Bonjour , tres bonne video , on peut egalement poser 5x+5y= xy et donc x = 5y/(y-5) qu'il suffit ensuite d'ecrire sous la forme x = 5 + 25/(y-5) , et ensuite avec les diviseurs de 25 qui sont -25,-5,-1,1,5,25 on arrive aux couplex de solutions de la video en retenant que les valeurs de x et y qui se trouvent dans N
Merci pour avoir contribué à nous offrir cette méthode que je trouve jolie . Peut être qu'une tierce personne nous présente une autre méthode pour le bien de tout le monde.
Bonjour, très bonne vidéo. Autre solution : 1/x + 1/y = (x+y)/xy =1/5. Donc 5(x+y)=xy. Comme x et y sont entiers et que xy est divisible par 5, il faut que x ou y soit un multiple de 5. Supposons que ce soit x (comme ils jouent un rôle symétrique, cela revient au même) et posons x=5*t avec t entier naturel. L'équation devient 5(5t+y)= 5ty, donc 5t=y(t-1) donc y=5t/(t-1). Comme t/(t-1) n'est jamais un entier sauf si t=2 (démonstration par l'absurde très facile), il n'y a que 2 possibilités pour que y soit un entier : a) t=2, ce qui revient à y=10 et x=10 ou b) t-1=5, donc y=6 et x=30 On en déduit les 3 solutions (10;10); (6;30) et (30;6)
En mettant au même dénominateur j'arrive au système x+y=m et xy=5m, m étant un entier. Puis à l'équation x²-mx+5m=0. Delta=m²-20m doit être un carré parfait, donc je résous m²-20m=a² pour trouver a. Nouveau Delta=4(100+a²). 100+a² doit être un carré parfait, donc on cherche également b tel que 100+a²=b², soit (b-a)(b+a)=100. On se limite aux diviseurs pairs de 100. Le système b-a=2 b+a=50 donne les bonnes valeurs de a ainsi b-a=10 et b+a=10. puis les bonnes valeurs pour m.... 🙂
il aurait été bien plus judicieux d'observer que 1/n = 1/(n+q) + q/n.(n+q) et que donc q doit être un diviseur de n² ici n=5 donc q=1 ou 5 ou 25 on en conclut que 1/5 = 1/6 + 1/30 = 1/10 +1/10 = 1/30 + 1/6
Bonjour , tres bonne video , on peut egalement poser 5x+5y= xy et donc x = 5y/(y-5) qu'il suffit ensuite d'ecrire sous la forme x = 5 + 25/(y-5) , et ensuite avec les diviseurs de 25 qui sont
-25,-5,-1,1,5,25 on arrive aux couplex de solutions de la video en retenant que les valeurs de x et y qui se trouvent dans N
Merci pour avoir contribué à nous offrir cette méthode que je trouve jolie .
Peut être qu'une tierce personne nous présente une autre méthode pour le bien de tout le monde.
Bonjour, très bonne vidéo.
Autre solution : 1/x + 1/y = (x+y)/xy =1/5. Donc 5(x+y)=xy. Comme x et y sont entiers et que xy est divisible par 5, il faut que x ou y soit un multiple de 5. Supposons que ce soit x (comme ils jouent un rôle symétrique, cela revient au même) et posons x=5*t avec t entier naturel. L'équation devient 5(5t+y)= 5ty, donc 5t=y(t-1) donc y=5t/(t-1).
Comme t/(t-1) n'est jamais un entier sauf si t=2 (démonstration par l'absurde très facile), il n'y a que 2 possibilités pour que y soit un entier :
a) t=2, ce qui revient à y=10 et x=10 ou b) t-1=5, donc y=6 et x=30
On en déduit les 3 solutions (10;10); (6;30) et (30;6)
En mettant au même dénominateur j'arrive au système x+y=m et xy=5m, m étant un entier. Puis à l'équation x²-mx+5m=0. Delta=m²-20m doit être un carré parfait, donc je résous m²-20m=a² pour trouver a. Nouveau Delta=4(100+a²). 100+a² doit être un carré parfait, donc on cherche également b tel que 100+a²=b², soit (b-a)(b+a)=100. On se limite aux diviseurs pairs de 100. Le système b-a=2 b+a=50 donne les bonnes valeurs de a ainsi b-a=10 et b+a=10. puis les bonnes valeurs pour m.... 🙂
il aurait été bien plus judicieux d'observer que 1/n = 1/(n+q) + q/n.(n+q)
et que donc q doit être un diviseur de n²
ici n=5 donc q=1 ou 5 ou 25
on en conclut que 1/5 = 1/6 + 1/30 = 1/10 +1/10 = 1/30 + 1/6