Me encantan tus videos, es una locura lo muy hermosas que son las matemáticas, y como todo forma parte de un gran árbol de axiomas y teoremas que no para de crecer, gracias por crear este contenido tan único en TH-cam
No sé que pasó que yutub se me bugeo y vea todo negro, aun así me vi la mitad del video sin enterarme xd, solo con el medio auditivo captaste mi atención, felicidades
Los puntos de la cuadrícula pueden ser representados por enteros gaussianos de la forma m+in. A cada uno de estos puntos puede asignarse un valor, ya sea real o complejo, obteniéndose así una sucesión en variable entero-compleja. Es posible entonces desarrollar un «Cálculo Discreto en Variable Entero-compleja» con propiedades análogas al cálculo infinitesimal en variable compleja. Por ejemplo estas sucesiones pueden desarrollarse en "sucesiones de Taylor", análogas a las series de Taylor del cálculo infinitesimal. Me ha resultado muy entretenido jugar con el "álgebra elemental", esa que en América Latina aprendimos con el libro de Aureliano Baldor, para re-crear aquel cálculo infinitesimal que se aprende cuando se estudia Ingeniería. Por ejemplo el «Teorema Fundamental del Cálculo Integral» que relaciona integrales con derivadas de funciones, tiene su equivalente en la «Propiedad Telescópica» que relaciona sumatorias con diferencias discretas de sucesiones.
@@paganerius El «Cálculo Discreto» que he desarrollado no necesita el concepto de límite, como el necesario para definir el concepto de derivada de una función de variable real. Así como el cálculo infinitesimal opera con estas funciones normalmente denotadas como f(x), el cálculo discreto opera con sucesiones, normalmente denotadas como a sub k (lástima que las posibilidades tipográficas disponibles aquí en la sección de comentarios de TH-cam son muy limitadas en comparación con las que LaTeX ofrece). En el cálculo infinitesimal existe un reducido conjunto de «funciones elementales», como por ejemplo potencias enteras de x, las funciones exponencial y logarítmica y las funciones trigonométricas, que aparecen en las soluciones de ecuaciones diferenciales. En variable discreta, el equivalente a las ecuaciones diferenciales son las ecuaciones en diferencias, de ahí que es posible encontrar cuales son las «sucesiones elementales» equivalentes que satisfacen las ecuaciones en diferencias equivalentes a las correspondientes ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: ¿Qué función cumple la propiedad que su derivada es proporcional a ella misma? dy/dx = a*y ==> y = eˆ(a*x) Esto es: La función exponencial cumple esta propiedad. En el cálculo discreto habrá entonces que encontrar una sucesión cuya diferencia discreta sea proporcional a ella misma. Esa sucesión es: a sub k = (1+a)ˆk. Todo esto es mucho más fácil de explicar si se puede expresar en un documento en formato PDF generado con un compilador de LaTeX, pero esos documentos no pueden ser publicados aquí como parte de un comentario.
@@paganerius Discrepo con lo que se afirma en el citado documento (www.spantip.com/wiki/Discrete_calculus). Me parece que se trata de un error de traducción. En especial la afirmacion: "El cálculo discreto tiene dos puntos de entrada, cálculo diferencial y cálculo integral." me parece errada. Lo cierto es que el cálculo infinitesimal es el que tiene los dos puntos de entrada: cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo infinitesimal opera con funciones en una fraiable real f(x) y se divide en dos partes, el cálculo diferencial que estudia las derivadas de estas funciones, que se define como un límite de un cuociente entre entre los incrementos delta y y delta x, cuando delta x tiende a cero. La derivada de una función es otra función cuyo valor en cada punto corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva primitiva. El cálculo integral se dedica a encontrar areas bajo una curva dada entre dos límites, llamados límites de integración. El arte de integrar consiste en encontrar una función tal, que su derivada sea igual a la función que se desea integrar. Ambos cálculos están relacionados a través del «Teorema Fundamental del Cálculo Integral».
En Matemáticas cuando se estudia la variación de algún fenómeno, puede estudiarse dos tipos distintos: Fenómenos de variación continua y fenómenos de variación discontinua o «discreta». Por ejemplo en el «Calculo de Probabilidades» existen las distribuciones de probabilidad entre las que se se hace una distinción entre - Variable discreta: Que es aquella que solo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado. - Variable continua: Es aquella que resulta generalmente de la medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Para modelar fenómenos de variación discreta, en lugar de funciones lo apropiado es utilizar sucesiones, como por ejemplo la muy conocida «Sucesión de Fibonacci». Entonces (para emular la errada formulación del documento citado) el cálculo discreto tiene dos puntos de entrada, cálculo de diferencias (de sucesiones) y cálculo de sumas (de sucesiones).
Se cuenta que Gauss cuando era niño resolvió el problema de encontar la suma de los n primeros números enteros valiéndose de la propiedad, que la suma del primero con el último era igual a la suma del segundo con el penúltimo y así sucesivamente es posible agrupar todos los número a sumar (que son los términos de la sucesión a sub k = k) en pares que dan la misma suma. Para encontrar entonces la suma hay que analizar cuantos de estos pares hay, y la suma total será la suma de uno de estos pares multiplicado por el número total de pares. ¡Brillante el joven Gauss! Pero a los que nos gustan las matemáticas siempre queremos más, y nos preguntamos si este método sirve también para calcular la suma, ya no de la primera potencia de los números entre dos límites dados, sinó por ejemplo la suma de todos los cuadrados de los números, o mejór aun, si este método, u otro método, sirve para calcular sumas de cualquier potencia entera de todos los números, esto es, dada una potencia determinada, encontar una fórmula, una «expresión analítica», que exprese dicha suma. Nótese que entonces se trata de encontar métodos generales que permitan, dada una sucesión, encontar una expresión analítica que exprese la suma de todos sus terminos entre dos límites dados de sumasión. Este es una clase de problemas semejante al cálculo de integrales, con la diferencia que no se trata de integrar un función f(x), sino de sumar una sucesión a sub k. En el cálculo infinitesimal existe el Teorema Fundamental que nos conduce a buscar que función tiene su derivada tal, que es igual a l función que se quiere integara. Del mismo modo en el cálculo discreto es la «Propiedad Telescópica» la que nos lleva a buscar que suceción tiene su diferencia tal, que es igual a la sucesión que deseamos sumar.
@@paganerius Muchas gracias por darme tu dirección. Deseo pedirte algo muy valioso para mi. Por favor no me trates de usted. Trátame de tú. No es mi culpa haber nacido algunas décadas antes que tú y tú sabes lo implacable que es el tiempo con el envejecimiento de los cuerpos, pero los espíritus permanecen jóvenes y yo sigo sintiéndome igual a como me sentía a los 18 años, cuando iniciaba los primeros semestres de mis estudios de ingeniería mecánica en la Universidad Técnica Federico Santa María en el puerto de Valparaíso. Más o menos en el 2006 invertí bastante tiempo en transcribir mis desordenados manuscritos a documentos en Latex. Desgraciadamente colapsó el disco duro con todos esos archivos y nunca nadie se interesó por leer lo que yo he desarrollado. Desde entonces siempre había pensado en reanudar ese trabajo, esta vez en castellano. Ahora tú me has dado el impulso necesario para comenzar nuevamente. De modo que te iré enviando las páginas que vaya produciendo. Desde ya muchas gracias por mostrar interés.
Revisando mis manuscritos del Cálculo Discreto, en las páginas dedicadas al "Cálculo de Sumatorias Curvilíneas" de sucesiones de dos variables, si el camino de sumación es cerrado entonces se cumple el Teorema de Green. Véase: es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Green#%C3%81rea_de_una_regi%C3%B3n_con_el_Teorema_de_Green. Esto me parece muy relacionado con el teorema de Pick. Tendré que estudiarlo más detenidamente.
@@paganerius ¡Pues claro que si! Pero hay tantos teoremas importantes en el cálculo de variable continua, que es dificil saber con cuales empezar a buscar las versiones equivalentes.
¡Interesantísimo!
Gracias por seguir aportando contenidos tan valiosos.
Saludos
Gracias profesor por su inmenso aporte a quienes nos encantan las matemáticas y a la sociedad en general
Me encantan tus videos, es una locura lo muy hermosas que son las matemáticas, y como todo forma parte de un gran árbol de axiomas y teoremas que no para de crecer, gracias por crear este contenido tan único en TH-cam
Matemáticas e Historia!!! una mina de oro.
Sencillamente hermoso, parece un poema! Gracias por compartir. Sentí dolor al conocer el desenlace de la vida de Pick.
Tu canal debería tener más suscriptores, verdaderamente traes contenido de calidad. Acabo de ver tus videos y fua
Como en ccada entrega algo maravilloso e interesante!! Gracias!!!
Tremenda historia.... .muchas gracias por la información... no.sabia que se podia extender a poligonos con agujeros.... muy interesante...
Nunca me dejarán de fascinar las matemáticas. Me gusta que añadas algo de historia a tus vídeos. Buen trabajo, enhorabuena!
Nunca escuche de tan hermoso teorema
Muchas gracias por explicar lo mas sencillo que se puede.Saludos
Magnífico e interesantísimo video
te juro que me encanta tu canal, un crack
No sé que pasó que yutub se me bugeo y vea todo negro, aun así me vi la mitad del video sin enterarme xd, solo con el medio auditivo captaste mi atención, felicidades
Me ha encantado.
Gracias
Excelente video, muy interesante!!
Saludos!!
No conocía ese teorema, muy elegante.
Es una lástima que no haga videos sobre las demostraciones de cada uno de los teoremas y propiedades que enuncia enuncia en cada video.
Buen video. Pregunta, ¿existe alguna generalización donde no necesariamente estén todos los vértices ubicados en coordenadas enteras?
Interesante y educativo, tienes o puedes hacer un video sobre las funciones que no son comunes como la función W y otras?. Gracias.
tema muy interesante
me puede explicar porque se divide entre dos y despues se le resta uno?
Para un paralepípedo la formula es más sorpendente
Los puntos de la cuadrícula pueden ser representados por enteros gaussianos de la forma m+in. A cada uno de estos puntos puede asignarse un valor, ya sea real o complejo, obteniéndose así una sucesión en variable entero-compleja. Es posible entonces desarrollar un «Cálculo Discreto en Variable Entero-compleja» con propiedades análogas al cálculo infinitesimal en variable compleja. Por ejemplo estas sucesiones pueden desarrollarse en "sucesiones de Taylor", análogas a las series de Taylor del cálculo infinitesimal.
Me ha resultado muy entretenido jugar con el "álgebra elemental", esa que en América Latina aprendimos con el libro de Aureliano Baldor, para re-crear aquel cálculo infinitesimal que se aprende cuando se estudia Ingeniería. Por ejemplo el «Teorema Fundamental del Cálculo Integral» que relaciona integrales con derivadas de funciones, tiene su equivalente en la «Propiedad Telescópica» que relaciona sumatorias con diferencias discretas de sucesiones.
@@paganerius El «Cálculo Discreto» que he desarrollado no necesita el concepto de límite, como el necesario para definir el concepto de derivada de una función de variable real. Así como el cálculo infinitesimal opera con estas funciones normalmente denotadas como f(x), el cálculo discreto opera con sucesiones, normalmente denotadas como a sub k (lástima que las posibilidades tipográficas disponibles aquí en la sección de comentarios de TH-cam son muy limitadas en comparación con las que LaTeX ofrece). En el cálculo infinitesimal existe un reducido conjunto de «funciones elementales», como por ejemplo potencias enteras de x, las funciones exponencial y logarítmica y las funciones trigonométricas, que aparecen en las soluciones de ecuaciones diferenciales. En variable discreta, el equivalente a las ecuaciones diferenciales son las ecuaciones en diferencias, de ahí que es posible encontrar cuales son las «sucesiones elementales» equivalentes que satisfacen las ecuaciones en diferencias equivalentes a las correspondientes ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo: ¿Qué función cumple la propiedad que su derivada es proporcional a ella misma? dy/dx = a*y ==> y = eˆ(a*x) Esto es: La función exponencial cumple esta propiedad. En el cálculo discreto habrá entonces que encontrar una sucesión cuya diferencia discreta sea proporcional a ella misma. Esa sucesión es:
a sub k = (1+a)ˆk.
Todo esto es mucho más fácil de explicar si se puede expresar en un documento en formato PDF generado con un compilador de LaTeX, pero esos documentos no pueden ser publicados aquí como parte de un comentario.
@@paganerius Discrepo con lo que se afirma en el citado documento (www.spantip.com/wiki/Discrete_calculus). Me parece que se trata de un error de traducción. En especial la afirmacion:
"El cálculo discreto tiene dos puntos de entrada, cálculo diferencial y cálculo integral."
me parece errada. Lo cierto es que el cálculo infinitesimal es el que tiene los dos puntos de entrada: cálculo diferencial y cálculo integral.
El cálculo infinitesimal opera con funciones en una fraiable real f(x) y se divide en dos partes, el cálculo diferencial que estudia las derivadas de estas funciones, que se define como un límite de un cuociente entre entre los incrementos delta y y delta x, cuando delta x tiende a cero. La derivada de una función es otra función cuyo valor en cada punto corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva primitiva. El cálculo integral se dedica a encontrar areas bajo una curva dada entre dos límites, llamados límites de integración. El arte de integrar consiste en encontrar una función tal, que su derivada sea igual a la función que se desea integrar. Ambos cálculos están relacionados a través del «Teorema Fundamental del Cálculo Integral».
En Matemáticas cuando se estudia la variación de algún fenómeno, puede estudiarse dos tipos distintos: Fenómenos de variación continua y fenómenos de variación discontinua o «discreta».
Por ejemplo en el «Calculo de Probabilidades» existen las distribuciones de probabilidad entre las que se se hace una distinción entre
- Variable discreta: Que es aquella que solo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado.
- Variable continua: Es aquella que resulta generalmente de la medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.
Para modelar fenómenos de variación discreta, en lugar de funciones lo apropiado es utilizar sucesiones, como por ejemplo la muy conocida «Sucesión de Fibonacci».
Entonces (para emular la errada formulación del documento citado) el cálculo discreto tiene dos puntos de entrada, cálculo de diferencias (de sucesiones) y cálculo de sumas (de sucesiones).
Se cuenta que Gauss cuando era niño resolvió el problema de encontar la suma de los n primeros números enteros valiéndose de la propiedad, que la suma del primero con el último era igual a la suma del segundo con el penúltimo y así sucesivamente es posible agrupar todos los número a sumar (que son los términos de la sucesión a sub k = k) en pares que dan la misma suma. Para encontrar entonces la suma hay que analizar cuantos de estos pares hay, y la suma total será la suma de uno de estos pares multiplicado por el número total de pares.
¡Brillante el joven Gauss! Pero a los que nos gustan las matemáticas siempre queremos más, y nos preguntamos si este método sirve también para calcular la suma, ya no de la primera potencia de los números entre dos límites dados, sinó por ejemplo la suma de todos los cuadrados de los números, o mejór aun, si este método, u otro método, sirve para calcular sumas de cualquier potencia entera de todos los números, esto es, dada una potencia determinada, encontar una fórmula, una «expresión analítica», que exprese dicha suma. Nótese que entonces se trata de encontar métodos generales que permitan, dada una sucesión, encontar una expresión analítica que exprese la suma de todos sus terminos entre dos límites dados de sumasión. Este es una clase de problemas semejante al cálculo de integrales, con la diferencia que no se trata de integrar un función f(x), sino de sumar una sucesión a sub k. En el cálculo infinitesimal existe el Teorema Fundamental que nos conduce a buscar que función tiene su derivada tal, que es igual a l función que se quiere integara. Del mismo modo en el cálculo discreto es la «Propiedad Telescópica» la que nos lleva a buscar que suceción tiene su diferencia tal, que es igual a la sucesión que deseamos sumar.
@@paganerius Muchas gracias por darme tu dirección. Deseo pedirte algo muy valioso para mi. Por favor no me trates de usted. Trátame de tú. No es mi culpa haber nacido algunas décadas antes que tú y tú sabes lo implacable que es el tiempo con el envejecimiento de los cuerpos, pero los espíritus permanecen jóvenes y yo sigo sintiéndome igual a como me sentía a los 18 años, cuando iniciaba los primeros semestres de mis estudios de ingeniería mecánica en la Universidad Técnica Federico Santa María en el puerto de Valparaíso.
Más o menos en el 2006 invertí bastante tiempo en transcribir mis desordenados manuscritos a documentos en Latex. Desgraciadamente colapsó el disco duro con todos esos archivos y nunca nadie se interesó por leer lo que yo he desarrollado. Desde entonces siempre había pensado en reanudar ese trabajo, esta vez en castellano. Ahora tú me has dado el impulso necesario para comenzar nuevamente. De modo que te iré enviando las páginas que vaya produciendo.
Desde ya muchas gracias por mostrar interés.
Revisando mis manuscritos del Cálculo Discreto, en las páginas dedicadas al "Cálculo de Sumatorias Curvilíneas" de sucesiones de dos variables, si el camino de sumación es cerrado entonces se cumple el Teorema de Green. Véase:
es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Green#%C3%81rea_de_una_regi%C3%B3n_con_el_Teorema_de_Green.
Esto me parece muy relacionado con el teorema de Pick. Tendré que estudiarlo más detenidamente.
@@paganerius ¡Pues claro que si! Pero hay tantos teoremas importantes en el cálculo de variable continua, que es dificil saber con cuales empezar a buscar las versiones equivalentes.