Vettori linearmente indipendenti : come verificare l'indipendenza in modo pratico e veloce
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- เผยแพร่เมื่อ 18 พ.ย. 2021
- Vettori linearmente indipendente : verificare velocemente se due o più vettori sono linearmente indipendenti o meno senza far uso della definizione formale .
In una precedente lezione di questa playlist (link sotto in descrizione ) è sto presentato il concetto di vettori linearmente dipendenti (e linearmente dipendenti ) e per verificare se i vettori sono tali , è stata applicata direttamente la definizione .
Purtroppo la verifica tramite la definizione può risultare molto laboriosa in termini di calcoli e possono spuntare sistemi lineari non tanto agevoli da risolvere .
Per aggirare tale limitazione , grazie al concetto di rango di una matrice è possibile verificare in pochi minuti (o addirittura immediatamente ) se i vettori sono fra loro linearmente indipendenti o meno e solitamente è consigliato fare ciò in occasione degli svolgimenti dei temi d'esame .
La presente lezione non deve sostituire quella precedente , ma deve essere considerata complementare (come dire una continuazione ) e non ha alcun senso imparare procedure a memoria senza capire effettivamente perchè dei vettori sono linearmente indipendenti o meno .
Vi lascio alla visione della videolezione .
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- Base di uno spazio vettoriale - Come verificare una base :
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#salvoromeo #algebralineare #vettorilinearmenteindipendenti
Non mi stanchero' mai di dirle come è chiaro nelle spiegazioni . Complimenti ancora.
La ringrazio 🙂
Grazie, sei un grande.
Lei è un grande
Spiegazione chiarissima come sempre ma avrei una domanda. Nel caso in cui considero i vettori dell esercizio appartenenti ad uno spazio vettoriale del quale voglio trovare una base e so appunto che la dimensione del mio spazio vettoriale è 3, come base posso considerare solo i 3 vettori che lei indica (diciamo i vettori "originali") o posso anche considerare le righe non nulle della matrice ridotta come vettori della mia base?
Grazie e buona giornata
Se in una matrice devo vedere la dipendenza lineare tra righe, devo considerare i termini noti oppure no?
Salve professore,
Innanzitutto volevo ringraziarla per questo corso di algebra lineare che mi sta aiutando molto per la preparazione dell'esame.
In secondo luogo, volevo porle un quesito, quando sono andato ridurre la matrice rettangolare incompleta per trovare i valori speciali per determinare il rango ho deciso di avere come valore speciale della prima riga la seconda colonna (2,0,2) e come secondo valore speciale la terza colonna. Alla fine dopo aver trovato i due valori speciali e dovendo andare a discutere il rango 3 al variare di a avevo come terza riga una riga proporzionale alla sua (moltiplicata per -1) e come seconda riga (1,0,1,2,0). La discussione del parametro a è stata appunto la stessa in quanto la terza riga era proporzionale alla sua. Quando sono andato a sostituire il valore 1 alla matrice ridotta per velocizzare i conti mettendo i suoi stessi valori vengono risultati diversi dai suoi (ho scelto come variabili libere z e t in quanto comparivano in entrambe le equazioni). E' corretto cosi, ovvero essendoci infinite soluzioni i valori cambiano in base alle riduzioni che vengono effettuate, oppure devono anch'esse essere proporzionali?
La ringrazio buona giornata
Buonasera Rick , può farmi vedere il minuto esatto a cui si riferisce ? Ho cercato nel video ma non vedo alcun valore del parametro "a " a cui si riferisce .
In ogni caso la riduzione per righe la può fare in tanti modi e la scelta degli elementi speciali può variare , ma il rango della matrice è sempre lo stesso indipendentemente dalla scelta dell'elemento speciale .
👏🏻
ma funziona anche con il teorema degli orlati?
Salve Professore!
Innanzitutto la ringrazio per le sue spiegazioni!
Avrei una domanda. Per il calcolo del rango di una matrice è possibile utilizzare l'algoritmo di Gauss ed una volta ridotta la matrice associata identificare il rango come il numero dei pivot di tale matrice?
Buon pomeriggio Gabriele .Certamente che lo può fare .Anzi in quel caso viene fuori una matrice a "gradini" e identifica i pivot che sono gli elementi speciali e di conseguenza trova facilmente il rango della matrice .
salve prof, alla fine ha utilizzato il lemma di scarto giusto? almeno il mio prof lo chiama così, ma non riesco propio a trovarlo su internet. Approfitto di questo commento per ringraziarla veramente tanto è davvero fantastico ascoltare le sue lezioni.
Buon giorno Emiliano , esattamente , si tratta appunto di "scartare" gli eventuali vettori che sono o combinazione lineari di altri ; quelli proporzionali ad un determinat0 vettore e ovviamente ad un eventuale vettore nullo che non fornisca alcun contributo alla dimensione di uno spazio (sottospazio ) vettoriale ..
Reciprocamente ringrazio Lei per il gradimento dimostrato verso le mie lezioni .
Buona giornata .
😍😍😍😍
Il ringraziamento è reciproco da parte mia .Grazie per aver apprezzato il contenuto didattico della videolezione .
Salve Professore
Volevo innanzitutto ringraziarla per i suoi video che sto seguendo in vista dell'esame di algebra lineare. Avevo un quesito riguardo al video. Al minuto 14:25 non capisco come sia possibile che 1 o -1 possano essere elementi speciali? Ho notato che questa domanda gli è stata già proposta da altri utenti, ma chiedo gentilmente ulteriori spiegazioni riguardo al mio quesito, non riuscendo a trovare una soluzione.
Grazie tante delle sue spiegazioni sempre chiare e lineari, continui così!
Buongiorno Matteo rispondo volentieri.
In una riga un elemento è detto "speciale ," quando è non nullo e sotto di esso vi sono tutti "zeri" .
Se ci fa caso nella prima riga sotto il numero 1 vi sono tutti zeri , così come nella seconda sotto il numero -1 vi sono tutti zeri quindi sono elementi speciali .
Prenda ad esempio la matrice identità di ordine tre (può farlo con qualsiasi ordine) .
Se ci fa caso ogni elemento nullo in ogni riga (in questo caso 1 ) rappresenta un elemento speciale poiché sotto ci sono tutti zeri .In questo caso gli elementi speciali sono disposti a scala .
Spero di aver chiarito il dubbio .In caso contrario non esiti a scrivere un commento .
Dimenticavo a dirle che un elemento non nullo posto nell'ultima riga di una qualsiasi matrice è da considerarsi speciale poiché sotto è "come se " ci fossero degli zeri.
scusi prof ma in caso trovassimo una dipendenza lineare tra le righe della matrice, quale andremo ad eliminare?
in questo caso avevo notato che il vettore 3=vettore1+vettore4
Buongiorno Calogero , in questo caso si eliminano i vettori dipendenti e lasciare quelli (minimi) che siano indipendenti tra loro .
In ogni caso se la domanda ad un quesito è "stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti o meno " bisogna solo rispondere SI o NO motivando solo la risposta ,ed evitare di andare ad eliminare gli eventuali vettori indipendenti .
Comunque ha visto bene : il terzo vettore è una combinazione lineare del primo e del secondo .
professore ho un dubbio. Quando effettua G-J e trova gli elementi speciali, questi corrispondono ai pivot della matrice o sono una cosa a parte?
Salve Carl .Ha lo stesso significato ai fini del rango .Magari il Pivot è conosciuto come il primo elemento disponibile diverso da zero sotto il quale ci sono zeri, che incontri in una matrice a scala .Qui con elemento speciale intendo un qualsiasi elemento diverso da zero sotto il quale ci sono zeri , indipendentemente che si parli di matrice a scala o meno .
Se ti può essere utile ho realizzato la lezione sul rango della matrice in cui ne parlo abbondantemente .Tutte le lezioni di questa playlist sono collegate .
Per qualsiasi dubbio non esitate a fare una domanda tramite comento .Rispondo con piacere quanto prima .
@@salvoromeo grazie mille professore
Buongiorno professore, grazie come sempre per le sue lezioni che sono molto chiare e anche coinvolgenti (aspetto più complesso da trovare in un professore a mio parere). Volevo chiederle, se mi venisse chiesto considerando il suo esempio di trovare il vettore linearmente dipendente cosa devo fare?Non credo di averlo capito bene
Buonasera Eros mi scusi per il ritardo ma non sempre visualizzo tutti i messaggi .
Con i 4 vettori ho costruito la matrice e ho concluso che il rango è 3 .Fino a qui tutto ok ?
A questo punto solo tre vettori sono indipendenti .Quali scegliere ? O se preferisci ...quale scartare dei quattro vettori ?
Scegli tre vettori a caso e li metti in matrice .Se il rango della matrice è tre vuol dire che hai fatto la scelta giusta pertanto scarterai il quarto vettore non scelto .Se per caso il rango non è tre vuol dire che hai fatto la scelta sbagliata .A questo punto sostituisci uno dei vettori con quello che non avevi considerato e ricalcola il rango come il punto precedente nella speranza che sia tre .
Molte cose si acquisiscono con la pratica e spesso si capisce a priori di non scegliere due vettori proporzionali o vettori che sono combinazioni di altri due .Ad esempio mai sceglierei i vettori (1,1,1,1) e (2,2,2,2) poiché proporzionali e già uno dei due lo eliminerei senza pensarci due volte .
@@salvoromeo Perfetto ho capito, quindi che come prova bisogna andare "a tentativi" finché non si trova la combinazione giusta che da il massimo rango (in questo caso 3). Si, da quando sono ad ingegneria ho potuto notare quanto la pratica sia di vitale importanza (forse più della teoria stessa in certi versi),spero mi basti il tempo per avere tutto più chiaro, in ogni caso grazie mille come sempre
Buongiorno professore, se nella risoluzione della matrice non andiamo a effettuare scambi di righe, quando otterremo la riga nulla o proporzionale ad un'altra, per capire quale vettore è dipendente non è sufficiente ricordare il vettore corrispondente alla riga? (esempio: la 4ª riga è risultata 0,0,0,0, e avevamo messo come quarta riga il vettore v4 allora questo è il vettore proporzionale.
Grazie in anticipo per la risposta e per la grande quantità di risorse che ha pubblicato.
Buongiorno Simone quando otteniamo due vettori proporzionali (quindi dipendenti ) uno dei due si scarta immediatamente .Ad esempio (1,1,1) (2,5,0) (2,2,2) , va scartato immediatamente (2,2,2) i in alternativa (1,1,1) .
Prof minuti 11:25 v1 è combinazione lineare di v3 - v4, giusto?
Buonasera Luca si esattamente .
Buongiorno professore la ringrazio innanzitutto per l'aiuto che mi sta dando con l'esame di algebra lineare, le chiedo però, se nel compito il prof mi chiede "determina quale vettore è lin. ind. dall' insieme S" come posso fare?
io so che per determinare l'indipendenza di un insieme di vettori utilizzo l'aiuto delle matrici ma se tutti i vettori appartenenti all'insieme S sono lin. ind, me ne basta indicare uno qualunque per rispondere correttamente alla domanda? la ringrazio ancora buona giornara
Buon Pomeriggio.Prima di tutto analizza se i vettori sono l.i o meno come ho fatto in un altro video della presente playlist .Se sono linearmente dipendente con il metodo del video in questione (che probabilmente avrei visto ) riesci ad identificare il numero di vettori linearmente indipendenti e quindi di conseguenza quelli linearmente indipendenti che sono quelli da scartare .Se ad esempio hai 4 vettori e scopri che quelli indipendenti sono solo 2 , vuol dire che i rimanenti 2 sono da scartare .Per scattare i due vettori inizia a prendere due vettori non proporzionali tra loro .
Salve professore, io ho provato a fare la riduzione da sola e mi é risultato il rango uguale a 4,mi può dire cosa sbaglio? Le operazioni che ho fatto sono : R3=R3-R1 E R4=R3+R4
Grazie mille per le sue lezioni, sempre chiarissime!
Buonasera , va benissimo la prima riduzione , ma per la seconda deve attuare R4=R3-R4 (va bene anche R4=R4-R3)
@@salvoromeo grazie mille professore, mi può dire il motivo? Così da non sbagliare in futuro
salve professore, avrei una domanda. Nel caso in cui si trattasse di una matrice rettangolare (per esempio una 3x4), il rango non potrà mai essere 4 e quindi i vettori non potranno mai essere linearmente indipendenti?
Buonasera , purtroppo non sono quale parte del video si riferisce il commento .In ogni caso se la matrice è 3x4 il rango può avere valore minore o uguale a 3 ,quindi sicuramente almeno una colonna è eliminabile....o perché nulla , o perché proporzionale a una colonna parallela o perché combinazione lineare di altre colonne .
Salve prof. una domanda, perche' al minuto 14.25 indichiamo uno 1 o -1 come caratteri speciali?
Buongiorno Le rispondo subito .Sono elementi speciali poiché sotto (essendo ultima riga ) è come se ci fossero tutti zeri .Quindi basta che nell'ultima riga (dopo aver visionato le precedenti ) ci sia un elemento non nullo per poterlo considerare speciale .
@@salvoromeo Grazie mille, per la risposta e per il canale!
Io ho provato a mettere i vettori per colonne ed utilizzare la riduzione sulle righe e mi è uscito rango 4, vuol dire che per lavorare sulle righe devo per forza mettere i vettori per riga?
Se le mette in colonna deve ridurre per colonne .Ridurre per righe non è conveniente e si perdono i vettori stessi
io ho applicato la riduzione di gauss e ho ottenuto rango massimo ,le volevo chiedere se avessi sbagliato qualcosa
Buonasera se i vettori (a quattro componenti) sono 4 e ha ottenuto rango 4 vuol dire che i vettori sono linearmente indipendenti .Se invece ha ottenuto rango 2 vuole dire che due dei quattro vettori sono da escludere poiché dipendenti dagli altri due .
Dipende dal contesto dell'esercizio e non è detto che abbia sbagliato .
@@salvoromeo la ringrazio molto
Ho provato a vedere se questi 4 vettori sono linearmente indipendenti:
v1 (8;12;-1;-9)
v2 (2;-7;3;5)
v3 (-4;0;1;0)
v4 (10;0;0;6)
Prima ho indagato la sottomatrice riga 1 (8;12) e riga 2 (2;-7). Il loro determinante e -100.
Quindi rango 2.
Poi mi sono appoggiato al teorema degli "Orlati" ottenendo quattro matrici di quadrate 3*3.
A ciascuna di loro ho applicato Sarrus.
Orlata 1
Riga 1(8;12;-1) 2(2;-7;3) 3(-4;0;1)
Det=-1960
Orlata 3
Riga 1(8;12;-1) 2(2;-7;3) 3(10;0;0)
Det=290>0
Orlata 4
Riga 1(8;12;-9) 2(2;-7;5) 3(10;0;6)
Det=-510
Si ogni metodo è legittimo , ma evito ciò per evitare di fare "conti " laboriosi .
Se ci fai caso gli ultimi tre vettori sono linearmente indipendenti senza fare i calcoli dal momento che in ogni riga (vista come matrice ) vi è un elemento speciale .Se ci fai caso il primo con tutti gli altri non sono proporzionali quindi si deduce che i quattro vettori sono linearmente indipendenti .
Consiglio sempre di evitare procedure che comportano molto calcoli , pur essendo lecite .
non ho capito quale è il vettore tra 4 quello dipendente
Può scegliere di eliminare o v1 o V3 o v4 .La scelta è arbitraria .
Ma possiamo usare questa regola del determinante anche per matrici non quadrate?
No il determinante riguarda solo le matrici quadrate 🙂
@@salvoromeo chiedo scusa questa regola del rango intendevo ( lo so mi sono sbagliato io il determinate è solo per le matrici quadrate)
Tranquillo non devi chiedere scusa assolutamente .
Il rango si può calcolare per qualsiasi matrice (anche non quadrate ) e per l'occasione ho rilasciato anche una videolezione per calcolare il rango facendo degli esempi per matrici NON quadrate .Infatti prima di vedere questa lezione è bene visionare quella del rango .
Non so se ho risposto alla domanda .In ogni caso se ci sono dubbi sentiti libero di chiedere qualsiasi cosa .Quanto prima rispondo sempre .
Per il rango (soprattutto di matrici non quadrate) consiglio sempre di utilizzare il metodo degli "elementi speciali " a meno di non avere una matrice 2x3 che non necessita di particolari calcoli .
@@salvoromeo sisi io sto seguendo analisi 1 e la parte sulle matrici determinanti rango etc.. mi è abbastanza chiara ho pure passato una prima parte della prova intracorso è da poco che sto studiando gli spazi vettoriali e la prof ci ha parlato di questa regola che ci permette di capire se due vettori sono linearmente dipendenti o no riportando le equazioni in una matrice e vedendo se il rango coincide con il numero di vettori coinvolti nell'esercizio, quello che volevo sapere è se questa regola vale solo per matrici quadrate o per qualsiasi tipo di matrici? Spero di essermi fatto capire😅
Chiarissimo .Si ti confermo che vale per qualsiasi tipo di matrice .Se hai una 3x4 verifica se le 3 righe (quelle in numero minimo ) sono l.i .Se si il rango è tre , altrimenti si abbassa .
Utilizza il metodo di riduzione che spesso è il più veloce .