Благодарю. Интересная задача. Как раз мне такие нравятся, но не всегда выходит решить. Но эта простая: На основании АС построим равносторонний треугольник АДС. Так,чтоб вершина Д располагалась вверху (над точкой В). Треугольники АДВ и АСК равны по 2му признаку: стороны АД=АС - стороны равностороннего треугольника., углы ДАВ=САК =10 градусов, и углы АДВ=АСК= 30 градусов. Из равенства этих треугольников следует,что АВ=АК. Значит треугольник АВК равнобедренный с углом ВАК при вершине=40 градусов. А углы при основании АВК=АКВ=(180-40)/2=70 градусов. Задача решена.
1) Достроим треугольник до равностороннего и назовем новообразованную фигуру ADC, соединив точку D с точкой B. 2) Замечаем, что треугольники ABD и CBD равны по трём сторонам, из чего вытекает равенство углов ADB и CDB, которые равны половине угла D, а значит по 30°. 3) Обращаем внимание, что и треугольник AKC тоже равен двум вышеозначенным по второму признаку, поскольку AD=DC=AC, и в каждом из треугольников к ним прилегают углы по 10° (60-50 с обеих сторон) и 30° соответственно. 4) Из полученного вывода мы извлекаем, что AK=AB=BC, а значит треугольник ABK - равнобедренный, а следовательно углы при его основании BK, включая наш искомый угол альфа, равны 180-40/2=70°. Очень красивая задача.
Классическая задача. Так же решал по старой памяти, но авторский способ мне даже больше понравился, может потому, что дополнительные построения не выходят за рамки исходного треугольника.🙂
Ваши задачи решать очень интересно, это еак ларчик открываешь, а там ещё один, только находишь отмычку а там следующий и опять ищешь отмычку. Азартно и полезно.
Обычно помогает построение равностороннего треугольника на одной из равных по условию сторон. Здесь построим равносторонний треугольник ABD такой, что вершина D ниже AC (более строго - по другую сторону от AC относительно точки B). Тогда DB=BC, угол DBC равен 80°-60°=20°, тогда углы BCD и BDC по 80°, угол ACD равен 80°-50°=30°, а угол KAD равен 60°-50°=10°, тогда треугольники AKC и ADC равны по двум углам и стороне, AK=AD=AB, углы ABK и AKB равны по 70°.
Проведём дугу АС с центром В. Угол между отр. АС и касательной в точке С составит 50+90 = 140 грд. (и = уг.АКС). Точка К' как симметричное отображение К через ось АС будет лежать на дуге, и тр. АК'С = тр. АКС. Тогда тр. КСК' окажется равносторонним, а ВСК' равнобедренным. Тр. ВКС = тр. ВКК' по сторонам. Уг. КВС = уг. К'ВС/2 = [180 - (50+30)*2] = 10 грд. В итоге уг. АКВ = углы(КВС + АСВ + КАС) = 70 грд.
Для такой задачи есть продвинутый технологический способ решения (разумеется, недоступный школьникам, кроме особо подготовленных для математических олимпиад вундеркиндов, для которых есть особые школы, в мое время в Москве это были 2, 57 и 179 школы, что сейчас, не знаю). Я решил попробовать сделать таким способом. Может, кому-то будет полезно. Если обозначить β = ∠KBC, то очевидно, α = β + 60°. Тогда теорема Чевы в тригонометрической форме выглядит так sin(40°)*sin(β)*sin(30°)/(sin(10°)*sin(80° - β)*sin(20°)) = 1; (Примечание для тех, кто уже испугался, эта формула очень проста по конструкции - в числителе все "левые" углы, в знаменателе все "правые", если последовательно обойти вершины по часовой стрелке, глядя на точку K. "Левый" угол - это если вы стоите на вершине, смотрите вдоль линии на точку K, и угол слева. Обычно при первых попытках использования ошибаются именно на этапе записи этого выражения, неправильно расставив углы. Если точка K внутри треугольника, еще просто разобраться, но она может быть и снаружи.... :) ну, это я так, ...) После совсем простеньких манипуляций с тригонометрией (буквально пара строчек, сами попробуйте) получается такое выражение. cos(20°)/sin(10°) = cos(β + 10°)/sin(β). Очевидно, что β = 10° - решение, а поскольку справа стоит монотонная функция в промежутке от нуля до возможного максимума (по сути, если раскрыть скобку, останется котангенс, монотонно убывающая функция), то решение единственно. Не скажу, что это просто и красиво, но - работает.
Вот это задача СУПЕР! И неясно чего больше: красоты или искусства! Проведём СМ до АВ и высоту В(ОЕ)D. Углы: ABD=40, AMK=100, MKA=40, AEB=100, BOK=120, MOB=EOK=60. Сл-но: тр-ки АЕВ и АМК -- равнобедренные и равны. Отсюда : тр-ник АКВ--равнобедренный (АВ=АК), угол АКВ=70. Можно через равенство тр-ков МОВ и ЕОК --тр-ник ВОК--равнобедренный, сл-но, угол ОКВ=30, а АКВ=40+30=70
"Чисто для прикола" ещё решение. На отрезке АК строим равносторонний треугольник АКD, (D ниже прямой АС). Угол КСА 30° половина от угла АКD, значит D центр окружности описанной вокруг треугольника АКС. Значит треугольник АСD равнобедренный с углами 50° при основании. Он равен исходному тр,. АВС по общей стороне и двум углам. Значит АК=АD=AB . Почему я и говорю, там где есть угол 30°, опирающийся на отрезок, как вариант, можно найти равносторонний треугольник, с ним рядом равнобедренный и это может помочь в решении.
Для прикола. Введём систему координат. Центр в середине AC, т.C(1,0), т.B(0,tg50°). Пусть т. K(x,y). Тогда уравнение для искомого угла a: tg(a-10°)=(tg50°-y)/x Т.к tg60°=√3=(1-x)/y, то x=1-√3y. tg10°=y/(1+x)=y/(2-√3y), tg50°=tg(60°-10°)=√3-2y Подставляем в уравнение справа и получаем, что tg(a-10°)=√3=tg(60°). Сл-но a=60°+10°=70°.
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Извините, не читал аннотацию😊. Моё решение геометрическое, как выяснилось, уже озвучили, поэтому, для прикола, написал решение алгебраическое-тригонометрическое. Думаю не помешает. К тому же, прикольно ведь, что в результате вычислений получается простой результат.
Хорошая задача пришлось попыхтеть :) получилось не короче, но другое, пересечение ВН и АК центр описанной окружности О, ОКС равнобедренный с углами при основании 20, угол ВОС=100, на ВО построим треугольник ВОМ равный ОКС и получим равносторонний КОМ и равнобедренный ВМК с углами при основании 10 и искомый 60+10=70!
Здравствуйте. Классная задача. Решил с помощью теоремы синусов. АК=АС*sin30/sin140=AB*sin80*sin30/(sin50*sin40)=AB*sin80*/(2*cos40*sin40)=AB* sin80/ sin80= AB. Т.к. АВ=АК треугольник АВК равнобедренный, угол АКВ=(180-40)/2=70.
Получил 70 градусов. Посмотрим решение автора. Класс! У меня решение немного другое, продлил КС до пересечения с АВ. Получил равнобедренный треугольник с углом при вершине 20 градусов, у которого от вершины отложен отрезок равный основанию. Старая задача, легко решается, получаем угол АВК в 70 градусов, значит и искомый тоже 70 градусов.
На стороне АС построим равносторонний треугольник, третяя вершина пусть будет О. Треугольник ВОА = треугольнику КСА, по стороне и двум углам. Следовалельно АВ =АК. Значит угол ВКА = 140/2=70
не решилось у меня как ни пытался( да... красивое решение... пожалуй, это самая сложная тема в планиметрии... играют только углы и соотношения сторон.. и любой гомотетичный треугольник в условие укладывается... крч, нечестная задача... шутка) спасибо, Валерий
Пусть имеется чертеж, состоящий из множества точек плоскости или пространства. Как только мы начинаем его чем-то дополнять, а это обычно отрезки прямой, часто возникают совсем недетские вопросы, о которых большинство даже не задумывается: где эти отрезки будут проходить и как пересекаться. Объяснение "из чертежа видно, что ..." в математике не принимается. Это касается и настоящей задачи.
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Поскольку высота ВН является и биссектрисой, то она находится внутри угла АВС, а вот в случае угла АВК уже надо доказывать. Всё, что вы скажете или не скажите, в математике (и не только) может быть использовано против вас. Шутка! Кстати, почему прямые ВН и СК пересекаются, причем внутри треугольника?
Ну и.... Продлеваем синий до середины треугольника и туда же строим биссектрису угла 40. Из точки встречи в верхний угол. По обе стороны от биссектрисы равные треугольники значит искомый угол (180-40))2=70. Посмотрел ролик .. то же самое ..
Как вы все не понимаете, как дети, просто. Да вижу я этот равнобедренный. Но если я пойду чуть иначе у меня добавится 20 комментов! Тактика! Это ж канал, а не танцы у доски.
Посмотри, не пожалеешь: th-cam.com/video/vyYfqGF9cek/w-d-xo.htmlsi=ahrpjbxmcQ1TmEEe
Треугольник BAK равнобедренный AKB =(180-40)/2=70°. Спасибо за подробное объяснение.
из равенства BAF и KAF следует что BAK равнобедренный, оттуда и получается углы основании (180-40)/2=70
Отлично.
Да, в финале решения автор перемудрил)
Спасибо! С удовольствием наблюдаю за ходом ваших рассуждений и шутите красиво!
Очень приятно.
Шикарная задача! Спасибо! Решил ее несколько иначе. Более громоздким способом.
Да, согласен. Классика!
Огонь! Спасибо вам!
И вам спасибо!
Благодарю. Интересная задача. Как раз мне такие нравятся, но не всегда выходит решить. Но эта простая:
На основании АС построим равносторонний треугольник АДС. Так,чтоб вершина Д располагалась вверху (над точкой В).
Треугольники АДВ и АСК равны по 2му признаку: стороны АД=АС - стороны равностороннего треугольника.,
углы ДАВ=САК =10 градусов,
и углы АДВ=АСК= 30 градусов.
Из равенства этих треугольников следует,что АВ=АК.
Значит треугольник АВК равнобедренный с углом ВАК при вершине=40 градусов.
А углы при основании
АВК=АКВ=(180-40)/2=70 градусов.
Задача решена.
Пробуйте!
1) Достроим треугольник до равностороннего и назовем новообразованную фигуру ADC, соединив точку D с точкой B.
2) Замечаем, что треугольники ABD и CBD равны по трём сторонам, из чего вытекает равенство углов ADB и CDB, которые равны половине угла D, а значит по 30°.
3) Обращаем внимание, что и треугольник AKC тоже равен двум вышеозначенным по второму признаку, поскольку AD=DC=AC, и в каждом из треугольников к ним прилегают углы по 10° (60-50 с обеих сторон) и 30° соответственно.
4) Из полученного вывода мы извлекаем, что AK=AB=BC, а значит треугольник ABK - равнобедренный, а следовательно углы при его основании BK, включая наш искомый угол альфа, равны 180-40/2=70°.
Очень красивая задача.
Классическая задача. Так же решал по старой памяти, но авторский способ мне даже больше понравился, может потому, что дополнительные построения не выходят за рамки исходного треугольника.🙂
решал так же. Достраивал до равностороннего. Далее все углы просчитываются. Классика!
Вот это приятно!@@ДмитрийИвашкевич-я8т
Супер!
Согласен!@@Dmitriy-A
Браво маэстро
Спасибо, конечно.
Ваши задачи решать очень интересно, это еак ларчик открываешь, а там ещё один, только находишь отмычку а там следующий и опять ищешь отмычку. Азартно и полезно.
Спасибо!
Обычно помогает построение равностороннего треугольника на одной из равных по условию сторон. Здесь построим равносторонний треугольник ABD такой, что вершина D ниже AC (более строго - по другую сторону от AC относительно точки B). Тогда DB=BC, угол DBC равен 80°-60°=20°, тогда углы BCD и BDC по 80°, угол ACD равен 80°-50°=30°, а угол KAD равен 60°-50°=10°, тогда треугольники AKC и ADC равны по двум углам и стороне, AK=AD=AB, углы ABK и AKB равны по 70°.
Да, помогает.
Проведём дугу АС с центром В. Угол между отр. АС и касательной в точке С составит 50+90 = 140 грд. (и = уг.АКС). Точка К' как симметричное отображение К через ось АС будет лежать на дуге, и тр. АК'С = тр. АКС. Тогда тр. КСК' окажется равносторонним, а ВСК' равнобедренным. Тр. ВКС = тр. ВКК' по сторонам. Уг. КВС = уг. К'ВС/2 = [180 - (50+30)*2] = 10 грд. В итоге уг. АКВ = углы(КВС + АСВ + КАС) = 70 грд.
Угол АВС = 80
Продлеваем линию АК до ВС
Обозначаем точку пересечения как Р
Угол АРВ = 60
Угол АРС = 120
Угол АКС по условиям = 140
140 - 120 = 20
Отсюда угол АКВ = 60 + 20/2 = 70
И соответственно угол АВК = 80 - 20/2 = 70
Спасибо.
красота!!
Самый лучший комментарий!!! Учитесь.
Можно сократить,если треугольники ABF иAKF равньі, получаем равнобедреньій треугольник АВК с углом в вершине 40°
Спасибо.
Для такой задачи есть продвинутый технологический способ решения (разумеется, недоступный школьникам, кроме особо подготовленных для математических олимпиад вундеркиндов, для которых есть особые школы, в мое время в Москве это были 2, 57 и 179 школы, что сейчас, не знаю). Я решил попробовать сделать таким способом. Может, кому-то будет полезно.
Если обозначить β = ∠KBC, то очевидно, α = β + 60°. Тогда теорема Чевы в тригонометрической форме выглядит так sin(40°)*sin(β)*sin(30°)/(sin(10°)*sin(80° - β)*sin(20°)) = 1;
(Примечание для тех, кто уже испугался, эта формула очень проста по конструкции - в числителе все "левые" углы, в знаменателе все "правые", если последовательно обойти вершины по часовой стрелке, глядя на точку K. "Левый" угол - это если вы стоите на вершине, смотрите вдоль линии на точку K, и угол слева. Обычно при первых попытках использования ошибаются именно на этапе записи этого выражения, неправильно расставив углы. Если точка K внутри треугольника, еще просто разобраться, но она может быть и снаружи.... :) ну, это я так, ...)
После совсем простеньких манипуляций с тригонометрией (буквально пара строчек, сами попробуйте) получается такое выражение. cos(20°)/sin(10°) = cos(β + 10°)/sin(β). Очевидно, что β = 10° - решение, а поскольку справа стоит монотонная функция в промежутке от нуля до возможного максимума (по сути, если раскрыть скобку, останется котангенс, монотонно убывающая функция), то решение единственно.
Не скажу, что это просто и красиво, но - работает.
Очень интересно!
Вот это задача СУПЕР! И неясно чего больше: красоты или искусства! Проведём СМ до АВ и высоту В(ОЕ)D. Углы: ABD=40, AMK=100, MKA=40, AEB=100, BOK=120, MOB=EOK=60. Сл-но: тр-ки АЕВ и АМК --
равнобедренные и равны. Отсюда : тр-ник АКВ--равнобедренный (АВ=АК), угол АКВ=70. Можно через равенство тр-ков МОВ и ЕОК --тр-ник ВОК--равнобедренный, сл-но, угол ОКВ=30, а АКВ=40+30=70
Да, интересная классическая задача на углы.
Красивая задачка.
Красота, ещё бы и закрашивать снежинками😊
Сделаем!
"Чисто для прикола" ещё решение. На отрезке АК строим равносторонний треугольник АКD, (D ниже прямой АС). Угол КСА 30° половина от угла АКD, значит D центр окружности описанной вокруг треугольника АКС. Значит треугольник АСD равнобедренный с углами 50° при основании. Он равен исходному тр,. АВС по общей стороне и двум углам. Значит АК=АD=AB . Почему я и говорю, там где есть угол 30°, опирающийся на отрезок, как вариант, можно найти равносторонний треугольник, с ним рядом равнобедренный и это может помочь в решении.
Здорово!
Для прикола. Введём систему координат. Центр в середине AC, т.C(1,0), т.B(0,tg50°). Пусть т. K(x,y). Тогда уравнение для искомого угла a:
tg(a-10°)=(tg50°-y)/x
Т.к tg60°=√3=(1-x)/y, то
x=1-√3y.
tg10°=y/(1+x)=y/(2-√3y),
tg50°=tg(60°-10°)=√3-2y
Подставляем в уравнение справа и получаем, что
tg(a-10°)=√3=tg(60°).
Сл-но a=60°+10°=70°.
В аннотации четко сказано задачка для 7-8 класса . Ай-яй-яй!😃
@@ДмитрийИвашкевич-я8т
Извините, не читал аннотацию😊. Моё решение геометрическое, как выяснилось, уже озвучили, поэтому, для прикола, написал решение алгебраическое-тригонометрическое. Думаю не помешает. К тому же, прикольно ведь, что в результате вычислений получается простой результат.
@@voldemarvoldemar4800 Согласен!
Супер!
Хорошая задача пришлось попыхтеть :) получилось не короче, но другое, пересечение ВН и АК центр описанной окружности О, ОКС равнобедренный с углами при основании 20, угол ВОС=100, на ВО построим треугольник ВОМ равный ОКС и получим равносторонний КОМ и равнобедренный ВМК с углами при основании 10 и искомый 60+10=70!
Тоже неплохо!
Здравствуйте. Классная задача. Решил с помощью теоремы синусов. АК=АС*sin30/sin140=AB*sin80*sin30/(sin50*sin40)=AB*sin80*/(2*cos40*sin40)=AB* sin80/ sin80= AB. Т.к. АВ=АК треугольник АВК равнобедренный, угол АКВ=(180-40)/2=70.
Великолепно.
Получил 70 градусов. Посмотрим решение автора.
Класс! У меня решение немного другое, продлил КС до пересечения с АВ. Получил равнобедренный треугольник с углом при вершине 20 градусов, у которого от вершины отложен отрезок равный основанию. Старая задача, легко решается, получаем угол АВК в 70 градусов, значит и искомый тоже 70 градусов.
Главное что сам!
Вверху поставим точку Д
Та чтобы АД=ДС=АС
И соединим ДВ
Получается
Отлично!
Угол А =углу С= =40+10=50; угол В=180-50*2=80 ; угол КСВ= 50-30=20; угол КСА-внешний угол для треугольника КСВ и равен углу КВС+КСВ=30; значит угол КВС=30-20=10 и тогда угол АВК =80-10=70 градусов; в треугольнике АВК угол АКВ= 180-(40+70)=70 градусов
Спасибо. Отлично!
Видел ещё одно решение этой задачи очень крутое-нужно достроить треугольник ABC до равностороннего)
Спасибо.
👍
Спасибо.
Привети из Болгарии.😊
Спасибо!
Красивая задача
Спасибо.
@@GeometriaValeriyKazakov это Вам огромное спасибо за интересные задачи. Здоровья, мира, счастья, удач, успехов, финансового благополучия вам.
@@СвязиНа
Я поодлил АК до отрезка ВС.и асе. Хватило для подсчетов.А если доказать что КАВ равнобедренный ,то вообще все просто.
Отлично!
На стороне АС построим равносторонний треугольник, третяя вершина пусть будет О. Треугольник ВОА = треугольнику КСА, по стороне и двум углам. Следовалельно АВ =АК. Значит угол ВКА = 140/2=70
Супер!
не решилось у меня как ни пытался( да... красивое решение... пожалуй, это самая сложная тема в планиметрии... играют только углы и соотношения сторон.. и любой гомотетичный треугольник в условие укладывается... крч, нечестная задача... шутка) спасибо, Валерий
Согласен.
Опять я придираюсь, но всё-таки: после доказательства равенства АВ и АК - зачем искать прочие углы? Ведь ответ найден уже на этом этапе.
Да, можно через равнобедренный. Но я люблю находить все-все. Вдруг пригодится и будет видна вся разбалловка. Но вы правы.
Пусть имеется чертеж, состоящий из множества точек плоскости или пространства.
Как только мы начинаем его чем-то дополнять, а это обычно отрезки прямой,
часто возникают совсем недетские вопросы, о которых большинство даже не задумывается:
где эти отрезки будут проходить и как пересекаться.
Объяснение "из чертежа видно, что ..." в математике не принимается.
Это касается и настоящей задачи.
Вы имеете ввиду, что нужно обосновать, что биссектриса ВН проходит внутри угла АВК?
@@ДмитрийИвашкевич-я8т
Поскольку высота ВН является и биссектрисой, то она находится внутри угла АВС,
а вот в случае угла АВК уже надо доказывать. Всё, что вы скажете или не скажите,
в математике (и не только) может быть использовано против вас. Шутка!
Кстати, почему прямые ВН и СК пересекаются, причем внутри треугольника?
Спасибо!
Ну и....
Продлеваем синий до середины треугольника и туда же строим биссектрису угла 40. Из точки встречи в верхний угол. По обе стороны от биссектрисы равные треугольники значит искомый угол (180-40))2=70.
Посмотрел ролик .. то же самое ..
Значит - синхронное плаванье!
Тригонометрию посмотрите, все ли у меня правильно. Я ж не проверю особо, записал и все.
@@GeometriaValeriyKazakov
Все выглядит чисто - после схождения синего и биссектрисы посередине все прямо как путь самурая. Нет места для ошибок.
Спасибо!@@ОлегКозловский-о8е
Интересно, то что точка F - точка Торричелли
Здорово, я и не заметил. Нужно будет повторить!
Тот очень редкий случай, когда мне удалось решить задачу за один вечер.
Поздравляю!
Опять долго мучаетесь в финале: AB=AK, треуг ABK - равнобедр., угол при вершине 40, значит при основаниях по 70.
Да, тут нре просто!
Как вы все не понимаете, как дети, просто. Да вижу я этот равнобедренный. Но если я пойду чуть иначе у меня добавится 20 комментов! Тактика! Это ж канал, а не танцы у доски.