Bonjour Si g ∘ f est injective alors f est injective. Donc (a_n) est injective. Or une suite injective d'entiers naturels tend vers + infini. (lemme célèbre sur les automorphismes (bijections) de N) En effet : soit N un entier naturel. L'ensemble des antécédents de [[0;N]] par (a_n) a au plus N+1 éléments (injectivité). Notons P le plus grand élément de cet ensemble fini. Par définition pour n > P on a bien a_n > N. Donc (a_n) tend bien vers + infini. Tout simplement.
C'était ma preuve également. C'est très élégant car ça isole exactement ce qu'on utilise pour arriver au résultat et ça prouve donc une belle généralisation
@@swenji9113 C'est encore généralisable, on n'a pas besoin de l'injectivité, il suffit que les fibres soient finies. D'ailleurs j'ai même l'impression que la réciproque est vraie (si (b(n)) admet une fibre infinie, alors il existe (a(n)) qui ne converge pas vers +inf telle que a(a(n))=b(n) ) mais j'ai pas vérifié en détail.
Merci pour tout ton travail, ça change des bouquins qui plaquent une correction sortie de nulle part alors que le plus important est justement le raisonnement et tous les chemins pris pour arriver au but!
Très amusant, ça... :) Si je donnais encore des colles en MPSI, je la sortirais ! :p En montrant que cette suite est injective, c'est facile, en fait... ;) On peut remplacer n^4 par n'importe quelle fonction injective de N* dans N... :D Je l'ai aussi fait de tête avant d'avoir vu la vidéo, cet exo... Bon, c'est vrai, je me la raconte un peu, ces jours-ci ! XD Faut dire qu'avec mon 19,8/20 au CAPES de cette année, sans réviser (majorant l'écrit du 3e concours), je me la raconte de ouf ! MDR !
Très bonne idée de montrer les errances initiales. Par contre une fois que tu as perçu que a est injective, il est bon de relire le reste de la démarche initiale pour réaliser qu'on n'a utilisé que l'injectivité pour conclure... en prouvant que liminfini => a non injective, autrement dit le th général : injective N->N => lim=infini (qui est le vrai sujet de l'exo). Rédiger A=>B quand on a déjà fait nonB=>nonA (c'est le texte de marsupilable) est alors un conseil important à donner aux élèves avant de produire une rédaction. En bref ça devrait améliorer les qualités pédagogiques de ta vidéo : 1) vertus de l'errance initiale 2) ne pas recopier une démo avant de regarder si on peut l'améliorer.
Je me demande, si une suite vérifie une telle relation, est ce nécessairement une suite de la forme u_n=n^2 ? On peut changer des permiers termes et garder n^2 a partir d'un rang convenable, ou encore prendre une permutation de N et regarder la suite u_s(n) en partant de u_n=n^2. Mais sont ce les seules suites ?
Ha bonne question ! Aucune idée si on peut toutes les déterminer :D On peut en effet en trouver certaines, voir après comment montrer que ce sont les seules... compliqué !
C'est une question plutôt difficile en général, mais il est probable qu'on puisse plutôt bien déterminer l'ensemble des solutions. A noter qu'il est très probable que les solutions soient définies par des procédés ensemblistes plutôt qu'une formule.
Voilà une façon de caractériser toutes les suites solutions : On note f : n -> n^4, et E l'ensemble des entiers qui ne sont pas une puissance 4e, c'est-à-dire N\f(N). Il est plutôt facile de voir que l'ensemble des "orbites" partant de A, c'est à dire les ensembles {f^n(x) : n € N}, partitionnent x lorsque a parcourt E. A partir de là, en coupant E en deux ensembles infinis B et C et en choisissant une bijection phi : B -> C, on obtient une suite solution en posant : - a_b = phi(b) pour tout b dans B - a_c = f(phi^{-1}(c)) = phi^{-1}(c)^4 pour tout c dans C - a_f^n(b) = f^n(phi(b)) pour tout b dans B et n dans N* - a_f^n(c) = f^{n+1}(phi^{-1}(c)) pour tout c dans C et n dans N* Et inversement, en regardant comment une suite solution agit sur l'ensemble E, on peut montrer que toute solution a cette forme. Autrement dit, toute solution est égale à (a_n) = (n^4), avec des "valeurs qui ne sont pas des puissances 4e permutées"...
Très sympa cet exo. Petite erreur sur phi utilisée pour la sous-sous-suite : elle n'est certainement pas bijective. C'est juste une fonction strictement croissante (ça ne pose pas de problème pour faire le même raisonnement par la suite).
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Bonjour
Si g ∘ f est injective alors f est injective.
Donc (a_n) est injective.
Or une suite injective d'entiers naturels tend vers + infini. (lemme célèbre sur les automorphismes (bijections) de N)
En effet : soit N un entier naturel. L'ensemble des antécédents de [[0;N]] par (a_n) a au plus N+1 éléments (injectivité).
Notons P le plus grand élément de cet ensemble fini.
Par définition pour n > P on a bien a_n > N.
Donc (a_n) tend bien vers + infini.
Tout simplement.
Ha j’adore ! C’est épinglé !
C'était ma preuve également. C'est très élégant car ça isole exactement ce qu'on utilise pour arriver au résultat et ça prouve donc une belle généralisation
C'est... élégant
@@naga8756 ahah c'est du jargon de maths ça
@@swenji9113 C'est encore généralisable, on n'a pas besoin de l'injectivité, il suffit que les fibres soient finies. D'ailleurs j'ai même l'impression que la réciproque est vraie (si (b(n)) admet une fibre infinie, alors il existe (a(n)) qui ne converge pas vers +inf telle que a(a(n))=b(n) ) mais j'ai pas vérifié en détail.
Merci pour tout ton travail, ça change des bouquins qui plaquent une correction sortie de nulle part alors que le plus important est justement le raisonnement et tous les chemins pris pour arriver au but!
Merci à toi ça fait plaisir si ça aide !
Très amusant, ça... :) Si je donnais encore des colles en MPSI, je la sortirais ! :p En montrant que cette suite est injective, c'est facile, en fait... ;) On peut remplacer n^4 par n'importe quelle fonction injective de N* dans N... :D Je l'ai aussi fait de tête avant d'avoir vu la vidéo, cet exo... Bon, c'est vrai, je me la raconte un peu, ces jours-ci ! XD Faut dire qu'avec mon 19,8/20 au CAPES de cette année, sans réviser (majorant l'écrit du 3e concours), je me la raconte de ouf ! MDR !
^^
Très bonne idée de montrer les errances initiales. Par contre une fois que tu as perçu que a est injective, il est bon de relire le reste de la démarche initiale pour réaliser qu'on n'a utilisé que l'injectivité pour conclure... en prouvant que liminfini => a non injective, autrement dit le th général : injective N->N => lim=infini (qui est le vrai sujet de l'exo). Rédiger A=>B quand on a déjà fait nonB=>nonA (c'est le texte de marsupilable) est alors un conseil important à donner aux élèves avant de produire une rédaction.
En bref ça devrait améliorer les qualités pédagogiques de ta vidéo :
1) vertus de l'errance initiale
2) ne pas recopier une démo avant de regarder si on peut l'améliorer.
J’ai pensé au principe des tiroirs de dirichlet 😂 sur l’́absurdité par rapport à A indice nk
Je me demande, si une suite vérifie une telle relation, est ce nécessairement une suite de la forme u_n=n^2 ?
On peut changer des permiers termes et garder n^2 a partir d'un rang convenable, ou encore prendre une permutation de N et regarder la suite u_s(n) en partant de u_n=n^2. Mais sont ce les seules suites ?
Ha bonne question ! Aucune idée si on peut toutes les déterminer :D On peut en effet en trouver certaines, voir après comment montrer que ce sont les seules... compliqué !
C'est une question plutôt difficile en général, mais il est probable qu'on puisse plutôt bien déterminer l'ensemble des solutions. A noter qu'il est très probable que les solutions soient définies par des procédés ensemblistes plutôt qu'une formule.
Voilà une façon de caractériser toutes les suites solutions :
On note f : n -> n^4, et E l'ensemble des entiers qui ne sont pas une puissance 4e, c'est-à-dire N\f(N).
Il est plutôt facile de voir que l'ensemble des "orbites" partant de A, c'est à dire les ensembles {f^n(x) : n € N}, partitionnent x lorsque a parcourt E.
A partir de là, en coupant E en deux ensembles infinis B et C et en choisissant une bijection phi : B -> C, on obtient une suite solution en posant :
- a_b = phi(b) pour tout b dans B
- a_c = f(phi^{-1}(c)) = phi^{-1}(c)^4 pour tout c dans C
- a_f^n(b) = f^n(phi(b)) pour tout b dans B et n dans N*
- a_f^n(c) = f^{n+1}(phi^{-1}(c)) pour tout c dans C et n dans N*
Et inversement, en regardant comment une suite solution agit sur l'ensemble E, on peut montrer que toute solution a cette forme.
Autrement dit, toute solution est égale à (a_n) = (n^4), avec des "valeurs qui ne sont pas des puissances 4e permutées"...
Très sympa cet exo.
Petite erreur sur phi utilisée pour la sous-sous-suite : elle n'est certainement pas bijective. C'est juste une fonction strictement croissante (ça ne pose pas de problème pour faire le même raisonnement par la suite).
Excellente remarque oui, il suffit d'une fonction croissante de N sur N ! Ça m'a échappé et c'était faux
Une sous-suite de la fonction a_n = n^2 si je ne m'abuse ?
@@Tbop3 pas sûr 😄 faudrait réussir à le démontrer !
@@TheMathsTailor ah oui effectivement pas nécessairement !