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偶奇に着目する整数問題は東大の大好物ですね
(1)はkを3で割った余りで分類すると、k=3a-1(aは自然数)と表せる場合のみ可と分かる。代入して整理すると、3^(n-2)=a(3a^2-3a+1)明らかに3の倍数ではないので、a=3^(n-2)かつ3a^2-3a+1=1の場合のみ考えられる。(2)はkを5で割った余りで分類するとk^2-40≡1,4(mod3)となり、3^nを5で割った余りは3,4,2,1を繰り返すことからnは偶数と分かる。平方剰余や余りの周期に注目してみたり、定数項に着目してみたり、具体的実験から予想を立ててみたり…前よりも意味を考えて合同式を使えるようになった気がします…
おぉー解き方が美しい
メガドルチェ さんありがとうございます。
今回も完全解答できました。スッキリしました。只、数式は作れなかったが直感で解きました。数検はもってませんが、整数解問題は数検レベルで準2級や2級によく出るのでその対策問題だと思ってやってます。今社会人ですが高校の数学 学ぼうかなと思ってます。
偶数奇数に注目するという発想力が鍵ですね！
めちゃくちゃわかりやすい
sasuk e さんありがとうございます。
これはかなりの難問、(2)がすごく難しい。nが奇数のときは、両辺の一の位が一致しないことから不適であるとも言えますね。
すごい……
貫太郎先生のコメント者への返信を拝見し、数学に取り組む姿勢と、動画にする問題の選定理由が分かり、勉強になりました👍️。
今更この動画を見たのですが、この動画を見る前に整数問題にどっぷりハマっていた時期があったので、文系の私でも解法は浮かびました。ただ(2)の最後まではたどり着けず⋯。私も数をこなして受験日までに極めたいと思います！いつもわかりやすい解説ありがとうございます！🙇
スッキリして気持ちがいい！！😆
いい問題ですね。積の形にして、偶奇に注目、二項定理を用いたりなど、まさに整数問題って感じで好きです。
(1)mod 3でk^3≡-1よってk≡-1k=3m-1(m>0)とすると 右辺 = 27mmm-27mm+9m = 9m(3m(m-1)+1)よってm=1(2)mod 4で左辺≡(-1)^n右辺≡0 or 1よってnは偶数
すげぇ、、、、数学じゃなくて、探偵小説を読んでるような気分になりました。追い詰め方が鮮やかですね。
ひであき さんご覧くださりありがとうございます。コナン目指して頑張ります。
すっごいわかりやすくて理解できるけど、けど、けど、けど、これからこれと似たような類題がでても果たして自分は解けるのだろうか。。。
purpledabedabe さん私、この歳でもここのところ解く力が上がってますよ。数をこなすしかありません。私、フルマラソンやってるとき、量は彼女と比較になりませんが野口みずきの「走った距離は裏切らない」を信じて目標の3時間半を切れました。数学も解いた量は裏切らないと思います。
大変ありがたいお言葉ありがとうございます。仕事でちょうど今悩んでいたので、お言葉を重ねさせていただきます。大変励みになります。ありがとうございます。
根気よくいつも通りのことをくりかえせるかですね。
鮮やかです 中学生でも理解できるでしょう。
自分で解いた時，3^n = 4l^2 + 4l + 1 -40 の処理はちょっとだけ違いました．3^n -1 = 4l^2 + 4l + 40 と変形してn が奇数の時に，(3-1)(3^n-1 + 3^n-2 + 3^n-3 ... + 1) = 2( 2l^2 + 2l + 20 )(3^n-1 + 3^n-2 + 3^n-3 ... + 1) = ( 2l^2 + 2l + 20 )左辺の項数は n(奇数) で，各項は奇数，つまり，奇数を奇数回足しているので，左辺は奇数です．その一方で右辺は偶数なので，nは奇数になりえないわけです．この問題(に限らず)難しさの本質は式の形が (かけ算) = (足し算) になっているからです．これが同じような形ならギロンはしやすいのですが，(かけ算) ⇔ (足し算) の変換には二項定理か因数分解しかないので，必然的にどちらかを使うのだと思います．
コレ、見てなかったな。後で見ようと思って放置してたヤツだ。
1255=2^n-m^2 ていう最近の出題と今回の問2を観ていて思ったんですが…指数部分を偶数にして解く。指数奇数の方は1の桁を考えることで否定できる。というパターンでほぼイケるのでは？
(2)、ヒントを求めて右辺を40だけにするとこまで観たらやっと分かりました これはなかなか難しい…
いかに数式を料理するかによる問題ですが、これ数Ⅰの範囲なので国公立の文系でも2次試験に出されそうな問題ですね。出題者の意図としては、この動画で説明された内容を期待してのものだと思いますが学者級の証明は除いて高校レベルではこのパターンが一般的なので覚えていて損は無いですね。答えだけ求められる問題なら、このパターンを知っていれば簡単に解けるはず。でも証明付きなら少々苦労するんじゃないでしょうか？
加護志摩雄 さんいつもご覧くださりありがとうございます。
（2）の方がさくっと答え出て、（1）のがよく手が止まりました、、、、
土曜日の朝は宮仕えの者にとっては一番開放的な時間。そんな心くつろぐ時にいいものを見せて頂きました。ほんと、解法が鮮やかです！自力でこの問題を解くとしても、まず最後までたどり着けないし途中ですごくモタモタしてしまうのが目に見えてます。やはり数をこなすしかないのですかね。
山本俊治 さんいつもお忙しい中ご覧になってくださりありがとうございます。
量こなせば思いつくものなのか？
新しい文字使いまくるんですね。
今日は早いですね。
いっつも思ってますが、問題選びがじょうずですね！どういう風に問題を選んでるんですか？
解いてて楽しい、難しすぎない、簡単すぎない、本質を理解するのに有益っぽい。そして、俺に解けるのが一番のポイントです。
（2）だけできました(゜ロ゜;因数分解後の形から何を読み取れるかですね。
いつも楽しく拝見しております(高校の後輩です)。(1)ですが、3^n-1=k^3 と移項すると、(3 - 1)(3^n-1 + 3^n-2 + ... + 1) = 2(3^n-1 +...+ 1) = k^3 となり、kは自然数、2は素数なので k=2 と考えました。こちらの方がk=2までかなり近道かと思いましたが、論理に破綻ありますでしょうか？ご意見賜れますと嬉しいです。
mshin さん2( )=k^3 k=4や8 も考えられる？
ご返信ありがとうございます！！どこかでkが素数と勘違いしてしまったようです。確かに私の式だけではk=2とは導き出せませんね。ご指摘感謝です。今後ともよろしくお願いいたしますm(_ _)m
nが偶数であって欲しいっていう発想で頑張るのかな
そういえばベクトルの内積って何を求めてるんですか？
図形的には、始点の等しい２つの矢線ベクトルa,bを考えて、ベクトルaのベクトルbへの正射影ベクトルa'(bに垂直に光を当てた時のaの影ですね。aのb方向成分です。）で、例えば、ｂの向きを正として、長さに正、負をつけると（変な表現）、（ベクトルa'の長さ）×（ベクトルbの長さ）が内積の値です。（a,b入れ替えてb'を作っても同じです。）
立花宗茂猛 麺棒をbベクトルとしたら麺棒をベクトルaの分だけ転がしたときにできる生地の潰れた部分の面積って考え方で合ってますか？
あ、見つけました。慶応大・医（5/17分）に内積の図形的意味のリンク貼ってあります。
いつも楽しく見させてもらってます！多項式の割り算の組立除法のやり方の動画をお願いしたいですm(_ _)m普段は簡単な数字を代入していって当てはまる数字で割り算するやり方でやってます
徳山元太 さんご覧くださりありがとうございます。組立除法はこちらをご覧ください。th-cam.com/video/UDtyyNNODU4/w-d-xo.html
鈴木貫太郎 見落としていました！ありがとうございます！
普通にむずかった
1-n^3が4の倍数だったら嬉しいなという感性がない←
文字三つ以下または素数は(因数)=定数を作ればいいんだよ
ありがとうございます！これで二項定理の式変形も出来そうだ！
だいぶ遅いコメントで申し訳ないのですが、(2)の時に（k+3^n/2)(k-3^n/2)=40と因数分解するのはダメなのでしょうか？
みるくあめ さんご覧くださいありがとうございます。nが偶数ならそのように因数分解できますが、奇数だとできません。動画で示したように(他にもあるかもしれません)、nを偶数であることを示してからなら因数分解できます。
鈴木貫太郎 やはりnが奇数の時はダメですか……。例えばx^2-y^3を考えた時x^2-y^3=(x+y^3/2)(x-y^3/2)と因数分解してみて、展開し計算してみるとx^2-xy^3/2+xy^3/2-y^(3/2)•2=x^2-y^3となります。これはもはや因数分解出来るという前提が間違っているのでしょうか？くだらない質問をして申し訳ないです……
みるくあめ さん動画内で言っている通りnが奇数の時は与式を満たすk、nは無いので‥‥
鈴木貫太郎 なるほど、わかりました。回答ありがとうございます。
動画見ないでやってみたけど、(1)はｎ＝k＝2、(2)はｎ＝2、k＝7、これしか出なかったな。さて、正解はどうかね、見てみるか
千葉大医ってこんな簡単なんだ
二項定理、見て理解したけど練習が足りなくて使いどころがね、よくわからないんですよ
整数問題で二項定理使う時は、(a+b)^n (bは大抵±1) は最後のb^n以外はaの倍数とだけ考えればいい。
今回みたいにnの情報得るために使うってこと？
偉そうなお名前ですね。わたし、これまでに田中角栄、原敬という偉そうな名前の人に出会ってますよ。
偶奇に着目する整数問題は東大の大好物ですね
(1)はkを3で割った余りで分類すると、k=3a-1(aは自然数)と表せる場合のみ可と分かる。代入して整理すると、3^(n-2)=a(3a^2-3a+1)
明らかに3の倍数ではないので、a=3^(n-2)かつ3a^2-3a+1=1の場合のみ考えられる。
(2)はkを5で割った余りで分類するとk^2-40≡1,4(mod3)となり、3^nを5で割った余りは3,4,2,1を繰り返すことからnは偶数と分かる。
平方剰余や余りの周期に注目してみたり、定数項に着目してみたり、具体的実験から予想を立ててみたり…
前よりも意味を考えて合同式を使えるようになった気がします…
おぉー解き方が美しい
メガドルチェ さん
ありがとうございます。
今回も完全解答できました。
スッキリしました。只、数式は作れなかったが直感で解きました。
数検はもってませんが、整数解問題は数検レベルで準2級や2級によく出るのでその対策問題だと思ってやってます。今社会人ですが高校の数学 学ぼうかなと思ってます。
偶数奇数に注目するという発想力が鍵ですね！
めちゃくちゃわかりやすい
sasuk e さん
ありがとうございます。
これはかなりの難問、(2)がすごく難しい。nが奇数のときは、両辺の一の位が一致しないことから不適であるとも言えますね。
すごい……
貫太郎先生のコメント者への返信を拝見し、数学に取り組む姿勢と、動画にする問題の選定理由が分かり、勉強になりました👍️。
今更この動画を見たのですが、この動画を見る前に整数問題にどっぷりハマっていた時期があったので、文系の私でも解法は浮かびました。ただ(2)の最後まではたどり着けず⋯。
私も数をこなして受験日までに極めたいと思います！いつもわかりやすい解説ありがとうございます！🙇
スッキリして気持ちがいい！！😆
いい問題ですね。
積の形にして、偶奇に注目、二項定理を用いたりなど、まさに整数問題って感じで好きです。
(1)
mod 3でk^3≡-1よってk≡-1
k=3m-1(m>0)とすると
右辺 = 27mmm-27mm+9m = 9m(3m(m-1)+1)
よってm=1
(2)
mod 4で
左辺≡(-1)^n
右辺≡0 or 1
よってnは偶数
すげぇ、、、、数学じゃなくて、探偵小説を読んでるような気分になりました。追い詰め方が鮮やかですね。
ひであき さん
ご覧くださりありがとうございます。コナン目指して頑張ります。
すっごいわかりやすくて理解できるけど、けど、けど、けど、これからこれと似たような類題がでても果たして自分は解けるのだろうか。。。
purpledabedabe さん
私、この歳でもここのところ解く力が上がってますよ。数をこなすしかありません。私、フルマラソンやってるとき、量は彼女と比較になりませんが野口みずきの「走った距離は裏切らない」を信じて目標の3時間半を切れました。数学も解いた量は裏切らないと思います。
大変ありがたいお言葉ありがとうございます。仕事でちょうど今悩んでいたので、お言葉を重ねさせていただきます。大変励みになります。ありがとうございます。
根気よくいつも通りのことをくりかえせるかですね。
鮮やかです 中学生でも理解できるでしょう。
自分で解いた時，
3^n = 4l^2 + 4l + 1 -40 の処理はちょっとだけ違いました．
3^n -1 = 4l^2 + 4l + 40 と変形して
n が奇数の時に，
(3-1)(3^n-1 + 3^n-2 + 3^n-3 ... + 1) = 2( 2l^2 + 2l + 20 )
(3^n-1 + 3^n-2 + 3^n-3 ... + 1) = ( 2l^2 + 2l + 20 )
左辺の項数は n(奇数) で，各項は奇数，
つまり，奇数を奇数回足しているので，左辺は奇数です．
その一方で右辺は偶数なので，
nは奇数になりえないわけです．
この問題(に限らず)難しさの本質は
式の形が (かけ算) = (足し算) になっているからです．
これが同じような形ならギロンはしやすいのですが，
(かけ算) ⇔ (足し算) の変換には二項定理か因数分解しかないので，
必然的にどちらかを使うのだと思います．
コレ、見てなかったな。後で見ようと思って放置してたヤツだ。
1255=2^n-m^2 ていう最近の出題と今回の問2を観ていて思ったんですが…
指数部分を偶数にして解く。
指数奇数の方は1の桁を考えることで否定できる。
というパターンでほぼイケるのでは？
(2)、ヒントを求めて右辺を40だけにするとこまで観たらやっと分かりました これはなかなか難しい…
いかに数式を料理するかによる問題ですが、これ数Ⅰの範囲なので国公立の文系でも2次試験に出されそうな問題ですね。
出題者の意図としては、この動画で説明された内容を期待してのものだと思いますが学者級の証明は除いて高校レベルではこのパターンが一般的なので覚えていて損は無いですね。
答えだけ求められる問題なら、このパターンを知っていれば簡単に解けるはず。
でも証明付きなら少々苦労するんじゃないでしょうか？
加護志摩雄 さん
いつもご覧くださりありがとうございます。
（2）の方がさくっと答え出て、（1）のがよく手が止まりました、、、、
土曜日の朝は宮仕えの者にとっては一番開放的な時間。そんな心くつろぐ時にいいものを見せて頂きました。ほんと、解法が鮮やかです！自力でこの問題を解くとしても、まず最後までたどり着けないし途中ですごくモタモタしてしまうのが目に見えてます。やはり数をこなすしかないのですかね。
山本俊治 さん
いつもお忙しい中ご覧になってくださりありがとうございます。
量こなせば思いつくものなのか？
新しい文字使いまくるんですね。
今日は早いですね。
いっつも思ってますが、問題選びがじょうずですね！どういう風に問題を選んでるんですか？
解いてて楽しい、難しすぎない、簡単すぎない、本質を理解するのに有益っぽい。そして、俺に解けるのが一番のポイントです。
（2）だけできました(゜ロ゜;因数分解後の形から何を読み取れるかですね。
いつも楽しく拝見しております(高校の後輩です)。
(1)ですが、3^n-1=k^3 と移項すると、(3 - 1)(3^n-1 + 3^n-2 + ... + 1) = 2(3^n-1 +...+ 1) = k^3 となり、
kは自然数、2は素数なので k=2 と考えました。
こちらの方がk=2までかなり近道かと思いましたが、論理に破綻ありますでしょうか？
ご意見賜れますと嬉しいです。
mshin さん
2( )=k^3 k=4や8 も考えられる？
ご返信ありがとうございます！！
どこかでkが素数と勘違いしてしまったようです。確かに私の式だけではk=2とは導き出せませんね。ご指摘感謝です。今後ともよろしくお願いいたしますm(_ _)m
nが偶数であって欲しいっていう発想で頑張るのかな
そういえばベクトルの内積って何を求めてるんですか？
図形的には、始点の等しい２つの矢線ベクトルa,bを考えて、ベクトルaのベクトルbへの正射影ベクトルa'
(bに垂直に光を当てた時のaの影ですね。aのb方向成分です。）で、例えば、ｂの向きを正として、長さに
正、負をつけると（変な表現）、
（ベクトルa'の長さ）×（ベクトルbの長さ）が内積の値です。（a,b入れ替えてb'を作っても同じです。）
立花宗茂猛 麺棒をbベクトルとしたら
麺棒をベクトルaの分だけ転がしたときにできる
生地の潰れた部分の面積って考え方で合ってますか？
あ、見つけました。慶応大・医（5/17分）に内積の図形的意味のリンク貼ってあります。
いつも楽しく見させてもらってます！
多項式の割り算の組立除法のやり方の動画をお願いしたいですm(_ _)m
普段は簡単な数字を代入していって当てはまる数字で割り算するやり方でやってます
徳山元太 さん
ご覧くださりありがとうございます。
組立除法はこちらをご覧ください。th-cam.com/video/UDtyyNNODU4/w-d-xo.html
鈴木貫太郎 見落としていました！ありがとうございます！
普通にむずかった
1-n^3が4の倍数だったら嬉しいなという感性がない←
文字三つ以下または素数は(因数)=定数を作ればいいんだよ
ありがとうございます！これで二項定理の式変形も出来そうだ！
だいぶ遅いコメントで申し訳ないのですが、(2)の時に（k+3^n/2)(k-3^n/2)=40と因数分解するのはダメなのでしょうか？
みるくあめ さん
ご覧くださいありがとうございます。
nが偶数ならそのように因数分解できますが、奇数だとできません。動画で示したように(他にもあるかもしれません)、nを偶数であることを示してからなら因数分解できます。
鈴木貫太郎 やはりnが奇数の時はダメですか……。例えばx^2-y^3を考えた時
x^2-y^3=(x+y^3/2)(x-y^3/2)
と因数分解してみて、展開し計算してみると
x^2-xy^3/2+xy^3/2-y^(3/2)•2=x^2-y^3
となります。これはもはや因数分解出来るという前提が間違っているのでしょうか？
くだらない質問をして申し訳ないです……
みるくあめ さん
動画内で言っている通りnが奇数の時は与式を満たすk、nは無いので‥‥
鈴木貫太郎
なるほど、わかりました。
回答ありがとうございます。
動画見ないでやってみたけど、(1)はｎ＝k＝2、(2)はｎ＝2、k＝7、これしか出なかったな。さて、正解はどうかね、見てみるか
千葉大医ってこんな簡単なんだ
二項定理、見て理解したけど練習が足りなくて使いどころがね、よくわからないんですよ
整数問題で二項定理使う時は、(a+b)^n (bは大抵±1) は最後のb^n以外はaの倍数とだけ考えればいい。
今回みたいにnの情報得るために使うってこと？
偉そうなお名前ですね。わたし、これまでに田中角栄、原敬という偉そうな名前の人に出会ってますよ。