Excelente prof Parabens. Tive algumas dúvidas 1) o conjunto Q[raiz de 2] = { a+ b raiz 2; a,b€ Q} . Todos esses elementos em Q[raiz2] são números reais? 2) este conjunto Q[raiz2] apesar da questão não perguntar é um grupo abeliano para para operação de multiplicacao? 3) É válido, i é, é correto mostrar a associatividade em Q[raiz2] argumentando da seguinte forma: dados x,y,z em Q[ raiz2]. Então: x= a+ braiz2,y= c+draiz2,z=e+fraiz2. Daí, (x+y)+z=[ ( a+braiz2)+(c+draiz2)]+(e+fraiz2). Como esses números são reais podemos usar a associativa em IR. Assim, (x+y)+z=(a+braiz)+[(c+draiz2)+(e+fraiz2)]=x+(y+z) E analogamente se vale pra associatividade com respeito a operação de multiplicação é correto essa justificativa em prova ou prof pode não concordar? 4) por fim, b Vezes raiz quadrada de 2 com b racional, esse resultado do produto b raiz2 é um numero real ?
Olá meu caro, obrigado pelo comentário. Vamos ver se consegui compreender corretamente o que você perguntou rsrsrs... 1) Como os elementos do conjunto são da forma a+b*raiz(2), eles são a soma de um racional, o número a, com o produto de um outro racional, o número b, por raiz(2). Ora, pelo fechamento do produto do conjunto dos números reais, vale que o produto b*raiz(2) é real. E como a é racional, e o conjunto dos racionais está contido no conjunto dos reais, seque que o número a também é real. Então, na prática, a+b*raiz(2) é a soma de dois números reais e, pelo fechamento da soma que já sabe-se ser válido para os reais, seque que todos os elementos desse conjunto são números reais. Em outra palavras, Q[raiz(2)] está contido em R. 2) As condições para que Q[raiz(2)] seja um grupo para a multiplicação foram discutidas no próprio exercício, a partir de 12:20. Verificou-se que é necessário que a seja diferente de 0 ou que b seja diferente de zero. Se pelo menos um desses valores for diferente de zero, o conjunto será um grupo multiplicativo. Já a questão da comutatividade, para que seja abeliano, será válida, com certeza, pois como os elementos são números reais e para os reais vale a comutatividade para a multiplicação usual, se o conjunto for grupo, será um grupo abeliano. 3) Seu argumento é válido! Mas para ser usado, é necessário que não se tenha dúvida que o conjunto dos reais é associativo para ambas as operações. Então, se isso já tiver sido discutido e eventualmente demonstrado, pode ser utilizado nesse caso. Porém, para evitar ter que utilizar muitos pré-requisitos, é mais comum analisar a propriedade para o formato dos elementos, como fiz no vídeo. 4) Acabou sendo respondida no item 1). Espero ter ajudado, meu caro! 😉👨🏫👏📚
Excelente prof Parabens. Tive algumas dúvidas
1) o conjunto Q[raiz de 2] = { a+ b raiz 2; a,b€ Q} . Todos esses elementos em Q[raiz2] são números reais?
2) este conjunto Q[raiz2] apesar da questão não perguntar é um grupo abeliano para para operação de multiplicacao?
3) É válido, i é, é correto mostrar a associatividade em Q[raiz2] argumentando da seguinte forma: dados x,y,z em Q[ raiz2]. Então:
x= a+ braiz2,y= c+draiz2,z=e+fraiz2. Daí, (x+y)+z=[ ( a+braiz2)+(c+draiz2)]+(e+fraiz2). Como esses números são reais podemos usar a associativa em IR. Assim, (x+y)+z=(a+braiz)+[(c+draiz2)+(e+fraiz2)]=x+(y+z) E analogamente se vale pra associatividade com respeito a operação de multiplicação é correto essa justificativa em prova ou prof pode não concordar?
4) por fim, b Vezes raiz quadrada de 2 com b racional, esse resultado do produto b raiz2 é um numero real ?
Olá meu caro, obrigado pelo comentário. Vamos ver se consegui compreender corretamente o que você perguntou rsrsrs...
1) Como os elementos do conjunto são da forma a+b*raiz(2), eles são a soma de um racional, o número a, com o produto de um outro racional, o número b, por raiz(2). Ora, pelo fechamento do produto do conjunto dos números reais, vale que o produto b*raiz(2) é real. E como a é racional, e o conjunto dos racionais está contido no conjunto dos reais, seque que o número a também é real. Então, na prática, a+b*raiz(2) é a soma de dois números reais e, pelo fechamento da soma que já sabe-se ser válido para os reais, seque que todos os elementos desse conjunto são números reais. Em outra palavras, Q[raiz(2)] está contido em R.
2) As condições para que Q[raiz(2)] seja um grupo para a multiplicação foram discutidas no próprio exercício, a partir de 12:20. Verificou-se que é necessário que a seja diferente de 0 ou que b seja diferente de zero. Se pelo menos um desses valores for diferente de zero, o conjunto será um grupo multiplicativo. Já a questão da comutatividade, para que seja abeliano, será válida, com certeza, pois como os elementos são números reais e para os reais vale a comutatividade para a multiplicação usual, se o conjunto for grupo, será um grupo abeliano.
3) Seu argumento é válido! Mas para ser usado, é necessário que não se tenha dúvida que o conjunto dos reais é associativo para ambas as operações. Então, se isso já tiver sido discutido e eventualmente demonstrado, pode ser utilizado nesse caso. Porém, para evitar ter que utilizar muitos pré-requisitos, é mais comum analisar a propriedade para o formato dos elementos, como fiz no vídeo.
4) Acabou sendo respondida no item 1).
Espero ter ajudado, meu caro! 😉👨🏫👏📚