Warum so kompliziert? Einfach direkt die vier längsmöglichen Seiten nehmen, sprich 25 Meter. Und dann 25 x 25. Dauert nicht mal 30 Sekunden im Kopf. Die Erklärung des Rechenwegs ist natürlich TOP. Hätte evtl. nur eine krummere Zahl sein sollen.
@@AngelFilmnMusic hab gerade ähnlich angesetzt, die größtmögliche fläche eines rechtecks = quadrat noch mehgr geht nur mit Kreis. das schöne ist man kann das aus 2d in 3d umsetzen, also größtmöglicher volumeninhalt = Würfel
Ich bin Dipl.-Informatiker und habe 17 Jahre lang Mathe-Unterricht gehabt, von der ersten Klasse bis zum Ende des Studiums. Ich weiß also durchaus einiges..... Aber nach 30 Jahren habe ich viel vergessen. Mich begeistert dieser Kanal. Super erklärt! Ganz toll gemacht.
Ich fand die Extremwertaufgaben in meiner Oberstufenzeit immer ganz spannend zu lösen, hat mir viel Spaß gemacht. Ja, aber man vergisst vieles. Sehr schön daher, das hier wieder ein bisschen aufrischen zu können.
Ich liebe Deine Videos! Bitte weiter so. Habe 1999 mein Abi u.a. mit LK Mathe gemacht und daher blieb bis heute "f'(x)=nax^(n-1)" im Kopf und der "mathematische Vernunftwerts des Quadrats" wurde schnell bestätigt über den einen Extrempunkte der ersten Ableitung. Die Parabel habe ich nicht mehr erkannt, aber durch das Einsetzen natürlich das Maximum erkannt und in der 2. Ableitung auch den fehlenden Wendepunkt bemerkt. Ergo: Nach unten geöffnete Parabel. ;-) Im angeschalteten Klugscheißermodus möchte ich aber Deinen letzten Satz korrigieren: Unter Missachtung Deines optischen Pointings auf das Rechteck ist natürlich rein akustisch "die größtmögliche Fläche mit einem 100m-Seil" der Kreis mit einer Fläche von 2500/pi oder dem Radius von 50/pi. Alleine dieses Nachrechnen der Kreisdaten hat mir schon eine abendliche Freude bereitet. Danke!
Ich kannte die Lösung schon vom Thumbnail aus meinem Mathe Abi damals, aber ich schau das Video trotzdem bis zum Ende weil es einfach so toll ist wie du die Aufgabe erklärst
Ich war nie besonders gut in Mathe, hatte aber immer Interesse, das mal mehr, mal weniger von meinen Lehrern kaputt gemacht wurde. Auf TH-cam finde ich immer wieder zum Interesse zurück, so auch durch Dich. Danke dafür.
Wie immer machst Du das super - nett und cool. Ich selbst bin als Praktiker und logisch Denkender einfach hingegangen, habe die 100m Seillänge durch 4 geteilt und bekam so auch die 25m Seitenlänge, so dass die F = 625m2 ausmacht.
Ich nehm da lieber nen Kreis 🙂 mit rund 16m Radius, da gibt dann knapp 796m². Das sind gut 27% mehr. Nur beim Rasemähen ist so ne Kreisrunde Gartenfläche fürs Häuschen etwas gewöhnungsbedürftig. Mal von den Nachbarn abgesehen 🙂
@@tschadi5552 von der Berechnung her ist der Kreis nichts anderes als ein Rechteck mit sehr sehr vielen Ecken. wer wird denn wegen den paar Ecken mehr gleich so pingelig sein
Dem schließe ich mich an. Schon physikalisch gedacht weiß man, daß sich eine Seifenblase nach dem Ideal maximales Volumen bei minimaler Oberfläche orientiert. Sogesehen ist zweidimensional gesehen der Kreis das Ideale mit maximaler Fläche bei minimalem Umfang aber es wurde ja nach einem Rechteck gefragt und da kam mir deshalb ganz ohne rechnen das Quadrat in den Sinn. Schön, daß man dies auf diesem Weg auch mathematisch beweisen kann.
Ich merke immer wieder wie verdammt lange es her ist ^^" (habe beruflich max. Mathe auf Grundschulniveau, obwohl es mir in der Schule nie schwer fiel und ich Spaß daran hatte). Aber du erklärst es immer so schön und durch die "Mitschriften" und Skizzen kann ich bei solchen Aufgabenstellungen zumindest wieder mitdenken :D
Fantastisch wie Du das hergeleitet hast. Sicher geht es auch mit der Überlegung, dass ein Quadrat immer die größte Fläche für einen bestimmten Umfang bietet. Aber es ist einfach verdammt elegant, wenn man es mathematisch "herbei zaubern" kann. Danke!
Natürlich umfasst ein Kreis mehr Fläche, als ein Quadrat, aber in der Aufgabe ging es ja explizit um ein Rechteck. Und unter den Rechtecken liegt das Quadrat eben ganz vorne.
@@juppschmitz1974 Aber zu "wissen", dass das Quadrat die größte Fläche bietet, hilft einem ja nicht weiter, dann gewinnt der mit der stärksten "Meinung". Das bringt eigentlich überhaupt nichts. Da ist eine schlüssige Herleitung viel wertvoller, denn die ist logisch nicht angreifbar.
@@W00PIE Das hat mich zum Nachdenken gebracht. Vermutlich bin ich davon ausgegangen, dass wenn man weiß, dass das Quadrat (unter den Rechtecken), die größte Fläche umfasst, man das auch belegen kann (25×25=625 und 1×49=49 bei jeweils 100 Umfang). Mir ist überhaupt nicht in den Sinn gekommen, dass man den reinen Fakt als Wissen akzeptieren könnte, ohne den Grund zu verstehen. Aber das war wohl wirklich etwas blauäugig, genauso gut könnte natürlich jemand davon überzeugt sein, dass ein möglichst langes Rechteck die größte Fläche umfasst, ohne "Hintergrundwissen" zu haben. Also ist das ein guter Punkt. Danke dafür! Ursprünglich wollte ich mit dem Kommentar darauf hinaus, dass es in der Fragestellungen ausdrücklich um Rechtecke ging und nicht darum, welche Form die größte Fläche überhaupt umfasst, aber so kam noch ein weiterer Punkt hinzu.
@@juppschmitz1974 Ist wirklich ein spannendes Thema, wenn man das mal zuende denkt. Da landet man sehr schnell bei interessanten Themen wie Ontologie, Logik, Axiomen und einigen anderen Aspekten, die in der modernen Philosophie zuhause sind. Genau das Richtige für lange Winterabende 🤓
Heyy, ich schaue deine Videos schon sehr lange und sie haben mir mittlerweile bestimmt schon oft den Hintern in der Oberstufe im Matheleistungskurs gerettet und dafür möchte ich danke sagen. Aber seit kurzem haben wir ein neues Thema, indem es sich um Isoquanten handelt und ich verstehe einfach nicht wie, bzw. wie ich auf die Minimalkostenkombination komme und ich glaube ich bin da nicht der einzige. Vielleicht ist das Thema ein Video wert :). Aber eigentlich möchte ich nur danke sagen, du hilfst wirklich vielen Menschen hier draußen und ich schalte immer wieder gerne ein.
1. Nachdem du die Funktion initial in der Produktdarstellung hattest und ausmultipliziertest, hättest du auch darauf zurückgreifen können anstatt mühsam wieder auszuklammern. 2. Bei dieser Funktion ist der Weg über die Ableitungen vermutlich sogar der schnellere; aber du hast ja plausibel begründet, warum du diesen hier nicht gewählt hast. 3. Bei solchen Aufgaben hat immer das Quadrat den größten Flächeninhalt. Allein aus Symmetriegründen (A(x) = A(50-x) für alle x) müsste das doch schon so sein, weil es sonst immer zwei Lösungen gäbe. Und beim Probieren hat sich ja gezeigt, dass der Flächeninhalt mit zunehmendem x wächst. Dass das wegen der Symmetrie andersherum genauso passiert, lässt schon vermuten, dass das Maximum genau in der Mitte erreicht wird. Aber natürlich muss das auch nachgerechnet werden: Die Formeln gelten ja für jede beliebige Seillänge, sprich für jeden beliebigen Rechteckumfang: u = 2 (x + y) y = u/2 - x => A(x, u) = x (u/2 - x) = -x² + (u/2) x ... ist immer eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei x = 0 und x = u/2 => Scheitelpunkt bei u/4 => maximaler Flächeninhalt bei x = y = u/4. [q. e. d.]
Dritte binomische Formel: (a+b)(a-b) = a²-b² ist bei konstantem a genau dann maximal, wenn b=0. Man muss sich nur klarmachen, was das mit der Aufgabe zu tun hat, dann wird klar, dass der maximale Flächsninhalt natürlich beim Quadrat rauskommt.
Wenn man weiß, dass die idealste Form für das Verhältnis zwischen Fläche und Umfang der Kreis ist, kann man sich komplett die Berechnung sparen. Die nächstbeste rechteckige Form ist das Quadrat, daher muss die größtmögliche Fläche in einem Quadrat mit Seitenlänge 100m/4 = 25m sein. Wenn man dann noch die Fläche mit (25m)² = 625m² berechnet, ist man fertig.
Für diese Aufgabe sind Ihre Überlegungen völlig richtig und auch ausreichend. Aber bei anderen Aufgaben ähnlicher Art (zB suche die 2 größten rechteckigen Pferdekoppeln mit 100 m Zaun) braucht man diese Erklärung+Berechnung.
@@m.h.6470 Solche Aufgaben sind aber zur Veranschaulichung und Übung da. Auch wenn man es durch Wissen ohne viel Rechnen lösen kann, hat es auch so schon seinen Sinn
Liebe Susanne, danke für das schöne Extremwertbeispiel. Ich hätte bei 6:30 die Ordinatenachse nicht y (haben wir als Breite definiert) sondern A genannt.
Gut erklärt aber für mich waren es von Anfang an sofort 25m. Also ohne Rechnung, einfach erkannt weil es logisch ist. Interessanter würde das bei einer anderen Form als ein Rechteck oder Quadrat werden.
Also die Herleitungen weis ich jetz nicht mehr, aber ich habe mir gemerkt, bei so einer Fragestellung ist es wenn es ein Rechteck werden soll das Quadrat, wenn es ein Dreieck werden soll ist es das Gleichseitige und wenn es rund werden soll ein Kreis. Ich glaube mich dunkel zu erinnern, das es bei vielecken, z.B. Fünfeck, Sechseck, Siebeneck, Achteck usw. auch immer die Gleichseitigen waren, da bin ich mir aber nicht mehr ganz sicher
Ich mag Deine Rätsel ungemein und tüftele auch häufig gerne mit. Diese Extremwertaufgabe, finde ich, ist extrem einfach, weil jeder, der sich mal mit den einfachen Aufgaben dieser Art beschäftigt hat, weiß, dass immer das Quadrat die größte Fläche bei gegebenem Umfang hat. Das hast Du ja auch schon mehrfach toll dargestellt, hier wieder mal besonders Anschaulich. Als Ingenieur liebe ich Extremwertprobleme und würde mich freuen, wenn Du weitere, vielleicht auch mal sehr besondere "Optiemierungsaufgaben" vorstellst. Ach und da ich auch Deinen anderen Kanal abboniert habe, sing doch mal "Noise" ;-)
Man kann sich die Lösung auch über die 3. binomische Formel herleiten: x+y=50 ==> kann man auch formulieren als x=25+z und y=25-z (ergibt sich aus dem Mittelwert 25 bei zwei Zahlen) Dann wäre die Fläche des gesuchten Rechtecks A=x*y bzw. A=(25+z)*(25-z) Gemäß der dritten binomischen Formel: A=625-z^2 Die größte Fläche erhalte ich dann für z=0 (also x=25+0 und y=25-0) ==> A(max)=625qm
Die größtmögliche Fläche bietet eine kreisrunde Fläche. Gefolgt von regelmäßigen Vielecken (je mehr Ecken, um so größer die Fläche). Und dann kommt das Quadrat. Beim Volumen ist das recht ähnlich. Mathematisch hätt ich das nicht lösen können, doch durch diesen Erfahrungswert, war es ein Witz für mich. Du erklärst das echt super.
Danke für Deine tollen Videos: ist eine gute Auffrischung von Mathe-Tricks aus dem Studium und der Schule. Super gemacht; habe den Kanal vor 3 Monaten entdeckt und bin begeistert 🙂
Danke für das Video. Frage an alle: Ist das nicht generell so, dass das Quadrat bei solchen Aufgaben immer die Lösung ist? Ich meine mich vage zu erinnern.
Ja, das ist so. Allgemein gilt für den Umfang eines Rechteckes mit den Seitenlängen x und y: U = 2x + 2 y => y = U/2 - x. Der Flächeninhalt ist dann A = x * (U/2 - x = -x^2 + (U/2) * x Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen: -2 * x + (U/2) = 0 => U/2 = 2 * x => x = U/4 Da y = U/2 - x folgt Y = U/2 - U/4 = U/4. D.H. x = y = U/4 und das bedeutet, dass bei einem beliebigen Umfang eines Rechteckes die Maximalfläche immer ein Quadrat mit der Seitenlänge U/4 ist.
Ein Kreis bietet immer die grösste mögliche Fläche, resp. die Kugel das Volumen. Ein Quadrat ist dasjenige Rechteck, welches dieser Form an nächsten kommt. Deshalb war das für mich auch ohne mathematische Herleitung klar, dass es sich um das Quadrat handeln muss. Trotzdem cool, die Herleitung so schön aufgezeigt zu bekommen 😊 vielen Dank!
Du hast das wie immer super erklärt. Mein Lösungsansatz war allerdings spontan anders. Wenn man weiß dass im Verhältnis zum Umfang, ein Kreis die größte Fläche hat, ist man ohne jede Mathematik beim Quadrat. Es ist ja auch nur ein spezielles Rechteck.
Genau, aber sie hat die zweite Klasse übersprungen. Oder nur einen Sprung in der Schüssel? Oder sie will ihre "Klugheit" so schnell wie möglich an den Mann bringen, und wo geht es schneller als im Internet? Alle reif für die Klapse. Ahhh, übrigens, kennst du das größte Narrenhaus? logo, die Welt, und seit dem Internetzeitalter ist man der Meinung sie wird immer grösser. Wie kann man sich sonst erklären, dass immer mehr draufpassen?🤣🤣
Das Antwort ist schnell gegeben: das grösste Rechteck ist ein Quadrat und das bekommt man wenn alle vier Seiten gleich lang sind. Dazu teilt man das 100 m. lange Seil durch 4 und das gibt: 100 m : 4 = 25 m. Und 25 m x 25 m = 625 m^2. Und jetzt werde ich das Video geniessen. :)
@@eckhardfriauf Mehr muß man nicht kennen, wenn der Erzähler Susanne ist. Ausführlich, natürlich, fröhlich, nie peinlich, immer attraktiv - und strahlend jung! (Ich darf das schreiben - bin 79.)
@@namsawam So "attraktiv" war Mathe noch nie... gell 😉 Und dann auch noch in nachvollziehbaren Schritt-für-Schrittanleitungen. Sozusagen "Mathe für Dummies" mit Ästhetik 😇
@@namsawam Bewertet Ralf Laola die Person oder die fachliche Qualität des Kanals? Wie siehst du Susannes fachliche Kompetenz? Übrigens: ich bin (nur) 13 Jahre jünger als du (Sie?).
Klasse Videos, es macht richtig Laune mitzurechnen... Eine Lösung hier wäre vielleicht auch die dritte binomische Formel: A = (25-x)(25+x) = 625-x² ist dann am größten, wenn x = 0 ist (also Quadrat ...)
Quadrat war klar, musste ich nicht rechnen. Das eine Parabel bei rum kommt auch. Aber der Rechenweg dahin war mir entfallen. Also Danke für das aufzeigen des Rechenweges. Meine Schulzeit ist halt schon sehr sehr lange her. Und im Berufsleben hatte ich so was nie gebraucht, daher geht dann das eine oder andere schon mal verloren. Daher finde ich Deine Videos sehr gut, um altes wieder aufzufrischen.
Hey Susanne, sehr schön und systematisch dargestellt! Man könnte natürlich auch spitzfindig sein und sagen, dass ein Rechteck bereits vollständig bestimmt ist, wenn drei der vier Seiten durch das Seil beschrieben sind, denn damit sind ja bereits alle vier Eckpunkte des Rechtecks (welches natürlich wieder ein Quadrat ist!!) festgelegt., Damit wäre die Seitenlänge 33,33...m, und die Fläche würde 1110,9 m^2 betragen... 🤩 Aber im Ernst, vielen Dank für die ausgezeichnete Herleitung!
Naja, wenn man ganz spitzfindig ist, reichen eigentlich beim Rechteck zwei Seiten, um es vollständig zu beschreiben. Wären dann 50m und 50m, also 2.500 qm.
Das Quadrat hat unter den Rechtecken die grösste Fläche im Vergleich zum Umfang. Somit lautet die Antwort: 4 * 25 m = 100 m, s = 25 m, A = 25² = 625 m². Das geringste Volumen hat im Vergleich dazu ein Rechteck mit einer Länge von 50 m und einer Breite von 0 m. Bei Vielecken ist das Verhältnis von Fläche zu Umfang bei den regelmässigen Polygonen am besten. Je mehr Ecken das Polygon hat, desto idealer wird das Verhältnis von Fläche zu Umfang. Wenn man ein regelmässiges Polygon mit unendlich vielen Ecken anstrebt, landet man beim Kreis, dem König, was das Verhältnis von Fläche zu Umfang angeht. U = 100 m, r = U / (2π) = 100 / (2π) = 15,92 m, A = r²π = 15,92²π = 795,8 m² Aber ich gebe es zu: Es wäre eine schöne Extremwertaufgabe gewesen. ;)
Da seh' ich immer mal wieder, wieviel einstmals gelerntes eingerostet ist, wenn man's nicht mehr braucht. Danke für die "Erinnerung" an ehemals vorhandenen Fähigkeiten...
Ein Rechteck mit dem Umfang 100 LE (Längeneinheiten) hat dann einen größeren Flächeninhalt als alle anderen möglichen Rechtecke mit demselben Umfang, wenn alle Seiten gleich lang sind, das heißt wenn es sich um ein Quadrat handelt. Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Die Menge aller Quadrate ist eine echte Teilnenge der Menge aller Rechtecke. Wenn das Rechteck vier Seiten mit jeweils der Kantenlänge 25 LE hat, dann ist der Flächeninhalt 625 FE (Flächeneinheiten). Sind zwei Seiten Jeweils 24 LE und die beiden anderen Seiten jeweils 26 LE lang (was zusammen wieder 100 LE ergibt), dann ist der Flächeninhalt gleich 624 FE, also kleiner als bei einem Quadrat mit der Kantenlänge 25 LE. Viele Grüße Marcus 😎
Eine andere hübsche Lösung ist über das "Tür & Zimmermann"-Problem möglich: Ein altes Haus soll wieder bewohnbar gemacht werden und dabei ein Durchgang zwischen zwei Räumen geschaffen werden. Glücklicherweise findet sich auch ein altes Türblatt, das aber zu breit ist. Da die Räume sehr, sehr hoch sind, kommt der Zimmermann auf folgende Idee: Wenn ich auf einer Seite einen Streifen von sagen wir 20 cm abschneide, kann ich diesen Streifen oben wieder "anflicken". Die Tür wird dann 20 cm höher und 20 cm schmaler (d.h. der Umfang bleibt), allerdings bleibt auch ein mehr oder weniger langes Stück übrig. Dies führt dann - ich kürze mal ab, weil jetzt jeder ahnt, wo es hinführt - zu drei Gedanken: 1. Je "schlanker" die Form, desto kleiner bei gegebenem Umfang die Fläche. 2. Im Umkehrschluß heißt das, das die "pummeligste" Form, das Quadrat, die größte Fläche hat. 3. Diese Hypothese kann man nun mit der 3. Binomischen Formel beweisen, wenn man von einem quadratischen Türblatt ausgeht. Dann ist die Fläche nämlich a^2 - d^2 mit a als Breite bzw. Länge des Quadr. Türblatts und d mit der Breite des abgeschnittenen Streifens. Da d^2 immer pos. ist, liefert d = 0 die größte Fläche. q.e.d. Ich finde es trotzdem richtig, daß Susanne den Lösungsweg über das Extremwert-Modell gesucht hat. Sie will ja Schülern helfen und die sollen ja Extremwert-Aufgaben lösen lernen.
Habe auch einen Lösungsweg gefunden (mit möglichst wenig Mathematik): Die Fläche des Rechtecks ist ja (50 - x)*x = 50x - x^2. Das kann man sich als zwei Funktionen vorstellen, dessen Differenz maximal werden soll. Bei den Punkten x=0 und x=50 sind die beiden Funktionswerte ja gleich, dazwischen liegen irgendwo die Lösungen. Nun gehen wir die Funktionen mal durch. 50x steigt konstant mit dem Anstieg 50. x^2 steigt mit dem Anstieg 2x, am Anfang sehr langsam aber dann immer schneller, d.h. die Differenz steigt anfangs bis zu einem Maximum und sinkt dann wieder. Deshalb kann es nur einen Lösungspunkt geben und zwar dann wenn der Anstieg beider Funktionen gleich ist. Da der eine Anstieg 50 ist und der andere 2x folgt daraus 50=2x bzw. x=25. Voila - und schon hab ich die Lösung.
Hallo Susanne! Habe es so gemacht: A(x)' = -2x+50 ... A(x)'=0 muss ein Minimum oder Maximum sein also bei x=25 . Nur weiss ich nicht mehr zu wenn es ein Maximum oder ein Minimum ist! Ich habe Maschinenbau studiert, in Brasilien, aber leider hatten meine Mathe Lehrer die Objetivität nicht, uns das lehren wass wichtig ist ! Wir haben es in anderen Fächern in der Praxis lernen müssen! Die Grundschul Mathe war aber damals, in den 60ger Jahren gut!
Hi Susanne, das wäre auch ein schönes Beispiel um Lagrange Multiplikatoren vorzustellen. Immerhin wird das später im Studium in den verschiedensten Fächern relevant.
Hallo, erstmal toller Kanal, bringst das echt super rüber! Jetzt hätte ich aber da noch mal die Frage, ist denn ein Rechteck ein Quadrat? Ich dachte nein und ich bin dann iterativ vorgegangen und bin dann bei 24, 999 und 25,001 stehen geblieben. Dann ist die größte mögliche Fläche näherungsweise 625 m2. Ist theoretisch auch eine vorgehensweise, oder?
Ein Rechteck ist kein Quadrat. Aber ein Quadrat ist ein Rechtek. Also ist auf die Frage, welches Rechteck hat die größte Fläche, das Quadrat eine korrekte Antwort.
Ah ja, das mit den beiden Null-Punkte ist ein eleganter und einfacher Lösungsweg. Ich bin so daran gewohnt, sofort abzuleiten, wenn ich das Wort Max (oder Min) höre, dass ich daran gar nicht gedacht hatte 😀 (Zugegeben, mit der Ableitung war ich hier schneller).
@@blaizex Also, die Absicht der Übung ist, die Lösung zu finden/beweisen. Wenn man schon weisst, dass die Lösung ein Rechteck dh 25 ist, dann reicht 100/4 - aber damit haben Sie keineswegs bewiesen, dass dies die Lösung ist 😃
Ich hatte die Aufgabe in 2 Sekunden. Beim mal rechnen ist dienZahl immer am höchsten, wenn die Zahlen immmer möglichst gleich ist. Also keine mit 99 und 1 sehr weit unten ist. die möglichst gleichen Zahlen sind 25 mal 4. Die Erklärung war ganz schön kompliziert
Also ich bräuchte dafür jz keinen rechenweg um das zu berechnen 😅😅😅 Aber super wie du das immer mit rechenweg erklärst yfind ich echt toll. So kann ich das alles auch mal wieder etwas auffrischen!
Also ich hatte 625m² nach 5 Sekunden im Kopf raus, weil natürlich das Quadrat die größtmögliche, rechteckige Fläche bietet. Nur alles was danach an Funktionen kam, hatte ich so gar nicht auf dem Schirm. :)
@@aatc84 Ich hätte fast schon angefangen einen Kreis mit U = 100m zu rechnen, weil das ja die größtmögliche Fläche ist, deutlich größer als 625m² Das wär dann aber nicht mehr im Kopf gegangen. :) Aber es ging ja ums Rechteck.
@@aatc84 Die max. Fläche Kreis mit 100m Seil hat mich doch mal interessiert. Über 795m². Kann man mal sehen, wie effektiv ein Kreis den Platz ausnutzt.
Hallo! Ich finde deine Mathematik Erklärvideos so gut. Wow ich bin erst 13 Jahre alt aber alles das ich anklicke und sie erklären verstehe ich sofort. So nett und sympathisch machen sie weiter so bittee😍😁
In diesem Fall geht es auch ohne viel Rechnung. Man muß dazu nur wissen, daß unter allen Rechtecken das Quadrat dasjenige mit dem günstigsten Verhältnis von Fläche zu Umfang ist, d.h. wir müssen mit dem 100 m langen Seil ein Quadrat abstecken. Da ein Quadrat vier gleichlange Seiten hat, muß die Seitenlänge also 100m : 4 = 25 m betragen, und der Flächeninhalt ist dann 25m * 25 m = 625 m^2. Dieses Prinzip gilt allgemein, daß eine Figur möglichst gleichmäßige Gestalt haben muß, um bei gegebenem Umfang die Fläche zu maximieren, oder bei gegebener Oberfläche das Volumen zu maximieren. Zum Beispiel ist das Quadrat das optimale Rechteck, der Würfel der optimale Quader, der Kreis das optimale regelmäßige Vieleck (Polygon) und die Kugel das optimale Polyeder bezüglich dieses Fläche-zu-Umfang- bzw. Volumen-zu-Oberfläche-Verhältnisses. Schwieriger wird es allerdings, wenn bei der obigen Extremwertaufgabe eine der Rechteckseiten aus einer Wand bzw. Mauer besteht und man demzufolge das Seil (oder auch den Zaun) nur für _drei_ statt vier Rechtecksseiten benötigt.
mir war nicht klar das ein Quadrat mit gleichem Umfang eine größere Fläche hat als ein Rechteck (ohne 4 gleiche Seitenlängen). Ich dachte auf Anhieb, dass die Fläche doch immer gleich groß sein müsste. Vor der Aufgabe habe ich noch nie darüber Gedanken gemacht. Jetzt weiß ich das, aber wann ich dieses Wissen brauche weiß ich nicht.
Ja, genau. Die Figur mit der grössten Fläche bei 100m Seil ist ein Kreis. Und mit der Einschränkung, dass es ein Rechteck sein muss, ist es einfach das Rechteck, welches einem Kreis am ähnlichsten ist - also ein Quadrat 🤷🏻♂️
Nehmen wir an du hast einen Weidezaun von 100 m. Willst damit die größte Weidefläche einzäunen. Dann ist es erstmal ein Quadrat... mehr bekommst du mit einem exakten Kreis
Toll und ausführlich erklärt(Wie immer), meine Lösung wäre ein wenig anders. Ich finde es schade, dass du nicht kurz auf die erste Ableitung eingegangen bist und dir davon die Nullstelle als x-Wert genommen hast. In meiner Schulzeit hatte ich oft das Problem mit Lehrern dass es für sie exakt einen Lösungsweg gab und zwar ihren. Die unverdient schlechten Noten waren sehr entmutigend auch wenn meine Aufgaben keine Fehler aufwiesen.
Also ich habe das Seil einfach durch vier geteilt und hatte innerhalb von Sekunden das größtmögliche Quadrat. 24x26 wäre übrigens das größtmögliche Rechteck. Aber Dein mathematischer Weg ist natürlich sehr elegant.
Das einzige, was mich an der Aufgabenstellung verwirrt hatte, war, ob es wirklich ein Reckteck sein soll ( a x a ) oder ob die Lösung ein Quadrat sein kann (a x b). Denn dann ist die Lösung ja ganz einfach. Hätte es wirklich ein Rechteck sein sollen, dann hätte man einfach a+1 x b-1 gerechnet.
Man kann so ein Problem auch auf Zylinder übertragen. Wenn man dann aber ein Volumen vorgibt, kann man die Oberfläche minimieren, und das ist der Grund weshalb unsere genormten Konservendosen das Höhe-Breitenformat haben, was sie haben: So verbraucht man bei der Produktion am wenigsten Material bei vorgegebenen Volumen.
Toll , ich brauch gar keine Mathematik . Die Lösung hat mir mein Unterbewußtsein verraten . Aber im Ernst . Da die Entwicklung von 1x49 zu 25x25 , ich nenne es mal , kontinuierlich ist kann es dazwischen keinen Wert geben der gößer als 25x25 ist . Für mich ist das selbsterklärend .
Ich habe das viel schneller gelöst und bin nicht sicher, ob meine Gedankenkette mathematisch standhält. Meine erste Überlegung war, das bei gleichem Umfang, immer das eine mögliche Quadrat den größten Flächeninhalt haben muss, denn alle anderen Möglichkeiten kommen ja quasi zweimal vor (einmal hochkant und einmal quer). Und wenn ich aus 100m Seil ein Quadrat machen muss, sind das 100m : 4 Seiten = 25m Seitenlänge.
The two dimensional shape with the largest area for a given perimeter is a circle. Area of a square with a perimeter of 100m is 625㎡. In this problem when we consider the shape to be a circle, then 100 = 2ℼr, so r = 50/ℼ, and so ℼr² = ℼ(50/ℼ)² = 2500/ℼ > 625. In fact, when the perimeter of a square = circumference of a circle, then The Area of a Circle = (4/ℼ) × The Area of a Square.
Gibt es nicht die Regel in der Geometrie, dass bei Vielecken und in letzter Konsequenz davon auch bei Ellipsen (aber auch im dreidimensionalen Raum) bei gleichbleibendem Umfang (Oberfläche) die Fläche (oder das Volumen) immer dann am größten ist, wenn die Seitenlängen (oder wie auch immer man das Äquivalent dazu bei Ellipsen/Sphären nennt :D) immer gleich lang sind? Also quasi somit bei gleichschenkligen Dreiecken, Quadraten, Pentagons, Kreisen, Würfeln, Kugeln usw? Ist ja in der Natur auch so - z.B. auf Grund von Oberflächenspannung will sich Wasser auf einer oberfläche immer zu einem "Kreis" ausbilden, oder in der Schwerelosigkeit zu einer Kugel - eben weil in diesem Zustand bei gleichbleibendem Volumen die Oberfläche eben am kleinsten ist (=> niedrigste Spannung, stabilster Zustand usw, blabla, irgendwas damit hat es doch zu tun, oder? :D) Wenn es diese Regel gibt, ist die Antwort unter Anwendung eben jener Regel in 2 Sekunden ausgerechnet. Rechteck = 4 Seiten, 100cm/4=25cm Oder ist das nur confirmation bias, was sich bei mir breit macht? :D
Das Rechteck hat einen Umfang von 2a+2b = 100. Ich definiere nun: a = 25 + x; b = 25 - x für {x ∈ ℕ₀ | x ≤ 25} Dann erhalte ich stets ein Rechteck mit dem Umfang 100. Die Fläche des Rechtecks ist a·b, also (25 + x) · (25 - x) = -x² + 625 Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung sind c_2 = -1 und c_1 = 0. Weil die Funktion quadratisch und c_2 negativ ist, wissen wird, dass es sich um eine umgekehrte Parabel handelt. Also gibt es nur einen Hochpunkt. Da c_1 = 0 ist, muss dieser Extrempunkt auf der Nullstelle liegen. Daher berechnen wir nun diese Nullstelle. -x² + 625 = 0 625 = x² 25 = x Wir können an dieser Stelle bereits aufhören, da wir sehen, dass das Maximum ein Quadrat mit der Kantenlänge von 25 und dem Flächeninhalt 625 ist.
könnte man stundenlang schauen. Für dich (uns) habe ich einen weitere schöne Aufgabe zu dem Thema. Du hast eine kreisrunde Weide mit der Fläche (A). Am Rande (Umfang) der Fläche machst du ein Seil fest, an dem an dem anderen Ende eine Ziege befestigt ist. Wie lang muss das Seil sein, damit die Ziege die Hälfte vom Gras (A/2) fressen kann. Würde mich freuen, wenn du "uns" mal die Lösung zeigst
Wenn ich ein Rechteck mit Umfang 100 habe, wähle ich x so, dass eine Seite die Länge 25 + x hat. Die anliegende Seite muss dann eine Länge von 25 - x haben. Die Fläche (3. Binom) ist dann 25^2 - x^2. Die Fläche ist also am größten, wenn x = 0 ist, also beide Seiten gleichlang sind und eine Länge von 25 haben.
Ich bin ein blutiger Laie, deshalb die Frage, ob folgende Herangehensweise in diesem speziellen Fall auch korrekt wäre: Den grösstmöglichen Flächeninhalt im Verhältnis zum Umfang hat ein Kreis. Deshalb muss das gesuchte Rechteck die grösstmögliche Annäherung an einen Kreis bilden. Ein Quadrat ist unter den Rechtecken die grösstmöglich Annäherung an einen Kreis. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten, also 100 ÷ 4 = 25. Oder ist diese Herangehensweise "unmathematisch"?
Zeig uns bei einem Video wie man Scheitelpunktform bildet zum ablesen des Scheitelpunkts, wie man dazu gegebenfalls auf ein vollständiges Quadrat ergänzen muss und wie das das ganze mit Ableiten auch funktioniert
Habe die erste Ableitung bestimmt und davon die Nullstelle ausgerechnet, gleiches Ergebnis 625 FE, Seitenlänge a=b. Habe daraus auch geschlossen, dass unter allen Rechtecken die den gleichem Umfang haben, immer das Quadrat den größten Flächeninhalt besitzt. Ist das damit eigentlich schon bewiesen?
Hallo Susanne. Daß der grösstmögliche Flächeninhalt das Quadrat hat war klar. Wie verhält sich das Problem aber beim Paket, dessen längste und kürzester Seite zusammen nicht länger als 70cm haben dürfen. ( ZB das S-Paket bei Hermes für 4,95)
Schickes Video mit Deiner sehr angenehmen Stimme und auch optisch bist Du stets eine Freude. Das war eine interessante Aufgabe mit einer Lösung, die mir so nicht eingefallen wäre. Ich wäre da auf die altbewährte Methode dran gegangen, indem ich die Funktion zweimal abgeleitet hätte. Zu meinen Zeiten hätte ich die Aufgabe in der Mittelstufe nur schwer lösen können, da der Funktionsbegriff und alles, was damit zu tun hat, Stoff der Klasse 11.1 war. 11.2 war dann der Differentialrechnung gewidmet. Ich habe da noch zwei Aufgaben, die ich Dir vorschlagen möchte, darüber mal Videos zu drehen. Für die erste ist mir aufgefallen, dass es offenbar kein deutschsprachiges Video gibt, das klar und deutlich zeigt, wie man sauber mit verschiedenen Einheiten rechnet. Die Problematik stellt sich besonders, wenn man es mit physikalischen Einheiten zu tun hat, die nicht SI-Einheiten sind und da z.B. angelsächsischen Einheiten verwendet werden. Dieser Umstand wundert mich, da wir in Deutschland jede Menge Ingenieure haben, für die das Rechnen mit Einheiten ihr tägliches Brot ist. Ich stolperte über die Aufgabe, dass Triebwerkshersteller den Schub ihrer Triebwerke in Pfund angeben. Den in Kilonewton zu berechnen ist dann nicht mehr trivial. Den numerisch zu ermitteln, ist das eine, die Einheiten dabei sauber zu ermitteln erwies sich als schwieriger. Aber die Methode bietet sich auch an, wenn man z. B. mit Währungen umgehen muss. Eine andere andere bemerkenswerte Aufgabe stellte sich mir in meinem Abitur 1980 im Mathematik LK: "Beweisen Sie den Zusammenhang zwischen dem Pascal'schen Dreieck und den Binomialkoeffizienten (n über k)." Das wars dann mit den Informationen. Ich muss dazu sagen, dass mein Leistungskurs damals 6 Wochenstunden hatte und ich auch dazu am Samstag zur Schule ging. So lernte ich die vollständige Induktion schon in der 12. Klasse kennen. Aber in der Oberstufe erfuhr ich damals, dass Mathematik Spaß macht und oft gar nicht so schwer ist, wenn es sauber dargestellt und erklärt wird. Das passiert dann leider nicht selten erst an der Hochschule. Dazu kommt dann noch, dass gern von den Lehrern pädagogische Experimente gemacht werden, in denen Kinder mit Aufgaben betreut werden, die sie zwar "rechnen" können, aber da ihnen die Äquivalenzumformung fehlt, bleibt nichts anderes übrig, als dafür ein Gefühl zu entwickeln. DAS IST SCHWER! Und dann wird Rechnen und Mathematik schwer. Du wirkst dem mit Deinen Videos entgegen und erfüllst damit eine wichtige Aufgabe. Dass Du dabei sehr ausführlich vorgehst und vieles erklärst, was für mich selbstverständlich ist, mag mich dann zwar etwas langweilen, aber dafür versteht es dann auch der, der noch die eine oder andere Wissenslücke hat. Vielen Dank dafür! P.S.: Wegen Deiner habe ich die Partialbruchzerlegung noch mal grundlegender verstanden. Vielen Dank dafür! Btw.: Der kürzeste Mathematikerwitz? Sei Epsilon < 0! 🤣🤣🤪
"..., dass es offenbar kein deutschsprachiges Video gibt, das klar und deutlich zeigt, wie man sauber mit verschiedenen Einheiten rechnet..." Das ist etwas, was schon viele hier (v.a. Physiker, ETler& Co. incl. mir) aufgefallen ist, dass Mathematiker nicht mit Einheiten rechnen können. Obwohl in der Angabe Einheiten angegeben sind, wird ohne Einheiten gerechnet und zum Schluss werden dann die gewünschte Einheit hingezaubert, woher die plötzlich kommen, naja Fläche muss wohl m² sein, oder!? Wenn die Einheiten dann noch verschieden sind, ohjeohje...
Passend zur Jahreszeit eine weiterführende Aufgabe: wie muss sich eine Schlange (Regenwurm, Blindschleiche ...) zusammen kauern, damit ihre nach außen gerichtete Oberfläche möglichst klein wird (und so vor Auskühlung bei niedrigen Temperaturen schützt)?
@@Waldlaeufer70 Exakt. Instinktiv machen die Viecher das ja auch. Ein Video, dass dieses maximale Verhältnis V:O angeht, würde ich sehr begrüßen. Get Mathe fit, Magda liebt Mathe oder ObachtMathe wären m.E. die passenden Kanäle dafür, oder?
Ich habe gerade überlegt, wie man für den zweidimensionalen und damit einfacheren Fall zeigen kann, dass der Kreis bei gegebenem Umfang die größte Fläche hat. Vermutlich wäre eine Grenzwertbetrachtung sinnvoll, ausgehend von einem regelmäßigten n-Eck mit n=3,4,5 ..., oder? Dann wäre zu prüfen, ob sich dieses Verfahren auf drei Dimensionen übertragen ließe.
@@unknownidentity2846 Die Polygonstrategie finde ich auch lukrativ (Gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Pentagon ... Oktagon (Stopp-Zeichen 🛑🙂) etc. Dreidimensional geht das freilich auch (Tetraeder, Würfel ...) Viele Grüße, Eck
Ein Kreis ist ja letztlich nichts anders als ein regelmässiges Polygon mit unendlich vielen Ecken. Die Flächenformel des Kreises fusst ja exakt auf diesem Gedanken.
ehret mir den Vollkreis - mit dem 100m Seil bekommen wir eine Kreisfläche von 795,77m² (was gegenüber dem Quadrat einen Flächenzuwachs von immerhin 27,32% darstellt) ,)
Seien zwei Seiten b, dann sind die beiden anderen Seiten (50-b). Fläche: f(b) = b (50-b) = -b^2+50b Maximale Fläche bei f'(b) = - 2b + 50 = 0 b = 25 Oben einsetzen in f(b) = f(25) = 25(50-25) = 625
schon die anfängliche Probiererei hat eigtl. auf die Lösung gezeigt: wenn man x verringert und y vergrößert, wird das Produkt ja offensichtlich erst mal größer. wir bekommen da sowas wie 35*15 = 525 30*20=600 usw. wenn nun x=y ist, wird sich das Produkt aber nicht mehr vergrößern, weil wir bei weiteren Änderungen nur die Faktoren tauschen würden und recht bald bei 20*30 und 15*35 usw. landen würden.
Hallo, Diese Art Beispiele sind dem von 99! und 50 hoch 99 sehr verwandt. Genauso wie die Summe der Rechtecke unter einer Kurve und dem Integral! Grüsse an den Herren Gauss und Newton.
>Die nächstbeste rechteckige Form ist das Quadrat👍👍👍👍, wollte ich auch gerade schreiben, denn ein Rechteck mit 2 sehr langen Seiten hat immer weniger m² wer kann das je vergessen der es mal ordentlich gelernt hat oder mal nur im Kopf überschlägt!
Nehmen wir mal an, man kommt nicht direkt drauf, dass es ein Quadrat sein muss. Kann man dann nicht schon nach dem umstellen der 2ten Gleichung aufhören? Denn ich könnte die Gleichung ja auch nach x umstellen und beim einsetzten kommt genau die gleiche Gleichung raus, nur mit y statt x. Und beide sind A. Also ist x*(50-x)=y*(50-y) Damit ist auch x=y Und die Fläche ein Quadrat.
Dass es ein Rechteck sein musste, war eigentlich von Anfang an klar und entsprechend konnte man sehr schnell die 25 m Seitenlänge und 625 qm ausrechnen. Die Berechnung über die Ableitung finde ich persönlich eleganter.
Ich als ich den Videotitel gelesen habe: ein Kreis! Lese denen Titel nochmal und sehe das ein Rechteck gesucht ist: Na dann das Rechteck das dem Kreis am ähnlichsten ist, ein Quadrat! Bin froh das ich richtig geraten habe.
Kann man auch in Sekunden lösen: Wenn man weiß, daß in einem Kreis die maximale Fläche bei einem bestimmten Umfang auftritt, dann muß das gesuchte Rechteck ein Quadrat sein - also eine Art Kreisbahn aus 4 Punken. Mit 4 gleichlangen Seiten eines Quadrates ergibt sich einfach 100/4 = 25.
Mein Rechenweg war etwas kürzer. Der größte Flächeninhalt eines Rechteck ist immer bei einem Quadrat. Also brauche ich nur a ausrechnen denn a • a = die Fläche vom Quadrat. a = 100 : 4 = 25 und 25 • 25 = 625 einfach und schnell.
Also Pi mal Daumen sind das 625 m^2, also 25m*25m. Das Quadrat hat von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt den niedrigsten Umfang. Umkehrschluss ist, dass es von allen Rechtecken mit gleichem Umfang die größte Fläche hat. Wenn man das weiß, spart man sich die Differentialrechnung. Ansonsten A=x*(50-x) ---> A=50x-x^2 ---> A'=50-2x ---> A'=0=50-2x ---> 2x=50 ---> x=25
okay, warum so? geht das nicht auch immer nach meine Methode? Länge des Seils durch vier und Ergebnis zum Quadrat, ergo 100 /4 = 25 und 25² = 625, da benötige ich doch keine x und y oder?
Also ohne Rechnen und in Kombination mit Logik und Wissen hat bei gleichem Umlauf ein Quadrat immer die größte Fläche. In diesem Fall also 100:4=25 ergo 25x25m =652m². Natürlich nur wenn man akzeptiert das ein Quadrat auch automatisch ein Rechteck ist. Interessanter wäre die Aufgabe, wie groß die größtmögliche Fläche eines Rechteckes wäre, das KEIN Quadrat ist? Wenn das denn ohne Nachkommabegrenzung überhaupt möglich wäre?
Ich dachte auch sofort an 25*25. Aber dennoch hatte ich später beim schauen einen anderen Ansatz: ist doch egal wie lang die Seiten sind. Der Umfang ist ja immer der selbe. Er schließt die selbe Fläche ein. Eben Mal etwas in die Breite oder in die Höhe. Aber warum ist dem nicht so? Wo ist mein Denkfehler?
'Also wissentlich, dass das Quadrat die größtmögliche Fläche bietet, hätte ich einfach aus dem Blick, dass 100:4= 25 das Ergebnis (25X25) erkannt. Was brauch ich da das Herumgerechne ?
Ehmm, du hast da nur einen Fehler drin, die rede ist zu anfang vom rechteck, nicht vom quadrat. Ich hab jetzt nicht uafm Schirm welches seitenverhältnis herrschen muss um als rechteck zu gelten, 1:2 oder 1:1,5??
Schaut doch gerne mal bei meinem Eulenteam vorbei. Ich danke euch gaaaanz herzlich für euren Support!
--> th-cam.com/users/mathematrickjoin
Bin schon lange drin, du hast dir jede Unterstützung der Welt verdient
Und schon wieder etwas für meine Playlist! Danke. Geht das auch mit anderen geometrischen Formen?
Warum so kompliziert? Einfach direkt die vier längsmöglichen Seiten nehmen, sprich 25 Meter. Und dann 25 x 25. Dauert nicht mal 30 Sekunden im Kopf. Die Erklärung des Rechenwegs ist natürlich TOP. Hätte evtl. nur eine krummere Zahl sein sollen.
@@AngelFilmnMusic hab gerade ähnlich angesetzt, die größtmögliche fläche eines rechtecks = quadrat noch mehgr geht nur mit Kreis. das schöne ist man kann das aus 2d in 3d umsetzen, also größtmöglicher volumeninhalt = Würfel
Peter Volgnandt
Zuerst hab ich Eulerteam gelesen. Wär ja auch ok gewesen. Aber die Eule ist ein Symbol der Weisheit und deswegen passt es.
Ich bin Dipl.-Informatiker und habe 17 Jahre lang Mathe-Unterricht gehabt, von der ersten Klasse bis zum Ende des Studiums. Ich weiß also durchaus einiges.....
Aber nach 30 Jahren habe ich viel vergessen. Mich begeistert dieser Kanal. Super erklärt! Ganz toll gemacht.
Ich fand die Extremwertaufgaben in meiner Oberstufenzeit
immer ganz spannend zu lösen, hat mir viel Spaß gemacht.
Ja, aber man vergisst vieles.
Sehr schön daher, das hier wieder ein bisschen aufrischen zu können.
Ich liebe Deine Videos! Bitte weiter so. Habe 1999 mein Abi u.a. mit LK Mathe gemacht und daher blieb bis heute "f'(x)=nax^(n-1)" im Kopf und der "mathematische Vernunftwerts des Quadrats" wurde schnell bestätigt über den einen Extrempunkte der ersten Ableitung. Die Parabel habe ich nicht mehr erkannt, aber durch das Einsetzen natürlich das Maximum erkannt und in der 2. Ableitung auch den fehlenden Wendepunkt bemerkt. Ergo: Nach unten geöffnete Parabel. ;-) Im angeschalteten Klugscheißermodus möchte ich aber Deinen letzten Satz korrigieren: Unter Missachtung Deines optischen Pointings auf das Rechteck ist natürlich rein akustisch "die größtmögliche Fläche mit einem 100m-Seil" der Kreis mit einer Fläche von 2500/pi oder dem Radius von 50/pi. Alleine dieses Nachrechnen der Kreisdaten hat mir schon eine abendliche Freude bereitet. Danke!
Ich kannte die Lösung schon vom Thumbnail aus meinem Mathe Abi damals, aber ich schau das Video trotzdem bis zum Ende weil es einfach so toll ist wie du die Aufgabe erklärst
Mathe Abi? Was geht mit Deutschland ab? 100 durch 4 ist nicht so schwer.
Ich war nie besonders gut in Mathe, hatte aber immer Interesse, das mal mehr, mal weniger von meinen Lehrern kaputt gemacht wurde.
Auf TH-cam finde ich immer wieder zum Interesse zurück, so auch durch Dich. Danke dafür.
Hey, dann wünsche ich dir weiterhin ganz viel Spaß mit meinen Videos! :) Vielleicht mache ich dich ja noch zum Matheexperten!?
@@MathemaTrick Wer weiß😬
Wie immer machst Du das super - nett und cool. Ich selbst bin als Praktiker und logisch Denkender einfach hingegangen, habe die 100m Seillänge durch 4 geteilt und bekam so auch die 25m Seitenlänge, so dass die F = 625m2 ausmacht.
Ich nehm da lieber nen Kreis 🙂 mit rund 16m Radius, da gibt dann knapp 796m². Das sind gut 27% mehr. Nur beim Rasemähen ist so ne Kreisrunde Gartenfläche fürs Häuschen etwas gewöhnungsbedürftig. Mal von den Nachbarn abgesehen 🙂
@@stesta3698 setzen 6, es wurde nach Rechteck gefragt nicht Kreis 😂😎
@@tschadi5552 von der Berechnung her ist der Kreis nichts anderes als ein Rechteck mit sehr sehr vielen Ecken. wer wird denn wegen den paar Ecken mehr gleich so pingelig sein
@@stesta3698 Oh man, etz muss ich Lachen 🤣wann hört dass wieder auf?
Dem schließe ich mich an.
Schon physikalisch gedacht weiß man, daß sich eine Seifenblase nach dem Ideal maximales Volumen bei minimaler Oberfläche orientiert. Sogesehen ist zweidimensional gesehen der Kreis das Ideale mit maximaler Fläche bei minimalem Umfang aber es wurde ja nach einem Rechteck gefragt und da kam mir deshalb ganz ohne rechnen das Quadrat in den Sinn.
Schön, daß man dies auf diesem Weg auch mathematisch beweisen kann.
Ich denke es hatte jeder sehr schnell im Kopf raus, aber die Erklärung war einfach super 😄👍
Mit welchem Rechenweg machen Sie das?
@@VoltaireVI :4
@@VoltaireVI Den größten Flächeninhalt zu einem gegebenen Umfang hat ein Kreis. Beim Rechteck wird es also das dem Kreis ähnlichste sein: ein Quadrat.
Ich merke immer wieder wie verdammt lange es her ist ^^" (habe beruflich max. Mathe auf Grundschulniveau, obwohl es mir in der Schule nie schwer fiel und ich Spaß daran hatte). Aber du erklärst es immer so schön und durch die "Mitschriften" und Skizzen kann ich bei solchen Aufgabenstellungen zumindest wieder mitdenken :D
Fantastisch wie Du das hergeleitet hast. Sicher geht es auch mit der Überlegung, dass ein Quadrat immer die größte Fläche für einen bestimmten Umfang bietet. Aber es ist einfach verdammt elegant, wenn man es mathematisch "herbei zaubern" kann. Danke!
Nicht ganz, Berechne mal die Fläche von einem Kreis mit dem Umfang von 100m. Ist noch mal mehr als beim Quadrat
Natürlich umfasst ein Kreis mehr Fläche, als ein Quadrat, aber in der Aufgabe ging es ja explizit um ein Rechteck. Und unter den Rechtecken liegt das Quadrat eben ganz vorne.
@@juppschmitz1974 Aber zu "wissen", dass das Quadrat die größte Fläche bietet, hilft einem ja nicht weiter, dann gewinnt der mit der stärksten "Meinung". Das bringt eigentlich überhaupt nichts. Da ist eine schlüssige Herleitung viel wertvoller, denn die ist logisch nicht angreifbar.
@@W00PIE Das hat mich zum Nachdenken gebracht. Vermutlich bin ich davon ausgegangen, dass wenn man weiß, dass das Quadrat (unter den Rechtecken), die größte Fläche umfasst, man das auch belegen kann (25×25=625 und 1×49=49 bei jeweils 100 Umfang). Mir ist überhaupt nicht in den Sinn gekommen, dass man den reinen Fakt als Wissen akzeptieren könnte, ohne den Grund zu verstehen. Aber das war wohl wirklich etwas blauäugig, genauso gut könnte natürlich jemand davon überzeugt sein, dass ein möglichst langes Rechteck die größte Fläche umfasst, ohne "Hintergrundwissen" zu haben.
Also ist das ein guter Punkt. Danke dafür!
Ursprünglich wollte ich mit dem Kommentar darauf hinaus, dass es in der Fragestellungen ausdrücklich um Rechtecke ging und nicht darum, welche Form die größte Fläche überhaupt umfasst, aber so kam noch ein weiterer Punkt hinzu.
@@juppschmitz1974 Ist wirklich ein spannendes Thema, wenn man das mal zuende denkt. Da landet man sehr schnell bei interessanten Themen wie Ontologie, Logik, Axiomen und einigen anderen Aspekten, die in der modernen Philosophie zuhause sind. Genau das Richtige für lange Winterabende 🤓
Bin echt erstaunt, wie klar und deutlich du alles erklärst. Hut ab🤠
Dankeschööön! 🥰
Ja, ich bin auch erstaunt. Früher hätte man einen eingewiesen, aber heute normal. Sie kann klar und deutlich reden.
Heyy, ich schaue deine Videos schon sehr lange und sie haben mir mittlerweile bestimmt schon oft den Hintern in der Oberstufe im Matheleistungskurs gerettet und dafür möchte ich danke sagen. Aber seit kurzem haben wir ein neues Thema, indem es sich um Isoquanten handelt und ich verstehe einfach nicht wie, bzw. wie ich auf die Minimalkostenkombination komme und ich glaube ich bin da nicht der einzige. Vielleicht ist das Thema ein Video wert :). Aber eigentlich möchte ich nur danke sagen, du hilfst wirklich vielen Menschen hier draußen und ich schalte immer wieder gerne ein.
Interessantes Thema
Vielleicht magst du hier mal einen typischen Aufgabentext posten, damit man einen Eindruck von der Problemstellung bekommt.
1. Nachdem du die Funktion initial in der Produktdarstellung hattest und ausmultipliziertest, hättest du auch darauf zurückgreifen können anstatt mühsam wieder auszuklammern.
2. Bei dieser Funktion ist der Weg über die Ableitungen vermutlich sogar der schnellere; aber du hast ja plausibel begründet, warum du diesen hier nicht gewählt hast.
3. Bei solchen Aufgaben hat immer das Quadrat den größten Flächeninhalt. Allein aus Symmetriegründen (A(x) = A(50-x) für alle x) müsste das doch schon so sein, weil es sonst immer zwei Lösungen gäbe. Und beim Probieren hat sich ja gezeigt, dass der Flächeninhalt mit zunehmendem x wächst. Dass das wegen der Symmetrie andersherum genauso passiert, lässt schon vermuten, dass das Maximum genau in der Mitte erreicht wird. Aber natürlich muss das auch nachgerechnet werden:
Die Formeln gelten ja für jede beliebige Seillänge, sprich für jeden beliebigen Rechteckumfang: u = 2 (x + y) y = u/2 - x => A(x, u) = x (u/2 - x) = -x² + (u/2) x ... ist immer eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei x = 0 und x = u/2 => Scheitelpunkt bei u/4 => maximaler Flächeninhalt bei x = y = u/4. [q. e. d.]
Danke und guten Morgen ☀️
Good morning :)
Herrlich, habe ich als erstes gedacht und du hast den perfekten Weg aufgezeigt 😘
Dritte binomische Formel: (a+b)(a-b) = a²-b² ist bei konstantem a genau dann maximal, wenn b=0.
Man muss sich nur klarmachen, was das mit der Aufgabe zu tun hat, dann wird klar, dass der maximale Flächsninhalt natürlich beim Quadrat rauskommt.
Sehr schön gelöst! :)
Danke für die unterhaltsamem Videos :) hab den Kanal erst durch Zufall gefunden 😄
Top Video (und extra Lob für den Musikgeschmack 🥳) 👌
Wenn man weiß, dass die idealste Form für das Verhältnis zwischen Fläche und Umfang der Kreis ist, kann man sich komplett die Berechnung sparen. Die nächstbeste rechteckige Form ist das Quadrat, daher muss die größtmögliche Fläche in einem Quadrat mit Seitenlänge 100m/4 = 25m sein. Wenn man dann noch die Fläche mit (25m)² = 625m² berechnet, ist man fertig.
Für diese Aufgabe sind Ihre Überlegungen völlig richtig und auch ausreichend. Aber bei anderen Aufgaben ähnlicher Art (zB suche die 2 größten rechteckigen Pferdekoppeln mit 100 m Zaun) braucht man diese Erklärung+Berechnung.
@@dagmarhochhauser7603 Korrekt. Nur wenn es direkt herzuleiten ist, kann man die Berechnungen umgehen.
@@m.h.6470 Solche Aufgaben sind aber zur Veranschaulichung und Übung da. Auch wenn man es durch Wissen ohne viel Rechnen lösen kann, hat es auch so schon seinen Sinn
Man sollte dazu auch wissen, dass man ideal nicht steigern kann (wie einzige) und dann passt es wirklich :)
@@Thomass42 "idealste" ist Umgangssprache. Wir sind hier ja auf einem Mathe-Channel, nicht auf einem Grammatik-Channel.
Liebe Susanne, danke für das schöne Extremwertbeispiel. Ich hätte bei 6:30 die Ordinatenachse nicht y (haben wir als Breite definiert) sondern A genannt.
Gut erklärt aber für mich waren es von Anfang an sofort 25m. Also ohne Rechnung, einfach erkannt weil es logisch ist. Interessanter würde das bei einer anderen Form als ein Rechteck oder Quadrat werden.
Also die Herleitungen weis ich jetz nicht mehr, aber ich habe mir gemerkt, bei so einer Fragestellung ist es wenn es ein Rechteck werden soll das Quadrat, wenn es ein Dreieck werden soll ist es das Gleichseitige und wenn es rund werden soll ein Kreis. Ich glaube mich dunkel zu erinnern, das es bei vielecken, z.B. Fünfeck, Sechseck, Siebeneck, Achteck usw. auch immer die Gleichseitigen waren, da bin ich mir aber nicht mehr ganz sicher
Da kann ich nur zustimmen 😅😅
dann wäre es ein Kreis. Ist noch trivialer
Ich mag Deine Rätsel ungemein und tüftele auch häufig gerne mit. Diese Extremwertaufgabe, finde ich, ist extrem einfach, weil jeder, der sich mal mit den einfachen Aufgaben dieser Art beschäftigt hat, weiß, dass immer das Quadrat die größte Fläche bei gegebenem Umfang hat. Das hast Du ja auch schon mehrfach toll dargestellt, hier wieder mal besonders Anschaulich. Als Ingenieur liebe ich Extremwertprobleme und würde mich freuen, wenn Du weitere, vielleicht auch mal sehr besondere "Optiemierungsaufgaben" vorstellst. Ach und da ich auch Deinen anderen Kanal abboniert habe, sing doch mal "Noise" ;-)
Vergiss die Kreise ncht
Dies ist einer der nettesten (süßesten) TH-cam-Kanäle aller Zeiten. Danke Susanne!!!
Awww, dankeschön! 🥰
Man kann sich die Lösung auch über die 3. binomische Formel herleiten:
x+y=50 ==> kann man auch formulieren als x=25+z und y=25-z (ergibt sich aus dem Mittelwert 25 bei zwei Zahlen)
Dann wäre die Fläche des gesuchten Rechtecks A=x*y bzw. A=(25+z)*(25-z)
Gemäß der dritten binomischen Formel: A=625-z^2
Die größte Fläche erhalte ich dann für z=0 (also x=25+0 und y=25-0) ==> A(max)=625qm
gewusst wie :) --- und übrigens auch für negative z-Werte sind wir aus dem Optimum, weil das Quadrat einer negativen Zahl, usw. :)
Cool. Ein schönes Beispiel für:
Wer Mathe kann - ist im Vorteil.👍💐
Die größtmögliche Fläche bietet eine kreisrunde Fläche. Gefolgt von regelmäßigen Vielecken (je mehr Ecken, um so größer die Fläche). Und dann kommt das Quadrat.
Beim Volumen ist das recht ähnlich.
Mathematisch hätt ich das nicht lösen können, doch durch diesen Erfahrungswert, war es ein Witz für mich.
Du erklärst das echt super.
Danke für Deine tollen Videos: ist eine gute Auffrischung von Mathe-Tricks aus dem Studium und der Schule. Super gemacht; habe den Kanal vor 3 Monaten entdeckt und bin begeistert 🙂
Danke für das Video. Frage an alle: Ist das nicht generell so, dass das Quadrat bei solchen Aufgaben immer die Lösung ist? Ich meine mich vage zu erinnern.
Ja, natürlich.
Ja, das ist so.
Allgemein gilt für den Umfang eines Rechteckes mit den Seitenlängen x und y:
U = 2x + 2 y => y = U/2 - x.
Der Flächeninhalt ist dann
A = x * (U/2 - x = -x^2 + (U/2) * x
Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen:
-2 * x + (U/2) = 0 => U/2 = 2 * x => x = U/4
Da y = U/2 - x folgt Y = U/2 - U/4 = U/4. D.H. x = y = U/4 und das bedeutet, dass bei einem beliebigen Umfang eines Rechteckes die Maximalfläche immer ein Quadrat mit der Seitenlänge U/4 ist.
@@marpaub Hey danke. Der Beweis dafür hat mir noch gefehlt. Vielen Dank.😉
Ich wage mal, meine vage Erinnerung auf die Waage zu legen...
Das ist korrekt fuer Rechtecke. Mit einem Kreis hat man die hoechstmoegliche Flaeche bei gegebenem Umfang.
Ein Kreis bietet immer die grösste mögliche Fläche, resp. die Kugel das Volumen. Ein Quadrat ist dasjenige Rechteck, welches dieser Form an nächsten kommt. Deshalb war das für mich auch ohne mathematische Herleitung klar, dass es sich um das Quadrat handeln muss. Trotzdem cool, die Herleitung so schön aufgezeigt zu bekommen 😊 vielen Dank!
Du hast das wie immer super erklärt. Mein Lösungsansatz war allerdings spontan anders. Wenn man weiß dass im Verhältnis zum Umfang, ein Kreis die größte Fläche hat, ist man ohne jede Mathematik beim Quadrat. Es ist ja auch nur ein spezielles Rechteck.
Genau, aber sie hat die zweite Klasse übersprungen. Oder nur einen Sprung in der Schüssel? Oder sie will ihre "Klugheit" so schnell wie möglich an den Mann bringen, und wo geht es schneller als im Internet? Alle reif für die Klapse. Ahhh, übrigens, kennst du das größte Narrenhaus? logo, die Welt, und seit dem Internetzeitalter ist man der Meinung sie wird immer grösser. Wie kann man sich sonst erklären, dass immer mehr draufpassen?🤣🤣
Juhu
Die Pause ist gerettet mit guter Unterhaltung und was zum lehren 🤘
ja, mit guter Unterhaltung und was zum lehren. Alles klar. Ja du liebe Zeit
Das Antwort ist schnell gegeben: das grösste Rechteck ist ein Quadrat und das bekommt man wenn alle vier Seiten gleich lang sind. Dazu teilt man das 100 m. lange Seil durch 4 und das gibt: 100 m : 4 = 25 m. Und 25 m x 25 m = 625 m^2. Und jetzt werde ich das Video geniessen. :)
"Perfekt" erklärt. Es macht einfach nur Spaß mit Dir!
Bester Mathekanal ever : )
Dankeschön Ralf!
Wie viele Mathekanäle kennst du, um vergleichen zu können?
@@eckhardfriauf Mehr muß man nicht kennen, wenn der Erzähler Susanne ist. Ausführlich, natürlich, fröhlich, nie peinlich, immer attraktiv - und strahlend jung!
(Ich darf das schreiben - bin 79.)
@@namsawam So "attraktiv" war Mathe noch nie... gell 😉
Und dann auch noch in nachvollziehbaren Schritt-für-Schrittanleitungen. Sozusagen "Mathe für Dummies" mit Ästhetik 😇
@@namsawam Bewertet Ralf Laola die Person oder die fachliche Qualität des Kanals? Wie siehst du Susannes fachliche Kompetenz? Übrigens: ich bin (nur) 13 Jahre jünger als du (Sie?).
Klasse Videos, es macht richtig Laune mitzurechnen... Eine Lösung hier wäre vielleicht auch die dritte binomische Formel: A = (25-x)(25+x) = 625-x² ist dann am größten, wenn x = 0 ist (also Quadrat ...)
Quadrat war klar, musste ich nicht rechnen.
Das eine Parabel bei rum kommt auch.
Aber der Rechenweg dahin war mir entfallen.
Also Danke für das aufzeigen des Rechenweges.
Meine Schulzeit ist halt schon sehr sehr lange her.
Und im Berufsleben hatte ich so was nie gebraucht, daher geht dann das eine oder andere schon mal verloren.
Daher finde ich Deine Videos sehr gut, um altes wieder aufzufrischen.
Hey Susanne, sehr schön und systematisch dargestellt! Man könnte natürlich auch spitzfindig sein und sagen, dass ein Rechteck bereits vollständig bestimmt ist, wenn drei der vier Seiten durch das Seil beschrieben sind, denn damit sind ja bereits alle vier Eckpunkte des Rechtecks (welches natürlich wieder ein Quadrat ist!!) festgelegt., Damit wäre die Seitenlänge 33,33...m, und die Fläche würde 1110,9 m^2 betragen... 🤩 Aber im Ernst, vielen Dank für die ausgezeichnete Herleitung!
Naja, wenn man ganz spitzfindig ist, reichen eigentlich beim Rechteck zwei Seiten, um es vollständig zu beschreiben. Wären dann 50m und 50m, also 2.500 qm.
Oh wow interessanter Lösungsweg, ich hab es ganz klassisch mittels 1. und 2. Ableitung gelöst. So geht's natürlich auch.
Das Quadrat hat unter den Rechtecken die grösste Fläche im Vergleich zum Umfang. Somit lautet die Antwort: 4 * 25 m = 100 m, s = 25 m, A = 25² = 625 m². Das geringste Volumen hat im Vergleich dazu ein Rechteck mit einer Länge von 50 m und einer Breite von 0 m.
Bei Vielecken ist das Verhältnis von Fläche zu Umfang bei den regelmässigen Polygonen am besten. Je mehr Ecken das Polygon hat, desto idealer wird das Verhältnis von Fläche zu Umfang. Wenn man ein regelmässiges Polygon mit unendlich vielen Ecken anstrebt, landet man beim Kreis, dem König, was das Verhältnis von Fläche zu Umfang angeht.
U = 100 m, r = U / (2π) = 100 / (2π) = 15,92 m, A = r²π = 15,92²π = 795,8 m²
Aber ich gebe es zu: Es wäre eine schöne Extremwertaufgabe gewesen. ;)
Da seh' ich immer mal wieder, wieviel einstmals gelerntes eingerostet ist, wenn man's nicht mehr braucht. Danke für die "Erinnerung" an ehemals vorhandenen Fähigkeiten...
Ein Rechteck mit dem Umfang 100 LE (Längeneinheiten) hat dann einen größeren Flächeninhalt als alle anderen möglichen Rechtecke mit demselben Umfang, wenn alle Seiten gleich lang sind, das heißt wenn es sich um ein Quadrat handelt.
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Die Menge aller Quadrate ist eine echte Teilnenge der Menge aller Rechtecke.
Wenn das Rechteck vier Seiten mit jeweils der Kantenlänge 25 LE hat, dann ist der Flächeninhalt 625 FE (Flächeneinheiten). Sind zwei Seiten Jeweils 24 LE und die beiden anderen Seiten jeweils 26 LE lang (was zusammen wieder 100 LE ergibt), dann ist der Flächeninhalt gleich 624 FE, also kleiner als bei einem Quadrat mit der Kantenlänge 25 LE.
Viele Grüße
Marcus 😎
Eine andere hübsche Lösung ist über das "Tür & Zimmermann"-Problem möglich: Ein altes Haus soll wieder bewohnbar gemacht werden und dabei ein Durchgang zwischen zwei Räumen geschaffen werden. Glücklicherweise findet sich auch ein altes Türblatt, das aber zu breit ist. Da die Räume sehr, sehr hoch sind, kommt der Zimmermann auf folgende Idee: Wenn ich auf einer Seite einen Streifen von sagen wir 20 cm abschneide, kann ich diesen Streifen oben wieder "anflicken". Die Tür wird dann 20 cm höher und 20 cm schmaler (d.h. der Umfang bleibt), allerdings bleibt auch ein mehr oder weniger langes Stück übrig. Dies führt dann - ich kürze mal ab, weil jetzt jeder ahnt, wo es hinführt - zu drei Gedanken: 1. Je "schlanker" die Form, desto kleiner bei gegebenem Umfang die Fläche. 2. Im Umkehrschluß heißt das, das die "pummeligste" Form, das Quadrat, die größte Fläche hat. 3. Diese Hypothese kann man nun mit der 3. Binomischen Formel beweisen, wenn man von einem quadratischen Türblatt ausgeht. Dann ist die Fläche nämlich a^2 - d^2 mit a als Breite bzw. Länge des Quadr. Türblatts und d mit der Breite des abgeschnittenen Streifens. Da d^2 immer pos. ist, liefert d = 0 die größte Fläche. q.e.d.
Ich finde es trotzdem richtig, daß Susanne den Lösungsweg über das Extremwert-Modell gesucht hat. Sie will ja Schülern helfen und die sollen ja Extremwert-Aufgaben lösen lernen.
Sehr gut erklärt wie immer.
Sehr schöne Arbeit. Vielen Dank
Habe auch einen Lösungsweg gefunden (mit möglichst wenig Mathematik): Die Fläche des Rechtecks ist ja (50 - x)*x = 50x - x^2. Das kann man sich als zwei Funktionen vorstellen, dessen Differenz maximal werden soll. Bei den Punkten x=0 und x=50 sind die beiden Funktionswerte ja gleich, dazwischen liegen irgendwo die Lösungen. Nun gehen wir die Funktionen mal durch. 50x steigt konstant mit dem Anstieg 50. x^2 steigt mit dem Anstieg 2x, am Anfang sehr langsam aber dann immer schneller, d.h. die Differenz steigt anfangs bis zu einem Maximum und sinkt dann wieder. Deshalb kann es nur einen Lösungspunkt geben und zwar dann wenn der Anstieg beider Funktionen gleich ist. Da der eine Anstieg 50 ist und der andere 2x folgt daraus 50=2x bzw. x=25. Voila - und schon hab ich die Lösung.
Hallo Susanne! Habe es so gemacht: A(x)' = -2x+50 ... A(x)'=0 muss ein Minimum oder Maximum sein also bei x=25 . Nur weiss ich nicht mehr zu wenn es ein Maximum oder ein Minimum ist! Ich habe Maschinenbau studiert, in Brasilien, aber leider hatten meine Mathe Lehrer die Objetivität nicht, uns das lehren wass wichtig ist ! Wir haben es in anderen Fächern in der Praxis lernen müssen! Die Grundschul Mathe war aber damals, in den 60ger Jahren gut!
Hi Susanne, das wäre auch ein schönes Beispiel um Lagrange Multiplikatoren vorzustellen. Immerhin wird das später im Studium in den verschiedensten Fächern relevant.
Hallo,
erstmal toller Kanal, bringst das echt super rüber! Jetzt hätte ich aber da noch mal die Frage, ist denn ein Rechteck ein Quadrat? Ich dachte nein und ich bin dann iterativ vorgegangen und bin dann bei 24, 999 und 25,001 stehen geblieben. Dann ist die größte mögliche Fläche näherungsweise 625 m2. Ist theoretisch auch eine vorgehensweise, oder?
Ein Rechteck ist kein Quadrat. Aber ein Quadrat ist ein Rechtek. Also ist auf die Frage, welches Rechteck hat die größte Fläche, das Quadrat eine korrekte Antwort.
Ah ja, das mit den beiden Null-Punkte ist ein eleganter und einfacher Lösungsweg.
Ich bin so daran gewohnt, sofort abzuleiten, wenn ich das Wort Max (oder Min) höre, dass ich daran gar nicht gedacht hatte 😀
(Zugegeben, mit der Ableitung war ich hier schneller).
Herrlicher Lösungsweg? Wtf
100/4 ist zu kompliziert oder was
@@blaizex Also, die Absicht der Übung ist, die Lösung zu finden/beweisen. Wenn man schon weisst, dass die Lösung ein Rechteck dh 25 ist, dann reicht 100/4 - aber damit haben Sie keineswegs bewiesen, dass dies die Lösung ist 😃
Ich hatte die Aufgabe in 2 Sekunden. Beim mal rechnen ist dienZahl immer am höchsten, wenn die Zahlen immmer möglichst gleich ist. Also keine mit 99 und 1 sehr weit unten ist. die möglichst gleichen Zahlen sind 25 mal 4. Die Erklärung war ganz schön kompliziert
Also ich bräuchte dafür jz keinen rechenweg um das zu berechnen 😅😅😅
Aber super wie du das immer mit rechenweg erklärst yfind ich echt toll. So kann ich das alles auch mal wieder etwas auffrischen!
Also ich hatte 625m² nach 5 Sekunden im Kopf raus, weil natürlich das Quadrat die größtmögliche, rechteckige Fläche bietet. Nur alles was danach an Funktionen kam, hatte ich so gar nicht auf dem Schirm. :)
Hab auch nach Sekunden direkt an 25x25 gedacht.
@@aatc84 Ich hätte fast schon angefangen einen Kreis mit U = 100m zu rechnen, weil das ja die größtmögliche Fläche ist, deutlich größer als 625m² Das wär dann aber nicht mehr im Kopf gegangen. :) Aber es ging ja ums Rechteck.
@@aatc84 Die max. Fläche Kreis mit 100m Seil hat mich doch mal interessiert. Über 795m². Kann man mal sehen, wie effektiv ein Kreis den Platz ausnutzt.
Liebe Susanne ! Ich finde es super. Peter Habelsberger
Super, freut mich Peter! 🥰
Hallo! Ich finde deine Mathematik Erklärvideos so gut. Wow ich bin erst 13 Jahre alt aber alles das ich anklicke und sie erklären verstehe ich sofort. So nett und sympathisch machen sie weiter so bittee😍😁
Dankeschön, das freut mich riesig! 😍
Ohh, 13 Jahre.... schwierige Phase.... da wird man erst empfänglich für so manche Stimulanzien.
@@maxmiller9297 Was meinst du damit haha...😂
Hi Susanne! Prima Lösung der Aufgabe. Und was ist die größtmögliche "rechtwinklige" Fläche mit dem Umfang U=100m ? LG
In diesem Fall geht es auch ohne viel Rechnung. Man muß dazu nur wissen, daß unter allen Rechtecken das Quadrat dasjenige mit dem günstigsten Verhältnis von Fläche zu Umfang ist, d.h. wir müssen mit dem 100 m langen Seil ein Quadrat abstecken. Da ein Quadrat vier gleichlange Seiten hat, muß die Seitenlänge also 100m : 4 = 25 m betragen, und der Flächeninhalt ist dann 25m * 25 m = 625 m^2.
Dieses Prinzip gilt allgemein, daß eine Figur möglichst gleichmäßige Gestalt haben muß, um bei gegebenem Umfang die Fläche zu maximieren, oder bei gegebener Oberfläche das Volumen zu maximieren. Zum Beispiel ist das Quadrat das optimale Rechteck, der Würfel der optimale Quader, der Kreis das optimale regelmäßige Vieleck (Polygon) und die Kugel das optimale Polyeder bezüglich dieses Fläche-zu-Umfang- bzw. Volumen-zu-Oberfläche-Verhältnisses.
Schwieriger wird es allerdings, wenn bei der obigen Extremwertaufgabe eine der Rechteckseiten aus einer Wand bzw. Mauer besteht und man demzufolge das Seil (oder auch den Zaun) nur für _drei_ statt vier Rechtecksseiten benötigt.
Ist doch immer ein Quadrat...... das muss ich doch nicht rechnen...
Stimmt, ein Quadrat ist auch ein Rechteck 😁👍
mir war nicht klar das ein Quadrat mit gleichem Umfang eine größere Fläche hat als ein Rechteck (ohne 4 gleiche Seitenlängen). Ich dachte auf Anhieb, dass die Fläche doch immer gleich groß sein müsste.
Vor der Aufgabe habe ich noch nie darüber Gedanken gemacht. Jetzt weiß ich das, aber wann ich dieses Wissen brauche weiß ich nicht.
Ja, genau. Die Figur mit der grössten Fläche bei 100m Seil ist ein Kreis. Und mit der Einschränkung, dass es ein Rechteck sein muss, ist es einfach das Rechteck, welches einem Kreis am ähnlichsten ist - also ein Quadrat 🤷🏻♂️
Nehmen wir an du hast einen Weidezaun von 100 m. Willst damit die größte Weidefläche einzäunen. Dann ist es erstmal ein Quadrat... mehr bekommst du mit einem exakten Kreis
Genau
Außerdem ergibt sich dabei eine nach unten geöffnete verschobene Normalparabel mit Nullstellen 0 und 50. Da ist der Scheitelpunkt natürlich 25.
Meine erste Intuition hat sich als richtig herausgestellt - aber das war natürlich "geraten", nicht gerechnet...
Eine elegante Lösung!
Warum muss man das so rechnen? Ist es nicht immer so dass bei gleichem Umfang ein Quadrat immer die größte Fläche ergibt?
Mein Gehirn wehrt sich gerade dagegen zu akzeptieren, dass bei gleichem Umfang unterschiedliche Flächen entstehen können. Leiwandes Video jedenfals!
Toll und ausführlich erklärt(Wie immer), meine Lösung wäre ein wenig anders.
Ich finde es schade, dass du nicht kurz auf die erste Ableitung eingegangen bist und dir davon die Nullstelle als x-Wert genommen hast. In meiner Schulzeit hatte ich oft das Problem mit Lehrern dass es für sie exakt einen Lösungsweg gab und zwar ihren. Die unverdient schlechten Noten waren sehr entmutigend auch wenn meine Aufgaben keine Fehler aufwiesen.
Also ich habe das Seil einfach durch vier geteilt und hatte innerhalb von Sekunden das größtmögliche Quadrat. 24x26 wäre übrigens das größtmögliche Rechteck. Aber Dein mathematischer Weg ist natürlich sehr elegant.
Das einzige, was mich an der Aufgabenstellung verwirrt hatte, war, ob es wirklich ein Reckteck sein soll ( a x a ) oder ob die Lösung ein Quadrat sein kann (a x b). Denn dann ist die Lösung ja ganz einfach. Hätte es wirklich ein Rechteck sein sollen, dann hätte man einfach a+1 x b-1 gerechnet.
Ein Quadrat ist auch ein Rechteck
Man kann so ein Problem auch auf Zylinder übertragen. Wenn man dann aber ein Volumen vorgibt, kann man die Oberfläche minimieren, und das ist der Grund weshalb unsere genormten Konservendosen das Höhe-Breitenformat haben, was sie haben: So verbraucht man bei der Produktion am wenigsten Material bei vorgegebenen Volumen.
Was wohl aus mir geworden wäre wenn ich eine Mathematiklehrerin wie Dich gehabt hätte?
Kannst Du das mal bitte ausrechnen?😂❤
Toll , ich brauch gar keine Mathematik . Die Lösung hat mir mein Unterbewußtsein verraten . Aber im Ernst . Da die Entwicklung von 1x49 zu 25x25 , ich nenne es mal , kontinuierlich ist kann es dazwischen keinen Wert geben der gößer als 25x25 ist . Für mich ist das selbsterklärend .
Danke!
Sehr gerne! 🥰
Ich habe das viel schneller gelöst und bin nicht sicher, ob meine Gedankenkette mathematisch standhält. Meine erste Überlegung war, das bei gleichem Umfang, immer das eine mögliche Quadrat den größten Flächeninhalt haben muss, denn alle anderen Möglichkeiten kommen ja quasi zweimal vor (einmal hochkant und einmal quer). Und wenn ich aus 100m Seil ein Quadrat machen muss, sind das 100m : 4 Seiten = 25m Seitenlänge.
Ja, das Quadrat ist das "Rechteck" mit dem größtmöglichen Flächeninhalt bei gleichem Umfang.
The two dimensional shape with the largest area for a given perimeter is a circle.
Area of a square with a perimeter of 100m is 625㎡.
In this problem when we consider the shape to be a circle, then 100 = 2ℼr, so r = 50/ℼ, and
so ℼr² = ℼ(50/ℼ)² = 2500/ℼ > 625.
In fact, when the perimeter of a square = circumference of a circle, then
The Area of a Circle = (4/ℼ) × The Area of a Square.
İch verstehe die Aufgabe nicht das Seil ist 100 Metet lang. Das Seil verändert sich nicht wie können da verschiedene Flächen Größen ergeben?
a=1, b=98; U=100; F=98 Weia.
Gibt es nicht die Regel in der Geometrie, dass bei Vielecken und in letzter Konsequenz davon auch bei Ellipsen (aber auch im dreidimensionalen Raum) bei gleichbleibendem Umfang (Oberfläche) die Fläche (oder das Volumen) immer dann am größten ist, wenn die Seitenlängen (oder wie auch immer man das Äquivalent dazu bei Ellipsen/Sphären nennt :D) immer gleich lang sind? Also quasi somit bei gleichschenkligen Dreiecken, Quadraten, Pentagons, Kreisen, Würfeln, Kugeln usw? Ist ja in der Natur auch so - z.B. auf Grund von Oberflächenspannung will sich Wasser auf einer oberfläche immer zu einem "Kreis" ausbilden, oder in der Schwerelosigkeit zu einer Kugel - eben weil in diesem Zustand bei gleichbleibendem Volumen die Oberfläche eben am kleinsten ist (=> niedrigste Spannung, stabilster Zustand usw, blabla, irgendwas damit hat es doch zu tun, oder? :D)
Wenn es diese Regel gibt, ist die Antwort unter Anwendung eben jener Regel in 2 Sekunden ausgerechnet. Rechteck = 4 Seiten, 100cm/4=25cm
Oder ist das nur confirmation bias, was sich bei mir breit macht? :D
Und wie groß ist die größtmögliche viereckige Fläche, wenn die Kanten vom Quadrat gebogen sind?
Ist die Lösung für jedes n-Eck immer das gleichseitige?
Gute Frage. Läßt sich nur unter o.B.d.A. einschränkenden Bedingungen analytisch allgemein lösen. Die Antwort ist. Ja, ∀(n≥2 ∧ n∈{N}).
@@namsawam Das hatte ich mir fast gedacht. 🤣
@@quentinlynch Fast? Noch nicht bewiesen?
@@namsawam Das ist nichts anderes als die Quadratur des Kreises. Also je ungenauer dein Pi umso mehr Ecken hat dein Kreis und verliert somit an Fläche
Das Rechteck hat einen Umfang von 2a+2b = 100.
Ich definiere nun: a = 25 + x; b = 25 - x für {x ∈ ℕ₀ | x ≤ 25}
Dann erhalte ich stets ein Rechteck mit dem Umfang 100.
Die Fläche des Rechtecks ist a·b, also (25 + x) · (25 - x) = -x² + 625
Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung sind c_2 = -1 und c_1 = 0.
Weil die Funktion quadratisch und c_2 negativ ist, wissen wird, dass es sich um eine umgekehrte Parabel handelt. Also gibt es nur einen Hochpunkt. Da c_1 = 0 ist, muss dieser Extrempunkt auf der Nullstelle liegen. Daher berechnen wir nun diese Nullstelle.
-x² + 625 = 0
625 = x²
25 = x
Wir können an dieser Stelle bereits aufhören, da wir sehen, dass das Maximum ein Quadrat mit der Kantenlänge von 25 und dem Flächeninhalt 625 ist.
Glückwunsch zu 300.000 Abonennten,ich bin zu blöd das Video zu finden wo das vorkommt...
könnte man stundenlang schauen. Für dich (uns) habe ich einen weitere schöne Aufgabe zu dem Thema.
Du hast eine kreisrunde Weide mit der Fläche (A). Am Rande (Umfang) der Fläche machst du ein Seil fest, an dem an dem anderen Ende eine Ziege befestigt ist. Wie lang muss das Seil sein, damit die Ziege die Hälfte vom Gras (A/2) fressen kann.
Würde mich freuen, wenn du "uns" mal die Lösung zeigst
Wenn ich ein Rechteck mit Umfang 100 habe, wähle ich x so, dass eine Seite die Länge 25 + x hat. Die anliegende Seite muss dann eine Länge von 25 - x haben. Die Fläche (3. Binom) ist dann 25^2 - x^2. Die Fläche ist also am größten, wenn x = 0 ist, also beide Seiten gleichlang sind und eine Länge von 25 haben.
Ich bin ein blutiger Laie, deshalb die Frage, ob folgende Herangehensweise in diesem speziellen Fall auch korrekt wäre:
Den grösstmöglichen Flächeninhalt im Verhältnis zum Umfang hat ein Kreis.
Deshalb muss das gesuchte Rechteck die grösstmögliche Annäherung an einen Kreis bilden.
Ein Quadrat ist unter den Rechtecken die grösstmöglich Annäherung an einen Kreis.
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten, also 100 ÷ 4 = 25.
Oder ist diese Herangehensweise "unmathematisch"?
Zeig uns bei einem Video wie man Scheitelpunktform bildet zum ablesen des Scheitelpunkts, wie man dazu gegebenfalls auf ein vollständiges Quadrat ergänzen muss und wie das das ganze mit Ableiten auch funktioniert
Hallo
Wenn man mit dem Seil einen Kreis formt, kommen doch 796qm raus oder
Habe die erste Ableitung bestimmt und davon die Nullstelle ausgerechnet, gleiches Ergebnis 625 FE, Seitenlänge a=b.
Habe daraus auch geschlossen, dass unter allen Rechtecken die den gleichem Umfang haben, immer das Quadrat den größten Flächeninhalt besitzt.
Ist das damit eigentlich schon bewiesen?
Hallo Susanne.
Daß der grösstmögliche Flächeninhalt das Quadrat hat war klar. Wie verhält sich das Problem aber beim Paket, dessen längste und kürzester Seite zusammen nicht länger als 70cm haben dürfen. ( ZB das S-Paket bei Hermes für 4,95)
Schickes Video mit Deiner sehr angenehmen Stimme und auch optisch bist Du stets eine Freude.
Das war eine interessante Aufgabe mit einer Lösung, die mir so nicht eingefallen wäre. Ich wäre da auf die altbewährte Methode dran gegangen, indem ich die Funktion zweimal abgeleitet hätte. Zu meinen Zeiten hätte ich die Aufgabe in der Mittelstufe nur schwer lösen können, da der Funktionsbegriff und alles, was damit zu tun hat, Stoff der Klasse 11.1 war. 11.2 war dann der Differentialrechnung gewidmet.
Ich habe da noch zwei Aufgaben, die ich Dir vorschlagen möchte, darüber mal Videos zu drehen. Für die erste ist mir aufgefallen, dass es offenbar kein deutschsprachiges Video gibt, das klar und deutlich zeigt, wie man sauber mit verschiedenen Einheiten rechnet. Die Problematik stellt sich besonders, wenn man es mit physikalischen Einheiten zu tun hat, die nicht SI-Einheiten sind und da z.B. angelsächsischen Einheiten verwendet werden. Dieser Umstand wundert mich, da wir in Deutschland jede Menge Ingenieure haben, für die das Rechnen mit Einheiten ihr tägliches Brot ist. Ich stolperte über die Aufgabe, dass Triebwerkshersteller den Schub ihrer Triebwerke in Pfund angeben. Den in Kilonewton zu berechnen ist dann nicht mehr trivial. Den numerisch zu ermitteln, ist das eine, die Einheiten dabei sauber zu ermitteln erwies sich als schwieriger. Aber die Methode bietet sich auch an, wenn man z. B. mit Währungen umgehen muss. Eine andere andere bemerkenswerte Aufgabe stellte sich mir in meinem Abitur 1980 im Mathematik LK: "Beweisen Sie den Zusammenhang zwischen dem Pascal'schen Dreieck und den Binomialkoeffizienten (n über k)." Das wars dann mit den Informationen. Ich muss dazu sagen, dass mein Leistungskurs damals 6 Wochenstunden hatte und ich auch dazu am Samstag zur Schule ging. So lernte ich die vollständige Induktion schon in der 12. Klasse kennen. Aber in der Oberstufe erfuhr ich damals, dass Mathematik Spaß macht und oft gar nicht so schwer ist, wenn es sauber dargestellt und erklärt wird. Das passiert dann leider nicht selten erst an der Hochschule. Dazu kommt dann noch, dass gern von den Lehrern pädagogische Experimente gemacht werden, in denen Kinder mit Aufgaben betreut werden, die sie zwar "rechnen" können, aber da ihnen die Äquivalenzumformung fehlt, bleibt nichts anderes übrig, als dafür ein Gefühl zu entwickeln. DAS IST SCHWER! Und dann wird Rechnen und Mathematik schwer. Du wirkst dem mit Deinen Videos entgegen und erfüllst damit eine wichtige Aufgabe. Dass Du dabei sehr ausführlich vorgehst und vieles erklärst, was für mich selbstverständlich ist, mag mich dann zwar etwas langweilen, aber dafür versteht es dann auch der, der noch die eine oder andere Wissenslücke hat. Vielen Dank dafür!
P.S.: Wegen Deiner habe ich die Partialbruchzerlegung noch mal grundlegender verstanden. Vielen Dank dafür!
Btw.: Der kürzeste Mathematikerwitz? Sei Epsilon < 0! 🤣🤣🤪
"..., dass es offenbar kein deutschsprachiges Video gibt, das klar und deutlich zeigt, wie man sauber mit verschiedenen Einheiten rechnet..."
Das ist etwas, was schon viele hier (v.a. Physiker, ETler& Co. incl. mir) aufgefallen ist, dass Mathematiker nicht mit Einheiten rechnen können. Obwohl in der Angabe Einheiten angegeben sind, wird ohne Einheiten gerechnet und zum Schluss werden dann die gewünschte Einheit hingezaubert, woher die plötzlich kommen, naja Fläche muss wohl m² sein, oder!?
Wenn die Einheiten dann noch verschieden sind, ohjeohje...
Der Witz 😴 ist auch nur dann lustig, wenn man ohne Einheiten rechnet. 🤗
Passend zur Jahreszeit eine weiterführende Aufgabe: wie muss sich eine Schlange (Regenwurm, Blindschleiche ...) zusammen kauern, damit ihre nach außen gerichtete Oberfläche möglichst klein wird (und so vor Auskühlung bei niedrigen Temperaturen schützt)?
Sie sollte versuchen, eine Kugel, die Königin des maximalen Verhältnisses von Volumen zu Oberfläche, zu bilden.
@@Waldlaeufer70 Exakt. Instinktiv machen die Viecher das ja auch. Ein Video, dass dieses maximale Verhältnis V:O angeht, würde ich sehr begrüßen. Get Mathe fit, Magda liebt Mathe oder ObachtMathe wären m.E. die passenden Kanäle dafür, oder?
Ich habe gerade überlegt, wie man für den zweidimensionalen und damit einfacheren Fall zeigen kann, dass der Kreis bei gegebenem Umfang die größte Fläche hat. Vermutlich wäre eine Grenzwertbetrachtung sinnvoll, ausgehend von einem regelmäßigten n-Eck mit n=3,4,5 ..., oder? Dann wäre zu prüfen, ob sich dieses Verfahren auf drei Dimensionen übertragen ließe.
@@unknownidentity2846 Die Polygonstrategie finde ich auch lukrativ (Gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Pentagon ... Oktagon (Stopp-Zeichen 🛑🙂) etc. Dreidimensional geht das freilich auch (Tetraeder, Würfel ...)
Viele Grüße, Eck
Ein Kreis ist ja letztlich nichts anders als ein regelmässiges Polygon mit unendlich vielen Ecken. Die Flächenformel des Kreises fusst ja exakt auf diesem Gedanken.
ehret mir den Vollkreis - mit dem 100m Seil bekommen wir eine Kreisfläche von 795,77m² (was gegenüber dem Quadrat einen Flächenzuwachs von immerhin 27,32% darstellt) ,)
Seien zwei Seiten b, dann sind die beiden anderen Seiten (50-b).
Fläche: f(b) = b (50-b) = -b^2+50b
Maximale Fläche bei f'(b) = - 2b + 50 = 0
b = 25
Oben einsetzen in f(b) = f(25) = 25(50-25) = 625
schon die anfängliche Probiererei hat eigtl. auf die Lösung gezeigt: wenn man x verringert und y vergrößert, wird das Produkt ja offensichtlich erst mal größer.
wir bekommen da sowas wie
35*15 = 525
30*20=600
usw.
wenn nun x=y ist, wird sich das Produkt aber nicht mehr vergrößern, weil wir bei weiteren Änderungen nur die Faktoren tauschen würden und recht bald bei 20*30 und 15*35 usw. landen würden.
Hallo, Diese Art Beispiele sind dem von 99! und 50 hoch 99 sehr verwandt. Genauso wie die Summe der Rechtecke unter einer Kurve und dem Integral!
Grüsse an den Herren Gauss und Newton.
>Die nächstbeste rechteckige Form ist das Quadrat👍👍👍👍, wollte ich auch gerade schreiben, denn ein Rechteck mit 2 sehr langen Seiten hat immer weniger m² wer kann das je vergessen der es mal ordentlich gelernt hat oder mal nur im Kopf überschlägt!
Nehmen wir mal an, man kommt nicht direkt drauf, dass es ein Quadrat sein muss.
Kann man dann nicht schon nach dem umstellen der 2ten Gleichung aufhören?
Denn ich könnte die Gleichung ja auch nach x umstellen und beim einsetzten kommt genau die gleiche Gleichung raus, nur mit y statt x. Und beide sind A.
Also ist x*(50-x)=y*(50-y)
Damit ist auch x=y
Und die Fläche ein Quadrat.
Ich hatte darauf gewartet, dass du für den SvNP einfach zu 5:15 zurückgehst, statt nochmal das x auszuklammern.
Dass es ein Rechteck sein musste, war eigentlich von Anfang an klar und entsprechend konnte man sehr schnell die 25 m Seitenlänge und 625 qm ausrechnen. Die Berechnung über die Ableitung finde ich persönlich eleganter.
Die Scheitelpunktsform -(x-25)^2 +625 ist auch nicht schlecht. Hier kann dann gleich x und die Fläche abgelesen werden 🤗
Ich als ich den Videotitel gelesen habe: ein Kreis! Lese denen Titel nochmal und sehe das ein Rechteck gesucht ist: Na dann das Rechteck das dem Kreis am ähnlichsten ist, ein Quadrat! Bin froh das ich richtig geraten habe.
Kann man auch in Sekunden lösen: Wenn man weiß, daß in einem Kreis die maximale Fläche bei einem bestimmten Umfang auftritt, dann muß das gesuchte Rechteck ein Quadrat sein - also eine Art Kreisbahn aus 4 Punken. Mit 4 gleichlangen Seiten eines Quadrates ergibt sich einfach 100/4 = 25.
Mein Rechenweg war etwas kürzer. Der größte Flächeninhalt eines Rechteck ist immer bei einem Quadrat. Also brauche ich nur a ausrechnen denn a • a = die Fläche vom Quadrat. a = 100 : 4 = 25 und 25 • 25 = 625 einfach und schnell.
Also Pi mal Daumen sind das 625 m^2, also 25m*25m. Das Quadrat hat von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt den niedrigsten Umfang. Umkehrschluss ist, dass es von allen Rechtecken mit gleichem Umfang die größte Fläche hat. Wenn man das weiß, spart man sich die Differentialrechnung.
Ansonsten A=x*(50-x) ---> A=50x-x^2 ---> A'=50-2x ---> A'=0=50-2x ---> 2x=50 ---> x=25
okay, warum so? geht das nicht auch immer nach meine Methode? Länge des Seils durch vier und Ergebnis zum Quadrat, ergo 100 /4 = 25 und 25² = 625, da benötige ich doch keine x und y oder?
Also ohne Rechnen und in Kombination mit Logik und Wissen hat bei gleichem Umlauf ein Quadrat immer die größte Fläche.
In diesem Fall also 100:4=25 ergo 25x25m =652m².
Natürlich nur wenn man akzeptiert das ein Quadrat auch automatisch ein Rechteck ist.
Interessanter wäre die Aufgabe, wie groß die größtmögliche Fläche eines Rechteckes wäre, das KEIN Quadrat ist? Wenn das denn ohne Nachkommabegrenzung überhaupt möglich wäre?
Ich dachte auch sofort an 25*25. Aber dennoch hatte ich später beim schauen einen anderen Ansatz: ist doch egal wie lang die Seiten sind. Der Umfang ist ja immer der selbe. Er schließt die selbe Fläche ein. Eben Mal etwas in die Breite oder in die Höhe. Aber warum ist dem nicht so? Wo ist mein Denkfehler?
Ist das ein Bandshirt? :)
'Also wissentlich, dass das Quadrat die größtmögliche Fläche bietet, hätte ich einfach aus dem Blick, dass 100:4= 25 das Ergebnis (25X25) erkannt. Was brauch ich da das Herumgerechne ?
Ehmm, du hast da nur einen Fehler drin, die rede ist zu anfang vom rechteck, nicht vom quadrat. Ich hab jetzt nicht uafm Schirm welches seitenverhältnis herrschen muss um als rechteck zu gelten, 1:2 oder 1:1,5??