Obrigado pelas soluções. Aprendi muito. Fiz uma solução diferente parecida com a do axioma. O problema é que não se sabe de que grau é o polinomio. Como se trata de uma questão de alternativas, pode-se pensar primeiro em um polinomio basico, ou seja de primeiro grau e teríamos P(51)=a.51+b e P(3)=a.3+b montamos um sistema 51a+b=391 e 3a+b=5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9, lembrando que a é um coeficiente inteiro, somente quando colocamos 7 é que achamos a como um número inteiro e portanto P(3)=7. É lógico que esta solução não verifica se isto é valido para os demais polinomios de maior grau, mas como a questão não é discursiva e sim de alternativas se se acha um caso está valendo. Obviamente a sua solução, as 3 são mais completas pois se verificam para qualquer grau do polinomio. Obrigado
3 ปีที่แล้ว +3
Do primeiro caso, se manipular direitinho essa desigualdade, o "resultado" (do q(3)) conclama o 8. Gostei mto dessa primeira forma de fazer, e da forma explicada.
If P is a polynomial with integer coefficients, then P(a)−P(b) is divisible by a−b for any distinct integers a and b. In particular, all integer roots of P divide P(0). There is a similar statement about rational roots of polynomial P(x)∈Z[x].
Professor tudo bom? Seus vídeos são excelentes!!! Traz uma playlist resolvendo as questões do ITA de matemática tanto as questões objetivas tanto as discursivas, vai ser muito bacana!!!
Na sua Sol. II (no final), vc poderia fazer assim: Se 391 = 48x8 + 7, logo: Z = [48x8 + 7 - p(3)]/48 -> Z - 8 = [7 - p(3)]/48 = W(pertence aos Z). De acordo com os pequenos valores de p(3) < 12, logo [7 - p(3)]/48 só será inteiro se 7 - p(3) = 0 -> p(3) = 7. Daí ñ ia precisar faze-la por tentativas. PS.: sua solução III foi a + elegante. Parabéns pelo vídeo.
Professor eu fiz supondo o P(x) sendo um polinômio do segundo grau. Fiz p(51) e p(3) e combinando essas duas igualdades cheguei na expressão 391 - p(3) = 48. K sendo k um número inteiro. Então para que a primeira parte da igualdade seja um múltiplo de 48 devemos ter p(3) = 7 de acordo com as alternativas.
@@todaamatematica Como a*51+b = 391, eu tentei achar um "a" que deixasse a*51 próximo de 391, para o valor absoluto de "b" não ficar muito grande. Vi que para a=8, temos a*51=408, e então ajustamos b=-17 para chegar a p(51)=391. Assim achamos o polinômio p(x)=8x-17. Testei para x=3 e o resultado ficou entre 0 e 11, como pedido. Foi um pouco de sorte, claro, mas consegui resolver em 5 minutos. Se não achasse logo o polinômio de grau 1, eu pularia a questão 😂
@@todaamatematica qualquer um que ele encontrar, com coeficientes inteiros, tem que dar a resposta p(3) = 7, caso contrário o exercício não teria resposta.
Vamos provar a seguinte afirmação feita por Antonio Luiz em seu comentário: "If P is a polynomial with integer coefficients, then P(a)−P(b) is divisible by a−b for any distinct integers a and b." De fato, P(x) = (x-b)q(x)+P(b) ---> P(a) = (a-b)q(a)+P(b) ---> P(a)-P(b) = (a-b)q(a), como queríamos. (Note que, se P tem coeficientes inteiros, P(a), P(b) e q(a) são inteiros). "In particular, all integer roots of P divide P(0)." Tome b=0 e "a" raiz inteira de P. Logo, a-b=a e P(a)-P(b)=0-P(0)=-P(0). Como, pelo mostrado acima, (a-b) divide P(a)-P(b), segue-se que "a" divide -P(0) e, portanto, "a" divide P(0).
que cara elegante pra resolver as questões
Professor, por favor, continue trazendo esse tipo de video.
Varias soluções para um mesmo problema ajuda muito no estudo
se olhar no segundo método sem a restriçao vao haver infinitos p(3) que (391-p(3))/48 dá inteiro
Aplicação nos capacitores, interessante!
Dando um banho de conhecimento.
Parabens
Merece 1 milhão de inscritos.
Obrigado pelas soluções. Aprendi muito. Fiz uma solução diferente parecida com a do axioma. O problema é que não se sabe de que grau é o polinomio. Como se trata de uma questão de alternativas, pode-se pensar primeiro em um polinomio basico, ou seja de primeiro grau e teríamos P(51)=a.51+b e P(3)=a.3+b montamos um sistema 51a+b=391 e 3a+b=5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9, lembrando que a é um coeficiente inteiro, somente quando colocamos 7 é que achamos a como um número inteiro e portanto P(3)=7. É lógico que esta solução não verifica se isto é valido para os demais polinomios de maior grau, mas como a questão não é discursiva e sim de alternativas se se acha um caso está valendo. Obviamente a sua solução, as 3 são mais completas pois se verificam para qualquer grau do polinomio. Obrigado
Do primeiro caso, se manipular direitinho essa desigualdade, o "resultado" (do q(3)) conclama o 8.
Gostei mto dessa primeira forma de fazer, e da forma explicada.
If P is a polynomial with integer coefficients, then P(a)−P(b) is divisible by a−b for any distinct integers a and b. In particular, all integer roots of P divide P(0). There is a similar statement about rational roots of polynomial P(x)∈Z[x].
Excellent!
Professor tudo bom? Seus vídeos são excelentes!!! Traz uma playlist resolvendo as questões do ITA de matemática tanto as questões objetivas tanto as discursivas, vai ser muito bacana!!!
Professor fiz de outra forma:
Eu tenho o p(51)=391, EU quero saber o p(3), eu sei que o p(3) >0 e p(3)
Não tem garantia que o polinômio é do primeiro grau.
Soluções que envolvem Teoria dos Números, como a última, sempre acho elegante.
No final descobriu que a solução tinha que ser um número x=1 (mod3)
Realmente muito bonito
Desenvolvendo o cálculo, obtemos que 7,895 =< q(3) < 8,145. Como q(3) é um número inteiro, logo q(3) = 8.
Excelente
Excelente demonstração. Particularmente, gostei muito da solução II.
Que completo, mestre! Muito obrigada!
Sem dúvida, a solução mais elegante é a primeira!!
Deu show, parabéns! Eu achei a primeira solução mais elegante.
Entendo nada de Matemática, mas admiro que entende. Queria muito entender essa matéria e nunca consegui e ainda não consigo. Dificuldade extrema aqui!
Excelente
A terceira foi brilhante!!!
OBRIGADO PROFESSOR, QUERIA QUE VC FIZESSE ESSA QUESTÃO!!! FAZ UMA PLAYSLIT DE POLINOMIOS COM ESSAS IDEIAS
Na sua Sol. II (no final), vc poderia fazer assim: Se 391 = 48x8 + 7, logo: Z = [48x8 + 7 - p(3)]/48 -> Z - 8 = [7 - p(3)]/48 = W(pertence aos Z). De acordo com os pequenos valores de p(3) < 12, logo [7 - p(3)]/48 só será inteiro se 7 - p(3) = 0 -> p(3) = 7.
Daí ñ ia precisar faze-la por tentativas.
PS.: sua solução III foi a + elegante. Parabéns pelo vídeo.
Oi me ajuda em duas questões
@@vanessacarolinedesousa4657 mande suas questões pra gente tentar fazê-las.
Otimo, otima explicação. So melhora o teu "a". Ao ver o desenvolvimento sem audio, não sabia o que tu estava escrevendo. Valeu brother.
Manda mais ITA MESTRE .... (abraços)
Usei aritmética modular, ficou ótimo
Professor eu fiz supondo o P(x) sendo um polinômio do segundo grau. Fiz p(51) e p(3) e combinando essas duas igualdades cheguei na expressão
391 - p(3) = 48. K sendo k um número inteiro.
Então para que a primeira parte da igualdade seja um múltiplo de 48 devemos ter p(3) = 7 de acordo com as alternativas.
Achei incrivel a visao de trocar aql expressao horrorosa por Z representando o conjunto dos inteiros
Nada excepcional, se você tem a soma de n constantes > k1 + k2 + ,,, kn = K , o resultado será também uma constante.
soluçao top mestre
A primeira é mais clara. A segunda, o aluno tem que ter muita habilidade e a terceira é muito confusa, embora ajudará o aprendiz e Teoria dos números.
Eu resolvi usando a ideia da tua terceira solução.
Eu resolvi esse aí tentando achar um polinômio de grau 1 que respeitasse as equações.
Acabei chegando em p(x) = 8x - 17. Assim chegamos a p(3) = 7
Mas tem infinitos com p(51) = 391 e p(3) em [0,12). Como você pensou nesse em espefícico?
@@todaamatematica Como a*51+b = 391, eu tentei achar um "a" que deixasse a*51 próximo de 391, para o valor absoluto de "b" não ficar muito grande.
Vi que para a=8, temos a*51=408, e então ajustamos b=-17 para chegar a p(51)=391. Assim achamos o polinômio p(x)=8x-17. Testei para x=3 e o resultado ficou entre 0 e 11, como pedido.
Foi um pouco de sorte, claro, mas consegui resolver em 5 minutos. Se não achasse logo o polinômio de grau 1, eu pularia a questão 😂
@@todaamatematica qualquer um que ele encontrar, com coeficientes inteiros, tem que dar a resposta p(3) = 7, caso contrário o exercício não teria resposta.
No primeiro caso, resolvendo a inequação, chegaríamos a (7,8 ; 8,1]. Talvez seja o caminho mais simples.
Solução 1 é menos difícil e mais rápida, mas não trivial.
3 sem dúvidas
solucao 1, apesar de nao ser tao trivial, é a mais trivial dentre as 3
Qual é esse software de resolver questões? Mesa digitalizadora?
Me perdi na primeira e terceira solução.Endendi completamente a segunda
Me sinto tão inteligente quando chuto C e é a resposta certa
A primeira solução, embora seja mais empírica, tem um entendimento menos difícil.
Definitivamente, não é pra qualquer um.
É cara, tem que quebrar a cabeça, mas com as boas explicações a gente acaba entendendo tudo.
E se a questão fosse aberta seria possível resolver? 🤔
Sim
@@theLudba Como? 🤔
@@andersonconceicao5400 Pelo primeiro método do vídeo
@@luisfelipesantana5729 Realmente, é só resolver a inequação 👏🏻👏🏻👏🏻
A terceira solução é bem legal
Vamos provar a seguinte afirmação feita por Antonio Luiz em seu comentário: "If P is a polynomial with integer coefficients, then P(a)−P(b) is divisible by a−b for any distinct integers a and b."
De fato, P(x) = (x-b)q(x)+P(b) ---> P(a) = (a-b)q(a)+P(b) ---> P(a)-P(b) = (a-b)q(a), como queríamos. (Note que, se P tem coeficientes inteiros, P(a), P(b) e q(a) são inteiros).
"In particular, all integer roots of P divide P(0)."
Tome b=0 e "a" raiz inteira de P. Logo, a-b=a e P(a)-P(b)=0-P(0)=-P(0). Como, pelo mostrado acima, (a-b) divide P(a)-P(b), segue-se que "a" divide -P(0) e, portanto, "a" divide P(0).
Show best.
Professor qual nome do programa que você usa?
♥
p(3) é inteiro pois o polinômio possui coeficientes inteiros logo q(3) é inteiro
Só tenho dizer uma coisa: 51 é Uma boa ideia!
Bela sacada. Eu ri aqui.
Não vi nada de boa idéia!!!
Por que q de (x) ?
É a notação para um polinômio Q sobre uma indeterminada X
A solução 3 foi mais fácil de aceitar.
A mais fácil sim, porém, a meu ver, a que exige mais raciocínio lógico.
A primeira
Primeira
Achei a solução 1 mais fácil
Tá fácil! Mande questões cabeludas!🕷