Trace et nilpotence-Agreg-Docteur-2024
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- เผยแพร่เมื่อ 5 ก.พ. 2025
- Une variante originale du critère de nilpotence par trace dans un exercice donné au concours de l'agrégation spéciale docteur 2024. On pourra retrouver avec bonheur d'autres preuves similaires dans Carnet de Voyage en Algébrie.
Très belle vidéo, claire et concise.
Merci très intéressant comme exercice et la solution est bien détaillée.
Le carnet de voyage en Algébrie a une jolie démo matricielle des identités de Newton pour k ≥ n. Sauf erreur, ça n'est pas suffisant pour avoir que χ_A est déterminé par les tr(A^k), k = 1..n, ce qui est pourtant une jolie généralisation du résultat de la vidéo. Est-ce qu'il existe une jolie démo de ce résultat, ou doit-on passer par tout le formalisme des sommes de Newton ?
@@JeanPierrePompin c est vrai que cva montre ça pour k plus grand que n. Pour K plus petit je pense qu il faut évaluer en 0 certaines variables... À voir.
Bonjour,
Question intéressante. Ça reste compliqué je trouve sans les sommes de Newton.
J'ai procédé ainsi
1) j'avais déjà remarqué à l'occasion du visionnage d'une vidéo sur cette chaîne que la série entière sum_k t^k Tr(A^k) détermine complètement la polynôme caracteristique via la dérivée logarithme de X_A
Dit autrement, X_A est complètement déterminé par la suite (tr(A^k))_{k in [1; +infty[ (via unicité de la décomposition en éléments simples, bref faut faire le calcul)
2) après on en passe par de l'analyse pour montrer que cette série entière est complètement déterminé par ses premiers termes
Pour ça soit P unitaire de degré n, on montre que P'/P est complètement déterminé par le début de son développement asymptotique en +infty, on va jusqu'à obtenir un O(1/t^{N+2}).
En effet si Q est unitaire de degré n et tel que sa dérivée logarithmique a même début de développement que P'/P, alors si on pose y:=Q/P, on a y'/y=O(1/t^{N+2}) puis après un petit calcul élémentaire P(t)-Q(t)=O(1/t) au voisinage de l'infini et comme P-Q est un polynôme on obtient P=Q.
3) le calcul de la série entière en 1, fait apparaître la dérivée logarithmique de Xa et en appliquant 2, les seuls termes tr(A^k) pour k allant de 1 à N déterminent X_A.
@totototo8119 merci pour cette vision des choses, mais les sommes de Newton que l'on obtient avec Cayley Hamilton me semble ici plus simple. Ou alors juste le théorème fondamental des polynômes symetriques
Il me semble que ce n'est pas exactement la question posée. Bien sûr si on connaît Xi A et les premiers termes tr(A^k) pour k allant de 1 à N, alors on connaît tous les trace de A^k pour k entier. Il suffit de calculer tr(A^p xi(A)) et on obtient une relation de récurrence linéaire.
Mais sauf si je n'ai pas compris, ce n'est pas la question posée. On nous donne tr(A^k) pour k allant de 1 à n mais sans donner Xi A. Est ce que ces n nombres déterminent xi_A.
Oui, on peut le faire avec les relations sommes de newton et fonctions symétriques mais la question posée était de faire sans (si j'ai bien compris).
@@totototo8119 Oui, c'était la question ! Je suis 100% d'accord que la théorie générale des polynômes symétriques donne une réponse intellectuellement plus satisfaisante, mais c'est toujours bon de connaître des petites « perles » pour avoir de jolis résultats pour moins cher. Et comme cette chaîne regorge de petits trésors comme ça, je me disais que c'était un bon endroit où poser la question. Je dois encore mieux comprendre la réponse de @totototo8119, mais je suis sûr que c'est une bonne idée.
Et en plus ça marche pour tout corps de caractéristique nulle. J'achète et je garde !