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影片明明就是在討論定義和解析延拓是否或什麼時候合理，刻意忽略部分規則創造出來的結果有什麼意義之類的問題，結果留言區幾乎都是絲毫不留餘地地排斥這種情況下的任何發現要知道，極限和微積分的概念就是一次數學家忽略規則而得到新發現，後來確定這種操作可以得到穩定的結果，最後才為它們加上適合的框架變成一套理論理論數學中解析延拓做的就是在現有框架外尋找規律，嘗試把原本不合理的東西變得合理，變得泛用，可惜評論區好像沒多少人懂這道理
1 + 2 + 3 + 4 + ... 明显等于正无穷大啊，说等于 -1/12这不纯扯淡吗。
@@exlife9446😂你没有看懂视频内容想表达的意义啊
沒事的，數學的道路多的是我們這種凡夫，不要讓我們的平庸稀釋了群星的才華。
一堆簡體字的人在噴中国人自己看不起清華博士? 😂
@@pensis他們大概沒去過上海😂
在場論的問題裡，都會發現計算出來的積分每一個都是無限大，於是物理學家利用重整化來把發散的積分變成符合物理意義，並且也在科學實驗上找到足夠的證據證明這個舉動的正確性。但是這件事情真的是正確的嗎？坦白說沒有任何一個科學家肯定的回答這個答案，正如同許多量子理論的專家所說：「我們從來沒有了解量子理論，我們只是從中找到一些規律而已。」，因此許多人的回答都還停留在傳統的數學理論，但是卻沒有發現自己正在享受，這個荒謬的物理技巧，所創造的科技帶來的方便。
对的，简单来说这东西其实就是类似工程里面的经验公式，物理上叫Zeta function regularization, 注意这其实是正规化，重整和正规化是两种不同的操作，但目的都是解决量子场论中各种发散问题。 量子场论目前数学上并不自洽（只有低维情况可以，但没人关心1+1的情况。。。），强行解释 1+2+3 + ... = -1/12 是有逻辑上的问题的，还不如直接说事黑箱。
@@aquathewise7838 繁體的翻譯 regularization是正則化，補充一下
給看不懂的人的懶人包次方懂吧？3的3次方是27然後想像一下有個人把次方理解成3乘於自己3次就是3的3次方可是當他把同樣的方法用在小數和負數就不行例如2的-1次方把2乘於自己-1次不是搞笑嗎但知道次方的我們就能很簡單算出來0.5數學家想做的不是證明1+2+3+4...=-1/12而是找出背後的那個“次方”
你比我厲害欸，這樣我懂咧。😂🎉❤
其实是看到1F 2F 3F的现象，但实际函数不是1+2+3。而是某个结果上看是解析延拓后的函数。需要用各种方式来找到背后实际的函数
這篇影片明明很棒，評論區一堆抓著第二層不放，根本沒看完影片吧真是
以前学群论的时候也有类似的体会，就比如说有限的加减乘除无法表示求根运算，但是无限的就可以，同样有限的代数运算无法表达五次方程的求根公式，但是无限的就又可以了。似乎每一次推广到无限都是对现有认知体系的突破
这种问题其实就是基于数学理论的一个错误有关：无穷数不可运算，但是无穷数理论上对起始数又是没有太大影响或无意义的，所以这个影响就可以忽视，而 现实里面就往往是由于这个无视就得出来很多错误的结论。比如上面的2S-S实际上其实压根就不能运算的。
应该说是无穷数减去或加上一个数都等于它本身，也就是无穷
其實不是這樣的，這是數學離散上很常使用的方式，證明數學的可數性，也就是即使同樣是無窮∞數，也有分成可數無窮和不可數無窮這個算法並沒有錯，是一種邏輯推倒的方式
胡扯
数学界怎麼會一直胡扯？还是作者胡扯?不懂数学不要拿一些亂七八糟的錯誤来說結論。我幼稚園的孫女8-7=2，也是數學結論
你比数学家厉害，数学家在你面前都是傻子
说得太好了，虽然超出认知太多需要（尚未）消化很多，但这比那些哗众取宠糊弄人、看之前不懂看完还是不懂的视频好多了
视频质量很高❤请看Numberphile最近的一期关于全体自然数求和等于-1/12的视频。那里有更深一层的理解。您可以更新视频了😊
個人理解，在「實數系」此等式不成立，只有在引入「複數平面」才有解。而量子力學本就建立在「複數」上，所有波函數機率波都是一種「複數波」，所以也就自然會滿足此等式。
這是一個比較概括、精煉的總結。而中間蘊含的邏輯論辯我認為播主做的更透徹。其實也是我們在現有數列、函數當中，是否能為其增加一個維度，再其中增加一個“虛向量”的問題。這種代數結構就有點能像黎曼幾何一様，我們默認在馬鞍曲面上原本永不相交的兩條平行線會獲得無數個焦點一様。但我不知怎麼用嚴密的數學語言來描述這一比喻。這給人感覺和用“”線性空間“的語言進行描述又不太一様
嗯。我是一个数学博士，我也很喜欢你这样思考的过程。
114514，好啊！打在數學的大廈上
好瞅的项目啊
首先可以告诉我你的敛散性吗
24歲是數學家
臭臭der
HOMO的特徵就是無所不在
感谢讲解，言简意赅，一下就理解了不同角度的解读哈哈
我喜歡這種知識溜入腦中又溜出去的感覺
對於這方面有興趣，感謝這部影片讓我清楚地搞懂了發散與收斂(我是一位小學剛畢業的學生)。我的認知了解到了第二層(看這部影片前)。
加油，小学毕业能看明白这种视频，人类的未来靠你了
@@猫本熊 謝謝鼓勵
其實我覺得就只是不同的求和定義會得出不同的結果而已很多人會把定義跟計算方法混為一談就像先有虛數的加乘法,才有交換律等等還是先有交換律等等,才有虛數的加乘法這其實有點微妙我們是為了滿足交換律等等才這樣定義虛數的加乘法然後事後還得驗證他確實滿足所以我們才可以真的使用交換律等等來計算但一般而言,滿足所有想要的自然規則不一定能做到就好像根號(ab)=根號(a)x根號(b)本來是很自然成立的但現在有了虛數就不再成立(a=b=-1)我們也不會說數學崩塌了我們只會說這規則在此定義下無法擴充適用範圍有些計算規則本就是互相衝突的根據我們想要滿足的規則來使用不同的定義就會有不同的結果,我覺得這就是問題的本質我覺得那個什麼0的0次方是不是1其實也是同樣的道理,沒有對錯,你愛怎樣定都行什麼指數律,什麼極限公式,那些滿足與否都不構成矛盾而是反過來,我們先有了定義才去看有什麼會被滿足這不是對錯問題,而是主觀的好壞問題
就是說主播想表達的是 正整數之和其實其實底層也可能存在一套系統 只是邏輯我們不知道 但在某些域中 這樣的操作是合理的 因為在這些域中 滿足了邊界條件
播主的天才思維毋庸置疑，同為清華博士的我們心悅誠服。但我們提出幾個問題，希望能得到解答，也能讓漫士了解一下我們大致聼懂了多少。一個是雖然每個波節數的駐波都會產生相應節數倍的斥力，但怎麼保證每個對應的節數都是恰好提供的是“一份”力呢？金屬板之間就不會存在的是1節駐波兩倍多的2節駐波，為其提供2*2F倍的斥力？2、既然我們從數學上都能意識到，之所以存在了常識上無法令我們理解的測量結果，那是否就像數學隱喻的那様，這個多“駐波”振蕩模型就可以用一個分數函數構造出的模型所替代，甚至有些變量是我們物理學世界所無法直接觀測到的，像“上帝不擲色子”裡面的概率波一様，內在存在某種“隱變量”。用這個“隱變量”對世界進行描述其實更加簡潔。並有可能為量子力學提供更基礎的理論？
你好，在量子力学里，quantum well（一种限制电子在某方向运动的模型）里的电子用波函数表示，而波函数的形状为 sin(n pi x/L)，L是quantum well的长度，n是energy level。波粒二象性和光电效应告诉我们， 光波可视作由离散的光能量子组成，且能量是量子化的，与光波频率成正比，即E=hv。每一个粒子就代表了一份能量，这就是energy level的概念。意味着能量有最小单位1（而不是想当然的能量可以无限细分），然后是单位2单位3，其中没有单位0.5，因为不存在半份能量或者说半个粒子。拿波函数来说，energy level为1时，波函数的形状是有一个节数的sin（pix/L），energy level为2时，形状是有两个节数的sin（2pix/L）
有一个错误，你必须要证明所以对自然数总和可以突破到无限，也就是欧米伽，不然后面的数量你无法计算，但是，无论你是对自然数进行+-×÷，依旧无法突破欧米伽。
我认为人类目前掌握的数学工具不完整。就如发明无理数之前无法解释等腰直角三角形斜边长度、发明复数之前不能解释负数开平方问题一样。
確實如此
就是你說的這個道理。有些時候我們在特定地方打破現有數學軆係，並限定其應用的數域到不會在內部出現矛盾的範圍上，那麼就會出現一種新的數學系統。就是這個系統有沒有什麼用，就要看世人的應用了。
這個其實很簡單，數列加法需要考慮opt factor的指數遞延，其實電腦圖論演算法有很多相關課程，先讀高數
1+2+3+...+∞ ：自然數總和的set集；-1/12：負數（十二份之一的值）為元素的set集！自然數為元素, 其相加, 不可免牽涉 “公理及算法的不完備” 所以相應算式該描述成 ：{自然數總和的值 } ≠ ~{負十二份之一的值}；比1+2+3+... = -1/12 更清晰, 減少歧義！不可否定, 不可証明, 亦不可証偽...
第六层境界是数轴的无穷远处有个虫洞连回-1/12。往一个方向加速并突破光速以致无穷大速度最后会穿回-1/12。
是运行地球ol的计算机发生了溢位才从无穷跑到负数
第五层重整化一点都没看明白 只是按照等价来理解就可以了吗
數學是用來表達及理解宇宙規律的媒介. 因為人的限制.根本無法解釋宇宙的全部. 例如人生存在三維空間.數學上的無限維度即無能力. 大學生可以拆解二維方程：ax+by=c , 但ax+by+cz+....=§可以嗎？ 那是高難度的數學題.上面的如用幼兒知識解說量子學說. 上面不能定義甚麼是無限大或無限多. 用方程語言.任何整數都是有限的大. 因此不能用於上面. 如大家生活在平面（其實是在球體上)，靜止坐著.其實是高速在宇宙飛行一樣
為什麼看個科普也有114514
很顯然，如果數列收斂，最後一個可視為0，因此可以乘以倍數後直接平移，但發散或公比=正負1就不行，因為最後一項不能忽略
我們怎麼知道這樣重整化得到的值是不是正確的 只能用窮舉法發現很多方法都得到一樣的值嗎 還是有甚麼驗證方式呢
我的理解是这样的，重整化本质上是定义了一种新的运算，这超越了我们现有的数学体系，我们可以把它记为f:S -> R，其中S是一个数列的集合。这个f和我们常见的发散数列求和不一样，所以你不能说他正不正确，因为我们不知道f是什么，我们没法用数学语言将它表述出来，我们唯一知道的是这个f和我们的物理世界适应的很好。
@@碳酰土豆 無窮處有蟲洞循環回來的意思?? 在數字大到進入事件視界前用電腦迭代出我們世界物理規則未失效的等效答案???? 有點意思!!
所以黎曼假設一直叫做黎曼假設
很有意思一個解釋學到很多東西謝謝！
条件收敛级数，通过调整求和顺序可以熟练到任意指定的实数或正负无穷。
所以算是我們目前已知的數學工具上的缺失導致的狀況？就是像是以前學校考試時有人會用錯誤的方式算出正確的答案那樣，對了但不完全對的概念？
我覺得現代中學應該要多一個學科這個學科不是學數學或者科學而是直接闡明數學是如何藉由物理作用在現實上的現在有太多人無視物理以及數學跟科學對於現實的實際作用認為這些名詞動詞都是科學家自己瞎說的導致現代人不只缺乏文學數學科學素養，更缺乏合理的邏輯推演能力實際上以上問題最後總結是一個文字上的邏輯表達問題即是X=發散合這個形式到底是在甚麼情況下以甚麼樣子作用就好像是一包香蕉12根一樣我們確實能寫成數學1=12但是這個1=12能等於1+1=2嗎?顯然不行而中間提到量子物理學的發現，發散級數作用在現實世界中居然是收斂的-1/12就是因為這個所謂的發散級數正在做我們剛剛認為發散級數不能做的事情，所以才很合理的導致和變成1/12的吸引力也就是說能跟不能，完全是單看數學計算的方便來定義的而實際上會不會發生跟能不能，完全就是兩回事情任何數字表達看似簡便的外表實際上是賦予了人類有益賦予的隱藏涵義在，根本不是純粹的數學計算而這個是現代科學數學科研速度變慢的主要原因之一就是我們現代的文字語境的邏輯，已經漸漸跟不上研究領域的邏輯演變我們現在就是一個巧婦難為無米之炊的狀況我們不只是對於整個世界的理解手段缺乏的問題，我們甚至是在已經理解的情況下表達的工具都不存在的狀況下強行解釋
我是这么想的，实际上，数学中的东西像在现实中找到其实际意义，也是需要过程的。就像有限小数、无理数、超越数，这些不是很直观的东西在现实中就是普遍存在的。比如，在数轴上任取一点，是超越数、无理数的概率是百分之百，可是这也还是很反现实中的直觉。更不用说，人类自从进入量子力学以后，认知就已经是颠覆性的。就连世界本身是不是不可知的，都已经成为一个争议了。假设事物最核心本质的东西是随机偶然的呢？那研究就只能是类似于统计学的方式，找出一个可以解释其规律的方式，哪怕它多么反直觉。也许有一天人类还能发现更好的解释方式，但是它也许更加抽象，自洽的方式也会更难。可是关于爱因斯坦和玻尔的世纪之争，可能就真的没有结果。
叫哲學就可以。只不過現在對於哲學的定義太寬泛，太形而上。你的描述更接近於現在高校的一門課，叫物理數學。但那個更偏對於已知成果應用的講授。再探究其中人類對科學認知的內部邏輯，有點近似於元數學，很多時候數字都不用出現了。應該有人去做，但必然不會有很多人能做。
嚇我一跳，我以為你徹底解決這個問題了，哈哈。沒解決也沒關係，科普講得不錯，還是值得鼓勵給讚。
你是說他 沒能力寫出正確答案 就不應該指出其他答案的錯誤？
在我看來已經是“徹底”解決了
为什么一定要用黎曼函数求这个和？我用其它级数求也许得出其它结果。所以要说这个和等于-1/12，要证明所有方式求出来的结果都一样。否则我只能认为是人为规定。
很好的质疑！其实，人类用了很多重整化的方法，发现最后合理且自洽的答案都是-1/12，就像那个分式不论乘以x的任何整数次方得到的都是1/(1-x)，所以还是比想象中深刻
因為解析函數的性質很強，可以證明解析延拓有唯一性。所以嚴格來說喔是要用黎曼函數的解析延拓帶值=-1/2。無窮發散級數其實不同操作也可以得到不同收斂的值，所以數學上是不會有人這樣做的。通常這樣解釋只是為了數學或科學普及，不是專業作法。
@@user-fp1hs8vg9t 不論專業或非專業人士，要說自然數之合是-1/12，大家總是內心有無限掙扎....所以討論說這作法誰專業誰不專業，意義不大
引起這麼大爭議的原因就是各種方法找出來的結果都是-1/12
數學本來就是人為認定的規則
8:00 三蓝一棕@three blue one brown
找不到推薦的影片
, 7:10 ,卡西米爾效應,和自然數的和,和宇宙膨脹則是有上界,也就是說？因為宇宙有界boundary ？
必须点赞！让非数学专业理解这些本质问题也毫无鸭梨。
就好像数学是可以无限分割 而物理上无法无限分割 否则一个披萨如果可以被无限分割 那么就有无限的食物了 在实际物理上这是无法做到的
问题来了，全体自然数的和到底等于多少？
如果是一般定义下的“=”，这个求和应当等于∞
图做得好
虽然我完全听不懂您在说什么，我觉得数学是可以算出任何东西，也许这就是数学的魅力吧。ur big fan from Malaysia.
解說很清楚！已訂閱支持
因為等式強制為一個無法收斂的級數定義出一個收斂的數S。
要怎麼對小朋友解釋黎漫函數 他們又沒有學過微積分
谢谢你制作的视频
4:55毫無徵兆的被臭到
那什麼意思？114514？
怎麼這裡也有木毛（惱
好孩子不去去搜索， 乖
這麼臭的數字有知道的必要嗎
只有一部分的數字能代入這些系列中，那麼這也算是一種會員制罷
感覺像是計算機溢位，超過上限就變成負數。
看了下评论，中文舆论环境堪忧啊
最后的那个dirichlet series写错了，不是z是2
我觉得 ∞+1 即便理论上也是∞但也不该与∞直接划等号。又或者应该特殊对待∞，就如0不能作除数一样，给它限定意义。
正无穷大加一就是等于无限大。不光加一其他运算也成立：infinity ^ Infinity = infinityInfinity × infinity = infinity
小菜雞如我怎麼記得infinity +1之後的infinity 不能等同於+1前的infinity
@@Mariobrownio1989指數不成立，兩者的勢是不同的
@@任家佑-h9n無限大並不像常見的數字有等於的概念，例如3+1=4數學上不會說inf+1=inf，正確的說法是inf+1和inf等勢
@@entropy420 謝謝澄清以及告知關鍵字，我就記得高中有看過文章說過相等在無限時有例外
講得真好，全網最清楚
精彩，我听不出一点毛病，看来我的水平还是不够🤣😭
Sequence是divergent, 正數無限相加不可能變負數。 😮
現在數學家們遇到的問題就是不論怎麼嘗試給這個數列賦予一個值,結果都是-1/12,到底背後深層次的原因是甚麼
用示波器對訊號源做運算 比較容易理解不過波形處理對這種問題來說算幼幼班的😂因為處理無限大無限小的訊號只是起手式
4:54 唐突惡臭
沒那麼難，因為所有數都是正整數，不可能加到有一個是讓數列值減少的數，所以不可能和為負數
三江方士是三江学院的？
真有趣，必須給推
你本科哪里的？
如果大質量物體的引力使光都被囚禁的話，很難理解它能釋放重力波。
引力波类似水波，和电磁波不是一个概念，是对介质的扭曲传导，并不是发射
3:17 《無下限術式》
小学数学告诉我，非负整数的和是不可能小于零的
小學數學會告訴你，負數無法開根號
@@colalin0321 大佬，小学不学开方吧，但是你说的对，负数没有平方根
我不是数学专业的，看第一步我就问号了，无穷数列这样操作成立，不需要论证吗
好吧我撑到了@4:16
@4:54 突发恶臭，撑不下去了
根本收敛都不收敛，咋能认为能错开一项还相等啊。
聽下來最反人類直覺的也不是發散在那進行運算，而是為何這個卡西米爾效應明明全都是往外的力，最後總和起來卻會是個往內的力？
因为两个板子的外面也有波，那些波没有驻波的限制条件所以更多，那些波往里推。最后的合力就是往内推
物理反直覺的現象有很多啊，比如光速，比如量子力學
i^2
用p进数就会发现他们相等
发散=不知收敛 以后可以说你这个人很发散啊
本來想看著催眠影片來幫助睡眠結果沒想到害我醒了講得真好
其實這種無限數列的問題不想得到誤謬的結果首先就是要先確認結果是否收斂或存在，不收斂或存在的話寫 A=... 就是錯誤的起步，因為 A 根本不存在啊！對一個不成立的等式 (但卻用等號註記其成立) 的兩邊去進行任何同步運算當然不會得到任何有意義的結果。像這題就是右邊 1-1+1-1+1... 根本不會收斂到定值，所以起步寫 A=1-1+1-1+1... 就錯了！如果要較正確的寫法應該是 A != 1-1+1-1... (!= : 不等於)
數字好像也是概念吧，這種東西愛怎麼想就怎麼想，看別人有沒有辦法理解而已
这不是问题，我们可以换一个等号（重载），例如 Cesaro 意义下的等号。
您要是我大学的高数老师，我保证不挂科
Divergent 和 convergent
數學有時候就像黑洞 把東西丟進去看起來就像停住了一樣 有時候也像憑空出現的恆星 某天光線一抵達地球就發現了
TH-cam都沒人看硬核華語科普視頻嗎（B站上都幾百萬播放了
人家才多少訂閱⋯⋯⋯⋯
因为youtube有质量的多了去了，能看懂英文的，不太会看中文，因为中文全神棍太多
人類從發現自然數 零 整數 分數 小數 到創造複數, 都在擴展數學的邊界
數學沒錯是物理學在這方面的公式不夠準確
真，宝藏频道
超级超级赞的科普！！
或许学数学的需要证收敛，但学物理的可以直接用（（（
那么通过第一种方法,也就是设其结果为x,通过与其他无穷数列对齐求解的方法,能得到除了-1/12之外的其他结果吗?
看完腦袋星爆了，這就是數學的奧妙啊
這就好像我們在寫數學考卷的應用題，你算出了1+2+3+4+5…=∞，這個計算本身是正確的，但你列式求自然數總和這個解題過程是錯誤的，在這道題上它並不是一個很好的近似，所以得不到-1/12這個上帝公布的正確答案。但是上帝很壞心，只公布了正解卻沒有公布計算過程，鄰座的物理學家跟數學家同學在看到正解以後，用各種拼湊的方法勉強湊出了-1/12，但他們自己也還說不清原理。
4:54 怎麼到處都有homo啊（惱
1:12我好像知道了，答案可能是0或1因為某些我無法李姐的原因平均了，變成1/2
這位做影片的小朋友數學書讀得還不夠，涉及理論的廣度不夠深，對抽象數學還沒有達到入門等級，沒有正確理解有限域與無限域的算子性質，算術體系當中是否存在無限，會影響基本與次基本的五個算子的性質，存在無限的加法與不存在無限的加法，原則上是不同的，級數運算的性質，黎曼在級數的收斂發散理論當中有定義清楚，近代數學當中的算子理論與範疇論也把這個問題解決了。-1/12的答案原則上是沒有問題的，在某些域當中，類同問題還有其他答案，解答並不只-1/12。
不知道是我理解問題，還是講得太簡化，我從A=1/2開始就已經不明白。。
+1
自然数之和的值是142857的无限循环，每多加一个数值就多一个对应的循环数。虽然这个循环值是从七分之一来的，但它与自然数之和在空间占位的表达上是同一原理。所以所有自然数的和可对应表达为七分之一的值的空间扩展。
A=1-A，前后两个A都不等的，最后面的那个无穷大∞得数，不要了？
學過複數虛數怎麼算但是...還是難以理解這跟現實有什麼關聯第五層算是算得出來很難接受阿
我覺得是因為負數不存在於現實（非自然數），所以虛數是為了給負數開根號擦屁股。將負數以正數看待，那麼就能開根號，根號開完後要跟正數的根號做區別，就產生i囉
最初是數學家太閒,弄出來.後來現實應用是代表方向,複數現在是很有用.
問了AI，物理上卡西米爾效應的解，本來就是這樣解，數學沒有不足之處 ，這件事就太多人講不清楚玄學化讓人好奇而已，然後就越講越不清楚了 ?
对物理而言，每个数都是有测度的。
简单的说，基于错误的推断都是靠不住的。那么基于谎言的信念是否也是假的呢？那么宗教呢？
宗教的真假根本无关紧要，重要的是宗教为人类带来的效果
我認為是A算法和B算法在數學上等價，但在物理上只有B算法才能走到正確結果，造成矛盾？那麼宗教如果無法用科學解釋，卻能用神學進行解釋，而這個神學如果「真的」是前人累積的「結果」，是否也是矛盾？再來可以舉的就是中醫，穴道經絡，西醫無法解釋，卻又有效果，是否是矛盾？
1/2貌似可以理解为概率。-1/12确实暂时无法理解背后的简洁含义只能猜测
+代表非收斂，-代表收斂
感觉，就是为了计算而计算的存在。因为，实验结果有一个值，人们可以定义一个符号强行表示。比如虚数。或者用一个表达式强行表示。这个就是用这种方式。说得好听，是为了完善数学。不好听的是，为了玩数学的前途。所以，到底是数学坑了物理，还是物理坑了数学呢？
4:53 這麼臭的項數有存在的必要嗎😂
突然想起電路學上等價的概念，明明知道兩個電路不一樣，但可以等價去計算，是否是這個數學的實際應用？
所以最終結論，簡單來說，原本發散數列求和無意義，但我們可以賦予它意義，例如物理學上的那個例子就是賦予它意義，此時自然數之合確實就會等於負12分之1，我們的數學確實還不夠完美，還沒找到正確的方程式，或許這個方程式可描述宇宙萬物的真相呢！最後又從第五層回到第一層的理解，原來科學的盡頭真的是玄學。一開始見山不是山，到最後，見山還是山
數學就是個人類自娛的玩具，確實有實際意義，但是在某些方面鑽牛角尖就會顯得可笑現實並不存在無限分割、無限小，因為有夸克、弦、普朗克尺度、希格斯玻色子，這些最小尺度現實也並不存在無限大，連宇宙都不是無限大的，宇宙中的質量、物質總和、粒子，再大也有個數，不存在無限這回事數學很好玩，但最終要回歸現實世界，不然就只是在幻想、瞎搞就跟科學家定義了1 2 3級文明，而民科就會幻想出4~9級文明一樣牽扯到無限大、無限小，這類的計算，通常都會算出一些搞笑的答案，因為題目本身很搞笑
4：54 要素察覺
求和公式s翻倍，取样n也要翻倍，s是一到一百，那么2s就是1到200
前幾天才研究過解析拓延看似不合理無法接受而且是間接得出的結果黎曼猜想還是大於一才能理解
太厲害了!
影片明明就是在討論定義和解析延拓是否或什麼時候合理，刻意忽略部分規則創造出來的結果有什麼意義之類的問題，結果留言區幾乎都是絲毫不留餘地地排斥這種情況下的任何發現
要知道，極限和微積分的概念就是一次數學家忽略規則而得到新發現，後來確定這種操作可以得到穩定的結果，最後才為它們加上適合的框架變成一套理論
理論數學中解析延拓做的就是在現有框架外尋找規律，嘗試把原本不合理的東西變得合理，變得泛用，可惜評論區好像沒多少人懂這道理
1 + 2 + 3 + 4 + ... 明显等于正无穷大啊，说等于 -1/12这不纯扯淡吗。
@@exlife9446😂你没有看懂视频内容想表达的意义啊
沒事的，數學的道路多的是我們這種凡夫，不要讓我們的平庸稀釋了群星的才華。
一堆簡體字的人在噴
中国人自己看不起清華博士? 😂
@@pensis他們大概沒去過上海😂
在場論的問題裡，都會發現計算出來的積分每一個都是無限大，於是物理學家利用重整化來把發散的積分變成符合物理意義，並且也在科學實驗上找到足夠的證據證明這個舉動的正確性。
但是這件事情真的是正確的嗎？坦白說沒有任何一個科學家肯定的回答這個答案，正如同許多量子理論的專家所說：「我們從來沒有了解量子理論，我們只是從中找到一些規律而已。」，因此許多人的回答都還停留在傳統的數學理論，但是卻沒有發現自己正在享受，這個荒謬的物理技巧，所創造的科技帶來的方便。
对的，简单来说这东西其实就是类似工程里面的经验公式，物理上叫Zeta function regularization, 注意这其实是正规化，重整和正规化是两种不同的操作，但目的都是解决量子场论中各种发散问题。 量子场论目前数学上并不自洽（只有低维情况可以，但没人关心1+1的情况。。。），强行解释 1+2+3 + ... = -1/12 是有逻辑上的问题的，还不如直接说事黑箱。
@@aquathewise7838 繁體的翻譯 regularization是正則化，補充一下
給看不懂的人的懶人包
次方懂吧？3的3次方是27
然後想像一下有個人把次方理解成3乘於自己3次就是3的3次方
可是當他把同樣的方法用在小數和負數就不行
例如2的-1次方
把2乘於自己-1次不是搞笑嗎
但知道次方的我們就能很簡單算出來0.5
數學家想做的不是證明
1+2+3+4...=-1/12
而是找出背後的那個“次方”
你比我厲害欸，這樣我懂咧。😂🎉❤
其实是看到1F 2F 3F的现象，但实际函数不是1+2+3。而是某个结果上看是解析延拓后的函数。需要用各种方式来找到背后实际的函数
這篇影片明明很棒，評論區一堆抓著第二層不放，根本沒看完影片吧真是
以前学群论的时候也有类似的体会，就比如说有限的加减乘除无法表示求根运算，但是无限的就可以，同样有限的代数运算无法表达五次方程的求根公式，但是无限的就又可以了。似乎每一次推广到无限都是对现有认知体系的突破
这种问题其实就是基于数学理论的一个错误有关：无穷数不可运算，但是无穷数理论上对起始数又是没有太大影响或无意义的，所以这个影响就可以忽视，而 现实里面就往往是由于这个无视就得出来很多错误的结论。比如上面的2S-S实际上其实压根就不能运算的。
应该说是无穷数减去或加上一个数都等于它本身，也就是无穷
其實不是這樣的，這是數學離散上很常使用的方式，證明數學的可數性，也就是即使同樣是無窮∞數，也有分成可數無窮和不可數無窮
這個算法並沒有錯，是一種邏輯推倒的方式
胡扯
数学界怎麼會一直胡扯？还是作者胡扯?不懂数学不要拿一些亂七八糟的錯誤来說結論。我幼稚園的孫女8-7=2，也是數學結論
你比数学家厉害，数学家在你面前都是傻子
说得太好了，虽然超出认知太多需要（尚未）消化很多，但这比那些哗众取宠糊弄人、看之前不懂看完还是不懂的视频好多了
视频质量很高❤
请看Numberphile最近的一期关于全体自然数求和等于-1/12的视频。那里有更深一层的理解。您可以更新视频了😊
個人理解，在「實數系」此等式不成立，只有在引入「複數平面」才有解。而量子力學本就建立在「複數」上，所有波函數機率波都是一種「複數波」，所以也就自然會滿足此等式。
這是一個比較概括、精煉的總結。而中間蘊含的邏輯論辯我認為播主做的更透徹。其實也是我們在現有數列、函數當中，是否能為其增加一個維度，再其中增加一個“虛向量”的問題。這種代數結構就有點能像黎曼幾何一様，我們默認在馬鞍曲面上原本永不相交的兩條平行線會獲得無數個焦點一様。但我不知怎麼用嚴密的數學語言來描述這一比喻。這給人感覺和用“”線性空間“的語言進行描述又不太一様
嗯。我是一个数学博士，我也很喜欢你这样思考的过程。
114514，好啊！打在數學的大廈上
好瞅的项目啊
首先可以告诉我你的敛散性吗
24歲是數學家
臭臭der
HOMO的特徵就是無所不在
感谢讲解，言简意赅，一下就理解了不同角度的解读哈哈
我喜歡這種知識溜入腦中又溜出去的感覺
對於這方面有興趣，感謝這部影片讓我清楚地搞懂了發散與收斂(我是一位小學剛畢業的學生)。我的認知了解到了第二層(看這部影片前)。
加油，小学毕业能看明白这种视频，人类的未来靠你了
@@猫本熊 謝謝鼓勵
其實我覺得就只是
不同的求和定義會得出不同的結果而已
很多人會把定義跟計算方法混為一談
就像先有虛數的加乘法,才有交換律等等
還是先有交換律等等,才有虛數的加乘法
這其實有點微妙
我們是為了滿足交換律等等才這樣定義虛數的加乘法
然後事後還得驗證他確實滿足
所以我們才可以真的使用交換律等等來計算
但一般而言,滿足所有想要的自然規則不一定能做到
就好像根號(ab)=根號(a)x根號(b)本來是很自然成立的
但現在有了虛數就不再成立(a=b=-1)
我們也不會說數學崩塌了
我們只會說這規則在此定義下無法擴充適用範圍
有些計算規則本就是互相衝突的
根據我們想要滿足的規則來使用不同的定義
就會有不同的結果,我覺得這就是問題的本質
我覺得那個什麼0的0次方是不是1
其實也是同樣的道理,沒有對錯,你愛怎樣定都行
什麼指數律,什麼極限公式,那些滿足與否都不構成矛盾
而是反過來,我們先有了定義才去看有什麼會被滿足
這不是對錯問題,而是主觀的好壞問題
就是說主播想表達的是 正整數之和其實其實底層也可能存在一套系統 只是邏輯我們不知道 但在某些域中 這樣的操作是合理的 因為在這些域中 滿足了邊界條件
播主的天才思維毋庸置疑，同為清華博士的我們心悅誠服。但我們提出幾個問題，希望能得到解答，也能讓漫士了解一下我們大致聼懂了多少。一個是雖然每個波節數的駐波都會產生相應節數倍的斥力，但怎麼保證每個對應的節數都是恰好提供的是“一份”力呢？金屬板之間就不會存在的是1節駐波兩倍多的2節駐波，為其提供2*2F倍的斥力？2、既然我們從數學上都能意識到，之所以存在了常識上無法令我們理解的測量結果，那是否就像數學隱喻的那様，這個多“駐波”振蕩模型就可以用一個分數函數構造出的模型所替代，甚至有些變量是我們物理學世界所無法直接觀測到的，像“上帝不擲色子”裡面的概率波一様，內在存在某種“隱變量”。用這個“隱變量”對世界進行描述其實更加簡潔。並有可能為量子力學提供更基礎的理論？
你好，在量子力学里，quantum well（一种限制电子在某方向运动的模型）里的电子用波函数表示，而波函数的形状为 sin(n pi x/L)，L是quantum well的长度，n是energy level。波粒二象性和光电效应告诉我们， 光波可视作由离散的光能量子组成，且能量是量子化的，与光波频率成正比，即E=hv。每一个粒子就代表了一份能量，这就是energy level的概念。意味着能量有最小单位1（而不是想当然的能量可以无限细分），然后是单位2单位3，其中没有单位0.5，因为不存在半份能量或者说半个粒子。拿波函数来说，energy level为1时，波函数的形状是有一个节数的sin（pix/L），energy level为2时，形状是有两个节数的sin（2pix/L）
有一个错误，你必须要证明所以对自然数总和可以突破到无限，也就是欧米伽，不然后面的数量你无法计算，但是，无论你是对自然数进行+-×÷，依旧无法突破欧米伽。
我认为人类目前掌握的数学工具不完整。就如发明无理数之前无法解释等腰直角三角形斜边长度、发明复数之前不能解释负数开平方问题一样。
確實如此
就是你說的這個道理。有些時候我們在特定地方打破現有數學軆係，並限定其應用的數域到不會在內部出現矛盾的範圍上，那麼就會出現一種新的數學系統。就是這個系統有沒有什麼用，就要看世人的應用了。
這個其實很簡單，數列加法需要考慮opt factor的指數遞延，其實電腦圖論演算法有很多相關課程，先讀高數
1+2+3+...+∞ ：自然數總和的set集；-1/12：負數（十二份之一的值）為元素的set集！自然數為元素, 其相加, 不可免牽涉 “公理及算法的不完備” 所以相應算式該描述成 ：{自然數總和的值 } ≠ ~{負十二份之一的值}；比1+2+3+... = -1/12 更清晰, 減少歧義！不可否定, 不可証明, 亦不可証偽...
第六层境界是数轴的无穷远处有个虫洞连回-1/12。往一个方向加速并突破光速以致无穷大速度最后会穿回-1/12。
是运行地球ol的计算机发生了溢位才从无穷跑到负数
第五层重整化一点都没看明白 只是按照等价来理解就可以了吗
數學是用來表達及理解宇宙規律的媒介. 因為人的限制.根本無法解釋宇宙的全部. 例如人生存在三維空間.數學上的無限維度即無能力. 大學生可以拆解二維方程：ax+by=c , 但ax+by+cz+....=§可以嗎？ 那是高難度的數學題.上面的如用幼兒知識解說量子學說. 上面不能定義甚麼是無限大或無限多. 用方程語言.任何整數都是有限的大. 因此不能用於上面. 如大家生活在平面（其實是在球體上)，靜止坐著.其實是高速在宇宙飛行一樣
為什麼看個科普也有114514
很顯然，如果數列收斂，最後一個可視為0，因此可以乘以倍數後直接平移，但發散或公比=正負1就不行，因為最後一項不能忽略
我們怎麼知道這樣重整化得到的值是不是正確的 只能用窮舉法發現很多方法都得到一樣的值嗎 還是有甚麼驗證方式呢
我的理解是这样的，重整化本质上是定义了一种新的运算，这超越了我们现有的数学体系，我们可以把它记为f:S -> R，其中S是一个数列的集合。这个f和我们常见的发散数列求和不一样，所以你不能说他正不正确，因为我们不知道f是什么，我们没法用数学语言将它表述出来，我们唯一知道的是这个f和我们的物理世界适应的很好。
@@碳酰土豆 無窮處有蟲洞循環回來的意思?? 在數字大到進入事件視界前用電腦迭代出我們世界物理規則未失效的等效答案???? 有點意思!!
所以黎曼假設一直叫做黎曼假設
很有意思一個解釋學到很多東西謝謝！
条件收敛级数，通过调整求和顺序可以熟练到任意指定的实数或正负无穷。
所以算是我們目前已知的數學工具上的缺失導致的狀況？
就是像是以前學校考試時有人會用錯誤的方式算出正確的答案那樣，對了但不完全對的概念？
我覺得現代中學應該要多一個學科
這個學科不是學數學或者科學
而是直接闡明數學是如何藉由物理作用在現實上的
現在有太多人無視物理以及數學跟科學對於現實的實際作用
認為這些名詞動詞都是科學家自己瞎說的
導致現代人不只缺乏文學數學科學素養，更缺乏合理的邏輯推演能力
實際上以上問題最後總結是一個文字上的邏輯表達問題
即是X=發散合這個形式
到底是在甚麼情況下以甚麼樣子作用
就好像是一包香蕉12根一樣
我們確實能寫成數學1=12
但是這個1=12能等於1+1=2嗎?
顯然不行
而中間提到量子物理學的發現，發散級數作用在現實世界中居然是收斂的-1/12
就是因為這個所謂的發散級數正在做我們剛剛認為發散級數不能做的事情，所以才很合理的導致和變成1/12的吸引力
也就是說
能跟不能，完全是單看數學計算的方便來定義的
而實際上會不會發生跟能不能，完全就是兩回事情
任何數字表達看似簡便的外表
實際上是賦予了人類有益賦予的隱藏涵義在，根本不是純粹的數學計算
而這個是現代科學數學科研速度變慢的主要原因之一
就是我們現代的文字語境的邏輯，已經漸漸跟不上研究領域的邏輯演變
我們現在就是一個巧婦難為無米之炊的狀況
我們不只是對於整個世界的理解手段缺乏的問題，我們甚至是在已經理解的情況下表達的工具都不存在的狀況下強行解釋
我是这么想的，实际上，数学中的东西像在现实中找到其实际意义，也是需要过程的。就像有限小数、无理数、超越数，这些不是很直观的东西在现实中就是普遍存在的。比如，在数轴上任取一点，是超越数、无理数的概率是百分之百，可是这也还是很反现实中的直觉。
更不用说，人类自从进入量子力学以后，认知就已经是颠覆性的。就连世界本身是不是不可知的，都已经成为一个争议了。假设事物最核心本质的东西是随机偶然的呢？那研究就只能是类似于统计学的方式，找出一个可以解释其规律的方式，哪怕它多么反直觉。
也许有一天人类还能发现更好的解释方式，但是它也许更加抽象，自洽的方式也会更难。可是关于爱因斯坦和玻尔的世纪之争，可能就真的没有结果。
叫哲學就可以。只不過現在對於哲學的定義太寬泛，太形而上。你的描述更接近於現在高校的一門課，叫物理數學。但那個更偏對於已知成果應用的講授。再探究其中人類對科學認知的內部邏輯，有點近似於元數學，很多時候數字都不用出現了。應該有人去做，但必然不會有很多人能做。
嚇我一跳，我以為你徹底解決這個問題了，哈哈。
沒解決也沒關係，科普講得不錯，還是值得鼓勵給讚。
你是說他 沒能力寫出正確答案 就不應該指出其他答案的錯誤？
在我看來已經是“徹底”解決了
为什么一定要用黎曼函数求这个和？我用其它级数求也许得出其它结果。所以要说这个和等于-1/12，要证明所有方式求出来的结果都一样。否则我只能认为是人为规定。
很好的质疑！其实，人类用了很多重整化的方法，发现最后合理且自洽的答案都是-1/12，就像那个分式不论乘以x的任何整数次方得到的都是1/(1-x)，所以还是比想象中深刻
因為解析函數的性質很強，可以證明解析延拓有唯一性。所以嚴格來說喔是要用黎曼函數的解析延拓帶值=-1/2。無窮發散級數其實不同操作也可以得到不同收斂的值，所以數學上是不會有人這樣做的。通常這樣解釋只是為了數學或科學普及，不是專業作法。
@@user-fp1hs8vg9t 不論專業或非專業人士，要說自然數之合是-1/12，大家總是內心有無限掙扎....所以討論說這作法誰專業誰不專業，意義不大
引起這麼大爭議的原因就是各種方法找出來的結果都是-1/12
數學本來就是人為認定的規則
8:00 三蓝一棕@three blue one brown
找不到推薦的影片
, 7:10 ,卡西米爾效應,和
自然數的和,和宇宙膨脹
則是有上界,也就是說？
因為宇宙有界boundary
？
必须点赞！让非数学专业理解这些本质问题也毫无鸭梨。
就好像数学是可以无限分割 而物理上无法无限分割 否则一个披萨如果可以被无限分割 那么就有无限的食物了 在实际物理上这是无法做到的
问题来了，全体自然数的和到底等于多少？
如果是一般定义下的“=”，这个求和应当等于∞
图做得好
虽然我完全听不懂您在说什么，我觉得数学是可以算出任何东西，也许这就是数学的魅力吧。ur big fan from Malaysia.
解說很清楚！已訂閱支持
因為等式強制為一個無法收斂的級數定義出一個收斂的數S。
要怎麼對小朋友解釋黎漫函數 他們又沒有學過微積分
谢谢你制作的视频
4:55
毫無徵兆的被臭到
那什麼意思？114514？
怎麼這裡也有木毛（惱
好孩子不去去搜索， 乖
這麼臭的數字有知道的必要嗎
只有一部分的數字能代入這些系列中，那麼這也算是一種會員制罷
感覺像是計算機溢位，超過上限就變成負數。
看了下评论，中文舆论环境堪忧啊
最后的那个dirichlet series写错了，不是z是2
我觉得 ∞+1 即便理论上也是∞但也不该与∞直接划等号。
又或者应该特殊对待∞，就如0不能作除数一样，给它限定意义。
正无穷大加一就是等于无限大。不光加一其他运算也成立：
infinity ^ Infinity = infinity
Infinity × infinity = infinity
小菜雞如我怎麼記得infinity +1之後的infinity 不能等同於+1前的infinity
@@Mariobrownio1989指數不成立，兩者的勢是不同的
@@任家佑-h9n無限大並不像常見的數字有等於的概念，例如3+1=4
數學上不會說inf+1=inf，正確的說法是inf+1和inf等勢
@@entropy420 謝謝澄清以及告知關鍵字，我就記得高中有看過文章說過相等在無限時有例外
講得真好，全網最清楚
精彩，我听不出一点毛病，看来我的水平还是不够🤣😭
Sequence是divergent, 正數無限相加不可能變負數。 😮
現在數學家們遇到的問題就是不論怎麼嘗試給這個數列賦予一個值,結果都是-1/12,到底背後深層次的原因是甚麼
用示波器對訊號源做運算 比較容易理解
不過波形處理對這種問題來說算幼幼班的😂
因為處理無限大無限小的訊號只是起手式
4:54 唐突惡臭
沒那麼難，因為所有數都是正整數，不可能加到有一個是讓數列值減少的數，所以不可能和為負數
三江方士是三江学院的？
真有趣，必須給推
你本科哪里的？
如果大質量物體的引力使光都被囚禁的話，很難理解它能釋放重力波。
引力波类似水波，和电磁波不是一个概念，是对介质的扭曲传导，并不是发射
3:17 《無下限術式》
小学数学告诉我，非负整数的和是不可能小于零的
小學數學會告訴你，負數無法開根號
@@colalin0321 大佬，小学不学开方吧，但是你说的对，负数没有平方根
我不是数学专业的，看第一步我就问号了，无穷数列这样操作成立，不需要论证吗
好吧我撑到了@4:16
@4:54 突发恶臭，撑不下去了
根本收敛都不收敛，咋能认为能错开一项还相等啊。
聽下來最反人類直覺的也不是發散在那進行運算，而是為何這個卡西米爾效應明明全都是往外的力，最後總和起來卻會是個往內的力？
因为两个板子的外面也有波，那些波没有驻波的限制条件所以更多，那些波往里推。最后的合力就是往内推
物理反直覺的現象有很多啊，比如光速，比如量子力學
i^2
用p进数就会发现他们相等
发散=不知收敛 以后可以说你这个人很发散啊
本來想看著催眠影片來幫助睡眠
結果沒想到害我醒了
講得真好
其實這種無限數列的問題不想得到誤謬的結果首先就是要先確認結果是否收斂或存在，不收斂或存在的話寫 A=... 就是錯誤的起步，因為 A 根本不存在啊！對一個不成立的等式 (但卻用等號註記其成立) 的兩邊去進行任何同步運算當然不會得到任何有意義的結果。
像這題就是右邊 1-1+1-1+1... 根本不會收斂到定值，所以起步寫 A=1-1+1-1+1... 就錯了！如果要較正確的寫法應該是 A != 1-1+1-1... (!= : 不等於)
數字好像也是概念吧，這種東西愛怎麼想就怎麼想，看別人有沒有辦法理解而已
这不是问题，我们可以换一个等号（重载），例如 Cesaro 意义下的等号。
您要是我大学的高数老师，我保证不挂科
Divergent 和 convergent
數學有時候就像黑洞 把東西丟進去看起來就像停住了一樣 有時候也像憑空出現的恆星 某天光線一抵達地球就發現了
TH-cam都沒人看硬核華語科普視頻嗎（
B站上都幾百萬播放了
人家才多少訂閱⋯⋯⋯⋯
因为youtube有质量的多了去了，能看懂英文的，不太会看中文，因为中文全神棍太多
人類從發現自然數 零 整數 分數 小數 到創造複數, 都在擴展數學的邊界
數學沒錯
是物理學在這方面的公式不夠準確
真，宝藏频道
超级超级赞的科普！！
或许学数学的需要证收敛，但学物理的可以直接用（（（
那么通过第一种方法,也就是设其结果为x,通过与其他无穷数列对齐求解的方法,能得到除了-1/12之外的其他结果吗?
看完腦袋星爆了，這就是數學的奧妙啊
這就好像我們在寫數學考卷的應用題，你算出了1+2+3+4+5…=∞，這個計算本身是正確的，但你列式求自然數總和這個解題過程是錯誤的，在這道題上它並不是一個很好的近似，所以得不到-1/12這個上帝公布的正確答案。但是上帝很壞心，只公布了正解卻沒有公布計算過程，鄰座的物理學家跟數學家同學在看到正解以後，用各種拼湊的方法勉強湊出了-1/12，但他們自己也還說不清原理。
4:54 怎麼到處都有homo啊（惱
1:12我好像知道了，答案可能是0或1因為某些我無法李姐的原因平均了，變成1/2
這位做影片的小朋友數學書讀得還不夠，涉及理論的廣度不夠深，對抽象數學還沒有達到入門等級，沒有正確理解有限域與無限域的算子性質，算術體系當中是否存在無限，會影響基本與次基本的五個算子的性質，存在無限的加法與不存在無限的加法，原則上是不同的，級數運算的性質，黎曼在級數的收斂發散理論當中有定義清楚，近代數學當中的算子理論與範疇論也把這個問題解決了。-1/12的答案原則上是沒有問題的，在某些域當中，類同問題還有其他答案，解答並不只-1/12。
不知道是我理解問題，還是講得太簡化，我從A=1/2開始就已經不明白。。
+1
自然数之和的值是142857的无限循环，每多加一个数值就多一个对应的循环数。虽然这个循环值是从七分之一来的，但它与自然数之和在空间占位的表达上是同一原理。所以所有自然数的和可对应表达为七分之一的值的空间扩展。
A=1-A，前后两个A都不等的，最后面的那个无穷大∞得数，不要了？
學過複數虛數怎麼算
但是...還是難以理解這跟現實有什麼關聯
第五層算是算得出來
很難接受阿
我覺得是因為負數不存在於現實（非自然數），所以虛數是為了給負數開根號擦屁股。
將負數以正數看待，那麼就能開根號，根號開完後要跟正數的根號做區別，就產生i囉
最初是數學家太閒,弄出來.
後來現實應用是代表方向,複數現在是很有用.
問了AI，物理上卡西米爾效應的解，本來就是這樣解，數學沒有不足之處 ，這件事就太多人講不清楚玄學化讓人好奇而已，然後就越講越不清楚了 ?
对物理而言，每个数都是有测度的。
简单的说，基于错误的推断都是靠不住的。那么基于谎言的信念是否也是假的呢？那么宗教呢？
宗教的真假根本无关紧要，重要的是宗教为人类带来的效果
我認為是A算法和B算法在數學上等價，但在物理上只有B算法才能走到正確結果，造成矛盾？
那麼宗教如果無法用科學解釋，卻能用神學進行解釋，而這個神學如果「真的」是前人累積的「結果」，是否也是矛盾？
再來可以舉的就是中醫，穴道經絡，西醫無法解釋，卻又有效果，是否是矛盾？
1/2貌似可以理解为概率。-1/12确实暂时无法理解背后的简洁含义只能猜测
+代表非收斂，-代表收斂
感觉，就是为了计算而计算的存在。因为，实验结果有一个值，人们可以定义一个符号强行表示。比如虚数。或者用一个表达式强行表示。这个就是用这种方式。说得好听，是为了完善数学。不好听的是，为了玩数学的前途。所以，到底是数学坑了物理，还是物理坑了数学呢？
4:53 這麼臭的項數有存在的必要嗎😂
突然想起電路學上等價的概念，明明知道兩個電路不一樣，但可以等價去計算，是否是這個數學的實際應用？
所以最終結論，簡單來說，原本發散數列求和無意義，但我們可以賦予它意義，例如物理學上的那個例子就是賦予它意義，此時自然數之合確實就會等於負12分之1，我們的數學確實還不夠完美，還沒找到正確的方程式，或許這個方程式可描述宇宙萬物的真相呢！最後又從第五層回到第一層的理解，原來科學的盡頭真的是玄學。一開始見山不是山，到最後，見山還是山
數學就是個人類自娛的玩具，確實有實際意義，但是在某些方面鑽牛角尖就會顯得可笑
現實並不存在無限分割、無限小，因為有夸克、弦、普朗克尺度、希格斯玻色子，這些最小尺度
現實也並不存在無限大，連宇宙都不是無限大的，宇宙中的質量、物質總和、粒子，再大也有個數，不存在無限這回事
數學很好玩，但最終要回歸現實世界，不然就只是在幻想、瞎搞
就跟科學家定義了1 2 3級文明，而民科就會幻想出4~9級文明一樣
牽扯到無限大、無限小，這類的計算，通常都會算出一些搞笑的答案，因為題目本身很搞笑
4：54 要素察覺
求和公式s翻倍，取样n也要翻倍，s是一到一百，那么2s就是1到200
前幾天才研究過解析拓延
看似不合理無法接受而且是間接得出的結果
黎曼猜想還是大於一才能理解
太厲害了!