Спасибо за очередной полезный урок! И все-таки если раньше мы расширяли множество чисел (N -> Z -> Q -> R -> C) из необходимости когда не могли поделить числа или извлечь корень, то в этом случае какова история появления кватернионов?
Вторая мнимая единица появляется из необходимости описания поворота в двух ортогональных плоскостях. После появления второй мнимой единицы мы можем применять процедуру удвоение я по Кэи-Диксону: это новые виды мнимых единиц, которые получаются как произведение уже известных. Так появятся октанионы, седенионы и т.д. Но также и из необходимости решить какие-либо задачи, можем вводить новые обобщения, например, гиперболические (j^2=1, j!=1) и параболические (j^2=0, j!=0) единицы.
Здравствуйте. Честно говоря, давно не очень понимал кватернионы. Сначала пол недели составлял большой список вопросов, но после того, как перешерстил пол ютуба, википедию и пары лекций на эту тему, почти все вопросы я смог решить. Хочу лишь спросить, правильное ли представление у меня сложилось о кватернионах... Кватернионы - это способ описать вращения 3D объекта - их изначально придумали для этого. Произвольные повороты тела - это поворот на некий угол вокруг какой-то оси. Ось мы можем закодировать точкой на сфере (через точку и начало координат надо провести прямую - она и будет осью). Точка на сфере кодируется комплексным числом (вы вроде это разбирали в ролике про сферу Римана). Угол поворота вокруг оси мы тоже можем закодировать комплексным числом, так же как мы это делали с плоскостью. Получается, вращение тела мы можем закодировать парой комплексных чисел - одно отвечает за угол поворота, а второе за ось вращения. А кватернион - это и есть такая пара: q = (a + bi) + (c + di)j = a + bi + cj + dk, где k=ij). Мы добавляем j перед вторым числом нашей пары, чтобы 2 комплексных числа не склеились в одно (a + c) + (b+d)i. Т.е. мы конструируем одно число, которое состоит из двух - и чтобы они не склеивались в одно, мы добавляем j перед вторым числом. А j тем временем НЕ принадлежит комплексной плоскости (т.е. j не является "обычной мнимой единицей, из которой делаются обычные комплексные числа", как вы сказали на 2:36). Это объект, обеспечивающий некоммутативность умножения двух кватернионов.. Правильность последнего абзаца для меня тут важнее всего, т.к. я долго не мог понять кватернионы из-за того, что j и k вы вводили как другие разновидности i, живущие в комплексной плоскости (2:36). P.s. Кстати, а как физики описывали задачи, если векторы (как мнимые кватернионы) ввел Гальминтон только после изобретения кватернионов? Неужели современники Ньютона решали все методом координат без привычных нам картинок с нарисованными векторами сил? Неужели картинка со стрелками сил для Ньютона было бы чем-то чуждым?
Спасибо за большой комментарий! :) Да: Вы все правильно написали. Единственный момент в том, что кватернионы - это не "объект для описания поворотов в 3D". Это самостоятельный математический объект, с помощью которого можно описывать повороты. Что касается описания векторов во времена Ньютона - то я не смогу Вам дать пояснения, просто не знаю. Но я уверен, что должна быть наука народе "Истории математики". Думаю, где-то есть такая информация :)
Савватеев увидел деление кватернионов и повесился. При умножении справа и умножении слева могут существовать только "деление справа" и "деление слева".
У РУСов в древности было три вида умножения - в, на и жды. Может эти три варианта умножения есть проекция векторного умножения на поле действительных чисел?
Под сочетательным Вы подразумевали переместительный закон? :) Нет, не действует, как и в случае с векторным произведением векторов, чем в сущности и является умножение мнимых единиц.
Спасибо! Это наиболее понятное изложение из того, что я видел.
Браво!Сложное- простым и внятным языком
Спасибо за отзыв!
Браво!
Максимально полезная лекция!
Спасибо большое Вам за Ваши труды)
Спасибо за отзыв! :)
Спасибо вам, все предельно понятно.
Спасибо за отзыв! :)
оооо, как обычно на высоте!
Спасибо!
Интересная лекция.
А можете ещё сделать лекцию по Октонионам
Спасибо за отзыв! Не доводилось с октонионами и алгеброй Кэли встречаться. Поэтому такая лекция пока не планируется.
Спасибо за очередной полезный урок!
И все-таки если раньше мы расширяли множество чисел (N -> Z -> Q -> R -> C) из необходимости когда не могли поделить числа или извлечь корень, то в этом случае какова история появления кватернионов?
Вторая мнимая единица появляется из необходимости описания поворота в двух ортогональных плоскостях. После появления второй мнимой единицы мы можем применять процедуру удвоение я по Кэи-Диксону: это новые виды мнимых единиц, которые получаются как произведение уже известных. Так появятся октанионы, седенионы и т.д.
Но также и из необходимости решить какие-либо задачи, можем вводить новые обобщения, например, гиперболические (j^2=1, j!=1) и параболические (j^2=0, j!=0) единицы.
Здравствуйте. Честно говоря, давно не очень понимал кватернионы. Сначала пол недели составлял большой список вопросов, но после того, как перешерстил пол ютуба, википедию и пары лекций на эту тему, почти все вопросы я смог решить. Хочу лишь спросить, правильное ли представление у меня сложилось о кватернионах...
Кватернионы - это способ описать вращения 3D объекта - их изначально придумали для этого. Произвольные повороты тела - это поворот на некий угол вокруг какой-то оси.
Ось мы можем закодировать точкой на сфере (через точку и начало координат надо провести прямую - она и будет осью). Точка на сфере кодируется комплексным числом (вы вроде это разбирали в ролике про сферу Римана). Угол поворота вокруг оси мы тоже можем закодировать комплексным числом, так же как мы это делали с плоскостью.
Получается, вращение тела мы можем закодировать парой комплексных чисел - одно отвечает за угол поворота, а второе за ось вращения. А кватернион - это и есть такая пара: q = (a + bi) + (c + di)j = a + bi + cj + dk, где k=ij). Мы добавляем j перед вторым числом нашей пары, чтобы 2 комплексных числа не склеились в одно (a + c) + (b+d)i. Т.е. мы конструируем одно число, которое состоит из двух - и чтобы они не склеивались в одно, мы добавляем j перед вторым числом. А j тем временем НЕ принадлежит комплексной плоскости (т.е. j не является "обычной мнимой единицей, из которой делаются обычные комплексные числа", как вы сказали на 2:36). Это объект, обеспечивающий некоммутативность умножения двух кватернионов..
Правильность последнего абзаца для меня тут важнее всего, т.к. я долго не мог понять кватернионы из-за того, что j и k вы вводили как другие разновидности i, живущие в комплексной плоскости (2:36).
P.s. Кстати, а как физики описывали задачи, если векторы (как мнимые кватернионы) ввел Гальминтон только после изобретения кватернионов? Неужели современники Ньютона решали все методом координат без привычных нам картинок с нарисованными векторами сил? Неужели картинка со стрелками сил для Ньютона было бы чем-то чуждым?
Спасибо за большой комментарий! :)
Да: Вы все правильно написали. Единственный момент в том, что кватернионы - это не "объект для описания поворотов в 3D". Это самостоятельный математический объект, с помощью которого можно описывать повороты.
Что касается описания векторов во времена Ньютона - то я не смогу Вам дать пояснения, просто не знаю. Но я уверен, что должна быть наука народе "Истории математики". Думаю, где-то есть такая информация :)
Я только со 2-го просмотра «въехал» … но, интересно! 👍🏻
Спасибо за отзыв! Главное, что в итоге все стало понятно. Кватернионы - это настоящее время компьютерной графики. Без них возможна только история :)
Савватеев увидел деление кватернионов и повесился.
При умножении справа и умножении слева могут существовать только "деление справа" и "деление слева".
Савватеев тут абсолютно прав. Под просто делением в таком случае понимается правое деление :)
С тремя мнимыми единицами решать квадратные уравнения в три раза интересней! :)
Ага :)
в список секретных каналов по матеше )
А чего секретных-то? Матемши хватит всем! :))
топ контент
спасибо тебе
Спасибо за отзыв :)
У РУСов в древности было три вида умножения - в, на и жды. Может эти три варианта умножения есть проекция векторного умножения на поле действительных чисел?
Возможно :))
6:40 кака это минус единица
Верно :)
Нихрена не понял, но очень интересно!
А что именно не понятно? Можно позадавать вопросы :)
Опять это жульничество математиков с мнимыми единицами. Почему j*i = -k, а i*j = k ? На мнимые единице не действует сочетательный закон? Как так?
Под сочетательным Вы подразумевали переместительный закон? :) Нет, не действует, как и в случае с векторным произведением векторов, чем в сущности и является умножение мнимых единиц.
@@dudvstud9081 ясно, спасибо)