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おはようございます！良い問題！
（時刻11:05頃）＜等式右辺の第2因数が2以上である理由＞：簡便のために A=a^(2^c)とおくと、動画の主張とは、等式 A^ℓ + 1= (A+1) {A^(ℓ-1) - A^(ℓ-2) + ... +1} (AはA≧4なる整数, ℓは正の奇数)における右辺第2因数の交代級数 A^(ℓ-1) - A^(ℓ-2) + ... +1の和が2以上であること。実際、この交代級数の第k項（k=1, 2, ...., ℓ）の絶対値をp[k]とおくと{p[k]}は減少列を成すから、 p[2m-1] - p[2m] > 0 （m=1, 2, ...., (ℓ-1)/2）が成り立つ。ゆえに交代級数の和は Σ(-1)^(k-1)p[k] = (p[1] - p[2]) + (p[3] - p[4]) +.... + (p[ℓ-2] - p[ℓ-1]) + p[ℓ] > p[ℓ] = 1となり、1より大きい。ところが各項は整数であるから和も整数なので、結局この級数の和は2以上となる。■
(1) a^b-1 が素数であって、a, b はいずれも2以上の自然数だから、a^b \geqq 2^2=4 であることから、a^b-1が3以上の素数であることが分かる。これより、ある自然数 k を用いて a^b-1=2k+1 と書くことができる。よって a^b=2(k+1)…(あ) である。ここで(あ)の右辺は2の倍数すなわち偶数であるから、左辺も偶数でなければならない（左辺は2を因数に持たねばならない）。ここで、(あ)の左辺は a を b(\geqq 2) 回かけた数であって、k の値に依存せずに常に偶数でなければならないのだから、a=2 でなければならない。このとき(あ)より、2^b=2(k+1) すなわち 2^b-1=2k+1…(い) である。(い)の左辺は素数なので、b は4以上の偶数になり得ない（もし b が4以上の偶数だとすれば、b=2l（l は2以上の自然数）と書くことができ、2^b-1=2^{2l}-1=(2^l+1)(2^l-1) と合成数になることから、矛盾する）。また、b は奇数かつ合成数になることもない（もし、b が奇数かつ合成数だとすれば、p_1, …, p_n を素数（i eq j のとき、p_i=p_j でも良い。）として、b=p_1・…・p_n と素因数分解することができ、2^b-1=(2^{p_1}-1)(1+2+2^2+…+2^{p_1・…・p_n-p_1}) と合成数になるから矛盾する）。ゆえに b は素数である。以上より a=2 かつ b は素数であることが示された。(2) b が奇数ならば、b=2l+1（l は自然数）であり、a^{2l+1}+1=(a+1)(a^2l-a^{2l-1}+…+a^2-a+1) と合成数となって矛盾する。b が偶数かつ2の自然数乗ではない数ならば、m を自然数、p_1, …, p_n を素数（i eq j のとき、p_i=p_j でも良い。）、b=2^m・p_1・…・p_n と書くことができる。このとき、a^b+1=(a^{ \frac{b}{p_1}}+1) \{ (a^{ \frac{b}{p_1}})^{p_1-1}- (a^{ \frac{b}{p_1}})^{p_1-2}+…+(a^{ \frac{b}{p_1}})^{2}-a^{ \frac{b}{p_1}}+1 \} と合成数になるから、矛盾する。よって、b=2^c（cは自然数）と書ける。
1の指数にbを置くのかそこからの展開公式までの流れが思いつかなんだ素数でない→合成数か1っていう考え方はよく使いますね素数問題解けなくなってきちゃったから素数問題はありがたい 過去動画で復習してきます。
（2）の十分性と必要性について。私は一瞬迷ったのですが、元の問題文は「任意のaについてa^b+1が素数なら、あるcが存在し、bはb=2^cである」ということですね。解法は、さりげなく対偶をとっていて、bは任意のcについてb=2^cではない、つまりbが2のべき乗ではない数（奇数または2のべき乗以外の偶数）ならばa^b+1が合成数（素数でない）、という論理ですね。個人的には、大学入試の問題文は時々わかりにくいので、全称記号や存在記号をつかってくれるとスッキリするんですけど、高校だと習わないんですよねぇ。
難しく考えすぎでは「a^b+1が素数ならばbは２のべき乗である」の対偶「bが２のべき乗でないならa^b+1は合成数」を示したわけやろ∀a,bは鍵括弧の外にあるんや
少し実験すればすぐに原理はわかるが、記述が難しい…。modで押し切ってみました。（私はmod推し）小問2)の場合分けは動画とは異なるものです。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜略解＞：以下の議論中、a,bが2以上の自然数であることは前提とし、いちいち断らない。1) a-1 < a^b-1 ≡ 1^b-1 ≡0 (mod a-1)であるから、a^b-1はa-1より大きいa-1の倍数。よって、 a≧3ならばa^b-1は合成数。この対偶を取ると 「a^b-1が素数ならばa=2」…①。b≧2より、bは少なくとも１つは素因数を持つ。ゆえに b=mp（mは正整数, pは素数）…②と置ける。このとき 2^m-1 < (2^m)^p-1 ≡ 1^p-1 ≡0 (mod 2^m-1)であるから、2^b-1=(2^m)^p-1は2^m-1より大きい2^m-1の倍数。よって、 m≧2ならば2^b-1は合成数。この対偶および②により、 2^b-1が素数 ⇒ m=1 ⇒ b=p ⇒ bは素数…③。①,③により題意が示された。■~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2)2以上の任意の自然数bに対し、 2^c ≦ b < 2^(c+1)を満たす正整数cが唯1つ存在する。このcを用いれば b=2^c+r (cは正整数、r=0,..., 2^c-1) …④と表せる。④の下で r≠0 であるものと仮定すると、rは2^cの倍数ではないから、2で高々c-1回しか割り切れない。ゆえに r=(2^d)e（dは0≦d
@@NatureJapan3776 さんへ：そうなんですよ。「bが奇数ならば不適」なことにはすぐに気づいたのですが、bの偶奇で一度場合分けをした上に、さらに偶数の場合に2以外の素因数を持つかどうかで場合分けをするのが嫌だったもので…。「何か統一的な原理はないか？」と考えつつ先のコメントの実験のリストを眺めていたら、bの値がそれぞれ b=5 = 2^2+1のとき … b=6 = 2^2+2 = 2(2+1)のとき … b=7 = 2^2+3のとき … b=10 = 2^3+2 = 2(2^2+1)のとき … b=12 = 2^3+4 = (2^2)(2+1)のとき … b=14 = 2^3+6 = 2(2^2+3)のとき …と見えてきて、 「ははぁ…そういうことか」と腑に落ちました。■~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~※でも、よくよく考えてみると、要するに 「bが2以外の素因数を持つかどうか」ということだけが本質的にcriticalなのですね。つまり、2)の解答を以下のように簡潔に書くことができるようです。 bが2以外の素因数pを持つならば、 b=mp (mは正整数, pは3以上の素数)と表せる。このとき、pは3以上の奇数であることに注意すると 11より大きいa^m+1の倍数、ゆえに合成数である。この対偶により、a^b+1が素数ならば、bは2以外の素因数を持たない。ところが、b≧2だから、bは少なくとも1つの素因数を持つ。ゆえに、a^b+1が素数ならば、bは素因数として2のみを1個以上持つ。その個数をcと置くと b=2^c （cは正整数）と表せる。■
できた！(2) は少し考えあぐねましたが、bが偶数の場合しかありえない。では、先日の徳島大の問題のように b=2^a・l (l は奇数）と置いてやると上手くいきました。貫太郎先生のお陰で整数問題のテクが少しずつではありますが身についている感じ。ただこの問題、その辺のコピー用紙にグチャグチャっと書いていく分には問題無いけど、試験の解答として記述するのは神経使うところが多そう。即位礼の中継をテレビで見ました。セレモニーだから仕方ないけど、今の時代にあれだけ古式に則る必要あるのか？世の中は、自然災害でその日その日を暮らしていくのが精一杯の人が沢山いるのに、そういう人のために金やエネルギーを費やすべきではと思ってしまった。祝砲を一発撃つ金でどれだけの人に食料や物資を供給できるのかと思う。皇室が果たしている役割は十分に認識しているし、皇族の方々にも敬意をいだいているだけに自分としては引っかかるものを感じた次第。といいつつ、次の即位礼も絶対中継で見てやると誓う私。
お疲れ様です。 なかなか良問ですね。掛け算に 滅法 弱い素数を乗算で検証していくプロセスが面白いですね。この手の問題に慣れている方には案外 楽に解答に辿り着ける良問だと思います。
整数は合成数と素数しかないので、合成数ということを示せば⑴は証明完了でよいのでしょうか？
約数・完全数の話→ 約数の個数、総和、完全数 th-cam.com/video/vpmEdoEcpDk/w-d-xo.html
解き方がスマート！
対偶の考え方ですね。「p⇒q」の対偶は「¬q⇒¬p」(¬はバーの意)で、対偶が真ならば命題も真となります。a≧2, b≧2, a,b∈ℕの前提条件下で、(1)「a^b-1∈素数⇒(a=2)かつ(b∈素数)」の対偶は「(a≧3)または(b∈合成数)⇒a^b-1∈合成数」(2)「a^b+1∈素数⇒b=2^c (c∈ℕ))」の対偶は「(b∈奇数)または(bの素因数に奇数を含む)⇒a^b+1∈合成数」(2)の対偶の取り方がポイントかも知れません。
これ奇数っておくのがコツやな
江夏の背番号、完全数28
メルセデス素数ってなんやねん センチュリー素数とかもあんのか？
肉体覇王Jalmar スープラ素数
これって、必要条件であることを示せって問題ですよね？
今更見たのですが、最後にb=2^cのとき必ず素数になるということを示せていないですよね…。僕も必要条件なんじゃないかと思います。
エレガント👏
ずっとメルセデンス素数って言ってる？
すみません。メルセンヌ素数の発音苦手なんです。
2とか見当もつかんわ
おはようございます！良い問題！
（時刻11:05頃）＜等式右辺の第2因数が2以上である理由＞：簡便のために
A=a^(2^c)
とおくと、動画の主張とは、等式
A^ℓ + 1= (A+1) {A^(ℓ-1) - A^(ℓ-2) + ... +1} (AはA≧4なる整数, ℓは正の奇数)
における右辺第2因数の交代級数
A^(ℓ-1) - A^(ℓ-2) + ... +1
の和が2以上であること。
実際、この交代級数の第k項（k=1, 2, ...., ℓ）の絶対値をp[k]とおくと{p[k]}は減少列を成すから、
p[2m-1] - p[2m] > 0 （m=1, 2, ...., (ℓ-1)/2）
が成り立つ。ゆえに交代級数の和は
Σ(-1)^(k-1)p[k]
= (p[1] - p[2]) + (p[3] - p[4]) +.... + (p[ℓ-2] - p[ℓ-1]) + p[ℓ] > p[ℓ] = 1
となり、1より大きい。ところが各項は整数であるから和も整数なので、結局この級数の和は2以上となる。■
(1) a^b-1 が素数であって、a, b はいずれも2以上の自然数だから、a^b \geqq 2^2=4 であることから、a^b-1が3以上の素数であることが分かる。これより、ある自然数 k を用いて a^b-1=2k+1 と書くことができる。よって a^b=2(k+1)…(あ) である。ここで(あ)の右辺は2の倍数すなわち偶数であるから、左辺も偶数でなければならない（左辺は2を因数に持たねばならない）。ここで、(あ)の左辺は a を b(\geqq 2) 回かけた数であって、k の値に依存せずに常に偶数でなければならないのだから、a=2 でなければならない。
このとき(あ)より、2^b=2(k+1) すなわち 2^b-1=2k+1…(い) である。(い)の左辺は素数なので、b は4以上の偶数になり得ない（もし b が4以上の偶数だとすれば、b=2l（l は2以上の自然数）と書くことができ、2^b-1=2^{2l}-1=(2^l+1)(2^l-1) と合成数になることから、矛盾する）。また、b は奇数かつ合成数になることもない（もし、b が奇数かつ合成数だとすれば、p_1, …, p_n を素数（i
eq j のとき、p_i=p_j でも良い。）として、b=p_1・…・p_n と素因数分解することができ、2^b-1=(2^{p_1}-1)(1+2+2^2+…+2^{p_1・…・p_n-p_1}) と合成数になるから矛盾する）。ゆえに b は素数である。
以上より a=2 かつ b は素数であることが示された。
(2) b が奇数ならば、b=2l+1（l は自然数）であり、a^{2l+1}+1=(a+1)(a^2l-a^{2l-1}+…+a^2-a+1) と合成数となって矛盾する。
b が偶数かつ2の自然数乗ではない数ならば、m を自然数、p_1, …, p_n を素数（i
eq j のとき、p_i=p_j でも良い。）、b=2^m・p_1・…・p_n と書くことができる。このとき、a^b+1=(a^{ \frac{b}{p_1}}+1) \{ (a^{ \frac{b}{p_1}})^{p_1-1}- (a^{ \frac{b}{p_1}})^{p_1-2}+…+(a^{ \frac{b}{p_1}})^{2}-a^{ \frac{b}{p_1}}+1 \} と合成数になるから、矛盾する。
よって、b=2^c（cは自然数）と書ける。
1の指数にbを置くのか
そこからの展開公式までの流れが思いつかなんだ
素数でない→合成数か1っていう考え方はよく使いますね
素数問題解けなくなってきちゃったから素数問題はありがたい 過去動画で復習してきます。
（2）の十分性と必要性について。私は一瞬迷ったのですが、元の問題文は「任意のaについてa^b+1が素数なら、あるcが存在し、bはb=2^cである」ということですね。
解法は、さりげなく対偶をとっていて、bは任意のcについてb=2^cではない、つまりbが2のべき乗ではない数（奇数または2のべき乗以外の偶数）ならばa^b+1が合成数（素数でない）、という論理ですね。
個人的には、大学入試の問題文は時々わかりにくいので、全称記号や存在記号をつかってくれるとスッキリするんですけど、高校だと習わないんですよねぇ。
難しく考えすぎでは
「a^b+1が素数ならばbは２のべき乗である」の対偶
「bが２のべき乗でないならa^b+1は合成数」を示したわけやろ
∀a,bは鍵括弧の外にあるんや
少し実験すればすぐに原理はわかるが、記述が難しい…。modで押し切ってみました。（私はmod推し）
小問2)の場合分けは動画とは異なるものです。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜略解＞：以下の議論中、a,bが2以上の自然数であることは前提とし、いちいち断らない。
1)
a-1 < a^b-1 ≡ 1^b-1 ≡0 (mod a-1)
であるから、a^b-1はa-1より大きいa-1の倍数。よって、
a≧3ならばa^b-1は合成数。
この対偶を取ると
「a^b-1が素数ならばa=2」…①。
b≧2より、bは少なくとも１つは素因数を持つ。ゆえに
b=mp（mは正整数, pは素数）…②
と置ける。このとき
2^m-1 < (2^m)^p-1 ≡ 1^p-1 ≡0 (mod 2^m-1)
であるから、2^b-1=(2^m)^p-1は2^m-1より大きい2^m-1の倍数。よって、
m≧2ならば2^b-1は合成数。
この対偶および②により、
2^b-1が素数 ⇒ m=1 ⇒ b=p ⇒ bは素数…③。
①,③により題意が示された。■
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2)2以上の任意の自然数bに対し、
2^c ≦ b < 2^(c+1)
を満たす正整数cが唯1つ存在する。このcを用いれば
b=2^c+r (cは正整数、r=0,..., 2^c-1) …④
と表せる。
④の下で r≠0 であるものと仮定すると、rは2^cの倍数ではないから、2で高々c-1回しか割り切れない。ゆえに
r=(2^d)e（dは0≦d
@@NatureJapan3776 さんへ：そうなんですよ。
「bが奇数ならば不適」なことにはすぐに気づいたのですが、bの偶奇で一度場合分けをした上に、さらに偶数の場合に2以外の素因数を持つかどうかで場合分けをするのが嫌だったもので…。
「何か統一的な原理はないか？」と考えつつ先のコメントの実験のリストを眺めていたら、bの値がそれぞれ
b=5 = 2^2+1のとき …
b=6 = 2^2+2 = 2(2+1)のとき …
b=7 = 2^2+3のとき …
b=10 = 2^3+2 = 2(2^2+1)のとき …
b=12 = 2^3+4 = (2^2)(2+1)のとき …
b=14 = 2^3+6 = 2(2^2+3)のとき …
と見えてきて、
「ははぁ…そういうことか」
と腑に落ちました。■
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
※でも、よくよく考えてみると、要するに
「bが2以外の素因数を持つかどうか」
ということだけが本質的にcriticalなのですね。
つまり、2)の解答を以下のように簡潔に書くことができるようです。
bが2以外の素因数pを持つならば、
b=mp (mは正整数, pは3以上の素数)
と表せる。このとき、pは3以上の奇数であることに注意すると
11より大きいa^m+1の倍数、ゆえに合成数である。
この対偶により、a^b+1が素数ならば、bは2以外の素因数を持たない。
ところが、b≧2だから、bは少なくとも1つの素因数を持つ。
ゆえに、a^b+1が素数ならば、bは素因数として2のみを1個以上持つ。その個数をcと置くと
b=2^c （cは正整数）
と表せる。■
できた！
(2) は少し考えあぐねましたが、bが偶数の場合しかありえない。では、先日の徳島大の問題のように b=2^a・l (l は奇数）
と置いてやると上手くいきました。
貫太郎先生のお陰で整数問題のテクが少しずつではありますが身についている感じ。
ただこの問題、その辺のコピー用紙にグチャグチャっと書いていく分には問題無いけど、試験の解答として記述するのは神経使うところが多そう。
即位礼の中継をテレビで見ました。セレモニーだから仕方ないけど、今の時代にあれだけ古式に則る必要あるのか？世の中は、自然災害でその日その日を暮らしていくのが精一杯の人が沢山いるのに、そういう人のために金やエネルギーを費やすべきではと思ってしまった。祝砲を一発撃つ金でどれだけの人に食料や物資を供給できるのかと思う。
皇室が果たしている役割は十分に認識しているし、皇族の方々にも敬意をいだいているだけに自分としては引っかかるものを感じた次第。
といいつつ、次の即位礼も絶対中継で見てやると誓う私。
お疲れ様です。 なかなか良問ですね。
掛け算に 滅法 弱い素数を乗算で検証していくプロセスが面白いですね。
この手の問題に慣れている方には案外 楽に解答に辿り着ける良問だと思います。
整数は合成数と素数しかないので、合成数ということを示せば⑴は証明完了でよいのでしょうか？
約数・完全数の話→ 約数の個数、総和、完全数 th-cam.com/video/vpmEdoEcpDk/w-d-xo.html
解き方がスマート！
対偶の考え方ですね。「p⇒q」の対偶は「¬q⇒¬p」(¬はバーの意)で、
対偶が真ならば命題も真となります。a≧2, b≧2, a,b∈ℕの前提条件下で、
(1)「a^b-1∈素数⇒(a=2)かつ(b∈素数)」の対偶は「(a≧3)または(b∈合成数)⇒a^b-1∈合成数」
(2)「a^b+1∈素数⇒b=2^c (c∈ℕ))」の対偶は「(b∈奇数)または(bの素因数に奇数を含む)⇒a^b+1∈合成数」
(2)の対偶の取り方がポイントかも知れません。
これ奇数っておくのがコツやな
江夏の背番号、完全数28
メルセデス素数ってなんやねん センチュリー素数とかもあんのか？
肉体覇王Jalmar スープラ素数
これって、必要条件であることを示せって問題ですよね？
今更見たのですが、最後にb=2^cのとき必ず素数になるということを示せていないですよね…。僕も必要条件なんじゃないかと思います。
エレガント👏
ずっとメルセデンス素数って言ってる？
すみません。メルセンヌ素数の発音苦手なんです。
2とか見当もつかんわ