περισσότερο θέμα μαθηματικού διαγωνισμού θα μου έκανε παρά θεμα εξετάσεων. Δεν ανοίκει σε κανένα/καμία, πώς να το πω, θεματική κατηγορία θέματος. Η δυσκολία του θα το κατέτασε στο 4ο θεμα πανελλαδικών μόνο που δεν έχει σχέση με ολοκλήρωση, ομοίως και για τα υπόλοιπα θέματα. Είναι ΤΕΡΜΑ ΦΛΟΥ
Υποθέτουμε ότι ισχύει μόνο η σχέση e^f(x)-e^(-f(x))=2x για κάθε x του R και τίποτα άλλο. 1ον Από τη σχέση αυτή μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η f είναι 1-1 και μηδενίζεται μόνο στο 0. Δηλαδή το f(0)=0 αποδεικνύεται! 2ον Από την ίδια σχέση που στην ουσία είναι εξίσωση 2ου βαθμού ως προς e^f(x) μπορούμε να έχουμε e^f(x)=x±√(x^2+1). Επειδή το e^f(x) είναι θετικό πρέπει να είναι e^f(x)=x+√(x^2+1)=>f(x)=ln(x+√(x^2+1)) η οποία προφανώς είναι συνεχής. Άρα και η συνέχεια της f αποδεικνύεται!!
περισσότερο θέμα μαθηματικού διαγωνισμού θα μου έκανε παρά θεμα εξετάσεων. Δεν ανοίκει σε κανένα/καμία, πώς να το πω, θεματική κατηγορία θέματος. Η δυσκολία του θα το κατέτασε στο 4ο θεμα πανελλαδικών μόνο που δεν έχει σχέση με ολοκλήρωση, ομοίως και για τα υπόλοιπα θέματα. Είναι ΤΕΡΜΑ ΦΛΟΥ
Γιατί να μην πας σε παραγωγηση επειδή η 2χ είναι παραγωγησιμη στο R και να λύσεις διαφορική εξίσωση/ολοκλήρωση κατά παράγοντες?
Υποθέτουμε ότι ισχύει μόνο η σχέση e^f(x)-e^(-f(x))=2x για κάθε x του R και τίποτα άλλο. 1ον Από τη σχέση αυτή μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η f είναι 1-1 και μηδενίζεται μόνο στο 0. Δηλαδή το f(0)=0 αποδεικνύεται! 2ον Από την ίδια σχέση που στην ουσία είναι εξίσωση 2ου βαθμού ως προς e^f(x) μπορούμε να έχουμε e^f(x)=x±√(x^2+1). Επειδή το e^f(x) είναι θετικό πρέπει να είναι e^f(x)=x+√(x^2+1)=>f(x)=ln(x+√(x^2+1)) η οποία προφανώς είναι συνεχής. Άρα και η συνέχεια της f αποδεικνύεται!!
στο τελος με την αποδειξη δεν μπορουμε να πουμε οτι απολυτο χ >+-χ για καθε χ που ανηκει στο R οποτε εφοσον ριζα χ^2 +1 > απολυτο χ ριζα χ^2 +1 +χ >0
Άλλο περνώ και άλλο παίρνω! Λιγα ελληνικα δεν βλαπτουν!