3:50 ne suffit il pas d'isoler un contre-exemple simple pour cette proposition ? En profitant du fait que b appartient à R, on pose : a = 1 et b = -1, la propriété ne pourra jamais être vérifiée pour n'importe quelle valeur de n dans N*.
Je ne sais pas si j'ai mal appréhendé la démonstration mais ne manquerait-il pas la partie où l'on prouve l'infinité de l'existence de rationnels dans tout intervalle ouvert non vide de R pour conclure que Q est donc dense dans R ?
Autant cette propriété est immédiate, autant j'ai beaucoup plus de mal à accepter le fait que, comme l'affirme Gourdon, R\Q est dense. Vous pourriez m'expliquer pourquoi c'est le cas svp?
On peut considérer un intervalle ]a,b[ ouvert de R. Il existe un rationnel r appartenant à l'intervalle ]a-sqrt(2), b-sqrt(2)[ puisque Q est dense dans R. Comme a-sqrt(2) < r < b-sqrt(2), on en déduit que a < r+sqrt(2) < b et donc que (r+sqrt(2))∈]a,b[. Il existe donc un irrationnel (puisque r+sqrt(2) est irrationnel, on peut le démontrer par l'absurde) appartenant à ]a,b[. On en déduit que de tout intervalle ouvert ]a,b[ de R ; R\Q∩]a,b[≠∅. Ainsi R\Q est dense dans R.
2:50 j'ai pas encore vu le corriger mais ca ressemble à une partie de la preuve de division euclidienne(j'aurai du y penser). Sinon je pense qu'on aurait pu poser(dans l'inégalité du raisonnement par l'absurde): n=1+Ent(b/a) et du coup on a: 1+Ent(b/a)=
![[EM#15] Caractérisation séquentielle de la densité (Démonstration)](/img/n.gif)
merci bcq monsieur, vous m'aidez bcq graçe à toi Addam va aller au l'enfer. Avec Addam est mon prof en analyse. 😋🖤
واخييييرا برهان مقنع
شكرااا
3:50 ne suffit il pas d'isoler un contre-exemple simple pour cette proposition ? En profitant du fait que b appartient à R, on pose : a = 1 et b = -1, la propriété ne pourra jamais être vérifiée pour n'importe quelle valeur de n dans N*.
Je ne sais pas si j'ai mal appréhendé la démonstration mais ne manquerait-il pas la partie où l'on prouve l'infinité de l'existence de rationnels dans tout intervalle ouvert non vide de R pour conclure que Q est donc dense dans R ?
Bonjour et en prenant n = Ent(abs(b/a)) +1 cela convenait-il ? C'est plus simple à prouver
Ça ne vérifie pas nécessairement les conditions malheureusement.
@@MethodeMaths pouvez-vous me dire ce qui ne va pas ?
@@vladtepes1753 Non en effet ça marche :)
@@MethodeMaths J'en suis ravi !
👍
c=p+1/n
Et p c'est quoi exactement ?
Là on connaît seulement x et y
c ne devrait pas être fonction de x et y connus?🤔
mais en disant A est majore donc n est majore par b/a donc l'ensemble N est majore ce qui faut non ?
J'aurai dit ça aussi a la base
wheres my usthb gang😂
Autant cette propriété est immédiate, autant j'ai beaucoup plus de mal à accepter le fait que, comme l'affirme Gourdon, R\Q est dense. Vous pourriez m'expliquer pourquoi c'est le cas svp?
Je ferai une vidéo dessus bientôt.
On peut considérer un intervalle ]a,b[ ouvert de R. Il existe un rationnel r appartenant à l'intervalle ]a-sqrt(2), b-sqrt(2)[ puisque Q est dense dans R.
Comme a-sqrt(2) < r < b-sqrt(2), on en déduit que a < r+sqrt(2) < b et donc que (r+sqrt(2))∈]a,b[.
Il existe donc un irrationnel (puisque r+sqrt(2) est irrationnel, on peut le démontrer par l'absurde) appartenant à ]a,b[.
On en déduit que de tout intervalle ouvert ]a,b[ de R ; R\Q∩]a,b[≠∅. Ainsi R\Q est dense dans R.
2:50 j'ai pas encore vu le corriger mais ca ressemble à une partie de la preuve de division euclidienne(j'aurai du y penser).
Sinon je pense qu'on aurait pu poser(dans l'inégalité du raisonnement par l'absurde):
n=1+Ent(b/a) et du coup on a:
1+Ent(b/a)=
Ah non c'est bon car Ent(0.999..)=0 et pas 1...
ya rien qui nous prouve que le a est positive
C'est moi qui pose que la a est positif.
Et comment on aurait pu deviner la 2ème partie?
Tu dois voir les conditions que p doit satisfaire mais je pense que ça vient avec l'expérience.