Korrekt! Damit sind 3 und 4 Nullteiler in Z/6Z. Allgemein lässt sich beobachten, dass alle nicht-trivialen Teiler von n (also 2, 3 und 4 in unserem Fall n=6) Nullteiler sind.
Richtig. Jedoch gilt in Z/5Z auch: 5=0 (mit Kongruenzsymbol statt Gleichheitszeichen). Siehe dazu auch mein Video über Modulo rechnen: Modulo n rechnen (Idee, Nutzen) | Math Intuition
Math Intuition hallo, danke zuerst für den Beitrag! 5 ist in der Klasse 0 enthalten, denn 5 ist kongruent zu 0. Nun verstehe ich nicht, warum, für m ist gerade nicht nullteilerfrei ist? Z.B ist m=4 , denn 2*2 = 4, wobei 4 kong. 0, 2 nicht kongruent 0. Was mit 1*4=4?
niaguli Y Verstehe ich richtig, dass du dich fragst: "Warum ist Z/mZ nicht nullteilerfrei, wenn m gerade ist?" Mit Ausnahme von m=2 stimmt das tatsächlich, denn: wenn m gerade ist, kann ich es als m=2*k schreiben. Und sowohl 2 als auch k sind natürlich echt kleiner als m, d.h. 2 und k liegen in der Menge {1,2,...,m-1}. Demzufolge sind natürlich 2 und k beide NICHT kongruent zur 0 (denn nur Vielfache von m sind kongruent zur Null). Demzufolge sind 2 und k Nullteiler in Z/mZ, denn beide sind ungleich Null und es gilt: 2*k=m und m ist natürlich in derselben Klasse wie Null (heißt: 2*k=m=0). Also genau wie in deinem Beispiel mit m=4: Du hast ein Produkt gefunden, das Null ergibt (2*2=4=0), jedoch sind beide Faktoren selbst ungleich Null (denn 2 ist nicht kongruent 0). P.S. Ich benutze gern einfach das Symbol "=" für "kongruent", weil diese Symbole so verwandt sind (auch von der Idee und den Eigenschaften), davon also nicht verwirren lassen. Politisch korrekt wäre immer: "kongruent".
Math Intuition Wenn m nicht Primzahl ist, dann ist Z/ / Z/m nicht nullteilerfrei: Ich könnte schreiben: sei m=4, denn 4 ist element von der Menge, gilt dann: 1*4=4? Denn 4 ist nicht Teiler von 0. Wenn nein, warum geht das nicht?
niaguli Y Es gilt immer 1*4=4. Damit ist zwar 1*4 auch gleichzeitig Null (1*4=0), jedoch ist in diesem Fall schon einer der Faktoren Null (weil ja 4=0) ist. In diesem Fall ist also doch 4 "ein Teiler von der Null" (weil es ja die Null selbst ist), zumindest erfüllt 4 laut der formalen Teilbarkeitsdefinition diese Eigenschaft. Ob man die Null offiziell als Nullteiler bezeichnet oder nicht, ist reine definitionssache. Laut meinem Video müsste die Null eigentlich formal mein "Nullteiler" sein.
Gute Frage! Zwei Gleichheitszeichen kennen die meisten als "Gleichheit". Mit 3 Strichen meine ich im Video "Gleichheit wenn ich modulo n rechne". Also zum Beispiel sind die Zahlen 2 und 4 in den natürlichen Zahlen nicht gleich, wenn ich aber modulo 2 rechne dann schon. Also ist 2 ungleich 4, aber 2=4 (modulo 2) und letzteres schreibe ich dann mit 3 strichen.
Die Elemente von z mod n z sind keine zahlen sondern äquivalenzklassen. das mit dem 2*3 könnte leuten die das zum ersten mal sehen eine falsche vorstellung davon geben. man sollte das direkt richtig lernen
Oh mein Gott! Danke für deine Erklärung! Endlich hab ich es begriffen!
Echt super, vielen Dank
Hi, in Z/6Z müsste doch aber 4 auch ein Nullteiler sein oder? Denn 3*4=12 =(kongruent zu) 0
Korrekt! Damit sind 3 und 4 Nullteiler in Z/6Z. Allgemein lässt sich beobachten, dass alle nicht-trivialen Teiler von n (also 2, 3 und 4 in unserem Fall n=6) Nullteiler sind.
Sind dann alle Z5 elemente Einheiten?
Best! Danke vielmals :)
Gern :) danke!
Danke!
holy guacamole hast du das thema gut erklärt. danke!
Gern! Noch viel mehr solcher Erklärungen in dem Kaliber findest du übrigens hier in meinen Videokursen: www.math-intuition.de/courses
Hey, was ist denn in den Restklassen die "Null"? Das scheint mir aktuell weder Einheit, noch Nullteiler. Ist das dann gar nichts?
Die null ist tatsächlich separat. Alles andere ist entweder einheit oder nullteiler.
Hi! Warum ist 5 in Z/ / 5Z/ enthalten?
Ist die Menge alle modulo Klassen nicht so definiert:
Sei m>0, dann gilt
mZ/ .= {0,..., m-1}
Richtig. Jedoch gilt in Z/5Z auch: 5=0 (mit Kongruenzsymbol statt Gleichheitszeichen). Siehe dazu auch mein Video über Modulo rechnen: Modulo n rechnen (Idee, Nutzen) | Math Intuition
Math Intuition hallo, danke zuerst für den Beitrag! 5 ist in der Klasse 0 enthalten, denn 5 ist kongruent zu 0. Nun verstehe ich nicht, warum, für m ist gerade nicht nullteilerfrei ist? Z.B ist m=4 , denn 2*2 = 4, wobei 4 kong. 0, 2 nicht kongruent 0. Was mit 1*4=4?
niaguli Y
Verstehe ich richtig, dass du dich fragst: "Warum ist Z/mZ nicht nullteilerfrei, wenn m gerade ist?" Mit Ausnahme von m=2 stimmt das tatsächlich, denn: wenn m gerade ist, kann ich es als m=2*k schreiben. Und sowohl 2 als auch k sind natürlich echt kleiner als m, d.h. 2 und k liegen in der Menge {1,2,...,m-1}. Demzufolge sind natürlich 2 und k beide NICHT kongruent zur 0 (denn nur Vielfache von m sind kongruent zur Null). Demzufolge sind 2 und k Nullteiler in Z/mZ, denn beide sind ungleich Null und es gilt: 2*k=m und m ist natürlich in derselben Klasse wie Null (heißt: 2*k=m=0).
Also genau wie in deinem Beispiel mit m=4: Du hast ein Produkt gefunden, das Null ergibt (2*2=4=0), jedoch sind beide Faktoren selbst ungleich Null (denn 2 ist nicht kongruent 0).
P.S. Ich benutze gern einfach das Symbol "=" für "kongruent", weil diese Symbole so verwandt sind (auch von der Idee und den Eigenschaften), davon also nicht verwirren lassen. Politisch korrekt wäre immer: "kongruent".
Math Intuition Wenn m nicht Primzahl ist, dann ist Z/ / Z/m nicht nullteilerfrei: Ich könnte schreiben: sei m=4, denn 4 ist element von der Menge, gilt dann: 1*4=4? Denn 4 ist nicht Teiler von 0. Wenn nein, warum geht das nicht?
niaguli Y Es gilt immer 1*4=4. Damit ist zwar 1*4 auch gleichzeitig Null (1*4=0), jedoch ist in diesem Fall schon einer der Faktoren Null (weil ja 4=0) ist. In diesem Fall ist also doch 4 "ein Teiler von der Null" (weil es ja die Null selbst ist), zumindest erfüllt 4 laut der formalen Teilbarkeitsdefinition diese Eigenschaft.
Ob man die Null offiziell als Nullteiler bezeichnet oder nicht, ist reine definitionssache. Laut meinem Video müsste die Null eigentlich formal mein "Nullteiler" sein.
Super erklärt
Was ist der Unterschied zwischen einem Gleichheitszeichen mit 2 oder 3 Strichen?
Gute Frage! Zwei Gleichheitszeichen kennen die meisten als "Gleichheit". Mit 3 Strichen meine ich im Video "Gleichheit wenn ich modulo n rechne". Also zum Beispiel sind die Zahlen 2 und 4 in den natürlichen Zahlen nicht gleich, wenn ich aber modulo 2 rechne dann schon. Also ist 2 ungleich 4, aber 2=4 (modulo 2) und letzteres schreibe ich dann mit 3 strichen.
sehr viel danke
Freut mich! Noch mehr davon gibts übrigens auf math-intuition.de
Ich bin grade im gemeinschaftskunde-unterricht zum Thema erklärvideos😂😂😂 hallo
Btw ich bin zu dumm für sowas
Die Elemente von z mod n z sind keine zahlen sondern äquivalenzklassen. das mit dem 2*3 könnte leuten die das zum ersten mal sehen eine falsche vorstellung davon geben. man sollte das direkt richtig lernen
Jetzt teile ich heimlich durch 0!