【大学物理】力学入門④(空気抵抗、単振動)【力学】
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- เผยแพร่เมื่อ 12 ต.ค. 2024
- 高校の頃は扱えなかった空気抵抗と単振動の時間変化を追おう！
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力学入門③(運動方程式)
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力学入門④(空気抵抗、単振動)
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力学入門⑤(極座標における運動)
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力学入門⑥(等速円運動、単振り子)
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力学入門⑦(運動量保存則)
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力学入門⑮(多粒子系の運動)
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力学のおすすめ参考書はこちら
「考える力学」
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→とても平易に書かれており、コラムも豊富
「よくわかる初等力学」
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【誤植訂正】
17:34 ω=√k/mの誤りです
気付いたぜ！！
幸田大翔 かねゆらな
ぽよよぉ
良かった
あるあるだわぁ
高校では暗記しろと言われて嫌々暗記していた式にこんな意味があったのかと感動しました！
連続講義を続けるためにも、何卒クラウドファンディングのご協力をよろしくお願いしますm(_ _)m…！(概要欄を参照)
最後、めっちゃ『嬉しい』って言ってたから積分定数C(しい)とかけてくるのかと思った。
そっかCを足すんじゃなくて掛けるのは、微分したらもとの関数に指数の部分が降りてくる関数を求めたいからか
我々第２次ベビーブーム世代は高校で微分方程式を習ったが、今の世代は習わない。にも関わらず、ここまで分かりやすく微分方程式の解法を教えられるのは、相当な努力だと言える。たくみさん凄いです！
微分方程式入門を受講してからだとさらに理解が深まるの楽しい
力学ではないですが、
コイルやコンデンサに流れる電流の過渡応答を、微分方程式で解いてグラフに描いた時は感動しました🥺
電気振動って単振動の式みたいに解くと振幅とか、振動の中心とか全部わかるからいいよね
ホントに物理で微積使うんだなぁ～
微積と言えばたくみさんが書籍を出版するそうだぞ
みんな要チェックだ！！
好き
買うよ！ 田舎なので遅くなるかも。でも買うよ。
微分方程式も学べるの最高！
ちゃんと勉強したいなぁ
５秒黙れの後カウント出てる!
やすさん進化しまくりじゃん!
大学で板書の写経しか出来なかった単振動が簡単に理解できて感動してる
理系の専門的な科目から、こういう感じの工学、理学系なら知ってるであろう講義もしていくことで、視聴者層広がっていくし、すごい
えへへ
俺の力学は｢勉強に抵抗｣｢テスト前に恐怖で振動｣
笑った
笑った
World Hello …スベったな
どこにでもいるな
くたばれ
3:33 ここでチョークを奪おうとする輩と画面外で格闘
草
高校生ですがこれ見ると理解が深まって楽しいです！
単振動の一般解である
x=C1sinωt+C2cosωt
のsinの項が初期条件の初速度に関する情報で、cosが初期位置に関する情報。
x(0)←初期位置のときはcosの項だけ残って、v(0)←初速度のときはsinの項だけ残るからね(微分されてcosになるから)
普通にわかりやすくて毎回感動しとる。
わしも講習だけ教壇立ったことありますが、こんなに上手にできなかったです。
頑張ってくださいまし。
たくみさんの新しい本、使用用と保存用、焼却用の３冊買わせていただきます！
一冊おいこら
残った灰を海に撒いて、ヨビノリの名を世界に知らしめるんですッ・・・！
空気抵抗の例題の自然対数のeのあたりでわかんなくなったらヨビノリの微分方程式入門①を見るとなんとかなります。
もう大学を卒業しますが未だにこの辺の力学はとても好きです。
いつかランジュバン方程式も見てみたいです。
ランジュバン！必ずやる！
減衰振動やってほしい！
浪人生になった今、動画見直してるんだけど理解出来るようになってる
運動方程式から、単振動や空気抵抗の議論は数式で挙動をシンプルな数式で表せるし、どんな分野にも幅広く拡張できるし、
本当に大好きな分野の一つでした。
楽しい講義ありがとうございます。
なお、空気抵抗による終端速度を物体周りの流れを層流、遷移領域、乱流と場合分けして算出できるんですよね。
0:45 （復習）運動方程式
5:40 例：空気抵抗のある運動
16:05 例：単振動
26:40 まとめ
(5秒黙ってから)
単振動の微分方程式を解いていると高校で覚えた「単振動の公式」がぼろぼろ導かれてくるのでふふってなります
微分方程式が出てくると小説「喜嶋先生の静かな世界」を思い出す
結構わかってたつもりの3周目でもめっちゃ得られるものがあって感動。これからも専門科目は謙虚に何度も何度も何度も学んでトップ1%に入る！楽しい！
やっぱ高校より数学の要素が強い笑
ほんと助かります！
春からの大学の授業が楽しみ！
だけど、たくみ先生より分かりにくかったら萎えてしまって、ヨビノリ中毒になるかもしれない。
高校で微積物理結構やってこなかったけど、今こうやって受験終わってじっくりやれるのも良きやな
今回も最高の復習になりました。どうもありがとうございました。続編も視聴させていただきます。
大学の物理の授業が始まり、早速つまずきかけていたので、とても助かりました！大学に入る前も入ってからもヨビノリさんにはお世話になっています。本当にありがとうございます。これからも動画楽しみにしています。
30年以上前に、確か｢必修物理｣という参考書で、高校物理を勉強したことを思い出しながら、懐かしく拝見しました。理系ではなかったけれど、物理は大好きでした。
空気抵抗の方は殆ど印象に残っていませんが、単振動の方は、等速円運動の斜影なんだと分かったことで全てが繋がったことをよく覚えています。
今後も頑張って下さい！
天下りな高校物理の説明に嫌気が差していたから数学的な意味を知ってとても感動した！！
微分方程式勉強してから高校物理やると暗記するのが本当に馬鹿馬鹿しくなるわ
たこ焼きを描くのがうますぎる
タクミさん絵がうまいの羨ましい
物理の図がきれいにかけずにごちゃることがしょっちゅう……
単振動の一般解ってエネルギー保存則からも導けますよね。
mdv/dt＝-kx
両辺にv＝dx/dtをかけると
mvdv/dt＝-kxdx/dt
d(mv²/2)/dt＝d(-kx²/2)/dt
d(mv²/2＋kx²/2)/dt＝0
i.e. mv²/2＋kx²/2＝E(定数)…①
よってこの時のxの範囲は
-√2E/k≦x≦√2E/k＝A
よって
①⇔(m/k)v²＋x²＝A²…②
ここでu＝√m/k(v)なる変数uを導入すると、
②⇔u²＋x²＝A²
これは明らかに円の方程式である故、
u＝Acosθ…③, x＝Asinθ…④とおける。
またθはtの関数故
v＝dx/dt＝Acosθdθ/dt
よって、u＝√m/kAcosθdθ/dt
これと③を比べることにより
√m/kdθ/dt＝1
dθ/dt＝√k/m
i.e θ＝√k/m(t)＋δ(δは積分定数)
これを④に代入することにより
x＝Asin(√k/m(t)＋δ)
ここでω＝√k/mとすると
x＝Asin(ωt＋δ)
＝Acosδsinωt＋Asinδcosωt
これは単振動の一般解である。
新物理入門に載ってたやつや！
@@vhpf1699この解法結構気に入っているんです。
いつも解りやすい授業有難うございます。ん10年前に物理学科を卒業しましたがすっかり頭が錆びついてしまいました。4月から大学の公開授業の工学系（微積、線形代数学を含む）を受講します。こちらでの学習を端緒に、老いてからの勉強再開頑張ります。物理がますます好きになりました。
より数学的に厳密な微分方程式の内容がきになる動画でした！
駿台ではこうやって教えられたなぁ
自身の二回微分に比例するものが出たら機械的にCsinwt＋Dcoswtとおいてた
文系の人にもわかるように教科書は書かなきゃいけないらしいけど数Ⅲ習った人にとっては
かなり便利だから教科書に大きく乗っけてもいいと思う。
難関大では運動を式で表す問題よく出るし。
ぬなかやな それ！
しんよー
スーパーでした
ハイレベルでやるか分からないですが、駿台は微積物理を用いる傾向があるらしいのでハイレベルでも扱うかもしれません。
担当の先生がわかるなら調べてみると微積物理を扱うか出ると思います
駿台がない田舎でも東進トップなら物理微積です！
大人になって再度物理学を学びたいと思ってるものです。たくみさんは伝えるのがすば抜けてうまいと思います！大学の物理全般をざっと講義してもらえるととても嬉しいです。応援してます^^
式変形が丁寧なので助かります。
また、別シリーズでカオス力学を教えて欲しいです。
あと、可能なら東大の複雑系の合原一幸さんにインタビューしてください。忙しい人だし無理かな。
毎講義ワクワクをありがとうございます😊
とても分かりやすく、何故か無性にワクワクしました。
これからお世話になると思います。動画制作頑張ってください！
ちゃんと適切なタイミングで広告入れるのすこ
すげえな
こんなの本当に人間が最初に思いついたのかな？？
なんか宇宙から与えられたとしか考えられない
高校時代ヨビノリの化学と今週の積分をやりまくり、おかげさまで今年の春に念願の医学部入学を果たしました。もうヨビノリのお世話になることもないんだろうなぁ、、と感傷に浸ったあの日から約半年．．．。
なんと後期から物理が始まりました。
自分は生物選択だったので早速打ちのめされています。まさかの再びお世話になることになるとは(笑) たくみさんただいま✌
ほぼ暗記だった高校の時よりも数学寄りで親しみやすい
運動方程式のFを見つけた先人に感謝！
Max感動です。今回も楽しく学ばせていただきました。
大学新入生で！見させてもらってます！♡
調和振動子が解けなかったら量子力学も場の理論もほとんど解けない。
ありがとう、単振動。
ありがとう、単振動
今週の積分同様、毎回楽しく拝見させていただいています。また、とてもわかり易い説明ありがとうございます。予習と復習が大切であると感じています。今後の予習のためにお聞きしたいことがあります。今後のアップされる予定の動画の内容を教えていただきませんか。勝手なことを言ってすみません。
Fが時間によって変わったら確かに難しそう
いつか非線形でも解けるタイプの微分方程式について扱ってほしいな
高校生で軽い気持ちで見てみたら、感動してしまったんだが
難しいけど面白い！物理にハマる人の気持ちが分かるかも…。
空気抵抗型の運動方程式に感動。
金属ナノ粒子の研究しています。そこで、久保効果によるエネルギー準位などの理論を解説してほしいです。
e^tの形が出てくることは導関数に同型がでてくることからは十分すぎないか？って俺と同じこと思った人達に問題
f(x)が微分可能な関数でf(x)=f'(x)となるとき以下を示せ
(1)(f(x)・e^(-x))'＝0
(2)f(x)が微分で不変ならf(x)はe^xの定数倍
畳み込み積分とフーリエ変換の関係、その条件について講義してください
めっちゃ分かりやすい
これからもお世話になります。
数IIIの微積分、独学で学びましたが自然界と繋がっているんだなあと思いました。
高校物理も早く学習してみたいですね
まだ1回目なのでサラッとみてますが、2回目ノート取りながら実際に手を動かしていこうと思います
空気抵抗ありで考えた場合、単振動をする物体の位置をグラフで表すと、減衰していく(振動の振幅が小さくなってだんだん自然長付近で単振動をするようになる)、ということですか、、?
考えるほど面白いし、数学的にも考えたくなります！微分方程式についての講義があるとスーパーうれしいなぁ✨
たぶん認識は正しいと思われます。
言葉を足すと、「単振動をしながら、振幅が縮まり(あるいは減衰し)、収束していく」となります。
今回の事象は、振動工学分野では「一自由度における粘性減衰のある自由振動」と言われています。
by知った振りの機械工 工大生
単振動に関しては数3を習った高校生も微積を使った解法を知った方がいいと思う！
名選手が名監督になる例は少ない
勉強ができるからと言って，優秀な講師になれるわけではない
タクミさんは東大大学院で名講師
稀有な存在だろう
今後も活躍の場が広がっていくと思う
ＮＨＫ高校講座とかオファーが来てませんか？
xの二階微分方程式で、出てくるxにe^λtを代入するやつでλを求めてx＝e^λtに代入したやつとxの一般解が違うのはなぜですか？？？
物理の単振動（外力を加えない自由振動）に関する質問です。
※x'はxの時間による1階微分を表しています。
※x0の０は右下につく添え字を表しています。
mx''+ω^2x = 0という振動に関する運動方程式があります。
ω=sqrt(k/m)とおいて、
解が x= C1 cosωt + C2 cosωt (c1,c2は任意定数)_1
C1およびC2は t=0 の初期条件によって決まる定数です。
t=0のときにx=x0, x'=v0であると、上の式_1は次のようにまとめることができる。
x = a cos(ωt - β)
ここで、
a=sqrt{x0^2 + (v0/ω)^2 }、tanβ=v0/ωx0
a:振幅
β：位相角
ω：固有円振動数（固有角振動数_rad/sの単位）
をそれぞれあらわす。
わたしの質問の内容は、
a=sqrt{x0^2 + (v0/ω)^2 }
この式がどっから出てきたのか？なんの意味なのか？ということです。
なぜ急にこの形で振幅aが表せるのか？
v0が出てきたのはなんでなのか？
何かグラフを描けばわかるのか？
なるべくわかりやすく解説していただけると嬉しいです。
ちなみに、
tanβ=v0/ωx0
この式については、C1=x0^2、C2=(v0/ω)^2 として、
sinβ/cosβ を計算して、出てきたものであると解釈しております。
こちらの式についても解釈が間違っていたら教えてください。
お手数をおかけしますが宜しくお願い致します。
シュレディンガー方程式の勉強を始めて、基礎がわかってないことがどんどん気づくよう😂
マジでもっと動画あげてくれ
単振動(広く言うと調和振動子)はラグランジアンで解いたほうが楽と聞きます。その授業もお願いします。
5秒黙れのカウントのあとに広告まであと5秒が出てくるのタイミング良すぎる笑
本当に助かってます！
ラプラス変換して微分方程式を代数計算に変換して解くこともできるしいろいろな方法あるね
指数関数とか三角関数が例として思いつくのまでは理解できたのですが、それって一意性あるんですか？成り立つ他の関数も存在する事は難しい数学で証明できるのでしょうか？？変な質問すいません。
難しい数学で証明できますよ(^_^)v
文脈を読み違えました。
m(_ _)m
一意性が証明できると言うことです。
今回のは、「２階線型微分方程式」と言われているものです。その一般解 X(t) は、
微分方程式の特解 ( 代入したら微分方程式をみたすもの ) Y(t), Z(t) ( Y(t), Z(t) は線型独立)の線型和 X(t) = C Y(t) + D Z(t) でかける ( C, D : 定数 ) 、ことがわかっています。
単振動の場合、Y(t) = sin(wt), Z(t)=cos((wt) になります。どんな解もこれの線型和でかけます。つまり、これだけ考えて、初期条件をみたすように C, D を決めれば終わりです。
これは、大学の物理学科で２年までに学びます。証明は割と簡単です。筋道立てて勉強すれば高校生でも理解できると思います。
「２階線型微分方程式」は物理の多くの分野で現れます。例えばシュレディンガー方程式。
微分方程式の動画と合わせてみると最高
ありがとうございます！
来週テストなのに何もやってなくて困ってました笑
見ました。数学が好きな私はとても面白いです。
はやく続きがみてえええ
これらの微分方程式を数学的に解くとどうなるのか気になる木～
ラプラス変換で解いちゃった！
分かりやすくていつも本当に助かってます！！
17:40で
ω=√(k/m)が正しいです…？？
誤植です！
まじで教授と変わってくれ
質問です
もし地球から太陽まで届く棒があったとしてその一端を押すと一瞬で太陽に到着するのでしょうか
光より棒のほうが早く到達するのでしょうか？
もう一つの疑問は糸を垂らすといずれか重さに耐えかねて切れると思いますがそれは何メートル糸を垂らすと
切れますか？
宜しければ回答お願いします
6:16左向きに-kvのベクトルを書いたら、右向きにkvの力が加わっているように見えるのですが、なぜベクトルは左向きになっているのでしょうか？(これでテストの問題一題落としました……)
TH-camで横になりながら授業見れるとか学校行かなくていいじゃん。分からないとこ何回も再生し直せるし、授業よりいい説
テスト勉強で助かってます
いつもお世話になっております。
二階微分方程式の数学的な解法の動画も出してほしいです！（懇願）
高二の時に読んだ数学の本で，いわゆる三体問題とか（3つの物体から力を受ける場合の物体の運動方程式がほぼ解けないという問題）は，いまでもその「解けない」という背後に壮大な理由があるような気がしてしょうがないです。実際人類が知らない未知の関数があるのか，それとも複雑系に代表されるような（方程式ははなから解けるはずという思いこみの）根源的な勘違いがあるのか。
ちょっとワクワク感を思い出しましたｗ ありがとう，ヨビノリ。
ポワンカレいつか読みたいと思っているけどトライする勇気が無い😓
空気抵抗のある落下運動では速度v(t)が、この講義における位置x(t)の式と同じになるのはなぜですか？
それと、最初の運動方程式の右辺はv-kvとはならないのでしょうか？
空気抵抗のある自由落下だと8:39のところでgが出てきちゃうと思うのですが同じように解けますか？
微分方程式の意味もわかってすごく助かった、サンク
ラグランジアンとハミルトニアンの場合もやってほしい❗️
先生！ ベルヌーイの定理教えてもらえたらうれしいです！
ハートマークつけてもらえてありがとうございます^^
僕は昔整備士をしていたもので、機械に興味があります。それでかつてバネの振動で考えたことがあります。コイルバネの先端を叩くと、バネにそってきれいな疎密波が流れていきます。で、これは縦波らしいのです。え？なんで？ と僕は思うのですよ。たとえば、鉄棒の先端を叩いて、その振動が伝わる様子は縦波です。しかし、コイルバネの先端を叩いてミクロに様子を見れば、バネ線はよじれながらその力を伝えていく。よじれるから隣の線との間隔が変化し、その隙間が粗密となり目に見えるのだ。しかし、実際には隣り合った線同士には磁石のような反発作用はないので粗密そのものが力を伝達しているのではない。力の伝達の本質はよじれの伝達なのだ。だったら、コイルバネって縦波じゃなくて横波じゃないのー、みたいな疑問があったりします。
2回微分方程式が解析的に解くことができない場合が多いとのことですが、そのような方程式は、計算量が莫大なため解けない、ということでしょうか。それとも、数学的に解くことが出来ないと証明されているのでしょうか。
いまからみます！
場の量子論もお願いします。
単振動型微分方程式詳しく知りたかったんですよねー！
ありがとうございます！
次高3.苑田してますw
知覚を積分すると言葉になり、言葉を積分すると記憶になる。のか？ 逆もあり？
まじ助かりました
ソフト&ウェットの攻撃を受けたとき（摩擦を奪われkを小さくされた）のイメージがつきました