Dualraum - intuitiv erklÃĪrt! | Math Intuition
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- Vorstellung, Idee und Definition zum Dualraum ;)
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#Dualraum #DualitÃĪt #Vektorraum
KÃķnntest du vielleicht noch ein Video machen, in welchem du genauer auf die duale Basis und duale Abbildungen eingehst? Oder wie das alles zusammenhÃĪngt? Irgendwie steig ich da noch nicht ganz durch...
Hallo Sarah, das ist fÞr die meisten meiner Zuschauer vermutlich zu speziell. Dennoch vielen Dank fÞr den Wunsch!
@@mathintuition also ich wÞrde mich auch Þber ein Video dazu freuen, insbesondere wie man die duale Basis berechnet :)
Duale Basis wÃĪr der Hammer
Das wÞrde mir auch sehr weiterhelfen! :)
Ja bitte ððŧ
Vorstellung um 40% erweitert! Danke dafÞrð
Gern! FÞr noch mehr LA 1 ErklÃĪrungen, schau mal hier: www.math-intuition.de/course/lineare-algebra-1-intuition
Das mit den platonischen KÃķrpern ist klasse :) , danke dafÞr.
Dieses Beispiel mit den platonischen KÃķrpern ist ja der Wahnsinn! Jetzt versteh ich das mit DualrÃĪumen auch viel besser und ich kann mir was dazu vorstellen :)) Aber das man aus einem WÞrfel einen Oktaeder machen kann, das ist unglaublich :D Wow danke fÞr dieses sehr sehr coole Beispiel :)
sehr nett und hilfreich. Bildliche Vorstellungen helfen echt dabei, sowelche Operationen nachzuvollziehen
Ich liebe deine mathevideos! das mannigfaltigkeiten- video hat mir soooo unfassbar bei der matheklausur geholfen - (Physikstudium- matheklausur 3. semester) danke danke danke! :)
Yeah, sau cool! Vielen Dank fÞr dein Kommentar :)
Vielen Dank fÞr die ErklÃĪrung. Habe den dualen Raum, denke ich, verstanden.
Ein absolut hilfreiches und gelungenes Video! Ich danke dir dafÞr.
Danke, fand das Video sehr eingÃĪnglich! Mein Lina Prof liebt DualrÃĪume oder auch DoppeldualrÃĪume, dementsprechend werde ich mit Ãbungsaufgaben dieser Art bombardiert. :D
Cool! Aber mEth-intuition ist was anderes! :-)
Das "triggert" mich auch jedes mal :D
Wir ballern uns halt den guten Stoff :D
Vielen Dank!
Es ist schon eine Kunst, in den ersten 30 sec. dieses Videos 6 Mal die Worte "Vorstellung" und "vorstellen" unterzubringen.
Absoluter Ehrenmann! Endlich verstehe ich das Thema mal :D
Super Video. Danke vielmals!
Nice hat sehr geholfen und Spaà gemacht danke :)
Wirklich ein super Video. Gibt es eventuell noch ein Video in Bezug auf topologische DualrÃĪume? Dort bestehen sie dann ja aus stetig lineare Funktionale
92acco danke fÞr die blumen! Ne, ich habe leider nur das video zu dualrÃĪumeb.
du bist ein heiliger ehren-mensch. 10000mal danke
Danke, so hat mich noch keiner genannt bisher ;) Noch mehr gibts Þbrigens auf math-intuition.de
Was habe ich geschÃĪumt bei diesem Thema... und eigentlich wÃĪrs wirklich "intuitiv" ;)
Profs sind scheiss didakten
Danke, hat echt gut geholfen!
Hallo, hast du auch Videos Þber Tensoren gemacht? Du erklÃĪrst alles andere so gut, dann Tensoren bestimmt auch ;)
Damit kann ich leider nicht dienen :/
@@mathintuition Noch nicht ;) ... ?
Neph1l1m999 leider auch langfristig nicht ;)
@@mathintuition boah , dass geht voll in die Magengrube ;) . Von dir erklÃĪrt , wÞrde mir die Tensorrechnung bestimmt leichter fallen
Vielen Darm!
Super Video! Weiter so!
Also ich hab nicht so richtig verstanden, was diese "dualen platonischen KÃķrper" mit DualrÃĪumen zu tun haben ð Ich entdecke da weit und breit nichts, das isomorph wÃĪre zu Abbildungen zwischen im Allgemeinen verschiedenen Mengen
Wie sieht denn ein Homomorphismus zwischen einem Vektorraum und einem KÃķrper aus? Ich kenne nur homomorphismen zwischen KÃķrpern oder zwischen VektorrÃĪumen, oder betrachten wir K als K-VR?
In dem Fall ist K auch einfach K-VR, folgt sofort aus den KÃķrpereigenschaften.
Ganz genau! Stimmt, das habe ich nicht dazu gesagt: Ein KÃķrper K ist automatisch ein 1-dimensionaler K-Vektorraum.
1000Dank fÞr dieses tolle Video. Spitzen Leistung wie immer :-)
Ich stelle mir das Konzept des DUAL Raumes folgenderemaÃen vor (noch etwas einfacher):
Ausgangspunkt: ich befinde mich in einer 2dim Ebene (RÂē um genau zu sein).
Nun kann ich jeden beliebigen Punkt dieser Ebene mit Hilfe von 2 linear unabhÃĪngigen Vektoren beschreiben.
Anderesseits, und dass ist jetzt meine Vorstellung eines DUALraumes, kann ich jeden Punkt dieser Ebene auch als Schnitt von 2 Geraden beschreiben.
Stimmt meine Vorstellung? Oder verwechsle ich da was. Laut meiner Auffassung deines Videos sollte ich ja nicht ganz daneben liegen oder habe ich da was missverstanden? Bin mir eben nicht zu 100% sicher ob sich meine Vorstellung eines DUALraumes mit deiner deckt.
Wie gut eine Vorstellung ist, hÃĪngt allein davon ab, wie sehr sie dir hilft, dir die Definition (und damit hoffentlich auch die Ideen) dahinter zu begreifen.
Du schreibst nun, dass du dir die Punkte/Vektoren eines Vektorraums nun auf zwei Weisen vorstellen kannst. Und eine Variante davon nennst du Dualraum. Dann wÃĪre doch bei dir der Dualraum und der eigentliche Vektorraum identisch oder verstehe ich das falsch? Das wÃĪre dann leider nicht richtig.
Im Video habe ich die Definition genommen und mir daraus eine Vorstellung gebaut (Dualraum = Menge von Abbildungen vom Ursprungsraum in seinen KÃķrper). Als Ergebnis davon siehst du, wie sich V und V* unterscheiden: Obwohl Beide als Vektorraum interpretiert werden kÃķnnen, so sind es doch vÃķllig verschiedene Dinge (laut Definition). Denn in V* steckt der ursprÞngliche Raum V gewissermaÃen "irgendwo drin". Insbesondere merkst du daran, dass V und V* in der Regel nicht gleich sind. WÃĪhrend die Elemente von V Vektoren sind, so sind die Elemente von V* komplette (lineare) Abbildungen von V nach K.
Wenn du eine Vorstellung erarbeitest, dann beginne also auch immer bei der Definition des Begriffs. Zeichne dir Bilder wenn mÃķglich, mache dir einfache Beispiele und versuche das ganze zu interpretieren. Eine aus der Luft gegriffene Vorstellung bringt dir oft nicht viel. Du brauchst den Bezug zur Definition.
Was ich nicht verstehe, warum ist der Dualraum nicht einfach immer der VR selbst? Wenn V* der VR aller linearen Abbildungen von V nach K ist, dann ist es doch einfach die Menge aller Vektoren in V, und die kÃķnnen mit dem Skalarprodukt einfach von V nach K abbilden. Oder ist ein Dualraum nicht eindeutig definiert und man darf sich die linearen Abbildungen beliebig definieren? Ich habe es so verstanden dass alle mÃķglichen linearen Abbildungen enthalten sein mÞssen, und das wÃĪren ja einfach alle Vektoren u aus V, nur als Abbildung f(v) = v*u, mit * als Skalarprodukt.. das finde ich so aber nirgendswo ausdrÞcklich bestÃĪtigt, gleichzeitig spricht jede Definition oder ErklÃĪrung dafÞr.
TatsÃĪchlich gilt: Wenn V endliche Dimension hat, dann sind V und sein Dualraum V* isomorph (also - salopp gesagt - "identisch" bis auf ggf. verschiedene Notationen). Aber im unendlichen Fall gibt es durchaus sehr viele Unterschiede und das motiviert den Begriff Dualraum.
@@mathintuition Oh man, danke ð so ein Kommentar wÞrde viele ErklÃĪrungen von DualrÃĪumen klarer machen..
Was ist in dem Zusammenhand der Annulator?
+Willi S. Wenn du weiÃt, dass die Elemente vom Dualraum V* eigentlich Abbildungen sind, dann kannst du natÞrlich auch untersuchen, wo diese Abbildungen auf Null abbilden.
Nimm nun eine Teilmenge S von dem ursprÞnglichen Vektorraum V. Der Annulator (oder auch Annihilator) sind dann genau die Elemente in V* (also die linearen Abbildungen von V nach K), die alle Elemente von S auf Null schicken (fÞr die also S eine Teilmenge des Kerns ist).
+Math Intuition Vielen Dank, super verstÃĪndlich erklÃĪrt!
Kann das sein dass g(x) keine lineare Abbildung ist? Also g(x) ist kein Element des DUAL Raums!
+Harald Weillechner Stimmt, gut aufgepasst! Wenn ich es jetzt nochmal anschaue, ist das auch tatsÃĪchlich etwas didaktisch unschÃķn im Video, weil ich nÃĪmlich f und g "doppelt verwende", obwohl ich etwas anderes meinte:
Ich wollte im Video bei den ganz konkreten f(x) und g(x) nur eine Aussage machen, nÃĪmlich: "Wie man Abbildungen addiert, kennst du schon von den Polynomen". DafÞr waren die Beispiele f und g. Jedoch ist g natÞrlich keine lineare Abbildung.
Danach mache ich jedoch den unschÃķnen Schritt, dass ich oben hinschreibe: "(f+g)(x) = f(x) + g(x)", welches ich direkt unter die Definition des Dualraums schreibe. Hier meinte ich nicht mehr die konkreten f und g von unten (Polynome), sondern hier waren es wieder "ganz allgemeine lineare Abbildungen".
Ich werde im Video einen Hinweis platzieren. Danke fÞr den Tipp.
@@mathintuition AbgekÞrzt: An einer Stelle wird g(x) nur verwendet, um zu veranschaulichen: "Wie kann man Abbildungen addieren?" In jenem Beispiel ist g(x) tatsÃĪchlich eine quadratische Funktion, also nichtlinear.
Ist also der Oktaeder der dem WÞrfel zugrunde liegende KÃķrper und der WÞrfel der dem Oktaeder zugrunde liegende KÃķrper?
Man kÃķnnte sagen: der duale platonische kÃķrper von oktaeder ist der wÞrdel und ungekehrt.
KÃķrper in der Algebra und KÃķrper in der Geometrie sind was komplett Verschiedenes
Danke!
Wunsch nach einem Video: Periodische BrÞche!
Ist dieser Punkt am Ende auf dem WÞrfel z.b. als Funktion f zuverstehen?
Meinst du den Punkt in der Mitte von jeder Seite des WÞrfels? Ne, damit wollte ich nur was zeigen.
Hast du mich gerade Aal genannt???
Subtitles in english?
Pogchamp Video.
Mir ist der Bezug vom Ersten Bild mit den Orthogonalen Vektoren zu den KotangentialrÃĪumen nicht klar geworden. Danach dann die Formale Definition eines Vektorraums und des Kotangentialraums erklÃĪrt, welche fÞr sich schon fast selbsterklÃĪrend ist und dann ein Beispiel, das zugegebenermaÃen ganz Þberraschend war. Im groÃen und ganzen hat es mir aber genau gar keine Intuition zu einem Dualraum gegeben... Irgendwie verfehlt das Video sein Thema an der Stelle.
Wenn ich dann (V*)* mir anschaue sind das Abbildungen der Form f: K -> K mit a -> f(a) ? wobei K der zugrund-liegende KÃķrper von V ist?
Danke schonmal im vorraus :)
+Matthias Landes Hey Matthias,
nee so einfach dann leider nicht ;) Die Elemente von V* sind ja Abbildungen von V nach K. Wobei wir uns Elemente von V der Einfachheit halber als "Punkt" vorstellen.
V** geht jetzt einen Schritt weiter: Das sind dann Abbildungen von V* nach K. Und die Elemente von V* sind ja die uns bekannten Abbildungen von V nach K.
Also sind die Elemente von V** "Abbildungen, welche eine Abbildung als Argument bekommen, und diese auf einen Wert in K schicken".
Bsp: Sei V der R^2. Dann ist beispielsweise f(x,y) = x+y ein Element von V*. Und ein Element von V** ist beispielsweise die Abbildung, welche f auf die Zahl Null schickt.
Etwas klarer geworden? ;)
+Math Intuition ahh ja klar :) danke das war hilfreich
Du bist Klasse!
So ist es, Bruder^^
sehr geil, hÃĪttest aber vielleicht noch paar bsp aufgaben rechnen kÃķnnen.
damit s richtig sitzt
duran ahmet Den Wunsch nehm ich mit auf! Danke fÞr dein Feedback :-)
aaaaaaaaaahhhhh Danke
Du solltest Matheprofessor werden und die Didaktik der Hochschulmathematik reformieren. Das meine ich ernst!
Danke :) Ich weià das zu schÃĪtzen, aber doch eher unwahrscheinlich ;) Kennst du schon meine anderen Videos und Artikel auf math-intuition.de ? Wenn nicht, schau mal vorbei :)
Mann, Mann, Mann. Da geht ja alles drunter und drÞber. Und dann teilweise auch noch Bullshit dabei. Nach 5 Minuten wegdrÞcken, ist der einzige Ausweg. Danke trotzdem fÞr die BemÞhungen.
was genau findest du Bullshit? PS.: warum hast du eine Ãffentliche Playlist mit Babyvideos?
4:45 oder V^V und du fragst dich was der Quatsch soll, weil du nichts findest bei Google... :D
Danke!