał.
Całe życie nienawidziłem tego przedmiotu i zdawałem ledwo na dopuszczających.
Fajnie się to ogląda
Każdemu z nas jedne rzeczy przychodzą łatwiej a inne trudniej. Mnie też wiele rzeczy przychodzi z niekłamaną trudnością ale dawno temu postanowiłem, że nie będę się nimi zajmował ani przejmował. Zostawiam je lepszym ode mnie. A matematyka obecna była u mnie w domu jeszcze zanim się urodziłem - czekała na mnie :) W przedszkolu dziwiłem się że "oni nic nie rozumieją" i podejrzewałem wszystkich o jakiś umówiony wspólny żart ale w pierwszej klasie podstawówki zacząłem już badać zjawisko i tłumacząc aksonometrię zadawałem podchwytliwe pytania z geometrii, żeby sprawdzić czy mnie ktoś nie wkręca. Powodzenia w szukaniu własnych i cudzych talentów!
Super film. Czekam na więcej
Może rzeczywiście przesadziłem w tym zadaniu z trójkątem równobocznym. Nie jest ono aż takie złe a przede wszystkim nie jest "wewnętrznie sprzeczne" tak jak zadanie z trójkątem wpisanym w okrąg. Największy problem to oczywiście nie samo zadanie tylko to jak do niego podchodzą nauczyciele i uczniowie. Poza tym to jest zadanie "na dowodzenie" więc oprócz obliczeń powinien być pokazany dowód czyli: Założenie: długości boków AC i BC są równe. Teza: Trójkąt ABC jest równoboczny. Dowód: itd. i najważniejsze, żeby dowód był poprawny logicznie, na przykład, żeby nie wykorzystywać założeń, które nie pojawiają się w treści zadania, jak np. tego, że AB = BC. Logika jako dział matematyki i rozdział w podręcznikach i zbiorach zadań zniknęła z polskiego szkolnictwa chyba jakieś 20 lat temu, zostały tylko 3 (słownie trzy) operacje na zbiorach czyli suma, różnica i iloczyn. A co jak co ale logika na pewno się w życiu przydaje.
Proszę się nie linczować. Ma Pan w 100% rację. Matematyka, a zwłaszcza zadania na egzaminach, powinna być elegancka. Tutaj mamy bałagan i zadanie wykonane od końca. Uczeń zaczął od tezy i wyszło mu założenie.
Takich okropnych zadań jest więcej. Proszę rzucić na zadanie z matury. Poziom podstawowy maj rok 2024, zadanie numer 10, a dokładniej na odpowiedzi do tego zadania.
Zadanie z serii "dziwnych". Według mnie takie właśnie zadania tworzą w uczniach przekonanie, że matematyka do niczego się w życiu nie przydaje. Efekt takiego przekonania => "po co się w ogóle tego uczyć?". Usłyszałem ostatnio od tegorocznego 8-klasisty, dosyć słabego matematycznie, który rozwodził się nad tym, że wcale nie wie czy podejdzie do matury (!), że "i tak będzie zarabiał więcej niż nauczyciel". Coś konkretnego w tych odpowiedziach?
@@krzysztof_kwiecien Zadanie 10 to zadanie z treścią, do którego należy stworzyć układ równań. Zastanawia mnie dlaczego to zadanie zostało "wyniesione" do rangi "zadanie z układem równań" skoro w każdej odpowiedzi jedno z równań jest identyczne. Równie dobrze, można było zrobić zadanie typu "wskaż równanie opisujące zależność między tymi i tymi drzewkami" bez informowania ile tych drzewek było łącznie. Informacja że było ich 1900 z hakiem do niczego nie służy. Jeśli prześledzi się podobne zadania w innych arkuszach to widać, że do każdego z równań należy podejść oddzielnie i wybrać taką odpowiedź z ABCD aby i pierwsze i drugie równanie pasowało.
@@onlydressed4375 Takich "wyniesień do rangi" jest w ostatnich latach całe mnóstwo. Niestety. Oprócz coraz słabszej edukacji cke dodaje do kompletu udawanie, że czegoś się uczymy. Tak jest w wielu "szkolnych" działach matematyki. Np. funkcja kwadratowa na maturze to coraz częściej odczytywanie własności funkcji z "obrazków". Przy czym współrzędne punktów charakterystycznych paraboli zawsze są liczbami całkowitymi, itd. Większość uczniów myśli, że układ równań to dwa proste równania liniowe i "klamerka". Przy czym "klamerka" chyba jest najważniejsza. Przy trzech równie prostych równaniach już mówią, że "tego nie było". Polecam z układów równań zadanie 4 z OMG z roku 2005/6. Układ jest fantastycznie przepiękny i ma takie fajne rozwiązanie (przynajmniej to, które ja znalazłem), że się człowiekowi od razu humor poprawia. Ale ze szkołą nie ma nic wspólnego niestety bo równania są trzy, do tego kwadratowe i do tego w postaci uwikłanej. No i układ ma jedną cechę, której chyba cke nie lubi - uczy myśleć. A zadanie pojawiło się na 1szym (najprostszym, lokalnym, szkolnym) etapie olimpiady gimnazjalistów czyli jest rozwiązywalne przez uczniów 7mej i 8mej klasy. :) ZADANIE 4 w linku. omj.edu.pl/uploads/attachments/omg01_1.pdf
Jako programista muszę obronić swój dział bo został skrytykowany ;) w programowaniu ogromnym problemem jest właśnie czy napisany pogram działa poprawnie i na to jest wiele książek i metod jak poprawnie testować oprogramowanie. I bardzo często się rozbija o skrajne przypadki (np. jak się powinien zachować procedura która szuka największy element na pustej liście?)
Najbardziej profesjonalny pisany kod najpierw posiada założenia, później testy (np. jednostkowe czyli testują jedną rzecz), a na samym końcu jest pisany kod.
Jakby oprogramowanie było pisane tak, że najpierw sprawdza czy taki trójkąt jest realny, a później proponowało liczby to wtedy uniknęlibyśmy chorego zadania.
Aczkolwiek zdaje mi się, że zostały zmienione tylko liczby, a nie wygenerowane zadanie, co pan zasugerował.
Największym problemem jest wg mnie bezmyślne oddawanie odpowiedzialności maszynie. Pamiętam jak 50 lat temu, po wprowadzeniu systemów hamowania ABS do seryjnej produkcji aut osobowych liczba wypadków wzrosła. Niemieckie badania ADAC wykazały, że kierowcy cisnęli pedał hamulca na maksa i czekali aż auto za nich wyjdzie z poślizgu. Wcześniejszy system - hamowanie pulsacyjne, uczony na kursach, zakładał, współpracę kierowcy w trakcie hamowania czyli hamuję pulsacyjnie, obserwuję co się dzieje, nadrabiam kierownicą itp. trochę jak zawodowy kierowca na rajdzie. Wierzę, że programiści robią co w ich mocy. Wierzę, że wydawnictwa robią co w ich mocy. Nie wierzę tylko w to, że , ministerstwo dba o naszą edukację. I z tym problemem się w wszyscy tak naprawdę mierzymy.
@@krzysztof_kwiecien Mówił Pan o generatorze. Nie mam niestety bezpośredniego dostępu, ale wydaje mi się, że te tzw. generatory generują testy z gotowych zadań przygotowanych przez ludzi. Jedyny element generowania jaki tam zachodzi to tworzenie różnych wariacji z pewnej puli przygotowanych zadań. Niebezpieczeństwo o którym Pan wspomniał, wydaje się dopiero nadchodzić. Zadania generowania przez sztuczną inteligencję. Sam miałem niedawno "przyjemność" poprosić chat gpt o wygenerowanie zadań, które uczeń zrobi przy użyciu tw. Bayesa. Jedno z zadań które stworzył było do zrobienia przy użyciu prawdopodobieństwa warunkowego, co też sam zrobił gdy go o to poprosiłem. Gdy zacząłem dopytywać dlaczego dał mi takie zadanie, gdy prosiłem o Bayesa, odpowiedział, "można je zrobić również Bayesem, ale w tym przypadku prościej użyć prawdopodobieństwa warunkowego". Prosić o jedno, dostać drugie :)
@@onlydressed4375 Dzięki! - Dobry przykład tego jak należy rozmawiać z maszyną, jak sprawdzać to co wypluje, czego się spodziewać a czego obawiać i ile czasu potrzeba, żeby zaoszczędzić trochę czasu.
Jaki pan poleca podręcznik do nauki matematyki w klasie trzeciej technikum?
To jest dobre pytanie ale chyba nie ma na nie dobrej odpowiedzi. Wybór nie jest wielki a jakość podręczników wszystkich wydawnictw jest podobna. Ważniejszy od podręcznika jest sposób uczenia (się). W internecie jest też dużo materiałów - filmów, kanałów i stron, warto wybrać dla siebie te, które są najbardziej zrozumiałe i przyjazne i równolegle do podręcznika papierowego korzystać z sieci.
Dobrze czarodziej Gandalf prawi
Nie powinno się karać ucznia za posiadanie wiedzy. Istnieje wiele sposobów rozwiązywania zadań na dowód, które niekoniecznie muszą być takie same. W treści zadania jasno napisano, aby uzasadnić, dlaczego dany trójkąt jest równoboczny, więc jeśli uzasadnienie jest poprawne, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Myślenie "out-of-the-box" powinno być szerzone w matematyce, a nie potępiane na rzecz monotonnych schematów rozwiązywania zadań.
Oczywiście, że nie należy karać ucznia. W tym filmie oceniane i dyskutowane jest zadanie i system edukacyjny PL a nie uczeń. Według mnie należy przedyskutować zadanie z nadzieją, że czegoś się wszyscy przy tym nauczymy (nauczyciel również) natomiast korzystanie z nieistniejących założeń lub wyprowadzanie założenia na podstawie tezy to zdecydowanie nie jest "out of the box".
@@krzysztof_kwiecien Zgadzam się. Dla mnie uczeń tu nie zawinił. Jedynie nauczyciele / matematycy, którzy bronią tego sposobu :)) Równie dobrze, ten uczeń popełnił czeski błąd. Nie doczytał o równość których boków chodzi a my dopisujemy tam drugie dno.
generalnie to 1 zadanie nie ma nawet prawa bytu w zbiorach czy nawet w egzaminach, bo to jest ewidentnie sprzeczne. Spytałem się ChatuGPT i mamy kolejny dowód, który obala to zadanie:
Wiemy, że są wzory na P i R:
P = 1/2*ab
R = c/2
podstawiając P i R otrzymujemy:
12 = 1/2*ab
ab = 24
3 = c/2
c = 6
Dalej, z tw. pitagorasa otrzymujemy:
a^2+b^2=c^2
ponieważ znamy c, to otrzymujemy:
a^2+b^2=36
i teraz żeby to zadanie było prawdziwe, to oba warunki muszą być spełnione, więc tworzymy układ równań:
{ ab = 24
{ a^2+b^2=36
wyznaczmy b i otrzymujemy:
b = 24/a
podstawiamy do drugiego równania:
a^2+(24/a)^2=36
a^2+576/a^2=36
a^4+576=36a^2
a^4-36a^2+576=0
mamy równanie dwukwadratowe, więc jako zmienną pomocniczą przyjmijmy 'x', wtedy:
x^2-36x+576=0
teraz jeżeli ten warunek musiałby być spełniony, to delta nie może być ujemna. także liczymy:
Δ = b^2-4ac
Δ = (-36)^2-4*1*576 = 1296-4*576 = 1296-2304 = -1008
A więc delta jest ujemna, także już cały układ jest sprzeczny, a mówiliśmy, że żeby to zadanie było prawdziwe, to oba warunki muszą być spełnione, ale jak się okazuje, to przynajmniej jeden warunek nie jest spełniony i to już dowodzi, że na trójkącie prostokątnym o polu 12 nie można opisać okręgu o promieniu 3. I to kończy dowód
Wszystko się zgadza, dowód bardzo na około, jak to bywa w przypadku botów, ale zadanie jest wzięte ze zbioru. Na filmie 4:35 widać z jakiego zbioru. Niby nie ma prawa bytu ale kto im zabroni drukowania takich bzdur?
Świetny film podkreślający dzisiejsze problemy
Co do pierwszego zadania nigdzie nie jest podane że trójkąt się znajduje na przestrzeni euklidesowej ;)
I nie jest też powiedziane, że zmienna x nie jest zmienną zespoloną 🥰
Bo domyślnie wszystkie zadania są z przestrzeni szkoły podstawowej ;)
@@onlydressed4375 No właśnie! A mogłoby być odwrotnie. Wystarczy w podstawówce mówić, że są też inne liczby więc lepiej, dla bezpieczeństwa, mówić o jakich liczbach się mówi. Jak tłumaczę 10latkom co to są liczby zespolone to zawsze rozumieją. Oczywiście w prosty, obrazowy sposób. Tak samo jest później z pierwiastkami wyższego niż 2 stopnia, z logarytmami, ... jak wprowadzimy równocześnie pojęcie potęgi, pierwiastka i logarytmu to potem jest łatwo a jak nie, to potem wszyscy się boją logarytmów a pierwiastek 3go stopnia jest "trudny", że nie wspomnę o wyższych.
@@krzysztof_kwiecien Ja dużą winę upatruję w systemie. Ze szkoły podstawowej wypuszczamy osoby, które nie potrafią podstaw. Nie egzekwujemy tego, tylko przepychamy ich dalej i dalej i dalej. Później trzeba uczniom w technikum czy w liceum tłumaczyć np. jak działać na liczbach ujemnych czy ułamkach zwykłych, np. 2 : 7 = nie wiem, nie da się, albo 0 - 4 = 0, bo jak od 0 coś odejmuję, to nadal nic nie mam. Mentalnie niektórzy nadal w 4 klasie podstawówki.
@@onlydressed4375 Oczywiście, że system jest totalnie zrąbany i już dawno nienaprawialny i tylko złomowanie i budowa od nowa. A idąc dalej w wypuszczaniu tych co nie znają podstaw to na 1szym roku studiów technicznych wykładowcy muszą przerobić jeszcze raz całe liceum lub technikum bo bez podstaw tych całek się nie da.
dlatego ja kupiłam sobie zbiór zadań z 1970 roku :D
I to jest bardzo dobry pomysł. Mam takich zbiorów i podręczników kilka i zadania są o wiele ciekawsze i bardziej zachęcają do matematykowania.
@@krzysztof_kwiecien mógłby Pan parę wymienić?
1. Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej, WSiP 1978, Białas, Lipczyński, Olczak
2. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT 1984, Leitner, Żakowski
3. Ćwiczenia z logiki, PWN 1980, Stanosz
4. Po rozum do głowy, MAW 1979, Nowak.
5. Zbiór zadań z olimpiad fizycznych, WSiP 1984, Gorzkowski, Kotlicki
Albo na allegro sortując od najniższych cen albo w antykwariatach.
Dziękuje bardzo za odpowiedź
Sam sobie przeczysz. "Bylo by fanie, gdyby byly bledy w danych" - tak wlasnie jest w zad. 1 - bardzo fajne zadanie, jeszcze wypada spytac gdzie popelnilismy blad... A tego ucznia, ktory wyliczyl inaczej zad. 2, bym specjalnie wyroznil. Ja na swoim kanale mam przyklady naprawde glupich zadan. Najgorsze jest to, ze sa to zadania banalne, a nauczycielka nie potrafi tego wylapac.
możliwe, że też bym wyróżnił ale najpierw spytałbym "dlaczego tak?"
Tyle, że uczeń który wyliczył 2 zrobił źle, bo nie wyszedł z założeń zadania. To nie było zadanie oblicz długości boków.
Scislej - zad 1 nie jest chore, ale jesli uznali odpowiedz 3, to to jest chore.
Dokładnie o to chodzi.
Jest chore, bo piszą o trójkącie który nie istnieje to tak jakbym napisał o trójkącie prostokątnym o bokach 1,i ,0
@@shb0018 1. To tzw zadanie podchwytliwe - normalna rzecz. 2. Ja bym uznal, ze istnieje trojkat prost. o bokach 1 i 0.
A drugiego twego komentarza nawet nie komentuje... :P
@@ROSY-prg Nie, jeśli autor zadania pisze o trójkącie to znaczy, że ma być taki trójkąt, powinno być jasno napisane, że to może być trójkąt albo nie
@@shb0018 Jak chcesz hodować bioroboty...
Dobre
8:50 niepotrzebnie dorysowany odcinek imitujacy promien okregu opisanego. Wysokosc z kata prostego na przeciwprostokatna w trojkacie prostokatnym jest zarazem promieniem okregu opisanego. (Jest to czesc symetralnej przeciwprostokatnej)
Tak jest tylko w trójkącie prostokątnym równoramiennym czyli w przypadku szczególnym. Rysunki do zadań najlepiej rysować tak, żeby odzwierciedlały przypadki jak najogólniejsze, żeby niepotrzebnie nie upraszczać zadania. Takie uproszczenie może spowodować, że w trakcie rozwiązywania zmienimy treść zadania. W tym zadaniu tak by było gdyby pole trójkąta było równe 9 (wtedy h=3 i trójkąt jest prostokątny i równoramienny) ale wtedy i tak lepiej zacząć zadanie od narysowania trójkąta dowolnego czyli NIE równoramiennego, bo o tym, że h=3 dowiadujemy się PO rozwiązaniu zadania a nie, telepatycznie, w trakcie czytania treści. Jeżeli trójkąt prostokątny nie jest równoramienny to symetralna przeciwprostokątnej, wysokość z wierzchołka kąta prostego i promień okręgu opisanego to 3 RÓŻNE odcinki.
2 zadanie moim zdaniem nie jest zle zrobione, bo zadania mozna tez zaczynac od tezy, i jakos ja przeksztalcic zeby dojsc do czegos co jest prawdziwe na pewno i jednoczesnie pamietajac o tym zeby kazdy nasz krok i kolejene przeksztalcenia tezy byly ze sobą równoważne. W tym przypadku, trojkat jest rownoboczny=>wszystkie boki równej dlugosci=>wszystkie wyrazenia maja ta sama wartosc=>wybranie 2 i policzenie=> podstawienie do reszty, dostajemy ze AC=BC czyli nasze zalozenie, wiemy ze jest prawdziwe czyli nasze kroki doprowadzily nas do prawdy. Oczywiscie ze nie jest to "wzorcowka", ale da sie uzasadnic ten tok rozumowania. Bo sytuacja wyglada tak ze bez zalozenia ze AC=BC nie wiemy nic o wartosci x, i to ze znajdziemy x dla ktorego wszystkie boki będą równe to nic nam nie da bo nie jestesmy pewni czy taki ten x ma byc, ale jako ze mamy zalozenie ze 2 boki sa rowne, to juz nam potwierdza ze wartosc x ktora dostalismy jest dobra.
Takze podsumowywujac, lepiej zrobic tym 1 sposobem, ale drugi tez jest poprawny.
Niestety dowodu nie można zaczynać od tezy. Teza (jej prawdziwość lub nie) powinna być wynikiem dowodu. Tak działa logika - ta matematyczna, nie ta potoczna z dnia codziennego. Oczywiście można oprzeć się na tezie, żeby znaleźć rozwiązanie danego problemu albo zadania ale jak już mamy rozwiązanie to potem należy poprawnie zapisać cały dowód zaczynając od założeń i wyprowadzając z nich tezę. Często jest tak, zwłaszcza na egzaminach, że najszybciej znajduje się rozwiązanie właśnie idąc od tezy do założenia ale to nie jest dowód i to nie jest rozwiązanie zadania. W tym filmie widać jak z takiego "odwrotnego rozwiązania" przejść do poprawnie zapisanego dowodu. th-cam.com/video/wF6oXhtfXu8/w-d-xo.html
@@krzysztof_kwiecien musze sie nie zgodzic. Dopoki dowod jest logiczny a kazdy krok spelnia "zasady matematyki" to moze byc on zrobiony w dowolny sposob. Przeksztalcanie tezy to cos co jest bardzo czesto stosowane w różnych zadaniach(szczegolnie olimpijskich)> Czesto wystepuje struktura
Teza=>przeksztalcona wersja tezy=>dowod przeksztalconej wersji tezy. I to jest akceptowane, tak jak mowilem na olimpiadzie, a tam sa raczej ludzie kompetentni. Takie ścisłe ramy nie sa potrzebne dopoki caly wywód jest logiczny i zrozumiały. Pozatym zdażają się zadania w których założenie okazuje sie niepotrzebne, i wtedy nie da sie go zrobic inaczej niz przekształcając teze. Oczywiście są tez zadania w ktorych implikacja działa tylko w jedna stronę, i to że teza w jakims przypadku jest spelniona nie znaczy ze zalozenia tez ale czesto mozna tak zrobic jak np w zadaniu z filmu który Pan podlinkował. Uważam ze zupelnie wystarczyło by pokazanie ze po przeksztalceniu algebraicznym nierównosci dostajemy cos co jest zawsze prawdą(dzieki założeniom ze 2x>y i x,y są Rzeczywiste)
@@moklking1731 Oczywiście, że możemy "przekształcać tezę" ale ma to przekształcanie tezy pewne granice. Jeżeli dobrze rozumiem to przykładem "przekształcenia tezy"może być zaprzeczenie tezy prowadzące do sprzeczności czyli tzw dowód nie w prost. Natomiast założenie na początku dowodu, że teza jest prawdziwa zanim udowodnimy, że jest prawdziwa to chyba już nie jest "przekształcanie tezy".
Akurat to zadanie nie psuje się w trakcie odwrotnego rozumowania bo prawdą jest, że AC = BC wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest równoboczny. Jeżeli natomiast bok AB opisalibyśmy wyrażeniem stopnia drugiego to mogłyby wyjść dwa rozwiązania x1 i x2. Dla jednego trójkąt jest równoboczny, dla drugiego równoramienny i dowód od strony tezy, a dokładnie od strony równości AB = BC, do kosza. W zadaniu należało wykazać, że równość AC = BC jest wystarczająca, aby trójkąt był równoboczny i właśnie to "wystarczanie" nie zostało obronione przez ucznia.
@@moklking1731 kontr-przykład: Założenia: x=0, y=2. (hipo)Teza którą chcemy udowodnić: x=y-1. No to robimy ciąg logicznych kroków startując od tezy:
x=y-1
=> [mnożymy obydwie storny przez 0]
x*0=(y-1)*0
=> [dostajemy prawdę]]
0=0
A więc wystartowaliśmy od tezy (tj. założyliśmy że jest prawdziwa), i poprzez szereg logicznych kroków (spełniających zasady matematyki) doszliśmy do "prawdy" - zatem wykazaliśmy że x=y-1 czyli 0=2-1=1. ⚡
Swoją drogą, skoro ktoś na samym początku zakłada że teza jest prawdziwa - to jaki w ogóle byłby sens jej udowadniania?
Dowód matematyczny polega na wyjściu od prawdy (rzeczy trywialnej/założeń) i poprzez szereg trywialnych operacji dojście do rzeczy nietrywialnej (tezy). [czyli dokładnie odwrotnie niż w powyższym kontr-przykładzie].
Z zadania wiemy, że trójkąt jest równoboczny. Skoro to twierdzenie jest prawdziwe, to i poprzednie (AC=BC) musi być prawdziwe.
Oba rozwiązania są poprawne, jednak porównanie AB do BC oraz AC i korzystanie od razu z twierdzenia z treści jest wg mnie bardziej eleganckie.
Pan natomiast sprawdza co wiemy z zadania i twierdzi, że tak powinno być, bo możemy zapisać równanie na podstawie podanej zależności, która wynika z samego (prawdziwego) twierdzenia na końcu (czyt. trójkąt jest równoboczny).
Jeśli twierdzenie nie byłoby prawdziwe tzn. nie byłoby rozwiązania dla x, to łamałoby ono zasady implikacji i jednocześnie dla części rozwiązań było wewnętrznie sprzeczne.
Inaczej, zadanie polega na skorzystaniu z twierdzenia na końcu czyt. AB=BC=AC i pokazania, że istnieje x.
Żadna z par boków nie jest tu wyróżniona i nie można mówić, że trzeba zaczynać od ''góry''.
Mamy tu zrobić dokładnie to, czego oczekiwał Pan w poprzednim zadaniu - sprawdzania wyników.
Nie jest to ''suche'' zadanie i broń Boże nic poza schemat, a od razu jakaś klasa rozwiązań i umiejętność ''sprawdzania'' właśnie.
Po pierwsze: "Żadna z par boków nie jest tu wyróżniona" - jest wyróżniona. AC i BC. Po drugie: "nie można mówić, że trzeba zaczynać od ''góry''." - w dowodzie wykorzystuje się tzw. założenia, uczeń założył, że AB = BC. Do momentu jak nie udowodni, że to jest trójkąt równoboczny to nie powinien tego robić. Tak działa dowodzenia w matematyce. Chyba, że robił dowód nie wprost, ale to inna bajka, bo musiałby dojść do sprzeczności.
No właśnie. Mało tego, teza może nie być prawdziwa. I jak napisał (albo napisała) @onlydressed4375, nie wolno z tezy korzystać dopóki nie udowodnimy jej prawdziwości. A poza tym celem zadania jest udowodnienie prawdziwości tezy, obojętnie czy wiemy, że jest prawdziwa czy nie. A korzystanie z celu zadania w celu osiągnięcia celu ... W siadam do auta, w którym może nie być silnika, albo kół, i próbuję ruszyć, żeby dotrzeć do miejsca parkingowego, na którym stoję. Dobre porównanie? Niestety w szkole praktycznie nie pojawiają się zadania, w których teza nie jest prawdziwa. A szkoda. Może nauczylibyśmy się myśleć logicznie. A dowody nie w prost to chyba już w ogóle zostały przez ministerstwo edukacji zapomniane. Nie oni pierwsi - Sokratesa za podobne pomysły lokalna władza skazała na ... sami wiecie na co.
@@krzysztof_kwiecienno nie. Informacja ze 2 boki są równe była nadmiarowa. Równie dobrze można wyjść od tezy skoro trójkąt ABC jest równoboczny to wszystkie jego boki muszą być równej długości czyli AB=BC=AC. Wyliczam x na bazie dowolnej pary i sprawdzam przez podstawienie że zachodzi równość boków. Jeśli zachodzi to udowodniłem tezę.
Problem z rozwiązaniem tego zadania przez ucznia (o ile widzieliśmy kompletne rozwiązanie) jest brak odpowiedniej narracji, której niestety nie uczy się obecnie w podstawówce, co też powoduje że zadania na dowodzenie są uznawane przez uczniów za trudne.
@@vitoswat Tak się robi przy przekształceniach równoważnych, czyli dowody "wtedy i tylko wtedy". Z równości boków AB i BC wcale nie musiałoby wynikać to, że trójkąt jest równoboczny. Wystarczy bok AB opisać wyrażeniem stopnia drugiego i równanie AB=BC daje nam x1 i x2. Dla jednego z nich trójkąt jest równoboczny, dla drugiego tylko równoramienny.
@@vitoswat Przez uczniów są uznawane za trudne ale ktoś tych uczniów musiał przekonać, że są trudne. Obawiam się, że przez nauczycieli też są uznawane za trudne. Przynajmniej tych w podstawówce. Albo jest tak, jak w wielu innych działach szkolnej matematyki, że podstawa programowa jest tak ilościowo przeładowana, że cierpi na tym jakość - nauczyciel musi "odchaczyć zrealizowanie dowodzenia" ale nie ma czasu więc 3 zadania i koniec.