Falls ihr mich und meinen Kanal ein wenig unterstützen möchtet, schaut doch mal bei meiner Kanalmitgliedschaft vorbei! th-cam.com/users/mathematrickjoin Ich danke euch von ganzem Herzen für euren Support! _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Ich finde Sie immer sehr sympathisch. Ich lerne auch davon. Diese Aufgabe hätte ich nicht lösen können. Der Zusammenhang, dass zwei Geraden, die aufeinander Senkrecht stehen, das Steigungsprodukt minus Eins enthalten, hätte ich nicht gedacht. Viele Grüße aus Wuppertal, Hauke
ich hab es mir einfach gemacht: Kreisgleichung nach y aufgelöst: y=Wurzel(25-xhoch2), 1.Ableitung gebildet: y'=-2x/(2Wurzel(25-xhoch2), 3 eingesetzt, Wert von y' an der Stelle 3 ist -3/4
@@marionmaierphilonatura Ohne Ableitungskenntnisse bewirbt man sich jedoch auch nicht für die UNI. Ich habe es auch mit Ableitung gemacht, brauchte gerade mal 2 Zeilen zur Lösung
Schön und gut, aber leider fehlen da die Betragsstriche, bzw. die Fallunterscheidung der zwei möglichen Lösungen für x=3. Also die Kreisfunktion ist ja nun keine Funktion im klassischen Sinne. Pro x gibt es hier bis zu 2 y.
@@KristineKrüger-g7s Jo, da gebe ich dir absolut Recht: Das kann man der Grafik entnehmen. Wenn man aber x² + y² = 25 nach y = sqrt(25 - x²) auflöst und ohne jeden weiteren Kommentar weitermacht und fleißig ableitet, ist das halt nicht ganz richtig, da es eben zwei Lösungen für y gibt. Und das wirkt sich dann ja schon auf die Ableitung aus: Vorzeichen - oder +. Also im Prinzip ist das alles gut und richtig. Für die 100% mit Stern fehlt lediglich der Kommentar, dass nur positive y betrachtet werden, weil: siehe Grafik. :-)
Heute hast du mich verwirrt. Erst ziehst du die Kreisgleichung heran, um etwas auszurechnen was bereits eingezeichnet ist (Schnittpunkt mit x-Achse ergibt direkt den Radius). Dann bemühst du den Pythagoras um die Y-Koordinate auszurechen, wo das sich direkt aus der Kreisgleichug ergibt.
8:05 Falls man den Zusammenhang mr * mg = -1 nicht kennt, kann man das Blatt (in meinem Fall das Smartphone) um 90° drehen ;-) Dann fällt das im Kreis eingezeichnete Steigungsdreieck um 3 auf einer Streckenlänge von 4. Ergo: mg = -3/4.
Man könnte die Kreisgleichung dann auch implizit differenzieren, was zugegeben nicht gerade Grundlagenwissen ist. Aber anschließendes Einsetzen des zuvor ermittelten Punkts liefert die entsprechende Steigung.
Nur dass die Verwendung von Pythagoras hier einfach nur dumm ist: x = 3 in die Kreisgleichung einzusetzen wäre viel einfacher und schneller gewesen. Dass Pythagoras die Herleitung für solche Kreisgleichungen ist, sei mal außen vor gelassen.
@@teejay7578 Oho! Was Susanne hier aufzeigt ist nicht dumm! Im Gegenteil! Sie hilft damit allen, für die deine "geniale" Lösung nicht so offensichtlich ist. 😒
Die Gerade Berührungpunkt Tangente zu Kreis und Mittepunkt Kreis steht rechtwinklig zur Tangente. Es geht dann auch mit dem Höhensatz. Vorzeichen ist negativ, weil mit steigendem x y immer kleiner wird.
Da x=3 ist y=4, damit ist die Steigung des Radius zu dieser Koordinate 4/3. Die Tangente steht Senkrecht auf dem Radius in diesem Punkt und damit ist die Steigung der negative Kehrwert der Steigung in diesem Punkt also -3/4.
Den Satz des Pythagoras hätte man nicht gebraucht, weil das y des Berührpunkts schon aus der Kreisgleichung hervorgeht. Aber in einem Vortrag für Schüler ist es schon sinnvoll, das zu erwähnen, weil es Zusammenhänge darstellt und so das Gesamtverständnis fördert. Ansonsten: schöne Aufgabe, wenn auch für einen Unitest nicht besonders schwer, wenn man den Zusammenhang m1×m2=-1 für aufeinander senkrecht stehende Geraden kennt.
Der Zusammenhang zwischen Pythagoras und einer Kreisgleichung wäre für einen sinnvollen Vortrag durchaus eine Erwähnung wert gewesen. Das hat sie aber gerade nicht getan, sondern Pythagoras benutzt und dabei komplett ignoriert, dass sie einfach nur in die Kreisgleichung hätte einsetzen müssen. Damit ist es leider kein sinnvoller Vortrag, sondern "nur" ein unnötig umständlicher Lösungsweg.
Wenn x = 3 ist, ist die y-Koordinate sqrt(25 - x²) = sqrt(25 - 9) = 4. Der Radiusvektor zum Punkt (3|4) hat daher die Steigung k = y/x = 4/3. Die Tangente g steht senkrecht auf den Radius r, und die Steigung ist daher das *negative Inverse* von k, also -3/4. Simple as that.
Dass der Radius 5 ist, sieht man schon aus dem eingezeichneten Punkt. Da die X-Koordinate vom anderen Punkt C 3 ist, ergibt sich mit dem Radius ein 3-4-5 rechtwinkliges Dreieck. Die Y Koordinate ist also 4, die Steigung des Radius zu Punkt C ist also 4/3 (das rw Dreieck ist ja schon das Steigungsdreieck..) Daher ist die Steigung der Geraden -3/4 (Kehrwert), weil Sie im rechten Winkel zum Radius steht und natürlich eine negative Steigung hat (wie aus der Skizze ersichtlich).
Mein Lösungsvorschlag ▶ Würde man eine Gerade durch den Zentrum (Radius) ziehen so das es den Punkt C schneidet, würde diese Gerade, der Gerade g, die am Punkt C zum Kreis tangential verläuft, mit einem rechten Winkel schneiden, demnach: y(r)=ax x²+y²= 25 x= 3 ⇒ 3²+y²= 25 y²= 16 y= ± 4 am den Punt C, y > 0 y= 4 a= Δy/Δx a= (4-0)/(3-0) a= 4/3 y(r)= 4x/3 Weil die beiden Geraden sich mit einem rechten Winkel schneiden: a*b= -1 (4/3)*b= -1 b= -3/4 Somit wäre die Steigung von der Gerade g : -3/4 b) Versuchen wir die Funktion dieser Gerade zu berechnen: y= bx+c y= 4 x= 3 b= -3/4 ⇒ 4= (-3/4)*3 + c c= 4+ 9/4 c= 25/4 y(r)= - 3x/4 + 25/4
Das Bild ist rein schematisch und im Text ist nur gefordert, dass die x-Koordinate des Punktes C gleich 3 ist. Was ist also mit g=3/4? Also wenn C auf (3, -4) liegt?
Schematisch, ja, aber dennoch eine Vorgabe. Bei Deiner "Annahme" würde die Gerade eine positive Steigung haben und die Zeichnung müsste einmal an der x-Achse gespiegelt werden. Und das wäre eine Tangente in einem anderen Punkt und eben nicht Punkt C.
Nochmal: Die Zeichnung ist eine VORGABE! Wir sehen, wo Punkt C ist. Wenn es keine Zeichnung gäbe, DANN träte Dein Fall ein, und auch nur dann, wenn es Infos zur Gerade gäbe, die NICHT vorhanden sind. Mein Gott, ist doch nicht so schwierig. NACHTRAG: Es steht sogar in der Aufgabenstellung, die Zeichnung zu referenzieren... [Zitat]"auf dem gezeichneten Kreis"[Zitat Ende]
Nun, ob man nur den Abstand auf der X Achse oder gleich den ganzen Quadranten des Koordinatensystems nicht richtig trifft, ist schon ein kleiner Unterschied. Will sagen: Dass der Punkt C wohl eine positive X und Y Koordinate haben soll, kann man schon der schematischen Abbildung entnehmen, wenn der Text es nicht eindeutig hergibt. Z.B. ganz deutlich durch einen Zusatz "Betrachte alle Geraden g und Punkte C(3, y).". Oder durch eine Formulierung "Eine Gerade g verläuft in einem Punkt C tagential zum Kreis.", also unbestimmte Artikel um klar zu machen, dass es ggf. mehrere Geraden g und Punkte C gibt, die die Eigenschaften erfüllen.
Moin, Leute 👋 Moin, Susanne 👋 Ich Mathe-Versager 😭🤦🤷 verstehe die Frage nach dem Radius nicht ☝️ Der ist doch lt. Zeichnung mit (-5/0) schon vorgegeben 🤔🤔 LG 👋😍
Der Kreismittelpunkt ergibt sich aus der Kreisgleichung, wie von Susanne sehr schön erklärt, aber nicht alleine aus dem gegebenen Kreispunkt, wie vom Commander vermutet.
Mich irritiert die Koordinate(-5;0). Der Radius eines Kreises ist doch auf beiden Seiten gleich lang. Wie kann dann x=3 sein? Oder ist die Koordinate falsch eingezeichnet?
der SAT test wird vom College Board herausgegeben. Für die Zulassung zu "undergraduate" studies. Die Testteilnehmer sind also Highschool Absolventen. Die Highschool Ausbildung umfasst 12 Schuljahre. Das erste Schuljahr beginnt mit 5 Jahren und heißt "Kindergarten ". (!) Nach unserem Schulsystem kann man also allenfalls das 11. Klasse Niveau erwarten.
Wieso hast du die Lösung $y=-4$ ausgeklammert? Die Aufgabe sagt doch, dass $g$ eine Tangente sein soll, deren x-Koordinate auf 3 liegt, das trifft halt bei zwei Fällen zu, eine, wo die Tangente durch (3,4) geht, und eine, die durch (3,-4) geht. Beide Linien erfüllen doch aber alle Bedingungen, die in der Aufgabe benannt sind (Tangente zum Kreis und x=3), oder seh ich was nicht?
Sie hat es damit begründet, dass y als Seitenlänge eines Dreiecks positiv sein muss, weil sie unnötigerweise Pythagoras benutzt hat. Das ist an der Stelle aber einfach nur dumm: Mit einer negativen y-Koordinate würde man mit Pythagoras ja auch eine - grundsätzlich positive - Seitenlänge erhalten. Viel sinnvoller wäre gewesen, einfach die Kreisgleichung zu verwenden, um |y| = 4 zu berechnen, und dann festzustellen, dass y = 4 sein muss, weil C in der oberen Hälfte des Koordinatensystems und damit im positiven y-Bereich liegt.
@@teejay7578 das setzt aber voraus, dem Bild irgendeinen Einfluss auf das Ergebnis zuzusprechen, was aber aus der Aufgabe nicht hervorgeht. Im Gegenteil: Im Bild ist C näher an der x-Koordinate dran als an der y-Koordinate, aber rechnerisch ergibt sich, dass |x| größer ist als |y|, also ist es höchst unzulässig, das BIld beim Lösen der Aufgabe zu viel Gewicht beizumessen.
Also wenn dass, das erwartete Niveau für einen Studenten ist, kann die Uni in den USA ja nicht besonders schwer sein 😅 Ich mein, die Lösung kann man easy in 2 Minuten im Kopf berechnen (-3/4)
Sieht grauenvoll aus. Ok, Radius=5. Das hätte ich ausrechnen können, aber es steht ja schon im Bild. Dann auf dem Bild nach der 3 gesucht, ach ja, das ist 3 nach rechts auf der x-Achse. Und von da senkrecht nach oben ... so schwer ist es doch nicht ... Wir verbinden C mit dem Kreismittelpunkt und fällen das Lot von C auf die x-Achse. Und jetzt haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 5 und einer Kathete 3. 5^2-3^2=4^2. Die zweite Kathete das Lot von C auf die x-Achse ist also 4. Die Steigung der Hypotenus ist also 4/3. Da die gesuchte Gerade senkrecht auf dieser steht, ist deren Steigung -3/4 (das negative Reziproke).
Wozu der Umstand mit Pythagoras und nicht einfach die Kreisgleichung benutzen? C liegt doch auf dem Kreis ... und zwar im positiven y-Bereich, was auch das Vorzeichen der y-Lösung klärt. 🤨
Hallo Susanne, guten Morgen, hier mein Vorschlag: fk sei die Funktion für die Punkte des Kreises fg sei die Funktion der Geraden r sei die Strecke vom Ursprung zum Punkt C = Radius des Kreises mr sei die Steigung der Geraden r mg sei die Steigung von g geg.: fk = x^2 + y^2 = 25 r = 5 C(3,y) Außerdem soll C ein Punkt des Kreises und gleichzeitig der Geraden g sein. ges.: Steigung m der Geraden =mg Weil C (auch) ein Punkt auf dem Kreis ist gilt: fk(3) = 3^2 + y^2 = 25 | fk(3) = 9 + y^2 = 25 |-9 fk(3) = y^2 = 16 | Wurzel ziehen | Weil sich C nicht unterhalb der x-Achse befindet, ist nur der positive Wert der Wurzel relevant fk(3) = 4 Mit dem Wissen um "pythagoräische Trippel" hatte man zum Trippel (3,...,5) (3 = x-Koordinate, 5 = Radius des Kreises = Hypotenuse des Dreiecks Ursprung, C, Schnittpunkt Lot von C auf x) den fehlenden Wert 4 auch ohne Rechnen finden können. Der Punkt C hat also die Koordinaten C(3,4) Die Steigung der Geraden r ist dann y-Koordinate von C / x-Koordinate von C (Stichwort "Steigungsdreieck"), also mr = 4/3 Für die Steigungen von r und der senkrecht auf ihr stehenden Geraden g gilt folgender Zusammenhang: mr * mg = -1 mit mr = 4/3 ergibt sich für mg: 4/3 * mg = -1 |* 3/4 (statt zu teilen, darf mit dem Kehrwert mal genommen werden.) mg = -3/4 Die gesuchte Steigung der Geraden g beträgt also -3/4 LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
Bei der Gerade g, auf der linken Seite: 3 in y-Richtung, 4 in x-Richtung. Das Minus gibt die Richtung der Steigung vor ( + -> aufsteigend, - -> absteigend). Außerdem ist es kein Winkel, das ist die Steigung.
-3/4 ist kein Winkel. Es ist die Steigung der roten Geraden g. g fällt um 3 (d.h. steigt um -3) auf einer Strecke von 4. Darum hat die Gerade g eine Steigung mg = -3/4. Wenn du es im Diagramm einzeichnen möchtest, könntest du ein Steigungsdreieck an der roten Geraden zeichnen.
Lösung: Da die x-Koordinate von C den Wert 3 hat, haben wir den y Wert mit: 3² + y² = 25 |-9 y² = 16 y = ±4 Von der Skizze ausgehend können wir y = -4 ignorieren. Da g eine Tangente zum Kreis ist, ist der Radius zwischen dem Nullpunkt und C genau im rechten Winkel zu g. Geraden im rechten Winkel zueinander haben die Steigung m und n, sodass m = -1/n ist. Die Steigung des Radius ist ja (y - 0)/(x - 0), also 4/3. Daher ist die Steigung der Gerade g = -1/(4/3) = -3/4.
viel zu kompliziert hier. Die Kreisgleichung liegt vor. Die Ableitung bildet immer die Tangente an der Kurve. Daraus müsste sich was leichteres basteln lassen. Wer kennt schon die Gleichung mrXmg=-1 ??
Falls ihr mich und meinen Kanal ein wenig unterstützen möchtet, schaut doch mal bei meiner Kanalmitgliedschaft vorbei! th-cam.com/users/mathematrickjoin
Ich danke euch von ganzem Herzen für euren Support!
_____________________________________
Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Ich finde Sie immer sehr sympathisch. Ich lerne auch davon. Diese Aufgabe hätte ich nicht lösen können. Der Zusammenhang, dass zwei Geraden, die aufeinander Senkrecht stehen,
das Steigungsprodukt minus Eins enthalten, hätte ich nicht gedacht. Viele Grüße aus Wuppertal, Hauke
...3 ,4 und 5....die "magischen" Zahlen beim Pythagoras....😉
ich hab es mir einfach gemacht: Kreisgleichung nach y aufgelöst: y=Wurzel(25-xhoch2), 1.Ableitung gebildet: y'=-2x/(2Wurzel(25-xhoch2), 3 eingesetzt, Wert von y' an der Stelle 3 ist -3/4
Einfacher ist das nicht. 😊
Ohne Ableitungskenntnisse von Wurzelfunktionen geht das nicht.
@@marionmaierphilonatura Ohne Ableitungskenntnisse bewirbt man sich jedoch auch nicht für die UNI. Ich habe es auch mit Ableitung gemacht, brauchte gerade mal 2 Zeilen zur Lösung
Schön und gut, aber leider fehlen da die Betragsstriche, bzw. die Fallunterscheidung der zwei möglichen Lösungen für x=3.
Also die Kreisfunktion ist ja nun keine Funktion im klassischen Sinne. Pro x gibt es hier bis zu 2 y.
@@TenorDennis theoretisch ja, aber hier sind ja die Lösungen auf den ersten Quadranten beschränkt
@@KristineKrüger-g7s Jo, da gebe ich dir absolut Recht: Das kann man der Grafik entnehmen. Wenn man aber x² + y² = 25 nach y = sqrt(25 - x²) auflöst und ohne jeden weiteren Kommentar weitermacht und fleißig ableitet, ist das halt nicht ganz richtig, da es eben zwei Lösungen für y gibt. Und das wirkt sich dann ja schon auf die Ableitung aus: Vorzeichen - oder +.
Also im Prinzip ist das alles gut und richtig. Für die 100% mit Stern fehlt lediglich der Kommentar, dass nur positive y betrachtet werden, weil: siehe Grafik. :-)
Heute hast du mich verwirrt. Erst ziehst du die Kreisgleichung heran, um etwas auszurechnen was bereits eingezeichnet ist (Schnittpunkt mit x-Achse ergibt direkt den Radius). Dann bemühst du den Pythagoras um die Y-Koordinate auszurechen, wo das sich direkt aus der Kreisgleichug ergibt.
Aus x=3 folgt y=4. Die Steigung des Radiusstrahls nach C beträgt m=4/3. Die Steigung der Tangente g ist der negative Kehrwert davon als m(g)=-3/4.
Stimmt so nicht: Aus x = 3 folgt erstmal nur |y| = 4. Um auf y = 4 zu kommen, braucht es anschließend noch ein weiteres Kriterium.
8:05 Falls man den Zusammenhang mr * mg = -1 nicht kennt, kann man das Blatt (in meinem Fall das Smartphone) um 90° drehen ;-) Dann fällt das im Kreis eingezeichnete Steigungsdreieck um 3 auf einer Streckenlänge von 4. Ergo: mg = -3/4.
Man könnte die Kreisgleichung dann auch implizit differenzieren, was zugegeben nicht gerade Grundlagenwissen ist. Aber anschließendes Einsetzen des zuvor ermittelten Punkts liefert die entsprechende Steigung.
Für was bednötigt man den Radius? Xin die Gleichung. Y ausrechnen. Steigung bestimmen aus x und y.
Viva Susanne! Viva Pythagoras! 🙂
Nur dass die Verwendung von Pythagoras hier einfach nur dumm ist: x = 3 in die Kreisgleichung einzusetzen wäre viel einfacher und schneller gewesen.
Dass Pythagoras die Herleitung für solche Kreisgleichungen ist, sei mal außen vor gelassen.
@@teejay7578 Oho! Was Susanne hier aufzeigt ist nicht dumm! Im Gegenteil! Sie hilft damit allen, für die deine "geniale" Lösung nicht so offensichtlich ist. 😒
Steigungen von senkrecht zueinander verlaufenden Geraden verhalten sich negativ-reziprok => Kehrbruch bilden und Vorzeichen umkehren => Fertig.
Die Gerade Berührungpunkt Tangente zu Kreis und Mittepunkt Kreis steht rechtwinklig zur Tangente. Es geht dann auch mit dem Höhensatz. Vorzeichen ist negativ, weil mit steigendem x y immer kleiner wird.
Da x=3 ist y=4, damit ist die Steigung des Radius zu dieser Koordinate 4/3. Die Tangente steht Senkrecht auf dem Radius in diesem Punkt und damit ist die Steigung der negative Kehrwert der Steigung in diesem Punkt also -3/4.
Den Satz des Pythagoras hätte man nicht gebraucht, weil das y des Berührpunkts schon aus der Kreisgleichung hervorgeht. Aber in einem Vortrag für Schüler ist es schon sinnvoll, das zu erwähnen, weil es Zusammenhänge darstellt und so das Gesamtverständnis fördert. Ansonsten: schöne Aufgabe, wenn auch für einen Unitest nicht besonders schwer, wenn man den Zusammenhang m1×m2=-1 für aufeinander senkrecht stehende Geraden kennt.
Der Zusammenhang zwischen Pythagoras und einer Kreisgleichung wäre für einen sinnvollen Vortrag durchaus eine Erwähnung wert gewesen. Das hat sie aber gerade nicht getan, sondern Pythagoras benutzt und dabei komplett ignoriert, dass sie einfach nur in die Kreisgleichung hätte einsetzen müssen. Damit ist es leider kein sinnvoller Vortrag, sondern "nur" ein unnötig umständlicher Lösungsweg.
Wenn x = 3 ist, ist die y-Koordinate sqrt(25 - x²) = sqrt(25 - 9) = 4. Der Radiusvektor zum Punkt (3|4) hat daher die Steigung k = y/x = 4/3. Die Tangente g steht senkrecht auf den Radius r, und die Steigung ist daher das *negative Inverse* von k, also -3/4. Simple as that.
Vorsicht: √(25 - x²) = |y|
Dass y dann 4 und nicht -4 ist, musst du nochmal separat belegen.
@@teejay7578 Nö, wenn die Skizze gegeben ist, ist alles klar. Ansonsten wäre die Fragestellung nicht eindeutig.
Dass der Radius 5 ist, sieht man schon aus dem eingezeichneten Punkt. Da die X-Koordinate vom anderen Punkt C 3 ist, ergibt sich mit dem Radius ein 3-4-5 rechtwinkliges Dreieck. Die Y Koordinate ist also 4, die Steigung des Radius zu Punkt C ist also 4/3 (das rw Dreieck ist ja schon das Steigungsdreieck..) Daher ist die Steigung der Geraden -3/4 (Kehrwert), weil Sie im rechten Winkel zum Radius steht und natürlich eine negative Steigung hat (wie aus der Skizze ersichtlich).
Mein Lösungsvorschlag ▶
Würde man eine Gerade durch den Zentrum (Radius) ziehen so das es den Punkt C schneidet, würde diese Gerade, der Gerade g, die am Punkt C zum Kreis tangential verläuft, mit einem rechten Winkel schneiden, demnach:
y(r)=ax
x²+y²= 25
x= 3
⇒
3²+y²= 25
y²= 16
y= ± 4
am den Punt C, y > 0
y= 4
a= Δy/Δx
a= (4-0)/(3-0)
a= 4/3
y(r)= 4x/3
Weil die beiden Geraden sich mit einem rechten Winkel schneiden:
a*b= -1
(4/3)*b= -1
b= -3/4
Somit wäre die Steigung von der Gerade g : -3/4
b) Versuchen wir die Funktion dieser Gerade zu berechnen:
y= bx+c
y= 4
x= 3
b= -3/4
⇒
4= (-3/4)*3 + c
c= 4+ 9/4
c= 25/4
y(r)= - 3x/4 + 25/4
Das Bild ist rein schematisch und im Text ist nur gefordert, dass die x-Koordinate des Punktes C gleich 3 ist. Was ist also mit g=3/4? Also wenn C auf (3, -4) liegt?
Schematisch, ja, aber dennoch eine Vorgabe. Bei Deiner "Annahme" würde die Gerade eine positive Steigung haben und die Zeichnung müsste einmal an der x-Achse gespiegelt werden. Und das wäre eine Tangente in einem anderen Punkt und eben nicht Punkt C.
@N7OmniTool Punkt C hat die x-Koordinate 3. Mehr weiß man über den Punkt nicht.
Nochmal: Die Zeichnung ist eine VORGABE! Wir sehen, wo Punkt C ist. Wenn es keine Zeichnung gäbe, DANN träte Dein Fall ein, und auch nur dann, wenn es Infos zur Gerade gäbe, die NICHT vorhanden sind. Mein Gott, ist doch nicht so schwierig.
NACHTRAG: Es steht sogar in der Aufgabenstellung, die Zeichnung zu referenzieren... [Zitat]"auf dem gezeichneten Kreis"[Zitat Ende]
@N7OmniTool Also wenn die Zeichnung eine VORGABE wäre, dann wäre das x des Punktes C auch größer, als sein y. Sie merken wo der Denkfehler liegt?
Nun, ob man nur den Abstand auf der X Achse oder gleich den ganzen Quadranten des Koordinatensystems nicht richtig trifft, ist schon ein kleiner Unterschied.
Will sagen: Dass der Punkt C wohl eine positive X und Y Koordinate haben soll, kann man schon der schematischen Abbildung entnehmen, wenn der Text es nicht eindeutig hergibt.
Z.B. ganz deutlich durch einen Zusatz "Betrachte alle Geraden g und Punkte C(3, y).". Oder durch eine Formulierung "Eine Gerade g verläuft in einem Punkt C tagential zum Kreis.", also unbestimmte Artikel um klar zu machen, dass es ggf. mehrere Geraden g und Punkte C gibt, die die Eigenschaften erfüllen.
sehr lehrreich
Wenn man lernen möchte, wie man es unnötig umständlich macht und zum Teil mit falschen Erklärungen zum richtigen Ergebnis kommt, hast du Recht. 🤐
Warum so kompliziert... Nach 5 Minuten den Pythagoras? Man kann doch die 3 gleich in die in der Angabe gegebenen Gleichung einsetzen.
Moin, Leute 👋
Moin, Susanne 👋
Ich Mathe-Versager 😭🤦🤷
verstehe die Frage nach dem Radius nicht ☝️
Der ist doch lt. Zeichnung mit (-5/0) schon vorgegeben 🤔🤔
LG 👋😍
hab ich mir auch gedacht - war aber eine anschauliche Erklärung der Kreisgleichung
Der gegebene Kreispunkt sagt nichts über den Kreismittelpunkt aus.
@adlibitum9624 Das ergibt sich aus x^2 + y^2 = 25. Versuch das mal, wenn der Kreismittelpunkt nicht 0,0 ist.
Der Kreismittelpunkt ergibt sich aus der Kreisgleichung, wie von Susanne sehr schön erklärt, aber nicht alleine aus dem gegebenen Kreispunkt, wie vom Commander vermutet.
Mich irritiert die Koordinate(-5;0). Der Radius eines Kreises ist doch auf beiden Seiten gleich lang. Wie kann dann x=3 sein? Oder ist die Koordinate falsch eingezeichnet?
x ist von C grade runter gezeichnet und nicht der Radius
Moment - eine Aufgabe aus der 7. Oder 8. Klasse ist in der Aufnahmeprüfung drin? Amerika.. ohne Worte.. 😂
der SAT test wird vom College Board herausgegeben. Für die Zulassung zu "undergraduate" studies. Die Testteilnehmer sind also Highschool Absolventen.
Die Highschool Ausbildung umfasst 12 Schuljahre. Das erste Schuljahr beginnt mit 5 Jahren und heißt "Kindergarten ". (!) Nach unserem Schulsystem kann man also allenfalls das 11. Klasse Niveau erwarten.
💯
Wieso hast du die Lösung $y=-4$ ausgeklammert? Die Aufgabe sagt doch, dass $g$ eine Tangente sein soll, deren x-Koordinate auf 3 liegt, das trifft halt bei zwei Fällen zu, eine, wo die Tangente durch (3,4) geht, und eine, die durch (3,-4) geht. Beide Linien erfüllen doch aber alle Bedingungen, die in der Aufgabe benannt sind (Tangente zum Kreis und x=3), oder seh ich was nicht?
Sie hat es damit begründet, dass y als Seitenlänge eines Dreiecks positiv sein muss, weil sie unnötigerweise Pythagoras benutzt hat. Das ist an der Stelle aber einfach nur dumm: Mit einer negativen y-Koordinate würde man mit Pythagoras ja auch eine - grundsätzlich positive - Seitenlänge erhalten. Viel sinnvoller wäre gewesen, einfach die Kreisgleichung zu verwenden, um |y| = 4 zu berechnen, und dann festzustellen, dass y = 4 sein muss, weil C in der oberen Hälfte des Koordinatensystems und damit im positiven y-Bereich liegt.
@@teejay7578 das setzt aber voraus, dem Bild irgendeinen Einfluss auf das Ergebnis zuzusprechen, was aber aus der Aufgabe nicht hervorgeht. Im Gegenteil: Im Bild ist C näher an der x-Koordinate dran als an der y-Koordinate, aber rechnerisch ergibt sich, dass |x| größer ist als |y|, also ist es höchst unzulässig, das BIld beim Lösen der Aufgabe zu viel Gewicht beizumessen.
Ich habe nach y aufgelöst um die Gleichung f_(x) = (25-x^2)^1/2 abzuleiten nach f'_(x) = -1/2x*(25-x^2)^-1/2. Drei gesetzt für x = -0.75
Also wenn dass, das erwartete Niveau für einen Studenten ist, kann die Uni in den USA ja nicht besonders schwer sein 😅 Ich mein, die Lösung kann man easy in 2 Minuten im Kopf berechnen (-3/4)
Sieht grauenvoll aus.
Ok, Radius=5.
Das hätte ich ausrechnen können, aber es steht ja schon im Bild.
Dann auf dem Bild nach der 3 gesucht, ach ja, das ist 3 nach rechts auf der x-Achse. Und von da senkrecht nach oben ... so schwer ist es doch nicht ...
Wir verbinden C mit dem Kreismittelpunkt und fällen das Lot von C auf die x-Achse. Und jetzt haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 5 und einer Kathete 3. 5^2-3^2=4^2. Die zweite Kathete das Lot von C auf die x-Achse ist also 4.
Die Steigung der Hypotenus ist also 4/3. Da die gesuchte Gerade senkrecht auf dieser steht, ist deren Steigung -3/4 (das negative Reziproke).
Wozu der Umstand mit Pythagoras und nicht einfach die Kreisgleichung benutzen? C liegt doch auf dem Kreis ... und zwar im positiven y-Bereich, was auch das Vorzeichen der y-Lösung klärt. 🤨
👍
-3/4, ist ein pythagoräisches tripel
Hallo Susanne, guten Morgen,
hier mein Vorschlag:
fk sei die Funktion für die Punkte des Kreises
fg sei die Funktion der Geraden
r sei die Strecke vom Ursprung zum Punkt C = Radius des Kreises
mr sei die Steigung der Geraden r
mg sei die Steigung von g
geg.:
fk = x^2 + y^2 = 25
r = 5
C(3,y)
Außerdem soll C ein Punkt des Kreises und gleichzeitig der Geraden g sein.
ges.:
Steigung m der Geraden =mg
Weil C (auch) ein Punkt auf dem Kreis ist gilt:
fk(3) = 3^2 + y^2 = 25 |
fk(3) = 9 + y^2 = 25 |-9
fk(3) = y^2 = 16 | Wurzel ziehen | Weil sich C nicht unterhalb der x-Achse befindet, ist nur der positive Wert der Wurzel relevant
fk(3) = 4
Mit dem Wissen um "pythagoräische Trippel" hatte man zum Trippel (3,...,5) (3 = x-Koordinate, 5 = Radius des Kreises = Hypotenuse des Dreiecks Ursprung, C, Schnittpunkt Lot von C auf x) den fehlenden Wert 4 auch ohne Rechnen finden können.
Der Punkt C hat also die Koordinaten C(3,4)
Die Steigung der Geraden r ist dann y-Koordinate von C / x-Koordinate von C (Stichwort "Steigungsdreieck"), also mr = 4/3
Für die Steigungen von r und der senkrecht auf ihr stehenden Geraden g gilt folgender Zusammenhang:
mr * mg = -1
mit mr = 4/3 ergibt sich für mg:
4/3 * mg = -1 |* 3/4 (statt zu teilen, darf mit dem Kehrwert mal genommen werden.)
mg = -3/4
Die gesuchte Steigung der Geraden g beträgt also -3/4
LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
Das ist schon eine der schwierigen Aufgaben innerhalb des SAT.
Kopfrechenaufgabe.
Hmm.. ok?
Auweia
Tut niemals in den amerikanischen Woken Unis studieren.
Mit GeoGebra ist der Winkel der Y Achse 36,87 Grad und in der X Achse 53,13 Grad
wo zeichne ist den Winkel mg (- 3/4) ein? ich kapier es nicht!
Bei der Gerade g, auf der linken Seite: 3 in y-Richtung, 4 in x-Richtung. Das Minus gibt die Richtung der Steigung vor ( + -> aufsteigend, - -> absteigend).
Außerdem ist es kein Winkel, das ist die Steigung.
-3/4 ist kein Winkel. Es ist die Steigung der roten Geraden g. g fällt um 3 (d.h. steigt um -3) auf einer Strecke von 4. Darum hat die Gerade g eine Steigung mg = -3/4.
Wenn du es im Diagramm einzeichnen möchtest, könntest du ein Steigungsdreieck an der roten Geraden zeichnen.
@N7OmniTool thx
@@TenorDennis thx
Im Kopf: -3/4
Dito.
Lösung:
Da die x-Koordinate von C den Wert 3 hat, haben wir den y Wert mit:
3² + y² = 25 |-9
y² = 16
y = ±4
Von der Skizze ausgehend können wir y = -4 ignorieren.
Da g eine Tangente zum Kreis ist, ist der Radius zwischen dem Nullpunkt und C genau im rechten Winkel zu g.
Geraden im rechten Winkel zueinander haben die Steigung m und n, sodass m = -1/n ist.
Die Steigung des Radius ist ja (y - 0)/(x - 0), also 4/3.
Daher ist die Steigung der Gerade g = -1/(4/3) = -3/4.
viel zu kompliziert hier. Die Kreisgleichung liegt vor. Die Ableitung bildet immer die Tangente an der Kurve. Daraus müsste sich was leichteres basteln lassen. Wer kennt schon die Gleichung mrXmg=-1 ??