O Paradoxo do Pintor EXPLICADO
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- เผยแพร่เมื่อ 19 ม.ค. 2025
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O Paradoxo do Pintor diz que existe uma superfície com volume finito, portanto cabe dentro dela uma quantidade finita de tinta, mas com área infinita, e daí nem toda a tinta do mundo é suficiente para pintar uniformemente o seu lado exterior.
Neste vídeo, vamos falar a respeito de superfícies do paradoxo do pintor, como por exemplo a trombeta de Gabriel, e ver por que elas possuem volume finito e área infinita. Além disso, também veremos outros exemplos de superfícies com volume finito e área infinita, mas que também são limitadas no espaço (ou seja, podem ser guardadas dentro de uma caixa).
E o contrário, é possível? Existe uma superfície com área finita e volume infinito?
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Roteiro, apresentação e edição: Daniel Nunes
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Esse canal foi minha melhor descoberta de 2023, oloko
SIM
Agora sim eu entendi esse negócio. A quantidade de tinta necessária para pintar a trombeta seria finita se a camada de tinta também fosse ficando cada vez mais fina, como a própria trombeta.
Quero agradecer por ter deixado esse comentário. Ajudou demais na minha compreensão visual do negócio.
Me ajudou a compreender flw
Mais um vídeo sensacional, já é tradição!
Uma pergunta: Professor, já foi convidado para algum podcast?
Seria incrível!
Abraços de João Pessoa, Paraíba.
Que bom...fico feliz. Já fui empacotador na adolescência. Um pacote infinito seria o desespero.
😂😂😂
Nesse vídeo aprendi 2 coisas:
1)Podem existir coisas com área infinita e volume finito
2)Infinito é bem mais estranho do que eu pensei
Estuda os infinitos dos naturais, inteiros, racionais e reais
Comecei a assistir os seus a cerca de um mês, uma pena que devorei todos os vídeos em apenas 3 dias de tão bons que são kkkkk. Vídeos muitos bem feitos e didáticos, parabéns pelo trabalho.
Seus videos são ótimos, vc merece muito mais reconhecimento. Obrigado por fazer um trabalho tão lindo aqui no TH-cam.
Muito bom! Aprendi em cálculo I sobre a trombeta de torricelli, faixa de moebius etc, mas a parte de provar utilizando séries acho que foi em cálculo III.
Seu vídeo são muito bons.
Muitíssimo obrigado!!! ✌️😎👍
É só encher a trombeta de tinta e depois derramar a tinta que por dentro já estará pintada.
Conheço um pintor, 77 anos, mal sabe escrever, mas que pinta rapidinho essa trombeta, e sobra tinta!!
Excelente vídeo. Parabéns, de novo!!
Pensando do ponto de vista físico fica bem pareciso também: não seria possível pintar a trombeta de Gabriel porque, em um dado momento, a espessura da trombeta seria menor do que o tamanho do átomo da tinta. Mas o volume seria finito porque, em um certo ponto, o volume também seria menor que o raio de um átomo e ele "tamparia" o restante do espaço, fazendo um volume limitado de tinta entornar.
Só fui perceber dps de um comentário. Cara, a capa dos seus videos são geniais 😂 . Serio é mt bom ficar vendo
Eu estava esperando o vídeo da trombeta de Gabriel, obrigado❤!
Sensacional, Daniel!
Então, é possível concluir que o infinito sempre estará 1 dimensão abaixo do finito? Por exemplo, a área pode ser infinita se o volume for finito, ou então, o comprimento pode ser infinito se a área for finita?
Seu canal foi uma ótima descoberta esse ano! Parabéns!
Nossa, fantástico que nesse video começou sobre fractais, no aguardo para um video falando mais sobre esse tema tão sinistro e interessante. Muito bom os seus vídeos.
O legal que só pelo conteúdo teórico, algumas pessoas nem devem ter noção de que esse cálculo é simples de se fazer, muitas vezes aprender novas ideias são desafios maiores.
SEMPRE APRENDENDO O "INEXPLICÁVEL", DE FORMA VISUAL, NESSE CANAL!!!
faz mais vídeo de cálculo e de derivada ou da equação quadrática. Fico curioso pra facul e gosto demais de seus vídeos
Agora imagina a atual presidanta do banco dos BRICS explicando isso!
Muito bom o vídeo 👏!! Queria que vc fizesse um vídeo falando sobre o grupo monstro e dando uma introdução a teoria dos grupos 😅
O melhor canal. Nao para professor!!
Vocês escaparam empacotadores, por em quanto... >:]
Pelo que eu entendi, a área é infinita pois chega num ponto em que a área da trombeta se estende de tal forma que torna-se uma reta (pois vai "afunilando" cada vez mais até que em determinado ponto, afunila tanto que a partir de tal ponto possuirá uma "área" infinitamente pequena, no entanto, sendo uma reta, a área superficial é infinita, e a partir do momento em que a "área superficial" se torna uma reta, não terá mais volume, o volume "acaba", ou seja, o volume é finito").
Prof. Dr. Daniel Nunes "Pêcego", UFRJ, belíssima a questão de matemática aplicada acima, e as tuas explicações, atinentes ao volume finito e a área infinita da "Trombeta de Gabriel" foram irretocáveis, claras, fascinantes mesmo. Parabéns. Abraço FAB. CLAUDIR MATTANA, LPM. Canoas, RS.
Paradoxo muito útil no dia dia parabéns.
Parabéns. Muito bom seu canal. Vou maratonar
5:22 já tava quase comentando a minha solução genial
Eu só não entendi ainda como que uma área infinita "cabe" dentro de um volume finito. É como se em um determinado ponto o "afunilamento" da trombeta fosse tão estreito que se torna uma reta? Assim a área é infinita (graças a essa reta), porém o volume não (pois o volume "termina" onde essa reta começa)
Professor, Vale a pena cursar matemática Pura? Sugestão de vídeo também.
Só encher de tinta depois despejar e a trombeta estará pintada até o infinito! 🫠🫠🫠
Na lata desta tinta está a instrução: "aplique em camadas com a espessura de uma sombra." Claro que, se estamos falando de uma tinta tão ideal quanto o referido sólido geométrico, esta tinta é infinitamente fluida, portanto pode "espalhar-se" infinitamente, com a "espessura" da lâmina de tinta tendendo a zero. Assim, um respingo qualquer de tinta pode pintar o mundo inteiro (e não só a trombeta).
muito bom..conteúdo de qualidade em matematica..parabéns!
Quando meu professor falou desse exemplo da trombeta e falou que dava para encher mas não para pintar, eu falei "Enche de tinta" e zoei que tinha quebrado a matemática 🤣
Esse é um paradoxo matemático, esse objeto seria impossível existir na realidade. Na matemática tudo é possível. Daí tantas teorias absurdas do universo e multiversos.
Olá, olha eu aqui 😊
Vídeo lindo! cálculos fantásticos. (Porém errados)
Vamos lá, uma soma de frações é infinita se "não tem fim" ou seja 1/2 +1/4 + 1/8 e por aí em diante sempre terá um novo termo e nunca o resultado será 1 (2 ou seja lá o que for)
Logo no exemplo do objeto "trombeta de Gabriel" ela se for de área infinita, será obrigatoriamente de volume infinito.
Para simplificar (muito) consideremos que ela tem inicialmente área externa de 1 metro para preencher a área interna, precisamos de 1x logo em seguida a área externa tem 0,9999... Metros (pois como demonstrado na imagem é uma curva que vai afunilando, afinando como queria chamar) logo precisamos de 0,99999...x para preencher o volume interno, vemos assim que se a área externa é infinita, o volume interno também, pois para cada nova medida de área temos uma correspondente de volume! Simples assim!
Muito bacana o video, mas senti um pouco de falta das integrais (ja fiz calc 1, 2, 3)
Trabalho maravilhoso meu chapa!
Para simplificar, não existe infinito que acaba, não existe infinto maior que outro.
Não existe o hotel infinto no qual "todos" os quartos estão ocupados (porque se é infinto sempre haverá um novo quarto vago)
Essa ideia equivocada de algo infinito que na verdade tem um fim, precisa ser removida da matemática se quisermos avançar.
Seu videos são muito bons!
Cada video eu viro mais fã desse canal!
Uma pergunta como estudar matemática do 3 e.m pra nível de faculdade sem estar em uma faculdade
Tipo: cursos,livros,videos,ou apenas ir e vendo na faculdade?
o objeto resultante da pintura de uma trombeta de Gabriel por uma camada de tinta de espessura constante não é outra trombeta de Gabriel. É um outro objeto, cujo volume é infinito, diferente da trombeta, que é finito. Pensar assim facilita aceitar essa ideia do paradoxo.
Cara, vou tentar rever quando eu chapar um paiêro. Juro que volto.
Achei que nunca ia entender, agora tenho a certeza. 😂😂😂
Eu ameiiiiii, eu to aqui bebdo. Eu pensando os objetos. Que coisa bizarra. Aproveita é fala sobre homeomorfismo na topologia.
Eu entendi perfeitamente o ponto em que se encontra o paradoxo, porém o paradoxo existe somente matematicamente (teórico), na prática é outra história... é como dizer que um centímetro é infinito, mesmo tendo o tamanho definido (1 cm) dizendo que 1 cm pode ser dividido infinitamente, e por isso se tornou infinito... tendo por base somente a matemática, quase tudo pode ser finito e infinito ao mesmo tempo.
Wow, seu exemplo do cm me ajudou compreender um pouco o infinito, obrigado
De ante mão informo que sou leigo em questões matemática, porém possuo muito interesse pela área, de tal forma que fui pesquisar sobre para não falar aqui baboseira , compreendi que para calcular isso deve saber o volume de um sólido de revolução. Mas aí que começa minhas dúvidas , em básico para todos que volume é a junção de três medidas , sendo elas comprimento , largura e altura, em que comprimento × altura se achará a Área. Até aí beleza, aí notei com base no que foi dito que a Área é infinita , então a altura quanto o comprimento são infinitos consecutivamente, pois nunca chegam a um determinado fim , então tendo como premissa que dois dos três elementos que necessitam para saber o Volume são infinitos e que somente a Largura é finita , como pode alegar verdadeiro o volume ser finito , já que infinito vezes qualquer número finito dá infinito????
É um questionamento genuíno, pq me deixou com uma séria dúvida kkkkKKKK
Aí alguém pode vim falar "Juan , mas o seu erro foi ter usado a fórmula genérica para objetos básicos e não de revolução"
E aí eu pergunto , se a fórmula não contempla a todos os objetos , então pode muito bem dizer que sua funcionalidade é só para os básicos e esses básicos contemplam os objetos complexos .
Eu mesmo desacredito que isso seja real, até no campo matemático pq gera um próprio erro na matemática que aí sim , por tal motivo configura-se um paradoxo kkkkkkk
É falso que a área é igual ao produto do comprimento pela altura. Isso só é verdadeiro se ao longo da altura o comprimento for constante. O seu erro é pegar propriedades de casos particulares e generalizá-los sem justificativa. O correto é imaginar que a área é a soma dos infinitos comprimentos que compoem a superfície. Caso esses comprimentos sejam constantes aí sim, a área é o produto do comprimento pela altura que se estende. Entretanto, no caso da trombeta de Gabriel, os comprimentos são iguais entre si e são infinitos. Logo, a área é infinita. Note que se a área é infinita ao menos um dos dois, comprimento e altura serão infinitos, mas não o dois necessariamente (outro erro seu expresso na terceira linha).
Da mesma forma, é falso que o volume é produto da área pela largura. Isso é verdade se ao longo da largura a área for constante. O correto é imaginar que o volume é a soma de infinitas áreas que se estendem ao longo da altura.
Note que a área que é infinita é a superfícial, já área que é usada pra calcular o volume é a área de uma fatia transversal dentro do sólido, ou seja, essas áreas são pegadas de lugares distintos. Sendo a área da fatia tranversal finita (verifique visualmente dentro do cone), a soma das inifinitas áreas pode ou não ser infinita. Nesse caso finita pois a soma converge.
Não há contradição alguma, isso só mostra que tratar o infinito de forma não rigorosa, isto é, supor coisas sem provar, ir pela intuição, como você fez gera, conclusões absurdas.
Cara, essa foi difícil de acompanhar, mas deu pra entender, explicação muito boa. Só não entendi o exemplo da bola no espaço, mas com a explicação da razão V/A deu pra entender.
É só considerar o objeto geométrico como sendo o externo a esfera. E não a parte interna como de costume. A parte interna tem volume finito, é o volume usual da esfera que calculamos. Mas toda a parte externa tem volume infinito. E como ela não tem borda, não tem nenhuma superfície externa pra calcular área. A única superfície é a da própria esfera.
Imagine um queijo com vários espaços vazios internamente. O objeto geométrico é o queijo e não os espaços vazios internos. Só que o queijo tem borda externa e cabe em um volume finito. O queijo é apenas pra ilustrar.
Se vc somar a quantidade de tinta para pintar cada área tbm ela não vai tender a 1? Tipo, vamos supor, usa meio litro de tinta para pintar a primeira parte, 1/4 para a segunda, etc...?
o volume é menor que 1, já que cabe na caixa. Mas a área é infinita.. tome só a área do quadrado da frente. Veja que independente do volume, a quantidade de tinha é igualc (área do quadrado, que fixa), certo? Logo, se existem infinitos quadrados, seriam infinitas tintas. Ao mesmo tempo, a distância entre esses quadrados vai diminuindo, logo vai chegar um momento que não dá para pintar mais..
@@AninaiZBR , mas quanto é 1/2m2 + 1/4m2 + 1/8m2.... ?
@@AninaiZBRcomo que o volume é menor que 1 se é igual a pi?
cara você muito bom ate minha mãe que é professora de matemática assiste seus videos
Se olhar com atenção dá pra ver ele se mexendo atrás do vídeo da trombeta
Tenho uma pergunta pra parte 7:15 do video. Foi provado que o quadrado tem uma area infinita com volume finito, portanto ele caberia em uma caixa como foi mencionado, minha pergunta é oque aconteceria se a caixa estivesse cheia de tinta? A tinta não preencheria todos os "buracos" do solido e, portanto, o pintaria?
Não desconsiderei a parte em que ele falou que os buracos teriam uma expessura tendendo a zero, mas ao mesmo tempo a expessura não pode ser zero, portanto o ultimo buraco antes da ultima peça teria uma expessura maior que zero e isso implica que poderiamos pintar o objeto inteiro com essa mesma expessura, o problema mesmo seria descobrir exatamente qual é
@@vaco0663Não existe última placa, elas são infinitas. E como ele especificou, é uma pintura uniforme, ou seja, com mesma altura de tinta em todo o objeto, colocando numa caixa, a pintura não seria uniforme.
Professor, tenho uma duvida a respeito dessa mesma situaçao em dimensoes maiores. por exemplo nesse caso ai, um objeto de 3D finito gerando uma 2D infinito, o memso se aplica a ao tangram, por exemplo, onde a area 2d sempre eh a mesma e vc pode alterar o perimetro 1D e assim por diante. entao pensando a respeito disso, caso nos tivermos uma figura 4D finita, podemos extrair dela volumes 3D inifitos? e se fosse uma figura 5D finita, da pra extrair infinitas figuras 4D? inclusive eu ja ate pensei em aplicar isso em superficies vivas, pq a forma como os animais usam a força, ou perdem calor, depende da area 2D, mas o peso depende do volume 3D, mas quando se acha uma equaçao q descreve isso vc fia com um expoente fracionado, assim como as dimensões dos fractais. entao pensando eu, como o corpo dos seres vivos possuem areas redobradas, tempos q sao quase um fractal, o sistema circulatorio e nevoso sao fractais lindos.
Na verdade, apesar de matematicamente funcionar, o exemplo das placas quadradas numa caixa não funciona com as leis da fìsica atuais, já que o número de placas ficaria limitado a quando a última delas atingir o comprimento de Planck.
Mas tudo bem, talvez a Física Quântica seja uma área que caia um dia, assim como já ocorreu com outros paradigmas cientìficos que faziam sentido com o conhecimento da época.
Sim comentei isso nem seria planck, o limite seria 1 átomo do que a trombeta é feita.
Nao entendí algo...si a "espesura" da trompeta caso fose infinitamente pequenha (puntual o un plano de duas dimensoes nada más) o area interna sería igual ao area externa, pelo tanto o volumen sería INfinito...paradoxa ou erro?
Opa, estou começando a estudar matemática pelo livro, fundamentos da matemática elementar, vc achar que esse livro é bom para começar ?
Não sou o dono do canal, mas é bom sim. Claro que depende do seu nível e objetivo.
Pelo amor de todas as formas geométricas do universo. Eu não consigo mais raciocinar e agora me acho o ser mais burro da superfície terrestre
Traz está bagaça, e vai ver se não muda de cor😂
9:38 - Poderia me explicar o paradoxo do queijo suíço?
Quanto mais queijo, mais buracos. Quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo.
Tudo bem, isso é um silogismo. Mas é interessante.
Engajamento hoje. Engajamento sempre 😂😂😂
Imagina como deve ser a boca do anjo Gabriel pra conseguir tocar essa trombeta aí... 😅
Esse objeto geométrico definido como sendo o inverso da esfera foi bem criativo, apesar de ser talvez, uma solução inválida. Como a única borda seria a da esfera, ele teria área finita porém volume infinito. Poderia explicar um pouco porque esse objeto geométrico é inválido? Afinal pra ter volume infinito tem que ter comprimento infinito. Qual o problema se for infinito nas três dimensões, ocupando todo o espaço exceto a esfera interna?
imagino que seja apernas uma questão de "regras do jogo"
Ele não é inválido, só é meio forçado, parece quase um roubo. Mas matematicamente ele é correto.
o som que essa trombeta deve fazer seria incrível
Quem estaria na ponta se ela é infinita? 0_0
@@Vinny_3041 💀
@@Vinny_3041 Gabriel estaria na ponta. A trombeta é dele.
Eu te amo Daniel Nunes do Tem ciencia, eu te amo
Salve daniel monstro, mano eu vi em um livro(nao vou lembrar o livro agr) que nao se pode usar a propriedade da comutatividade em somas infinitas, porem vc usou pra demonstrar q o volume sa trombeta e finito (min 3:16). Obviamente que você não esta errado, nao é esse o caso, oq eu queria saber e se existe alguma excessao ou se a minha memoria esta me enganando. Comecei o bacharelado esse ano gosto mt do seu canal
Com séries absolutamente convergentes como essa não há nenhum problema em comutar. O problema ocorre quando a série não converge absolutamente (tem termos positivos e negativos que, em módulo, divergem no somatório).
@tenho uma pergunta tem uma publicação em 2017 que fala que Cientistas descobrem como quebrar a segunda lei da termodinâmica
CIÊNCIA E TECNOLOGIA
09 DE FEVEREIRO DE 2017ÍGOR RÔZIN, GAZETA RUSSA
Equipe descobriu que a entropia pode decair em sistemas quânticos isso é verdade professor
Wtf, volume menor que área? Física mentiu pra mim? Kkkkkk
Ok. Mas desconfio que é mais um truque de prestidigitação da matemática. Como no paradoxo de Russel, usando a lógica para provar uma impossibilidade. Lewis Carroll, autor do Alice no País das Maravilhas, também um matemático interessado na lógica matemática, já tinha explorado inadvertidamente essa questão: pode-se provar qualquer coisa usando a lógica.
Colei as placas 😂... Super
Muito bacana!
Muito bom!
Opaaaa. Vídeo novooooo!
Ótimo vídeo!
Primeira estrutura q eu conheci q não é fractal e isso ocorre.
conheço outro paradoxo do pintor:
você pinta como eu pinto?
Obrigada ❤
A matemática é lindíssima!
Parabéns.
0:42
pq eu acho que isso é tipo um buraco negro?
Pra o que nao ha fim existe apenas um só INFINITO.
O CÁLCULO É FANTÁSTICO!!!
Mas é impossível isso ser infinito, gente.
Sensacional
Fisicamente isso não existe, apenas mentalmente.
Alguém poderia explicar melhor a aproximação do volume usando os cilindros? Como os cilindros tem volume menor que 2, se a ideia inicial era calcular um volume maior que o da trombeta (pi)?
Eu tenho uma pergunta quanto é 999999...,999999... mais 0000000...1?
45 😎
você tem que definir isso melhor.
@@linecker94 Ele deve querer saber quanto são 0,999999..( infinitos noves como casas decimais) + 0,000000..1 ( o 1 após infinitas casas decimais )
@@sthePTRJ Tenho quase certeza que essa definição não faz sentido. Mas se houver sentido creio que seja
0 = 0,00000000000000...1
Mas acho que essa representação decimal não está definida.
Suponha x = 0,00000...1 com infinitos 0
10x = 0,00000...1 ainda com infinitos 0
Ou seja, o mesmo número. Assim 10x = x isso implica em x = 0
Assim 0,00000...1 = 0
Mas isso tudo só faz sentido se essa representação estiver definida. A princípio eu diria que ela não está definida. Tenho que estudar mais sobre representação decimal.
@@Frieren_a_freira_defeituosa 99999... não é um número real.
isso é igual a 9 + 90 + 900 + 9000 + ... que é uma série divergente.
Então não faz sentido perguntar quanto é uma coisa indefinida mais outra coisa.
Muito bom
😂😂😂 Mano que nó do caralho pra saber que o universo pode ser um buraco negro
Ou seja, só dá pra pintar a trombeta por dentro :-)
Essa foi difícil de acompanhar. 😅
Ou seja, não é possível transformar volume em área e vice versa.
Não pude deixar de notar uma incongruência no escrito da pintura: Dabo in loco isto panem dicit Dominus exercituum. Neste local darei pão, diz o Senhor dos exércitos. Claro, ele pode dar qualquer coisa. Mas referindo exércitos, pão não é uma coisa que se pense imediatamente. Na real, acho que a passagem original cita "pacem", (logo, darei a paz), o que faz bem mais sentido hehehe
00:59 Um olhar cirúrgico! E creio que você tem razão. A pintura é nacional, da Igreja do Santíssimo Sacramento de Sant'Ana, em Salvador BA.
@ Além de matemática eu curto latim também. Cada um com suas esquisitices hehehe
Caramba cara você e foda mano
Incrível!
Fantástico!
Paradoxo do empacotador 😅
🤪
massa
❤