Quotientenraum (Bilder, Vorstellung, Beispiel) | Math Intuition
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- เผยแพร่เมื่อ 5 ต.ค. 2024
- In diesem Video erkläre ich euch anschaulich, was es mit den Quotientenräumen auf sich hat.
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#Quotientenraum #Faktorraum
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Du gibst mir gerade echt Hoffnungen LA doch noch zu checken xD. Danke dir Alter, du machst super tolle Videos
Wie läufts jetzt? 😂
@@dickezwiebel4564 stabil bin jetzt im Master
hast du tipps, schreibe nächste Woche LA@@ilprincipe8094
Vielen Dank, sehr klar behandelt. Toll
Danke, hab mir heute über 10 videos angeschaut von dir und hab jetzt echt ein besseres verständnis, vorher war alles sehr theoretisch und ich konnte mir wenig darunter vorstellen. Grüsse aus der schweiz!:)
mathe ist wie schwimmen
Vielen Dank für die Erklärung :) Super Video hat mir jetzt vor der Klausur super geholfen.
Danke dir für das Feedback :) Viel Glück für die Klausur!
bestes video, unter faktorräumen konnte ich mir echt gar nichts vorstellen. Jetzt schon ;D
Klasse Video!
Falls ihr noch Ideen für weitere Videos braucht, würde ich mich über eins von Nebenklassen freuen! :)
Hat mir beim Verständnis sehr geholfen! Danke
Danke für die Erklärung! Habs endlich verstanden!
Sehr gutes Video um den Quotientenraum schnell auf einem Blick zusammenzufassen!
Alter danke!
+Sebastian Junker Hey Sebastian, vielen Dank für das Feedback! Schreibt ja nicht jeder was, daher freue ich mich sehr darüber :)
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Äußerst amtlich erklärt!
@OKay5067: Richtig, die Vektoren v1 und v2 sind "nur" äquivalent und nicht identisch (abgesehen vom Fall v1=v2, denn gleiche Vektoren sind natürlich insbesondere äquivalent).
Meine Vorstellung dazu ist aber genau, dass äquivalente Vektoren als "gleich" zu betrachten sind. Genau so, wie die Zahlen Null und Zwei "gleich" sind, wenn ich Modulo 2 rechne, obwohl beide Zahlen natürlich nicht identisch sind.
Klasse Erklärung. Danke, jetzt kann ich mir hierbei sogar was vorstellen. Top
vielen dank, richtig gut erklärt !
Vielen Dank für deine Videos, vielleicht komme ich ja doch noch durch die Klausur :P
danke für deine tolle Videos 😊
poah krass! Ganz einfach eigentlich :D! danke für die intuitive Erklärung
super erklärt , danke danke danke
Sehr sehr gut erklärt! Danke!
Hammer Video. Vielen Dank.
Freut mich! Für noch mehr Videos schau mal hier vorbei: Math-intuition.de
Sau geil erklärt
Sehr gutes Video danke! Kannst du mir vielleicht noch den Unterschied zwischen V/U und V/~ erklären?
Sehr gute Frage!! Doch nicht ganz einfach in ein paar Zeilen intuitiv zu beantworten ;) Ich versuche mich mal:
Es ist "fast" das gleiche, nur ist eins davon allgemeiner (nämlich V/~) und das andere (nämlich V/U) ein Spezialfall des allgemeineren:
1) Ganz allgemein wird M/~ für eine beliebige Menge M und eine gegebene Äquivalenzrelation ~ auf M definiert (unabhängig von Vektorräumen und allem - also sehr allgemein).
Man meint dann damit, dass man "modulo der Äquivlanzrelation ~" rechnen will.
Bsp: Das kennst du zum Beispiel vom "normalen" modulo n Rechnen in den ganzen Zahlen: Denn Z/nZ kann man auch schreiben als Z/~ wobei ~ das modulo rechnen mod n ist. Formal ist diese Relation ~ dabei wiefolgt definiert: Es gilt x ~ y genau dann, wenn die Differenz (x - y) ein Vielfaches der natürlichen Zahl n ist. Beispiel: modulo 3 ist 1 ~ 4 und 4 ~ 7 und 7 ~ -2 etc. Man ändert dann beim Modulo rechnen meist das Symbol und schreibt das Kongruenzsymbol (ein = mit 3 Strichen) statt dem allgemeinen Symbol ~.
2) V/U ist im Prinzip nun ein Spezialfall davon für M:= V, wobei V ein Vektorraum mit Untervektorraum U ist. Das Symbol ~ ist auch ganz konkret definiert als "modulo U" rechnen:
Das bedeutet beispielsweise, dass v = v + u = v + 2*u = v + 3*u = ... für beliebige Vektoren v aus V und u aus U gilt (analog zum modulo rechnen in den ganzen Zahlen), so wie ich es im Video erklärt habe.
Formal sieht das auch wieder ähnlich aus wie "normales modulo rechnen" in den ganzen Zahlen, nämlich:
Es gitl v_1 ~ v_2 genau dann, wenn die Differenz (v_1 - v_2) ein Element von U ist.
Optimal, danke!
sehr gut erklärt, danke.
kurze Frage. wie Sie gesagt haben, soll U immer eine Gerade sein oder?
Nur in meinem beispiel im video war U eine gerade. Allgemein kann U auch ein Vektorraum höherer dimension sein (ebene etc)
Sehr gutes Video, hat mir sehr geholfen!
Nur eine kleine Frage:
Wo genau liegt der Unterschied zwischen einem Quotientenraum und einer Projektion?
Ist das eine einfach auf Vektorräume und das andere einfach auf kartesische Produkte (also auf Mengen) bezogen?
Eine Projektion ist eine Abbildung, die wenn man sie zwei mal hintereinander anwenden würde, keinen weiteren Effekt mehr hat: Zum Beispiel wenn ein 3-dimensionales ("Kamera-Bild") auf eine 2-dimensionale "Leinwand" projiziert wird. Wenn man das Ergebnis dann nochmal auf die Leinwand projiziert, ist das Ergebnis das gleiche wie vorher. Mathematisch schreib man: f=f^2 für solche Projektionen f. Eine Projektion ist also immer auch eine spezielle Abbildung!
Der Quotientenraum hingegen ist ein bestimmter Vektorraum (also eine Menge). Jedoch gibt es eine naheliegende Projektion im Zusammenhang mit einem gegebenen Quotientenraum V/U, nämlich die Abbildung, die ein Element aus V nimmt und es nach V/U schickt, die also einfach "modulo U" rechnet. Diese Abbildung ist eine Projektion, denn "zwei mal modulo U" rechnen führt zum gleichen Ergebnis wie nur einmal.
sehr gut erklärt :)
Gutes Video, sehr verstädnlich.
Sehr gutes Video: Kurze Frage (hoffentlich bist du noch im Dienst) -
Ich verstehe nicht ganz ob der Faktorraum V/U nur die x-Achse darstellt, oder alle Geraden auf allen Punkten der x-Achse (und somit ganz R^2)?
Anfangs dachte ich mir, dass viele Geraden entstehen. Aber unklar ist mir noch wieso die Gerade "ignoriert" wird und nur der Punkt auf der x-Achse betrachtet wird?
V/U ist eine Menge von Mengen: Nämlich die Menge aller Äquivalenzklassen [(x,0)], wobei x aus den reellen Zahlen ist.
Ein Punkt auf der x-Achse, sagen wir x0=(7,0) ist ein Repräsentant, der für alle Punkte (7,y) steht, die miteinander identifiziert werden. Die "Senkrechten" sind also die selbe Äquivalenzklasse.
Die Menge V/U kann nicht im R^2 veranschaulicht werden, da sie keine Objekte enthält, die sich im R^2 darstellen lassen.
Wenn man aber die eckige Klammer weglassen würde, also V/U = {(x,0)| x element R}, dann wäre die Menge eben genau die x-Achse, was aber formal nicht richtig ist. Zumal könnte man ja auch V/U = {[(x,1)]| x element R} mit dem y-Wert 1 als Repräsentant für die ÄK wählen, dann hätte man bei weglassen der eckigen (ÄK-)Klammern nicht mehr die x-Achse, sondern die gerade y=1. Diese Anschauung kann also widersprüchlich sein.
@@nutmeg12761 Erstmal Danke für die Antwort. Laut dir kann man V/U = {[(x,1)]| x element R} anschreiben. Das ist also das selbe wie V/U = {[(x,0)]| x element R}.
Aber was genau bedeuten, dann die eckigen Klammern vor und nach dem Vektor? Weil ich dachte, das wäre die Lineare Hülle. Im Falle von (x,0) wäre es ja die x-Achse und im falle von (x,1) eine Gerade die aufgepannt wird.
Ich habe aber verstanden, dass V/U nicht im R^2 veranschaulicht werden kann, da es eine Menge an Mengen ist. Aber wenn man die ganzen Elemente in den Mengen zu einer Menge zusammenfasst, dann würden in der Menge alle Vektoren im R^2 vorkommen?
Die punkte der x-achse sind in V/U nur jeweils 1 vertreter. Eine senkrechte gerade (parallel zur y-achse) ist jeweils eine äquivalenzklasse. Jeder vertreter kann durch einen anderen vertreter in der selben äquivalenzklasse ausgetauscht werden. Insofern ist die x-achse als vorstellung für V/U nur eines von vielen beispielen. Auch alle prallelen zur x-achse wären weitere beispiele. Oder auch alle „treppenfunktionen“ etc Und warum man dies macht: der vektorraum U ist oft kern einer abbildung und dies hat verschiedene effekte. Schau dir dazu mal mein video zum homomorphiesatz an oder auch modulo rechnen.
@@mathintuition Danke!
nur mal eine Frage, wenn du viel lange weile hast und natürlich könntest du mal die Isomorphiesätze und Homomorphiesätze. Vielleicht auch aber wirklich nur vielleicht auch die sylowsätze(obwohl diese sicher nicht in einem kleinen video machen kann). aufjedenfall schöne videos, mach weiter so
Der Homomorphiesatz steht auf jeden Fall auf der Liste ;) Weiß aber noch nicht genau, wann es wird.
Die Sylowsätze sind schon sehr speziell. Auf Wikipedia bekommst du vielleicht einen kurzen Eindruck von den Anwendungen:
de.wikipedia.org/wiki/Sylow-S%C3%A4tze
Dort wird im 1. Bsp mit Hilfe der Sylowsätze gezeigt, dass eine Gruppe mit 15 Elementen immer "so aussieht wie" (auch hier taucht wieder die Isomorphie auf (s. mein Kommentar unten) die zyklische Gruppe (Z/15Z,+), welche von dem Element 1 erzeugt wird.
Allgemein erhält man aus den Sylowsätzen (ähnlich wie aus dem Satz von Lagrange) Aussagen über die Existenz bzw. vielmehr Nicht-Existenz gewisser Untergruppen.
Super Video!
wie schade dass es das Video nicht gab als ich im ersten Semester war :D
Danke
wauw! danke
Was ich immer noch nicht verstanden haben, ist, inwiefern sich der Faktorraum vom normalen Vektorraum unterscheidet, in dem sich der Untervektorraum befindet. Wenn man zu der Gerade des Untervektorraums alle Nebenklassen, also alle parallelen Geraden zusammenfasst, dann ist das doch wieder der Vektorraum. Wo liegt da mein Denkfehler? Vielen lieben Dank schonmal im voraus! :)
+Andie Titgen Gut beobachtet. Der Unterschied ist nur eine Formalie. Man sagt nicht, dass die beiden Vektorräume (der Faktorraum und der Vektorraum, der diesen enthält) identisch sind, sondern sie sind "isomorph", was einfach nur heißt: sie sind identisch, bis auf eine umbenennung der symbole. Formal sind nämlich die Elemente in einem Faktorraum Mengen von Vektorräumen, bei einem "normalen" Vektorraum im Allgemeinen aber nicht.
Intuitiv gesprochen sind sie aber tatsächlich "gleich".
+Math Intuition Also liegt praktisch eine bijektive Abbildung von dem Faktorraum in den gegeben Vektorraum vor bzw vom Vektorraum in den Faktorraum vor, oder? Der Unterschied zwischen den beiden ist lediglich, dass der Faktorraum die Nebenklassen als Elemente hat, welche widerum die Vektoren des Vektorraums als Elemente haben. Hab ich das hier richtig verstanden? :)
+Andie Titgen Es gibt eine bijektive Abbildung vom Faktorraum zu dem unterraum, der diesen "enthält". Nur mit dem Unterschied, den du genannt hast, genau.
danke!
Noch etwas, was ich nicht verstehe: ist der Faktorraum, wie du ihn hier bildest, nicht das gleiche wie ein komplementärer Unterraum zu U?
+Andie Titgen Bei endlichen Vektorräumen gilt: V = U + V/U, wobei das nicht nur eine Summe, sondern eine direkte Summe ist. Damit sind U und der Faktorrum V/U komplementäre Untervektorräume von V. Du hast also vollkommen Recht.
Also, wenn V K-VR und U UVR von V, dann ziehst du eigentlich die "dimension" von U von V ab?
Was die Dimensionen betrifft, hast du vollkommen Recht: Es gilt die Dimensionsformel:
dim V/U = dim V - dim U
Danke!
Math Intuition Dsd
heisst dass das V/U so etwas wie das Komplement zu U in V ist? bzw zu allen Nebenklassen von U in V
Gute Frage! Rein formal ist das Komplement etwas ganz anderes als ein Quotientenraum (z.B. ist das Komplement eines Untervektorraums kein Untervektorraum mehr weil der Nullvektor nicht dabei ist). Aber deine Beobachtung ist trotzdem in folgendem Sinne richtig:
Alle Vektoren in U werden beim Übergang zu V/U zum "Nullvektor gepresst". Folglich muss ein Vektor in V/U, der nicht der Nullvektor ist, einen Vertreter haben, der vor dem Übergang zu V/U im Komplement von U lag.
@@mathintuition danke für deine Erklärung
4:05
wieso ist dann die blaue linie ein stück weiter rechts? weil es sollte ja beide genau 1 x sein oder?
Die sollen natürlich "übereinander liegen". Das ist nur der besseren Lesbarkeit geschuldet.
Macht es einen Unterschied was mein v1 und mein v2 ist?
v1 und v2 liegen (laut Video) auf derselben vertikalen Geraden, z.B. (1,1,) und (1,-1). Generell kann v1 beliebig sein und (wenn v2 in derselben Äquivalenzklasse liegen soll) v2 ist dann v1 plus/minus ein vielfaches von einem vektor aus U.
Super, danke
Sehr gut behandelt :) . Ich frage mich aber, warum das Video Quotientenraum / Faktorraum heißt, wenn es doch nur um den Quotientenraum geht?
Ich wollte eigentlich noch erwähnen, dass die Begriffe identisch sind. Und ich wollte natürlich beide Suchbegriffe abdecken ;-)
Um die Verwirrung aber mal wegzunehmen, habe ich das Video jetzt umbenannt, da ich darin - wie du schon sagst - gar nicht auf den Begriff Faktorraum eingehe.
Aber wie gesagt: Bedeutet beides das selbe.
Danke für den Hinweis :-)
Hallo, ich habe mal eine Frage.
Ich habe immer versucht mir den Quotientenvektorraum immer als "V ohne W" vorzustellen (Wobei V VR und W UVR) , so dass also in V/W alle Vektoren drin liegen die nicht von der Basis von W erzeugt werden. Stimmt das? Denn in deinem Beispiel würde die Idee zutreffen...
Deine Vorstellung stimmt teilweise.
Man nutzt die Konstruktion des Quotientenkörpers tatsächlich oft, um "W" loszuwerden. Der entscheidende Unterschied von V / W (Quotientenraum) und V \ W ("V ohne W") ist aber, dass ersteres wieder ein Vektorraum (also eine Menge mit einer gewissen Struktur - nämlich eine Vektoraddition und Skalarmultiplikation) ist, während letzteres kein Vektorraum ist (sondern nur irgend eine Menge, weil z.B. der Nullvektor fehlt).
Im Video ist zum Beispiel V eine Ebene, W eine Gerade durch Null (=Vektorraum) und auch V / W eine Gerade durch Null. Die Menge V \ W hingegen ist eine Ebene, der genau EINE Gerade durch Null fehlt. Insbesondere hat V \ W gar keinen Nullvektor mehr, ist also kein Vektorraum.
Wie kannst du nun also deine Vorstellung korrigieren? Stell dir vor der Quotientenraum von V nach W ist das Konstrukt, das entsteht, wenn ich V "in Richtung W" zusammenpresse. Im Video oben wurde V in Richtung y-Achse zusammengedrückt: So entstand schließlich aus der Ebene R^2 die x-Achse, die du ganz zum Schluss siehst.
Math Intuition
Ich glaub ich weiß worauf sie hinaus wollen. Vielen Dank für die schnelle Antwort, mein Abo haben sie bereits, endlich habe ich eine Vorstellung von dem Quotientenvektorraum. Ich würde mich übrigens darüber freuen, wenn sie noch ein Video speziell zu Rest und Nebenklassen von Gruppen machten. :)
Vielen Dank nochmal!
irgendwie sieht das doch ähnlich aus zum Affinen Unterraum von V ( VR über K).
Gut erkannt!
Tatsächlich ist der Quotientenraum in meinem Beispiel "isomorph zum 1-dim. VR R^1". Und dass zwei VRe isomorph sind, heißt einfach nur: Nach eventuellem "Umbenennen" mit Hilfe einer bestimmten Abbildung sind die beiden VRe identisch! Im Video könnte ich jeden Vektor der Form (x , 0) aus R^2 mit dem Vektor (x) aus R^1 identifizieren. Und diese Zuordnung ist bijektiv und ein Homomorphismus. Also ist R^2 / isomorph zum R^1.
Allgemein sehen ALLE endlich-dimensionalen VRe über den reellen Zahlen immer aus wie eine Gerade oder Ebene oder 3-dim Raum ... also wie ein R^n. Insbesondere auch alle Quotientenräume.
Ich liebe dich
Nois
Wenn ich mich nicht irre, hast du am Anfang die Symbole für die Teilmenge verkehrtherum geschrieben. Es müsste eigentlich dieses Zeichen sein: ⊆
Nein ist richtig so, weil U eine Teilmenge von V ist, nicht umgekehrt