Конформные отображения с помощью линейной функции
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 9 ก.พ. 2025
- Изучение конформных отображений начинаем с простейшей из функций - линейной. Все, что она может сделать с исходной областью - изменить масштаб, повернуть и сместить в нужное место. Форму области она изменить не в состоянии.
Этот и другие материалы Вы можете найти на сайте "Методы математической физики" ( mmfbest.hostron... )
Здравствуйте! Спасибо за ваши уроки, настоящее спасение для студентов.
Хотелось бы уточнить один нюанс: на 24:58 в условиях дана область Im z < 1, а вы на рисунке отмечаете верхнюю полуплоскость (шрихуете снизу) и решаете тем самым другую задачу. Или я ошибаюсь в чем-то?
Да, моя ошибка, должно быть Imz>1. Извините.
Здравствуйте, больше спасибо за урок, но остался один момент, мне непонятный. На примере 18:16, говоря про растяжение, вы берете ширину полосы, а затем говорите, что она, очевидно, увеличивается в два раза, отсюда |a|=2 (тут мне все понятно). Далее на 31:10 вы говорите про растяжение, как про увеличение длин полупрямых. Аргументируя тем, что исходная область бесконечная, получается, что увеличение бесконечных длин, вообще говоря, никаких видимых изменений не даст. Вопрос в том, почему в одном случае мы увеличиваем расстояние между прямыми("ширину полосы"), а в другом увеличиваем длины этих прямых? Просто если точно также говорить про пример 18:16, можно сказать, что якобы исходная область бесконечная, и увеличивая длины прямых в два раза, ничего не изменится. Заранее спасибо!
При отображении линейной функцией все размеры области пропорционально увеличиваются. В первом примере (18.16) "высота" исходной области была конечной, и ее изменение заметно, а "ширина" бесконечна и при преобразовании видимо не изменилась. Во втором примере (31.10) ни одного участка с конечным размером нет, и поэтому видимых изменений не наблюдается.
@@D_Losev Спасибо
Спасибо Вам огромное
В последней задаче возник вопрос.
Что если делать растяжение в самом последнем шаге (ибо как я понимаю, от перемены мест действия отображение должно получиться тем же)
Если мы сначала, например, повернем, а потом сдвинем, то точка пересечения прямых будет в (-1;1). Потом делаем растяжением => расстояние между точкой пересечения прямых (точка (-1;1) ) и между точкой начала координат должно увеличиться в sqrt(2) => новая точка пересечения прямых будет в точке (-sqrt(2);sqrt(2)), но у вас итоговый ответ не такой.
Что не так?
Порядок действий вовсе не безобиден. Это всё равно как считать равными величины az+b и a(z+b). В Вашем случае: повернем - функция
w1=(i-1)z/sqrt(2), потом сдвинем - функция w2=w1+1, делаем растяжение w=sqrt(2)w2. Итоговая функция w=sqrt(2)(w1+1)=sqrt(2)((i-1)z/sqrt(2)+1)=
=(i-1)z+sqrt(2).
Спасибо за урок, можете помочь как можно найти обратную задачу
Я стараюсь чередовать примеры на прямую и обратную задачи конформного отображения, всё, чем могу помочь без конкретики задачи, уже есть в ролике.
@@D_Losev
Здравствуйте
Если задана значении линейной функции и его отображение, мне нужно найти функцию w=f(z)
т.е есть три вершины треугольника
А= 0 , В=1 ,C=i
W(A)=0 , W(B)=2 ,W(C)=1+i
W=f(z)-?
Я решила как система w=az+b но а и b не имело значений
@@nurbonu4553 Есть 2 варианта: 1) геометрический - нужно повернуть, растянуть и сместить, лучше делать поэтапно; 2) алгебраический (как Вы делали, только надо правильно определить, какая точка в какую отображается) - поскольку углы должны сохраняться, точка A (в которой прямой угол) должна отобразиться w=1+i, точку 2 я бы отобразил в 0, можно искать a и b из 2 соответствий, третье должно выполниться автоматически, если всё сделано верно.
@@D_Losev спасибо большое ,
Вы очень помогли ,сессия близко ,
Ваши уроки и помощь очень помогло
ну, и....