괴델의 불완전성 정리가 이해 안가시는 분들께.. 괴델의 불완전성 정리는 전에 러셀의 집합의 역설에서 보여줬던 것처럼, "수론을 포함하는 모든 공리 체계(시스템)에 대해서" 집합론에서 러셀이 보여준 역설처럼 자기지시의 모순의 역설에 빠진 다는것입니다. 러셀의 역설에서 집합론을 빼고 수학을 집어넣으면 대강 이해 하실수 있을 것입니다. 러셀의 역설은 집합론에서 ZFC 공리계로 대체되면서 발전하였습니다만 (영상에서 말한것처럼 쉽게 극복된 것이 절대 아닙니다.. 그렇게 쉽게 논박되는 것이었으면 러셀의 역설이 아마 유명하지도 않았을 겁니다.) 문제는 수학적 공리체계는 집합론과 달리 그런 유형의 변형이 불가능 하기 때문입니다. 그러나 이것을 바탕으로 괴델이 인간의 지적능력의 한계를 보여줬다거나, 인간은 유한하며 신이 있다는 종교적 결론에 도달하시면 안됩니다. 그건 논리적 비약이고, 괴델의 이론은 형식주의에 대한 공박입니다. 여담으로 괴델 본인은 푸앙 카레와 같은 직관주의자 였습니다. 수학적 증명은 형식적 체계 내에서만 이루어지는게 아니라 인간의 직관이 들어간 작업이라는 것이지요. 영상에서는 몇가지 과장이 있습니다. 1. 엘런 튜링 떄문에 2차 세계 대전이 2~4년 정도 단축되었다는 말은 과장입니다. 2. 괴델이 음독살인을 이유로 굶어죽은 것은 맞지만, 그가 모든 생활을 그 부인에게 의존하였고, 부인이 죽고 본인이 늙어서 치매가 걸려 음식 먹기를 거부하였기 떄문입니다. 수학 공부하다가 뭐 미쳐서 죽은게 아닙니다. 3. 영상에서 러셀의 역설은 쉽게 해결되었다고 하지만 쉽게 해결 되지 않았습니다. 4. 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트의 형식주의에 대한 공박이지 인간 지식의 한계에 대한 이야기가 아닙니다. 5. "증명 불가능한 수학적 명제가 있다"라는 말에 동의할 수는 있겠지만 여기서 "증명"이라는 말은 형식주의자들의 "증명"입니다. 이를 과장해서 우리가 절대 알 수 없는 진리가 있다고 결론 내리면 안됩니다. 6. 튜링머신이 컴퓨터 발전에 지대한 영향을 끼친것은 맞지만 튜링머신만이 영향을 끼친것은 아닙니다. 7. 수론을 포함하는 공리체계는 불완전 하지만, 완전한 공리쳬계도 여럿 존재합니다. 예컨대 여러분이 대학에서 배우는 1차 양화논리는 완전합니다. (이를 또 인간 지식의 한계가 있고 이것이 신의 의지다 그런식으로 과장하시면 안됩니다.) 8. 여러분이 접하시는 거의 모든 프로그램의 컴퓨터언어들이 튜링완전하게 잘 설계해놨어요. 안심하십시오. 저게 수론을 포함하면 문제가 생겨서 수학자들이 미치는거지 논리학 컴퓨터공학자들은 괜찮습니다.
정말 좋은 댓글이네요. 저도 얼마전에 괴델의 불완전성 정리를 다룬 책을 읽으면서 비슷한 요지의 글을 보았습니다. 불완전성 정리의 결과를 사용하여 수학적인 이야기를 하고 싶으면 대상을 수학으로 제한해서 이야기 해야 한다고요. 불완전성 정리에서 영감을 받아 철학적 논의를 펼칠 수는 있겠지만 그러한 논의에서 불완전성 정리는 결코 근거로 사용 되지는 못합니다. 불완전성 정리는 어디까지나 수학에 관한 얘기니까요.
본래 괴델의 불완전성 정리가 1차 술어논리 체계에서 증명된 겁니다. 따라서 1차 술어논리가 만약 불완전하면 그 체계에서 증명된 불완전성 정리도 불완전한 것이 아니겠어요? 따라서 괴델이 맨먼저 한 작업이 1차 술어논리의 완전성 증명이었습니다. 이것을 성공적으로 수행하여 이 1차 술어논리체계에서 불완전성 정리를 도출한 것이지요. 따라서 모든 공리체계는 불완전한 것이라는 식으로 도약해서는 안 됩니다.
07:24 학문은 이성적일 것 같지만 의외로 권위주의적이고 상당히 꼰대같은 기질이 있기도 하죠 뭔가 이상한 것 같은데 논리적으로 모순이 발견되지 않는 이론이 새로 나왔을 때 기존의 대가라고 불리는 학자들이 반증을 보이거나 논리적으로 타파하지 못 하고 권위로 누르려고 한다면 그 당시의 패러다임에는 뭔가 모순이 있음을 말하고 패러다임의 혁신이 도래했음 보여주는 신호탄이 되기도 합니다. 물리학계에서는 아인슈타인과 양자역학이 대표적인 사례입니다.
와... 후반부로 갈수록 소름이 쫙 돋습니다. 아주 어렵고, 어렵기 때문에 진리에 다가가고자 했던 수학자들의 천재적인 노력도 알 수 있었네요. 1+1=2가 아주 복잡한 사실을 거쳐 증명된 것처럼 학생들이 학교에서 배우는 기초적인 수학이론들도 어떤 수학자의 오랜 고뇌에서 비롯되었을텐데 이를 단순 암기로만 학습하게 된다는 게 괜히 안타까워집니다..
미성년자 교육은 사고의 확장을 목표로 해야 하는데 그냥 유사 자폐아 만드는 교육 방식이 문제라는거지, 암기도 뭐 의미를 알아야 효용이 있지 중학생 때부터 학대 수준으로 주입시키고 이게 수학이라 말하면 순종적인 성향의 애들을 제외한 나머지는 평생 수학은 거들떠도 안보는 사람으로 자라겠지. 당연히 국가 경쟁력도 떨어지고.
영상 내용 비판: 1번: th-cam.com/video/oippSXvxUlw/w-d-xo.htmlsi=rcrcFmbZq5Lyz8m0 9분 36초, 25분19초 저 1번 영상은 설명이 이상하다. (물론, 내 생각은 틀릴 수도 있다. ) 영상에는 구체적으로 나와 있는데, 말을 대충 한다. 그리고, 중간에 틀린 말도 한다. 1번 영상 26분 9초부터 보자. "h+는 자기 자신이 스스로 멈출지 안 멈출지 판단해야 합니다. " "만약에 h+가 자기 스스로가 멈춘다고 판단하면" "그 속에 들어 있는 h가 '멈춤'을 내보낼 것이고 무한히 반복하게 될 것입니다. "(A) 여기까지는 설명이 좋았다. (하나 아쉬운 점은 영상에는 h+ 기계가 두 개가 있다. 그 두 개가 각각 다르게 작동하는 이유를 알려주면 좋았을 것이다. 영상에는 그 이유를 알려주지 않는다. ) 이 다음 말이 문제다. "반대로 멈추지 않는다고 판단하면 어떻게 될까요?" "그 속에 들어있는 h가 '멈춤'을 내보낼 것이고, 무한히 반복하게 될 것입니다. "(B) 여기서 이 문장이 틀렸다. 이 문장은 "그 속에 들어있는 h가 '안 멈춤'을 내보낼 것이고, 멈춤을 내보낼 것 입니다. " 가 맞는 문장이다. "그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보낼 것이고, 무한히 반복하게 될 것입니다. "이라는 문장이 두 번 반복된 것이 틀렸다는 것이다. A 문장과 B 문장이 같다는 것이 틀렸다는 것이다. 내 생각이 틀린건가?
25:49 약간의 번역 오류가 있는 것 같습니다. 원문은 "We can call this entire new machine h+ and we can export the program for that entire machine" 으로, h+는 '기계의 멈춤을 판단하는 기계'가 아니라 "h에서 멈춤이라고 판단하면 무한히 작동하고 안 멈춤을 입력받으면 즉시 멈추는 기계"를 말합니다. 이때 h+ 또한 튜링 머신이므로, 모든 튜링 머신의 멈춤을 판단할 수 있는 h는 h+의 멈춤을 판단할 수 있습니다. h+의 프로그램과 인풋 데이터를 h+ 자기 자신에게 넣는다고 해봅시다. 만약 h가 h+는 멈출 것이라고 예측한다면, h는 멈춤을 내보낼 것이고, 따라서 h+는 무한히 작동합니다(모순). 만약 h가 h+는 무한히 작동할 것이라고 예측한다면, h는 안 멈춤을 내보낼 것이고, 따라서 h는 즉시 멈추게 됩니다(모순). 따라서 모든 튜링 머신의 멈춤을 판단할 수 있는 h는 존재할 수 없게 됩니다.
튜링 머신 부분이 이해가 안 되네요... h라는 기계는 멈출 지 안 멈출 지 알려주고 h+라는 기계는 멈춤을 입력으로 받으면 무한히 반복하고 안 멈춤을 입력으로 받으면 멈춘다는데 26:05부터의 설명에서 1. h+가 자기 스스로 멈춘다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한이 반복됨 2. h+가 자기 스스로 멈추지 않는다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한히 반복됨 왜 h는 h+가 어떤 판단을 하던지 항상 멈춤을 내보내고 무한히 반복되는거죠?
정지 문제에서 h기계는 프로그램과 입력을 받아 정지하냐 정지하지 않냐 판별하는데 h+는 이 결과를 받아 반전시키는 기능을 하죠. 따라서 h기계가 h+를 입력으로 받아 정지한다고 판별하면, 실제 h+기계는 무한루프를 돌게 될 것이고 h기계가 h+를 입력으로 받아 정지하지 않는다고 판별하면, 실제 h+기계는 정지하게 되겠죠 분명 전제에서는 h가 정지 여부를 판별할 수 있다고 했는데 실제 기계의 실행 결과와 모순되는 출력을 했기 때문에 전제가 깨지고 h기계는 존재할 수 없다는 결론이 되는것입니다 영상에서도 구름속(h가 판별한) h+가 무한반복 하느냐, 실제 h+가 무한반복 하느냐로 설명하고 있습니다.
@@kimryuns 결과적으로 h+ 가 멈추었다 해봅시다. 그럼 h+를 입력으로 받은 h는 멈출것이라는 결과를 생성해야 하는데, 이걸 그 h 가 쓰인 h+는 안 멈추어야 하죠. 처음의 결과와 나중의 결과가 다르죠? 이상하죠. 여기서 한가지 이야기 안한 부분은, 수학적으로 튜링 머신 여러개를 기본적인 논리로 연결한 기계는 하나의 튜링머신만으로도 같은 계산을 하는 기계로 만들수 있단 점입니다. 수학적으로 튜링머신 여러개를 연결시킨게 그 3개를 이어붙힌 프로그램을 먹인 튜링머신 하나와 같다는게 증명되었죠
9:37 이발사의 역설: "마을의 모든 남자는 면도를 해야 하며 면도사는 혼자서 면도를 하지 않는 사람만 면도사가 될 수 있다" 는 정확한 번역이 아닌 것 같네요. 원 영상에서는 "The village barber must shave 'all' and only those man in the village who do not shave themselves" 라고 표현하는데, 마을에 사는 면도사가 스스로 면도하지 않는 "모든" 남자를 면도해야 한다는 부분에서 모순이 생기는데 이 부분이 제대로 반영되면 좋겠습니다. 18:30 "이 공리는 x 대신 0을 넣어 1과 0은 같지 않다는가장 간단한 증명을 통해서 증명할 수 있습니다" 번역이 마치 공리를 증명한다는 말처럼 들리네요. "이 공리를 이용해서, x 자리에 0을 넣으면, 1 과 0은 같지 않다라는 명제가 나오고, 따라서 "1 과 0은 같지 않다" 라는 명제의 (제가 생각할 수 있는 가장 간단한) 증명이 완성됩니다" 정도로 바뀌는게 좋을 것 같네요.
조금 더 첨언하자면, 이발사가 가진 규칙에 초점을 맞추면 좋겠다고 해석할 수 있겠네요. 스스로 면도하지 않는 “모든” 남자는 면도해야 한다는 규칙도 중요하지만, 배중률에 따라 생겨나는 스스로 면도하는 남자는 면도를 하지 “않는다”는 규칙도 중요합니다. 영상에서도 상상하는 장면을 자세히 보면 영상 속의 두 사람이 모두 자신이어서, 자신이 두 명이 되어 자신을 면도해야 모순이 해결되는건가? 라는 엉뚱한 유머를 확인할 수 있습니다. 즉 이발사가 만약 스스로 면도한다면 규칙에 따라 자신을 면도해서는 안되고, 스스로 면도하지 않는다면 규칙에 따라 자신을 면도해야 하기에 역설이 발생하는 것입니다. 여담이지만, 다른 면도사가 있다면, 두 면도사가 마을의 스스로 면도하지 않는 모든 남자를 면도한다는 조건이 아예 성립되지 않겠죠. 물론 두 사람이 양 쪽에서 절반씩 동시에 면도해주는 것이 아니라면 말이죠. 자연스럽게 마을에 사는 이발사는 아주 수염이 긴 단 한 명밖에는 될 수 없을겁니다. 아마도 이 부분이 영상에서는 설명되지 않아, 조금 갸우뚱하게 되지 않았나 싶습니다. 실제로도 영상의 조건이라면 다른 면도사가 면도를 해준다면 간단히 해결되네요! 그나저나 이 긴 영상을 번역하고 직접 녹음하신다니.. 덕분에 영상을 보기가 정말 편하고 좋았습니다. 노고에 감사드립니다 :)
스스로 수염을 깍지 않는 사람들은 이발사가 깍아줘야한다. -> 그럼 이발사는 누가 깎아주는가? -> 이발사는 스스로 수염을 깍을 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단들만 이발사가 깎아줘야하는데, 스스로 수염을 깍는 집단에 이발사가 속하게 되어 스스로 수염을 깍는 사람을 이발사가 깍게 됩니다. 만약 이발사가 스스로 수염을 깍지 않는 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단에 속하게 되어, 이발사가 스스로 깎아야 하는 모순에 빠지게 됩니다. 바로 자기자신의 역설이 생긴다고 배웠습니다. 영상보면서 저도 뭔가 그럼 다른 이발사한테 면도를 맡기면 전혀 모순이 되지 않는데??? 하고 이상한 찰나에 댓글을 통해서 확인해보려고 했는데 다행이 문제제기 하신 분이 계셨네요.
• 제 2 불완전성 정리 공리끼리 서로 모순이 없다는 건 증명 가능한 것인가, 아니면 증명할 필요가 없는 것인가? 공리는 참으로 가정하는 것이므로 서로 모순이 있다는 건, 하나의 공리가 참일 때 다른 하나는 거짓이라는 것이고 공리가 모두 참이라는 가정에 모순이다. 따라서 공리끼리는 서로 모순이 없다. 이상적인 수학의 세계에서는 그렇고, 현실적인 과학적 세계에서의 문제는 공리를 잘못 설정할 수도 있지 않냐는 것인데 공리끼리 모순이 있는 경우엔 모순을 만드는 하나의 공리를 제거함으로써 모순이 생기는 것을 피할 수 있다. • 제 1 불완전성 정리 (이 괄호 안의 진술은 증명할 수 없다.) 이 문장은 참일 수도 없고 거짓일 수도 없는 문장이라서 명제가 아니다. 또한 역설로 여겨지는 수학의 다른 문장들도 명제가 아니다.
괴델수 g가 도출되는 과정이 가장 중요할 것 같은데...이건 따로 찾아보고 그리고 튜링머신에서 h랑 h+가 러셀의 역설이랑 똑같은 문제를 겪긴 하지만, 이건 함수랑 그 함수에 대한 메타함수를 구분하면 해결되는 문제임. 이때 h+를 h+(x)라고 하면, h+함수에 h+ 함수를 넣은 것은 h+(h+(×))가 되는 것이고, h+(×)=/=h+(h+(×))이기에 둘의 결과값이 달라도 됨. 따라서 일단 러셀의 역설은 풀림.(비트겐슈타인의 풀이) 문제는 h+가 자기모순을 겪는다고 해서, h+가 존재할 수 없다고 결론지을수가 없다는 것임. 튜링기계에서는 아직 증명되지 않은 h+를 어떻게든 있을 것이라고 전제하고, 그 전제가 러셀의 역설에 도달하는 결론에 도달하자, 전제를 틀린걸로 간주함. 그러나 h+(x)가 러셀의 역설을 벗어나는 방법이 있으므로, 전제는 아직 증명 불가능한 상태로 남을 뿐임. 결과적으로 h랑 h+가 모순 없이 존재할 가능성이 있음. 따라서 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 '수' 없을 '지도' 모른다"는 참임.(영상에 나오는 아저씨도 정확히 이리 말함) 그러나 이게 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 수 없다"는 말은 아님. 전자 후자는 완전히 다름. 전자는 희망이 있는 거고, 후자는 필연적으로 회의론을 야기한다는 점에서 불완정성 정리나 입자 파동 이중성 같은 문제랑 같은 층위에 있게 됨... 결론: 수학에 모순 항상 있는 건 맞지만 쌍둥이소수 추측 풀 수 있는지 없는지는 아직 모르는거다. 30:00 그건 그렇고 인생게임으로 진행되는 인생게임은 그냥 미쳤다...
약간 오해가 있으신 듯 합니다. h+(×)=/=h+(h+(×))인지의 여부는 해당 논리에서 중요하지 않습니다. (사실 본 영상이 괴델의 논의나 튜링 머신에 대해서 다분히 의도적으로 대충 넘어가는 것 같긴 합니다.) 자기 자신에 대하여 언급하는 방식을, 러셀처럼 직접 언급하는게 아니라 직접 언급하는 것처럼 보이지 않는데 간접적으로는 언급하는 것과 마찬가지가 되도록 하는 방법을 통해, 자신의 체계 안에 온전히 집어넣는 것이 괴델의 아이디어의 본질입니다. 괴델 수를 이용해서 모든 명제가 그저 하나씩의 자연수로 인식되었던 것처럼 튜링머신에서 모든 머신은 그저 수의 나열(=input)이라는 대등한 존재로 인식됩니다. 자연수 끼리 무슨 메타 자연수 이런게 없는것처럼, 모든 튜링 머신은 그저 하나씩의 수의 나열에 불과하기 때문에 메타머신이니 뭐니 할게 없습니다. 아래 영상 또한 머신의 청사진이라는 비유를 쓰고 있기에 여전히 나이브하긴 합니다만, 본 영상보다는 원래 튜링의 논증에 훨씬 가깝기에 참조하시면 좋을 듯 합니다. th-cam.com/video/92WHN-pAFCs/w-d-xo.html
@@삐리롱-k9c 그렇다면 괴델의 불완정성 정리는 '비자기술어적'이라는 표현이 자기술어적일수도, 비자기술어적일 수도 없는 상황(이 경우는 '비자기술어적'이라는 단어를 '비자기술어적인 단어들의 집합'에 넣을지, '자기술어적인 단어들의 집합'에 넣을지 결정할 수 없는 문제라는 점에서 단어의 속성에 대한 메타판단을 하는 상황이라고 생각했습니다-이것도 틀릴 수 있으니 지적은 환영합니다) 과는 유사하지만, 메타판단이라는 표현을 사용할 필요는 없는 경우라고 말할 수 있는 것인가요? 링크 남겨주신 영상 잘 시청했습니다
그동안 유튜브에서 본 영상들 가운데 기억나는 것 중에서는 가장 무거운 한 방인 것 같습니다. 보는 도중에 괴델 넘버는 잘 이해되지 않아서 몇 번이나 멈추고 돌려보기까지 했지만, 뭔가 굉장히 잘 만든 영상을 굉장히 주의깊게 봐도 다 이해하지 못 했다는 걸 느끼면서 동시에 이게 얼마나 중요하고 묵직한 사실의 나열일까.. 생각하며 정주행했네요. 다시 보도록 하겠습니다.
맞아요, 자연수도 끝이 없죠. 그리고 저도 대각선 논법이 잘 이해되지 않네요. 영상에서처럼 소숫점 아래 랜덤한 숫자로 모든 자연수와 1대1대응을 시켜서 목록을 만들고 대각선 논법을 쓰더라도 이 논법의 결과값인 모든 소숫점 자릿수와 무한히 일치하는 숫자가 하나는 분명히 이미 있을 겁니다. 목록은 무한히 많으니까요. 목록의 자연수가 모자라다는 건 자연수가 무한하지 않다는 뜻이 되는거고 무한히 많은 자연수보다 더 많은 수가 있다? 또는 무한히 더 많다?는 이해되지 않네요.
예전에 괴델의 불완전성 정리에 관한 책을 읽은 적이 있는데 증명 내용은 이해할 수 없었지만 수학이 불완전하다는 내용을 읽고 충격을 받았던 걸로 기억합니다. 지금 생각해보면 쌍둥이 소수, 콜라츠 추측과 같은 난제들만 봐도 어떠한 명제는 참일지라도 증명이 불가능할 수도 있겠구나 싶네요. 수학이라는 학문이 깊게 파고 들어가면 매우 심오하고 복잡한 학문이다 보니 이렇게 요약해서 보는 것만으로도 벅찬데 이걸 직접 하는 수학자들은 미칠 수 밖에 없겠구나 라는 생각이 듭니다.
1:33 살아있는 칸이 두 개 이하거나 네 개 이상이면 죽는다고 하셨는데, 살아있는 칸 기준으로 인접한 네모 8칸 중 2칸 또는 3칸이면 살아있을 수 있습니다. 즉, 인접한 살아있는 칸이 1칸 이하거나 4칸 이상이면 죽고, 기존에 죽어있던 칸은 근처에 살아있는 칸이 정확히 3칸이면 살아난다가 맞는것 같습니다.
이러한 논의의 전체는 아니지만 일부분은 우리 교육과정 상에도 충분히 녹아 있습니다. 물론 심플하게 한 문장 또는 한 챕터로 설명되어 있지는 않지만요. 긴 흐름을 통해서 보면 우리 교육과정 내에서도 위 영상에서 나온 논의의 일부를 얼마든지 발견할 수 있습니다. 중학교 2학년 때 순환소수에 대해 배우는데 왜 순환소수를 알아야 하는지에 대해 고민해보세요. 고등학교 3학년이 될 때까지 배우는 전체 수학 내용을 살펴보면 순환소수를 그 시점에 왜 배워야만 했는지 의문이 들 수도 있습니다. 일견 쓸모 없어 보이니까요. 순환소수를 안 배워도 상관 없지 않나 하는 생각이 들 수도 있습니다. 그런데 위 영상의 논의를 생각해보면 순환소수 내용은 교육과정 상에서 빠질 수 있는 내용이 절대 아닙니다. 한 번 곰곰이 생각해보세요!
18:41 여기서 자막이 잘못된 것 같은데, "이 공리(어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다)에 x 대신 0을 넣어 '1은 0과 같지 않다'라는 명제를 만들 수 있고, 이 공리는 이렇게 만들어진 명제에 대한 가장 간단한 증명이 됩니다."라고 되어야 맞지 않을까요? "어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다"라는 공리를 통해서 "0의 다음 수는(즉, 1은) 0과 같지 않다"라는 명제를 증명할 수 있다는 내용으로 받아들이는 게 맞을 것 같네요 공리는 '너무 자명해서 증명 없이 사실로 받아들이는 명제'이므로 공리를 증명한다는 말은 있을 수 없습니다.
@@user-mx2vi7xx3u 저는 대학교 때 수학과 과목 듣다 보니 공부하게 됐는데.. 학교에서 틀어줬다니 좋은 학교 다니시네요~ 만약에 거울이 없지만 사람들이 대신 천리안을 가졌다고 해봅시다. 그럼에도 불구하고 죽을 때까지 볼 수 없는 한가지가 있다면 무엇일까요? 바로 자신의 눈이겠죠. 거울과 같이 수학의 옳고 그름을 증명할 수학을 우리는 갖고 있지 않고, 그것을 만든다 해도 그걸 증명할 다른 수학이 필요합니다. 라는 것에 익숙해지면 내용을 이해하는데 좀 더 도움이 될 것입니다.
여기서 핵심은 이 표에서 아무 실수나 선택해도 그에 대응하는 자연수는 존재하지만, 모든 자연수를 선택한다고 하더라도 그에 대응하지 않는 실수가 존재한다는 것입니다. 위치가 바뀌면 바뀐대로 대각선논법을 사용해서 모든 자연수중 어느것과도 대응하지 않는 새로운 실수를 여전히 만들어낼 수 있습니다.
@@데비-마를렌 무한은 끝이 없는데 새로운 실수를 만들어낸다면 그건 일단 무한을 세는것을 멈춘 뒤에야 만들 수 있는것 아닌가요? 대각선 논법에 따라서 새로운 실수를 만들었다고 쳐도 그 상태에서 새로 무한을 세기 시작한다면 그 수는 끝이 없으니 새로 만들어낸 실수가 후에 나올 수와 다를거라는 보장은 못하는거 아닌가요?
@@bjmin328 대각선논법으로 만들어지는 실수를 R이라고 할때, R은 자연수 1과 대응하는 실수와 소수점 1번째 자리가 다르고, 자연수 10과 대응하는 실수와 소수점 10번째 자리가 다르고... 계속해서 반드시 어떤 자연수 n과 대응하는 실수와 소수점 n번째 자리가 다릅니다. n은 모든 자연수가 될수 있기 때문에 무한하며 이는 R 또한 무한한 길이를 가진다는 것을 의미합니다. R을 지정하는 자연수가 존재할수 없는 이유는 간단합니다. 만약 자연수 100이 R을 지정하도록 하기 위해 100이 지정하는 실수의 나머자 숫자를 전부 R과 같이 하더라도 결국 소수점 100번째 자리가 R과 다릅니다. 만약 자연수 1000이 R을 지정하도록 하기 위해 1000이 지정하는 실수의 나머자 숫자를 전부 R과 같이 하더라도 결국 소수점 1000번째 자리가 R과 다릅니다. 10000은 소수점10000번째 자리가 다르고, 100000은 소수점100000번째 자리가 다르고... 결국 모든 자연수 중 R을 지정할 수 있는 자연수는 없습니다. 즉, R은 이후에 나올 모든 실수와 반드시 다릅니다. //여기에 말을 좀 더 하자면 R을 만드는 방법에 대한 것으로, 이 영상에서는 자연수 n과 대응하는 실수의 소수점 n번째 자리에 +1 (9는 넘지 않도록)을 하는식으로 R을 만들었지만 +2, +3을 해서 R을 만들수도 있습니다(원래 숫자랑 달라지는 규칙은 무엇이든 된다). 또, 자연수 n과 대응하는 실수의 소수점 n+1번째 자리를 다르게 할 수도 있고 n+2, n+3, n+100번째 자리를 다르게 할수도 있습니다. 즉, R을 만드는 방법 또한 무한합니다. 이미 모든 자연수가 실수를 하나씩 지정하고 있는데도 불구하고 지정할 수 없는 실수 R이 무한히 존재합니다.이러한 차이로 0~1사이의 모든 실수의 크기가 모든 자연수의 크기보다 크고, 같은 무한이더라도 크기가 다를 수 있는 것입니다.
@@데비-마를렌 그러면 결국에 끝나지 않을 계산을 끝났다고 가정하고 새로운 수를 만드는거네요? 무한에 끝이 있다면 모를까 어느 시점에서 R을 만들든 앞으로 계속해서 대응시킬 수가 무한히 존재한다는 점에서 솔직히 말장난처럼 느껴지네요. 발상 자체는 참신하고 천재적이나 이걸 어디다 써먹는지도 잘 모르겠고... 수학을 깊게 파고드는 사람이 아닌지라 이해는 안갑니다. 철학자들이 역설을 만들어내는것과 비슷하려나요
@@bjmin328 1.41……를 루트2로 정의하듯이 저기의 모든 실수를a라고 정의한다면 딱히 말장난은 아니지않나요? 기하적인 측면에서 루트2를 하나의 점으로 표시할 수 있듯이 우리가 평소 상상하는 체계는 아닐테지만 아까 정의한 a또한 아마 기하 적으로 점하나로 표시할 수 있는 체계를 만들어 낼수 있을거니… 허수를 좌표평면 하나의 점으로 찍을수는 없지만 복소평면에서는 가능하잖아요. 일단 이런 기하적인 측면은 제가 당장 그런 기하 체계를 만들어 낼수 있을꺼 같진 않아서 일단 제체두고, 그러한 논리면 루트2또한 무한소수이기때문에 계산이 끝나지 않으니 루트2또한 말장난처럼 되는거 아닐까요?
이 영상을 보고 수학이 희망같은 거라는 생각이 드네유.. 보통 무엇이 무언가를 희망하지만 잘 이루어지지 않쥬. 모든 희망이 이루어지지는 않는다고 말하면 공감하실지 모르겠네유... 수학이 완벽하기를 바라고, 수학이 아주 완벽해보이지만, 희망처럼 모든 수학이 증명되는것은 아닌것이쥬.. 수학이 완벽하다면, 인간이 과연 망각의 동물이 됐을까유? 완벽한 수학이 적용되기위해서는 필요한 모든 입력을 계속 기억해 나갈 수 있어야하지 않을까유? 눈 앞에 놓인 문제의 원인이 될 수 있는 모든 정보를 뚜렷하게 기억할수 있어야하지 않을까유? 그런데 실제로는 어떤 기억들의 경우 올바른 결정이나 선택을 방해하기도 하지유... 그러므로 많고 다양한 경험에서 어떤 발전을 기대하고 싶다면 오히려 더 적게 기억하는것이 좋을지도 모르겠네유... 많고 다양한 경험들까지도 말이쥬... 저는....사람이 망각의 동물이라는 점에서 수학이 불완전하다는 것을 공감할수 있는것 같네유.
괴델의 불완전성 증명부터 현대의 스마트폰에 이르기 까지. 수학이라는 학문이 명제에 대한 증명 이라고 생각하니 프로그래밍은 그 과정에 대한 서술이라고 생각되내요. 그리고 마지막 결정 불가능하다는 결론은 모든 프로그램의 버그를 예측 할 수 없다 라는 말로 느껴저 충격적이기 까지 하내요. 그리고 자기 증명 불가능하지만 자기 생산 가능한 역설적 가능성은 AI가 어디까지 더 발전할지도 궁금하내요.
마지막쯤 논문에서 인용한 문구로 나오는 Even a perfect, complete description of the microscopic interaction between a material’s particle is not always enough to deduce its macroscopic properties 라는 말은 Game of Life 를 정확히 설명하는 말이네요.. 이 모든게 연결되어 있다는게 소름돋네요. 영상 너무 잘 봤습니다! 왠만한 방송국 다큐멘터리보다 구성이 훨씬 좋은거같아요.. 엄청 몰입해서 봤어요.
@@거어눋 그러게요. 저도 잘 모르겠네요. 성경구절일까요. 안죽을려고 안먹는다. 안먹으니 죽었다. 그럼 먹으면 죽는다라는 명제가 성립되어야 하는데 이해할 수 없는 명제네요. 음식을 섭취한다 -> 체세포분열을 한다 -> 체세포분열을 하면서 사람은 죽음에 다가간다. 이런 의미일까요?
음.... 그러니까... 지금의 수학 체계 뿐만아니라 수학이라는 것 자체가 절대적인게 아니라 언제든 바뀔 수 있는 모래 위의 성과 같다는 의미로 생각하면 되나요? 아니면 수학은 절대적이지만 단지 빈틈이 있어 보일 뿐이고 그 빈틈을 채울 수 있는지 없는지를 알 수 없다고 생각하면 되나요? 그것도 아니면 수학 그 자체가 절대적일지 아닐지를 판단 할 수 없다고 이해하면 되나요?
잘 이해가 안되네요. 첫번째 대각선 논법에서 대응하지 않는 실수 한개를 찾았다고 기수가 높다니?(물론 비슷한 방법으로 더 많이 만들 수 있지만) 자연수는 무한한 변화가 없어보여 자연수 조작은 할 수 없다고 생각하는 것 같은데 자연수 조작에서 무한의 성질만 이용하면 사실상 똑같이 더 많이도 만들 수 있을 것 같은데 그 확장된 무한은 객체 자체가 아니라고 딴지걸거 같고 두번째 모순가능성은 알려주지 않았고.. 세번째도 기계 h를 예시로 했는데 무한루프에 빠지는 것 자체가 무한루프에 빠니다는 것으로 결론 난 것이라고 생각하면 h+를 만들어도 결정지어지는 것으로 정해지는데요?
문과라서 솔직히 뭔 말인지는 모르겠는데 하여튼 엄청 대단하고 재밌는(?) 영상이었습니다. 작은 두뇌와 100년도 못사는 수명을 가진 주제에 왜 인간은 무한이란 개념을 상상하고 증명하려고 하는 시도를 하는 것일까요? 생물로서 주어진 조건 그 너머를 보고 싶어하는 욕구가 인간의 본질인지도 모르겠습니다.
2022.06.12.일요일. 오후 22:13 작성. 짱구야. 점 선 면에서 다음은 입체일텐데 입체의 기준과 조건이 성립되어야 가능하니 이 경우의 계산값에서 불가능한건 중심이 있어야 가능하지 않을까?. 즉 자전이던 공전이던 각각에 있어서 균형을 유지할수 있기위해서 계산을 한다면 전자계산기의 경우 0과 1은 길이의 단위에 있어서 0과 1의 경우의 차이를 알아야하고 이속에 시간 거리에 따른 속도 또한 다르게 구분 되어야하며 다른 경우들의 구분도 생각해봐야하는것에서 그에따라 각각의 숫자 2의 각각의 구분 분류속에 표현에 있어서 계산 방식은 그 수의 자릿수에 따라 비트수에 있어서나 구조방식에 있어서 표현에 있어서 설정을 다시 해야한다면 그 정해진 수를 넘어버리기 이전에 비워야하는것에서 비우지 못한다면 이미 불가능한 일인것 같은데...
이 댓글 보고 궁금해져서, 한번 찾아봤는데 놀랍게도 1대1로 대응할 수 있으면 같은 농도로 본다는 무슨 개념을 적용하면 유리수는 가산집합이라고 하네요; |N| ≤ |Q^+| ≤ |NxN|, 여기서, 1:1 대응 시킴 |NxN| = |N|, 따라서, |N| = |Q^+| 무한의 크기를 서로 비교할 수 있다면? TH-camr : Ray 수학 th-cam.com/video/Kbz1bSVHBb0/w-d-xo.html
내가 고등학교까지 제일 잘한 과목이 수학이고 , 그 덕분에 지금 의사를 하고 있고. 난 아직도 수학을 좋아하는 의사이다. 근데 동영상을 봐도 당췌 뭔 소린지 모르겠고, 수학을 전공을 안하기를 잘 했다고 생각한다. 하튼 공부 못하는 애들은 의사나 해야 된다. 똑똑한 애들이 수학자 컴퓨터공학 이런거 해야 하고.
양자학도 다른 것들도 다 조건이 무엇인지 모를경우 답을 예상하지만 어떤 답이 나올지 알수없는 상태를 뜻함 그러나 현실상 조건이 주어져있음 우리가 모를뿐 조건이 주어져 있으니 답도 정해져있음 조건을 모르니 답도 모를뿐 왜 조건이 주어져 있냐면 세상이 존재하기에 이미 진행중이기에 변수도 무한이기에 무한으로 진행하다 변수로 멈출수있지만 다시 변수로 작동할수있기에 멈춘적이 있으니 멈췄다 라는것도 틀린것이 아니기에 유한인것도 사실 무한에 속하기에
질문이 있습니다. (1) 괴델수를 괴델이 한 방식인 소수들의 곱으로 나타내지 않고 다른 방식으로 부여하는 방법이 있나요? (y/n) (2) 다른 방식으로 괴델수를 부여하면 전체적인 증명에서 어떤 문제가 생기나요? 예를 들어 모든 수학적 명제들을 열거한 다음에 거기에 그냥 1, 2, 3...으로 괴델수를 부여하고, 그것을 잘 기억하여 어떤 문장이든 보다 짧은 괴델수 n을 찾을 수 있고, 어떤 괴델수 n에서든 거기에 해당하는 문장을 찾을 수 있도록 정의하여 출발하면 역시 증명이 가능한가요? (y/n) (3) 이런 식으로 증명하면 안 된다면, (2)의 경우에 괴델식 증명의 어느 단계에서 문제가 생기나요? 예를 들어서 Dem(x,z)를 정의할 수 없다든지...?
최근에 가장 궁금한 건 이거였어요. 쉽게 예시를 들어보자면 이런거죠 인간은 인간을 포함한 우주에서 절대 실현불가능한 것을 상상할 수 있냐는 것입니다. 왜냐면 인간은 우주의 물질과 에너지로 이루어져 우주의 시공간에서 살고 있고, 그러한 인간의 상상은 우주의 데이터니깐요 그런데 우주에 절대로 존재할 수 없는 뭔가를 상상한다는 것 자체가 우주에서 탄생한 데이터가 우주에서 절대 존재할 수 없는 데이터라는 말도 안 되는 모순에 갇히기 때문이죠. 만약 이 모순이 해결될 수 없다면, 여태 인간이 상상했던 모든 것은 사실 이 우주에서 실현가능한 것들인 겁니다. 여기서 우린 명백하게 구분해야할 것이 있죠 상상은 그저 신경계의 물리화학적 반응의 연속이 만들어낸 이미지일 뿐이고, 결국 데이터에 불과하지만 그러한 데이터가 특정 시공간 내에서 물질과 에너지로 이루어진 연속체로서 존재한다는 건 별개의 문제라는 것 말이죠 다시 말해 가상현실에 구현할 수 있다고 해서 현실 속에서 반드시 구현가능한 건 아닌 겁니다. 그렇다면 우리가 만들어낸 논리와 그 논리에서 기반한 학문들조차도 사실 현실을 나타내고 설명하기 위한 데이터에 불가한 것일 수도 있다고 생각해봐야 합니다. 다시 말해 학문조차도 그저 이 우주에선 하나의 현상에 불과한 데이터의 역사일 뿐인거죠.
![Как устроены швейные машинки? [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/FFW0GcMCgd0/mqdefault.jpg)
![[취미는 과학/ 확장판] 14화 수학, 1+1은 정말 2인가? (feat. 김상현 교수)](/img/n.gif)
괴델의 불완전성 정리가 이해 안가시는 분들께..
괴델의 불완전성 정리는 전에 러셀의 집합의 역설에서 보여줬던 것처럼,
"수론을 포함하는 모든 공리 체계(시스템)에 대해서" 집합론에서 러셀이 보여준 역설처럼 자기지시의 모순의 역설에 빠진 다는것입니다. 러셀의 역설에서 집합론을 빼고 수학을 집어넣으면 대강 이해 하실수 있을 것입니다.
러셀의 역설은 집합론에서 ZFC 공리계로 대체되면서 발전하였습니다만 (영상에서 말한것처럼 쉽게 극복된 것이 절대 아닙니다.. 그렇게 쉽게 논박되는 것이었으면 러셀의 역설이 아마 유명하지도 않았을 겁니다.) 문제는 수학적 공리체계는 집합론과 달리 그런 유형의 변형이 불가능 하기 때문입니다.
그러나 이것을 바탕으로 괴델이 인간의 지적능력의 한계를 보여줬다거나, 인간은 유한하며 신이 있다는 종교적 결론에 도달하시면 안됩니다. 그건 논리적 비약이고, 괴델의 이론은 형식주의에 대한 공박입니다.
여담으로 괴델 본인은 푸앙 카레와 같은 직관주의자 였습니다. 수학적 증명은 형식적 체계 내에서만 이루어지는게 아니라 인간의 직관이 들어간 작업이라는 것이지요.
영상에서는 몇가지 과장이 있습니다.
1. 엘런 튜링 떄문에 2차 세계 대전이 2~4년 정도 단축되었다는 말은 과장입니다.
2. 괴델이 음독살인을 이유로 굶어죽은 것은 맞지만, 그가 모든 생활을 그 부인에게 의존하였고, 부인이 죽고 본인이 늙어서 치매가 걸려 음식 먹기를 거부하였기 떄문입니다. 수학 공부하다가 뭐 미쳐서 죽은게 아닙니다.
3. 영상에서 러셀의 역설은 쉽게 해결되었다고 하지만 쉽게 해결 되지 않았습니다.
4. 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트의 형식주의에 대한 공박이지 인간 지식의 한계에 대한 이야기가 아닙니다.
5. "증명 불가능한 수학적 명제가 있다"라는 말에 동의할 수는 있겠지만 여기서 "증명"이라는 말은 형식주의자들의 "증명"입니다. 이를 과장해서 우리가 절대 알 수 없는 진리가 있다고 결론 내리면 안됩니다.
6. 튜링머신이 컴퓨터 발전에 지대한 영향을 끼친것은 맞지만 튜링머신만이 영향을 끼친것은 아닙니다.
7. 수론을 포함하는 공리체계는 불완전 하지만, 완전한 공리쳬계도 여럿 존재합니다. 예컨대 여러분이 대학에서 배우는 1차 양화논리는 완전합니다. (이를 또 인간 지식의 한계가 있고 이것이 신의 의지다 그런식으로 과장하시면 안됩니다.)
8. 여러분이 접하시는 거의 모든 프로그램의 컴퓨터언어들이 튜링완전하게 잘 설계해놨어요. 안심하십시오. 저게 수론을 포함하면 문제가 생겨서 수학자들이 미치는거지 논리학 컴퓨터공학자들은 괜찮습니다.
정말 좋은 댓글이네요.
저도 얼마전에 괴델의 불완전성 정리를 다룬 책을 읽으면서 비슷한 요지의 글을 보았습니다.
불완전성 정리의 결과를 사용하여 수학적인 이야기를 하고 싶으면 대상을 수학으로 제한해서 이야기 해야 한다고요.
불완전성 정리에서 영감을 받아 철학적 논의를 펼칠 수는 있겠지만 그러한 논의에서 불완전성 정리는 결코 근거로 사용 되지는 못합니다.
불완전성 정리는 어디까지나 수학에 관한 얘기니까요.
ㅅㅍ
댓글의 내용이 어려운 분들을 위한 요약
“호들갑 떨지 마세요.“
본래 괴델의 불완전성 정리가
1차 술어논리 체계에서 증명된 겁니다.
따라서 1차 술어논리가 만약 불완전하면
그 체계에서 증명된 불완전성 정리도 불완전한 것이 아니겠어요?
따라서 괴델이 맨먼저 한 작업이
1차 술어논리의 완전성 증명이었습니다.
이것을 성공적으로 수행하여
이 1차 술어논리체계에서 불완전성 정리를 도출한 것이지요.
따라서 모든 공리체계는 불완전한 것이라는 식으로 도약해서는 안 됩니다.
07:24 학문은 이성적일 것 같지만 의외로 권위주의적이고 상당히 꼰대같은 기질이 있기도 하죠
뭔가 이상한 것 같은데 논리적으로 모순이 발견되지 않는 이론이 새로 나왔을 때
기존의 대가라고 불리는 학자들이 반증을 보이거나 논리적으로 타파하지 못 하고 권위로 누르려고 한다면
그 당시의 패러다임에는 뭔가 모순이 있음을 말하고
패러다임의 혁신이 도래했음 보여주는 신호탄이 되기도 합니다.
물리학계에서는 아인슈타인과 양자역학이 대표적인 사례입니다.
튜링 덕분에 마인크래프트에서 마인크래프트를 구동할 수 있는 컴퓨터를 시뮬레이팅이 가능하다는게 수학적으로 증명되는 것이군요...
어쩌면 마인크래프트로 더 큰 마인크래프트를 만들 수도 있겠네요!
@@Nyummmy마인크래프트 안에 있는 마인크래프트가 어떻게 마인크래프트보다 클수 있나여
@@12pkl 마인크래프트 여러개를 뭉친다는 생각했는데 좀 바보짓 같기는 해요
@@Nyummmy
와... 후반부로 갈수록 소름이 쫙 돋습니다.
아주 어렵고, 어렵기 때문에 진리에 다가가고자 했던 수학자들의 천재적인 노력도 알 수 있었네요.
1+1=2가 아주 복잡한 사실을 거쳐 증명된 것처럼
학생들이 학교에서 배우는 기초적인 수학이론들도 어떤 수학자의 오랜 고뇌에서 비롯되었을텐데 이를 단순 암기로만 학습하게 된다는 게 괜히 안타까워집니다..
@APlus1111 복잡한데?
@@asdf5445 700폐이지보다는...
근데 수학의 역사도 대부분의 시간동안 실용적인 면에 있었고 17세기 오일러의 시대까지도 무지성 트라이, 엄밀함 개나준 공대수학이었음. 수많은 수학 개념들이 치밀한 공리가 아닌 경험적 사실로부터 시작한것처럼 시작은 암기수학부터 시작하는거지. 고등학교 수준에선 그게 맞아
고등수준의 기본 개념은 암기해야지 ㅋㅋ
미성년자 교육은 사고의 확장을 목표로 해야 하는데 그냥 유사 자폐아 만드는 교육 방식이 문제라는거지, 암기도 뭐 의미를 알아야 효용이 있지 중학생 때부터 학대 수준으로 주입시키고 이게 수학이라 말하면 순종적인 성향의 애들을 제외한 나머지는 평생 수학은 거들떠도 안보는 사람으로 자라겠지. 당연히 국가 경쟁력도 떨어지고.
아, 응. 그렇군요. 완벽하게 이해했습니다. 내가 아무것도 이해하지 못했다는 완벽한 사실을 말이죠.
인류 수학의 업적은 보면 볼수록 대단하네요. 그저 일개 프로그래머로서 늘 감사한 마음 뿐입니다.
일개 프로그래머라니요….프로그래머분들이 있어 편리한 세상을 살고 있답니다~~😊
아무것도 이해못한걸 이해했다.. 이게 불완정성 뭐시기인가요?
인류가 아님 ㅋㅋ 백인들의 수학이지
완벽함은 없다.. 라는것이 😢 그래도 그 나름대로의 의미가 있으니까요
@@uhwi1675인도계랑 동양계도 수학 천재 많았는데
정말 멋지고 훌륭한 학습 영상입니다.
예전에는 원본 영상이 영어라 이해를 못 하는 것이라 여겼습니다.
이제는 언어 때문이 아니었다는 걸 깨달았습니다!
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇ 저도 이거 맨날 볼려고 시도했다가 실패해서 독해가 모자라서 그런줄 알았는데 그냥 존나어려운거였음
괴델 나올 때부터 본격적으로 이해 안 되기 시작ㅋㅋ
언어는 장벽이 되지 않는다 ㅋㅋㅋ
26:12 부분 이해 안가시는 분들은 정지 문제 검색해서 따로 찾아 보시면 될 듯!! 사실 몇분만에 설명될 것도 아니기도 해요.😅
영상 내용 비판:
1번: th-cam.com/video/oippSXvxUlw/w-d-xo.htmlsi=rcrcFmbZq5Lyz8m0 9분 36초, 25분19초
저 1번 영상은 설명이 이상하다. (물론, 내 생각은 틀릴 수도 있다. )
영상에는 구체적으로 나와 있는데, 말을 대충 한다.
그리고, 중간에 틀린 말도 한다.
1번 영상 26분 9초부터 보자.
"h+는 자기 자신이 스스로 멈출지 안 멈출지 판단해야 합니다. "
"만약에 h+가 자기 스스로가 멈춘다고 판단하면"
"그 속에 들어 있는 h가 '멈춤'을 내보낼 것이고 무한히 반복하게 될 것입니다. "(A)
여기까지는 설명이 좋았다.
(하나 아쉬운 점은 영상에는 h+ 기계가 두 개가 있다.
그 두 개가 각각 다르게 작동하는 이유를 알려주면 좋았을 것이다.
영상에는 그 이유를 알려주지 않는다. )
이 다음 말이 문제다.
"반대로 멈추지 않는다고 판단하면 어떻게 될까요?"
"그 속에 들어있는 h가 '멈춤'을 내보낼 것이고, 무한히 반복하게 될 것입니다. "(B)
여기서 이 문장이 틀렸다.
이 문장은 "그 속에 들어있는 h가 '안 멈춤'을 내보낼 것이고, 멈춤을 내보낼 것 입니다. " 가 맞는 문장이다.
"그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보낼 것이고, 무한히 반복하게 될 것입니다. "이라는 문장이 두 번 반복된 것이 틀렸다는 것이다.
A 문장과 B 문장이 같다는 것이 틀렸다는 것이다.
내 생각이 틀린건가?
25:49 약간의 번역 오류가 있는 것 같습니다. 원문은 "We can call this entire new machine h+ and we can export the program for that entire machine" 으로, h+는 '기계의 멈춤을 판단하는 기계'가 아니라 "h에서 멈춤이라고 판단하면 무한히 작동하고 안 멈춤을 입력받으면 즉시 멈추는 기계"를 말합니다. 이때 h+ 또한 튜링 머신이므로, 모든 튜링 머신의 멈춤을 판단할 수 있는 h는 h+의 멈춤을 판단할 수 있습니다.
h+의 프로그램과 인풋 데이터를 h+ 자기 자신에게 넣는다고 해봅시다. 만약 h가 h+는 멈출 것이라고 예측한다면, h는 멈춤을 내보낼 것이고, 따라서 h+는 무한히 작동합니다(모순). 만약 h가 h+는 무한히 작동할 것이라고 예측한다면, h는 안 멈춤을 내보낼 것이고, 따라서 h는 즉시 멈추게 됩니다(모순).
따라서 모든 튜링 머신의 멈춤을 판단할 수 있는 h는 존재할 수 없게 됩니다.
정말 한 편의 영화같은 내용이었습니다. 수학이 불완전함을 증명한 괴델부터 현대 컴퓨터 과학을 정립한 튜링까지 현 고1이 이해하기에도 어렵지 않게 설명해주셔서 감사합니다. 앞으로도 양질의 영상 부탁드립니다
고졸+수포자인 내가 이 영상을 스킵없이 끝까지 보는 이유란 무엇일까
퀄리티 대단하네요
아직 마음속에 호기심이 있으니까요 😙
@@dcacao1 이거 좀 멋있네요ㅋㅋ
@@dcacao1 크
@@dcacao1 말이 이쁘네용
@@dcacao1 낭만있네
튜링 머신 부분이 이해가 안 되네요...
h라는 기계는 멈출 지 안 멈출 지 알려주고
h+라는 기계는 멈춤을 입력으로 받으면 무한히 반복하고 안 멈춤을 입력으로 받으면 멈춘다는데 26:05부터의 설명에서
1. h+가 자기 스스로 멈춘다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한이 반복됨
2. h+가 자기 스스로 멈추지 않는다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한히 반복됨
왜 h는 h+가 어떤 판단을 하던지 항상 멈춤을 내보내고 무한히 반복되는거죠?
정지 문제에서 h기계는 프로그램과 입력을 받아 정지하냐 정지하지 않냐 판별하는데
h+는 이 결과를 받아 반전시키는 기능을 하죠.
따라서 h기계가 h+를 입력으로 받아 정지한다고 판별하면, 실제 h+기계는 무한루프를 돌게 될 것이고
h기계가 h+를 입력으로 받아 정지하지 않는다고 판별하면, 실제 h+기계는 정지하게 되겠죠
분명 전제에서는 h가 정지 여부를 판별할 수 있다고 했는데 실제 기계의 실행 결과와 모순되는 출력을 했기 때문에
전제가 깨지고 h기계는 존재할 수 없다는 결론이 되는것입니다
영상에서도 구름속(h가 판별한) h+가 무한반복 하느냐, 실제 h+가 무한반복 하느냐로 설명하고 있습니다.
영상이 잘못됐음 2번은 h+가 무한히 반복된다고 판단하고 결과적으로 멈추는 게 맞음
@@kimryuns 결과적으로 h+ 가 멈추었다 해봅시다. 그럼 h+를 입력으로 받은 h는 멈출것이라는 결과를 생성해야 하는데, 이걸 그 h 가 쓰인 h+는 안 멈추어야 하죠. 처음의 결과와 나중의 결과가 다르죠? 이상하죠.
여기서 한가지 이야기 안한 부분은, 수학적으로 튜링 머신 여러개를 기본적인 논리로 연결한 기계는 하나의 튜링머신만으로도 같은 계산을 하는 기계로 만들수 있단 점입니다. 수학적으로 튜링머신 여러개를 연결시킨게 그 3개를 이어붙힌 프로그램을 먹인 튜링머신 하나와 같다는게 증명되었죠
9:37 이발사의 역설: "마을의 모든 남자는 면도를 해야 하며 면도사는 혼자서 면도를 하지 않는 사람만 면도사가 될 수 있다" 는 정확한 번역이 아닌 것 같네요. 원 영상에서는 "The village barber must shave 'all' and only those man in the village who do not shave themselves" 라고 표현하는데, 마을에 사는 면도사가 스스로 면도하지 않는 "모든" 남자를 면도해야 한다는 부분에서 모순이 생기는데 이 부분이 제대로 반영되면 좋겠습니다.
18:30 "이 공리는 x 대신 0을 넣어 1과 0은 같지 않다는가장 간단한 증명을 통해서 증명할 수 있습니다" 번역이 마치 공리를 증명한다는 말처럼 들리네요.
"이 공리를 이용해서, x 자리에 0을 넣으면, 1 과 0은 같지 않다라는 명제가 나오고, 따라서 "1 과 0은 같지 않다" 라는 명제의 (제가 생각할 수 있는 가장 간단한) 증명이 완성됩니다" 정도로 바뀌는게 좋을 것 같네요.
자세한 댓글 감사합니다. 둘 다 원문을 그대로 한국말로 번역하면 길이가 너무 길어져 약간의 의역을 했던 기억이 납니다.
아무래도 영어와 한국말의 차이가 있어 영상과 말을 맞추려다 보니 약간의 변형들이 생기게 됩니다. 조금 더 세심하게 진행하려 노력해보겠습니다.
추가로 life game은 인생 게임이 아니라 한국어로 번역해도 라이프 게임입니다.
조금 더 첨언하자면, 이발사가 가진 규칙에 초점을 맞추면 좋겠다고 해석할 수 있겠네요. 스스로 면도하지 않는 “모든” 남자는 면도해야 한다는 규칙도 중요하지만, 배중률에 따라 생겨나는 스스로 면도하는 남자는 면도를 하지 “않는다”는 규칙도 중요합니다.
영상에서도 상상하는 장면을 자세히 보면 영상 속의 두 사람이 모두 자신이어서, 자신이 두 명이 되어 자신을 면도해야 모순이 해결되는건가? 라는 엉뚱한 유머를 확인할 수 있습니다. 즉 이발사가 만약 스스로 면도한다면 규칙에 따라 자신을 면도해서는 안되고, 스스로 면도하지 않는다면 규칙에 따라 자신을 면도해야 하기에 역설이 발생하는 것입니다.
여담이지만, 다른 면도사가 있다면, 두 면도사가 마을의 스스로 면도하지 않는 모든 남자를 면도한다는 조건이 아예 성립되지 않겠죠. 물론 두 사람이 양 쪽에서 절반씩 동시에 면도해주는 것이 아니라면 말이죠. 자연스럽게 마을에 사는 이발사는 아주 수염이 긴 단 한 명밖에는 될 수 없을겁니다. 아마도 이 부분이 영상에서는 설명되지 않아, 조금 갸우뚱하게 되지 않았나 싶습니다. 실제로도 영상의 조건이라면 다른 면도사가 면도를 해준다면 간단히 해결되네요!
그나저나 이 긴 영상을 번역하고 직접 녹음하신다니.. 덕분에 영상을 보기가 정말 편하고 좋았습니다. 노고에 감사드립니다 :)
@@coedawis 영상보면서 뭔가 부족하다고 느꼈는데 이거였네요..
스스로 수염을 깍지 않는 사람들은 이발사가 깍아줘야한다. -> 그럼 이발사는 누가 깎아주는가? -> 이발사는 스스로 수염을 깍을 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단들만 이발사가 깎아줘야하는데, 스스로 수염을 깍는 집단에 이발사가 속하게 되어 스스로 수염을 깍는 사람을 이발사가 깍게 됩니다. 만약 이발사가 스스로 수염을 깍지 않는 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단에 속하게 되어, 이발사가 스스로 깎아야 하는 모순에 빠지게 됩니다. 바로 자기자신의 역설이 생긴다고 배웠습니다. 영상보면서 저도 뭔가 그럼 다른 이발사한테 면도를 맡기면 전혀 모순이 되지 않는데??? 하고 이상한 찰나에 댓글을 통해서 확인해보려고 했는데 다행이 문제제기 하신 분이 계셨네요.
Veritasium 한국어 채널이 있었군요. 평소에도 영어 채널에서 좋은 내용을 많이 봤지만 영어라서 주변인에게 추천하기 힘들었는데, 앞으로는 이 채널에 올라오는 동영상을 적극 권장하겠습니다.
• 제 2 불완전성 정리
공리끼리 서로 모순이 없다는 건
증명 가능한 것인가,
아니면 증명할 필요가 없는 것인가?
공리는 참으로 가정하는 것이므로
서로 모순이 있다는 건,
하나의 공리가 참일 때
다른 하나는 거짓이라는 것이고
공리가 모두 참이라는 가정에 모순이다.
따라서 공리끼리는 서로 모순이 없다.
이상적인 수학의 세계에서는 그렇고,
현실적인 과학적 세계에서의 문제는
공리를 잘못 설정할 수도 있지
않냐는 것인데
공리끼리 모순이 있는 경우엔
모순을 만드는 하나의 공리를
제거함으로써
모순이 생기는 것을 피할 수 있다.
• 제 1 불완전성 정리
(이 괄호 안의 진술은 증명할 수 없다.)
이 문장은 참일 수도 없고
거짓일 수도 없는 문장이라서
명제가 아니다.
또한 역설로 여겨지는
수학의 다른 문장들도
명제가 아니다.
괴델수 g가 도출되는 과정이 가장 중요할 것 같은데...이건 따로 찾아보고
그리고 튜링머신에서 h랑 h+가 러셀의 역설이랑 똑같은 문제를 겪긴 하지만, 이건 함수랑 그 함수에 대한 메타함수를 구분하면 해결되는 문제임.
이때 h+를 h+(x)라고 하면, h+함수에 h+ 함수를 넣은 것은 h+(h+(×))가 되는 것이고, h+(×)=/=h+(h+(×))이기에 둘의 결과값이 달라도 됨. 따라서 일단 러셀의 역설은 풀림.(비트겐슈타인의 풀이)
문제는 h+가 자기모순을 겪는다고 해서, h+가 존재할 수 없다고 결론지을수가 없다는 것임. 튜링기계에서는 아직 증명되지 않은 h+를 어떻게든 있을 것이라고 전제하고, 그 전제가 러셀의 역설에 도달하는 결론에 도달하자, 전제를 틀린걸로 간주함.
그러나 h+(x)가 러셀의 역설을 벗어나는 방법이 있으므로, 전제는 아직 증명 불가능한 상태로 남을 뿐임.
결과적으로 h랑 h+가 모순 없이 존재할 가능성이 있음.
따라서 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 '수' 없을 '지도' 모른다"는 참임.(영상에 나오는 아저씨도 정확히 이리 말함)
그러나 이게 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 수 없다"는 말은 아님.
전자 후자는 완전히 다름.
전자는 희망이 있는 거고, 후자는 필연적으로 회의론을 야기한다는 점에서 불완정성 정리나 입자 파동 이중성 같은 문제랑 같은 층위에 있게 됨...
결론: 수학에 모순 항상 있는 건 맞지만 쌍둥이소수 추측 풀 수 있는지 없는지는 아직 모르는거다.
30:00 그건 그렇고 인생게임으로 진행되는 인생게임은 그냥 미쳤다...
약간 오해가 있으신 듯 합니다.
h+(×)=/=h+(h+(×))인지의 여부는 해당 논리에서 중요하지 않습니다.
(사실 본 영상이 괴델의 논의나 튜링 머신에 대해서 다분히 의도적으로 대충 넘어가는 것 같긴 합니다.)
자기 자신에 대하여 언급하는 방식을, 러셀처럼 직접 언급하는게 아니라
직접 언급하는 것처럼 보이지 않는데 간접적으로는 언급하는 것과 마찬가지가 되도록 하는 방법을 통해,
자신의 체계 안에 온전히 집어넣는 것이 괴델의 아이디어의 본질입니다.
괴델 수를 이용해서 모든 명제가 그저 하나씩의 자연수로 인식되었던 것처럼
튜링머신에서 모든 머신은 그저 수의 나열(=input)이라는 대등한 존재로 인식됩니다.
자연수 끼리 무슨 메타 자연수 이런게 없는것처럼, 모든 튜링 머신은 그저 하나씩의 수의 나열에 불과하기 때문에 메타머신이니 뭐니 할게 없습니다.
아래 영상 또한 머신의 청사진이라는 비유를 쓰고 있기에 여전히 나이브하긴 합니다만, 본 영상보다는 원래 튜링의 논증에 훨씬 가깝기에 참조하시면 좋을 듯 합니다.
th-cam.com/video/92WHN-pAFCs/w-d-xo.html
@@삐리롱-k9c이건 몰랐네요 감사합니다
@@삐리롱-k9c 그렇다면 괴델의 불완정성 정리는
'비자기술어적'이라는 표현이 자기술어적일수도, 비자기술어적일 수도 없는 상황(이 경우는 '비자기술어적'이라는 단어를 '비자기술어적인 단어들의 집합'에 넣을지, '자기술어적인 단어들의 집합'에 넣을지 결정할 수 없는 문제라는 점에서 단어의 속성에 대한 메타판단을 하는 상황이라고 생각했습니다-이것도 틀릴 수 있으니 지적은 환영합니다) 과는 유사하지만, 메타판단이라는 표현을 사용할 필요는 없는 경우라고 말할 수 있는 것인가요?
링크 남겨주신 영상 잘 시청했습니다
진짜 무에서 유를 창조한다는건 이런게 아닐까
물론 존재하지 않는다고 확정할 수는 없겠지만, 해답도 모른채 지식의 발전이 이루어졌음이 감탄스럽네요.
그동안 유튜브에서 본 영상들 가운데 기억나는 것 중에서는 가장 무거운 한 방인 것 같습니다. 보는 도중에 괴델 넘버는 잘 이해되지 않아서 몇 번이나 멈추고 돌려보기까지 했지만, 뭔가 굉장히 잘 만든 영상을 굉장히 주의깊게 봐도 다 이해하지 못 했다는 걸 느끼면서 동시에 이게 얼마나 중요하고 묵직한 사실의 나열일까.. 생각하며 정주행했네요. 다시 보도록 하겠습니다.
설명을 의도적으로 불충분하게 하고 넘어가는 부분들이라서 그래요.ㅎㅎ 이 영상만으론 완전히 이해하기 어렵습니다.
영상 너무 유익하고 재밌게 봤습니다.
26:26 h+가 멈추지 않는다고 가정하면 그 속에 들은 h가 반복을 출력하고 h+는 멈춤을 내보내므로 모순에 빠지는게 맞지 않을까요?
프로그램 코드가 프로그램 코드를 감지하는 h+의 상태로 변하지 않기에 h가 중간에 결과를 바꾸지 않습니다.
영상이 너무 좋아서 정말 깜짝 놀랐습니다. 이런 양질의 컨텐츠가 있는 채널을 이제야 알았다는게 아쉬울 정도입니다. 훌륭한 영상을 만들어 주신 주인장님께 감사의 인사 올립니다.
저도 숟가락 얹겠습니다
전 젖가락 추가합니다
Veritasium이 만든거고 이분은 번역이랑 더빙 하신 거긴 한데 그것만으로도 감사하긴 하죠
오히려좋아
외국 유튜브엔 이런 좋은 정보를 제공하는 채널이 많음. 그래서 영어를 알아야 함. 한국껀 외국꺼 배낀거 아니면 맨날 허접한 먹방이나 남 따라하는것들
힐베르트의 꿈은 이뤄지지 못 했지만, 그 노력과 열정이 수학을 이끄는 원동력 중 하나였음은 분명한 것 같다.
와 인생게임 안에서 인생게임 굴러갈 때 소름돋았다…… 좋은 영상 감사합니다!
6:34 자연수도 마지막 숫자에 1을 더하면 하나 더 만들 수 있는 거 아닌가요? 설명의 편의 상 하는 수 없이 1:1로 대응하는 무한한 목록을 작성했다고 합시다, 라고 조금 엄밀하지 않게 시작했기 때문에 이해가 안 되는 걸까요..?
자연수에 마지막 숫자는 존재하지 않음.
@@잉아잉-l4b 그니까 1 더하면 하나 더 만들 수 있다는 거지
맞아요, 자연수도 끝이 없죠. 그리고 저도 대각선 논법이 잘 이해되지 않네요. 영상에서처럼 소숫점 아래 랜덤한 숫자로 모든 자연수와 1대1대응을 시켜서 목록을 만들고 대각선 논법을 쓰더라도 이 논법의 결과값인 모든 소숫점 자릿수와 무한히 일치하는 숫자가 하나는 분명히 이미 있을 겁니다. 목록은 무한히 많으니까요. 목록의 자연수가 모자라다는 건 자연수가 무한하지 않다는 뜻이 되는거고 무한히 많은 자연수보다 더 많은 수가 있다? 또는 무한히 더 많다?는 이해되지 않네요.
예전에 괴델의 불완전성 정리에 관한 책을 읽은 적이 있는데 증명 내용은 이해할 수 없었지만 수학이 불완전하다는 내용을 읽고 충격을 받았던 걸로 기억합니다. 지금 생각해보면 쌍둥이 소수, 콜라츠 추측과 같은 난제들만 봐도 어떠한 명제는 참일지라도 증명이 불가능할 수도 있겠구나 싶네요. 수학이라는 학문이 깊게 파고 들어가면 매우 심오하고 복잡한 학문이다 보니 이렇게 요약해서 보는 것만으로도 벅찬데 이걸 직접 하는 수학자들은 미칠 수 밖에 없겠구나 라는 생각이 듭니다.
연속체 가설이 그러하다고 합니다.
무한에 밀도가 존재한다는 사실이 신기합니다. 0과 1사이의 무한 밀도가 더 빽빽하다니..
증명할수 없는것이 많지만 모순인지 아닌지를 인간이 판단 할 수 있다는 사실은 그나마 다행입니다.
1:33 살아있는 칸이 두 개 이하거나 네 개 이상이면 죽는다고 하셨는데, 살아있는 칸 기준으로 인접한 네모 8칸 중 2칸 또는 3칸이면 살아있을 수 있습니다. 즉, 인접한 살아있는 칸이 1칸 이하거나 4칸 이상이면 죽고, 기존에 죽어있던 칸은 근처에 살아있는 칸이 정확히 3칸이면 살아난다가 맞는것 같습니다.
기승전결 정말 완벽합니다. 현제 고1로서 왜 교과서에는 이런 게 없을까 아쉬울 따름입니다. 양질의 컨텐츠 정말 감사드립니다! 어려울 수 있는 개념인데도 정말 쉽게 이해했어요! 정말 감사해요! 궁금증도 해결하고 흥미로워했던 문제도 해결했습니다!
이러한 논의의 전체는 아니지만 일부분은 우리 교육과정 상에도 충분히 녹아 있습니다. 물론 심플하게 한 문장 또는 한 챕터로 설명되어 있지는 않지만요. 긴 흐름을 통해서 보면 우리 교육과정 내에서도 위 영상에서 나온 논의의 일부를 얼마든지 발견할 수 있습니다. 중학교 2학년 때 순환소수에 대해 배우는데 왜 순환소수를 알아야 하는지에 대해 고민해보세요. 고등학교 3학년이 될 때까지 배우는 전체 수학 내용을 살펴보면 순환소수를 그 시점에 왜 배워야만 했는지 의문이 들 수도 있습니다. 일견 쓸모 없어 보이니까요. 순환소수를 안 배워도 상관 없지 않나 하는 생각이 들 수도 있습니다. 그런데 위 영상의 논의를 생각해보면 순환소수 내용은 교육과정 상에서 빠질 수 있는 내용이 절대 아닙니다. 한 번 곰곰이 생각해보세요!
@@블렉노 그렇지만 논리 그자체의 근본에 대해서는 아쉽게 나오죠. 그래서 항상 수학쌤께 그런 논리에 대해 물어보면 항상 저보고 숙제를 주시곤 했어요!
@@블렉노 그리고 위 제 댓에 있는 궁금증도 블렉노님이 말씀하신 것들로 부터 나온겁니다! 논의 전체가 아니라 아쉬웠던거에요!
수학과를 가시면 됩니다 XD
여기서 설명하는건 단지 가쉽거리임
29:53 미친 미친미친미친미칟개싱기하다......
솔직히 거의 이해할수없었다....
하지만 수학의 심오함을 조금이나마 느낄수있었다
내가 푸는 문제가 답이 있다는것에 대한 감사할따름이다
세상은 불확실과 모순이 팽배하지만 이로 인해 한걸음 나아갈 수 있다는 철학적 메세지까지 주는 영상이네요 잘 봤습니다
원본 영상으로 봤을때는 아직 영어가 부족하여 놓치는 부분이 많았는데 덕분에 잘 보고 갑니다! 너무 감사해요
이해가 하나도 안돼서 속상했는데 나같은 응애는 이해못하는게 당연한거였어... 유튜브 댓글이 이렇게 수준높은 거 처음보네😅
18:41 여기서 자막이 잘못된 것 같은데, "이 공리(어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다)에 x 대신 0을 넣어 '1은 0과 같지 않다'라는 명제를 만들 수 있고, 이 공리는 이렇게 만들어진 명제에 대한 가장 간단한 증명이 됩니다."라고 되어야 맞지 않을까요?
"어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다"라는 공리를 통해서 "0의 다음 수는(즉, 1은) 0과 같지 않다"라는 명제를 증명할 수 있다는 내용으로 받아들이는 게 맞을 것 같네요
공리는 '너무 자명해서 증명 없이 사실로 받아들이는 명제'이므로 공리를 증명한다는 말은 있을 수 없습니다.
알고있는 내용이지만 이렇게 영상으로 보니 새삼 감동이 대단합니다. 왠만한 영화보다 더 감동적으로 봤습니다. 감사합니다.
이게 이과...?
@@user-mx2vi7xx3u 현직 이론물리학자입니다. 모든 이과가 이렇지 않습니다만, 여기 와서 댓글을 달정도면 당신도...
@@sangjunechoi4369 학교에서 영상을 틀어주다 말아서 한번 찾아봤어요!
솔직히 중간부터 뭘 말하고싶은건지 모르겠는데 계속 보게되네요...
@@user-mx2vi7xx3u 저는 대학교 때 수학과 과목 듣다 보니 공부하게 됐는데.. 학교에서 틀어줬다니 좋은 학교 다니시네요~
만약에 거울이 없지만 사람들이 대신 천리안을 가졌다고 해봅시다. 그럼에도 불구하고 죽을 때까지 볼 수 없는 한가지가 있다면 무엇일까요? 바로 자신의 눈이겠죠.
거울과 같이 수학의 옳고 그름을 증명할 수학을 우리는 갖고 있지 않고, 그것을 만든다 해도 그걸 증명할 다른 수학이 필요합니다. 라는 것에 익숙해지면 내용을 이해하는데 좀 더 도움이 될 것입니다.
저도 이 영상을 보고 예전에 봤던 책이 기억나서 들어왔는데 그때 받은 느낌을 다시 한번 받게 되네요
퀄리티가 이렇게 좋은데 아직 알려지지 않았네요... 영상 감사합니다.
외국 본 채널은 1200만이네요 ㄷㄷ... 한국어 채널 만들어주셔서 감사합니다
영상 보다가 무한대의 크기가 다르다.. 대각선논법 6:23 신기하다고 생각했는데 조금 생각해보니까 이상하잖아요? x축과 y축.. 실수와 자연수의 위치만 바꾸면 똑같은 논리로 무한한 자연수가 더 커지는거 아니겠습니까?
여기서 핵심은 이 표에서 아무 실수나 선택해도 그에 대응하는 자연수는 존재하지만, 모든 자연수를 선택한다고 하더라도 그에 대응하지 않는 실수가 존재한다는 것입니다. 위치가 바뀌면 바뀐대로 대각선논법을 사용해서 모든 자연수중 어느것과도 대응하지 않는 새로운 실수를 여전히 만들어낼 수 있습니다.
@@데비-마를렌 무한은 끝이 없는데 새로운 실수를 만들어낸다면 그건 일단 무한을 세는것을 멈춘 뒤에야 만들 수 있는것 아닌가요?
대각선 논법에 따라서 새로운 실수를 만들었다고 쳐도 그 상태에서 새로 무한을 세기 시작한다면 그 수는 끝이 없으니
새로 만들어낸 실수가 후에 나올 수와 다를거라는 보장은 못하는거 아닌가요?
@@bjmin328 대각선논법으로 만들어지는 실수를 R이라고 할때, R은 자연수 1과 대응하는 실수와 소수점 1번째 자리가 다르고, 자연수 10과 대응하는 실수와 소수점 10번째 자리가 다르고... 계속해서 반드시 어떤 자연수 n과 대응하는 실수와 소수점 n번째 자리가 다릅니다. n은 모든 자연수가 될수 있기 때문에 무한하며 이는 R 또한 무한한 길이를 가진다는 것을 의미합니다. R을 지정하는 자연수가 존재할수 없는 이유는 간단합니다. 만약 자연수 100이 R을 지정하도록 하기 위해 100이 지정하는 실수의 나머자 숫자를 전부 R과 같이 하더라도 결국 소수점 100번째 자리가 R과 다릅니다. 만약 자연수 1000이 R을 지정하도록 하기 위해 1000이 지정하는 실수의 나머자 숫자를 전부 R과 같이 하더라도 결국 소수점 1000번째 자리가 R과 다릅니다. 10000은 소수점10000번째 자리가 다르고, 100000은 소수점100000번째 자리가 다르고... 결국 모든 자연수 중 R을 지정할 수 있는 자연수는 없습니다. 즉, R은 이후에 나올 모든 실수와 반드시 다릅니다. //여기에 말을 좀 더 하자면 R을 만드는 방법에 대한 것으로, 이 영상에서는 자연수 n과 대응하는 실수의 소수점 n번째 자리에 +1 (9는 넘지 않도록)을 하는식으로 R을 만들었지만 +2, +3을 해서 R을 만들수도 있습니다(원래 숫자랑 달라지는 규칙은 무엇이든 된다). 또, 자연수 n과 대응하는 실수의 소수점 n+1번째 자리를 다르게 할 수도 있고 n+2, n+3, n+100번째 자리를 다르게 할수도 있습니다. 즉, R을 만드는 방법 또한 무한합니다. 이미 모든 자연수가 실수를 하나씩 지정하고 있는데도 불구하고 지정할 수 없는 실수 R이 무한히 존재합니다.이러한 차이로 0~1사이의 모든 실수의 크기가 모든 자연수의 크기보다 크고, 같은 무한이더라도 크기가 다를 수 있는 것입니다.
@@데비-마를렌 그러면 결국에 끝나지 않을 계산을 끝났다고 가정하고 새로운 수를 만드는거네요?
무한에 끝이 있다면 모를까 어느 시점에서 R을 만들든 앞으로 계속해서 대응시킬 수가 무한히 존재한다는 점에서 솔직히 말장난처럼 느껴지네요.
발상 자체는 참신하고 천재적이나 이걸 어디다 써먹는지도 잘 모르겠고... 수학을 깊게 파고드는 사람이 아닌지라 이해는 안갑니다.
철학자들이 역설을 만들어내는것과 비슷하려나요
@@bjmin328 1.41……를 루트2로 정의하듯이 저기의 모든 실수를a라고 정의한다면 딱히 말장난은 아니지않나요? 기하적인 측면에서 루트2를 하나의 점으로 표시할 수 있듯이 우리가 평소 상상하는 체계는 아닐테지만 아까 정의한 a또한 아마 기하 적으로 점하나로 표시할 수 있는 체계를 만들어 낼수 있을거니… 허수를 좌표평면 하나의 점으로 찍을수는 없지만 복소평면에서는 가능하잖아요. 일단 이런 기하적인 측면은 제가 당장 그런 기하 체계를 만들어 낼수 있을꺼 같진 않아서 일단 제체두고, 그러한 논리면 루트2또한 무한소수이기때문에 계산이 끝나지 않으니 루트2또한 말장난처럼 되는거 아닐까요?
28:55 어떤 문제가 튜링 완전하다는 것은 어떤 의미인가요? '튜링 완전하다'는 튜링기계같은 알고리즘에 쓰는 말 아닌가요?
이 영상을 보고 수학이 희망같은 거라는 생각이 드네유.. 보통 무엇이 무언가를 희망하지만 잘 이루어지지 않쥬. 모든 희망이 이루어지지는 않는다고 말하면 공감하실지 모르겠네유...
수학이 완벽하기를 바라고, 수학이 아주 완벽해보이지만, 희망처럼 모든 수학이 증명되는것은 아닌것이쥬..
수학이 완벽하다면, 인간이 과연 망각의 동물이 됐을까유? 완벽한 수학이 적용되기위해서는 필요한 모든 입력을 계속 기억해 나갈 수 있어야하지 않을까유? 눈 앞에 놓인 문제의 원인이 될 수 있는 모든 정보를 뚜렷하게 기억할수 있어야하지 않을까유?
그런데 실제로는 어떤 기억들의 경우 올바른 결정이나 선택을 방해하기도 하지유... 그러므로 많고 다양한 경험에서 어떤 발전을 기대하고 싶다면 오히려 더 적게 기억하는것이 좋을지도 모르겠네유... 많고 다양한 경험들까지도 말이쥬...
저는....사람이 망각의 동물이라는 점에서 수학이 불완전하다는 것을 공감할수 있는것 같네유.
26:10 부분 설명에 H에 의해서 H+가 어떤 경우든 무한 루프에 빠진다고 나오는데 오류인 것 같습니다. H+는 경우에 따라서 멈출 수도 무한 루프에 빠질 수도 있습니다.
이 과정에서 처음 전제한 H가 맞는 답만 말한다는 점에 모순이 생긴다는 게 중요한 것 같습니다.
수학전공자로써 너무 재미있고 흥미롭게 봤습니다 앞으로도 수학 관련된 영상 많이 만들어주세요 !
로서
@@시 이과니까 봐줘
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
괴델의 불완전성 증명부터 현대의 스마트폰에 이르기 까지. 수학이라는 학문이 명제에 대한 증명 이라고 생각하니 프로그래밍은 그 과정에 대한 서술이라고 생각되내요. 그리고 마지막 결정 불가능하다는 결론은 모든 프로그램의 버그를 예측 할 수 없다 라는 말로 느껴저 충격적이기 까지 하내요. 그리고 자기 증명 불가능하지만 자기 생산 가능한 역설적 가능성은 AI가 어디까지 더 발전할지도 궁금하내요.
마지막쯤 논문에서 인용한 문구로 나오는 Even a perfect, complete description of the microscopic interaction between a material’s particle is not always enough to deduce its macroscopic properties 라는 말은 Game of Life 를 정확히 설명하는 말이네요.. 이 모든게 연결되어 있다는게 소름돋네요. 영상 너무 잘 봤습니다! 왠만한 방송국 다큐멘터리보다 구성이 훨씬 좋은거같아요.. 엄청 몰입해서 봤어요.
- Game of Life의 미시적인 규칙은 매우 정확하고 혼동 가능성이 없음
- Game of Life는 스스로 자기 자신을 시뮬레이션할 수 있음
- 그렇기에 Game of Life로 만들어낸 거시적인 문제들 중 어떤 것들은 증명이 불가능함...
내가 이거 한줄로 요약해줌
세상의 모든 것을 그릴수 있는 화가라도 그림그리고 있는 현재 자신은 그릴 수 없다
어떻게 보면 무엇을 알 수 없는 지 알게 되었기 때문에
역설적으로 무엇을 할 수 있는 지 알게 된 것 같기도 하네요.
그리고 수학이란 학문 자체가 그 연속으로 볼 수도 있겠다는 생각이 듭니다.
죽기를 거부하고자 먹기를 거부했더니 죽었다더라
이거 또한 자기 모순...
이게 무슨 의미인가요?
@@거어눋 그러게요. 저도 잘 모르겠네요.
성경구절일까요.
안죽을려고 안먹는다.
안먹으니 죽었다.
그럼 먹으면 죽는다라는 명제가 성립되어야 하는데 이해할 수 없는 명제네요.
음식을 섭취한다 -> 체세포분열을 한다 -> 체세포분열을 하면서 사람은 죽음에 다가간다.
이런 의미일까요?
@@BA-bw4iq 영상 중간에 나와있어요
30:17
@@helloworld5320 앗 감사합니다. 영상을 5초씩 살짝살짝 스킵하면서 봤더니 저걸 딱 뛰어 넘겼네요.
프로그래밍 언어론 공부하다가 여기까지 왔는데, 영상 정말 좋네요! 이런 양질의 영상을 한국어로 볼 수 있는 게 정말 행운인 것 같습니다. 번역 감사합니다!!!
학창시절 이과였는데도 수학 물리 넘 못해서 고생했는데 나이먹으니 수학이 이리 재미있는 학문이었다니!!!
시간 가는줄 모르고 봤는데 여전히 모르겠네요 그래도 계속 보게 되네요 ㅜㅜ;;;;;;;
음.... 그러니까... 지금의 수학 체계 뿐만아니라 수학이라는 것 자체가 절대적인게 아니라 언제든 바뀔 수 있는 모래 위의 성과 같다는 의미로 생각하면 되나요? 아니면 수학은 절대적이지만 단지 빈틈이 있어 보일 뿐이고 그 빈틈을 채울 수 있는지 없는지를 알 수 없다고 생각하면 되나요? 그것도 아니면 수학 그 자체가 절대적일지 아닐지를 판단 할 수 없다고 이해하면 되나요?
game of life를 인생게임으로 해석해야 할지... 생명게임이라 해야할지... 이 패턴의 의도자체가 세포단위 생명체인, 단세포 동물의 행동패턴 분석과 관련이 있으니
인생보다는 생명으로 해석하는게 더 좋을듯합니다.
나무위키에 영어로 된 버전만 있길래 한국어 버전 달아줬는데 이렇게 뜰줄은 몰랐어요
절망스럽다.. 한글로 친절하게 설명해주시는데 이해를 할 수 가없네요. 다시봐야지 ㅠㅠ
이 마을에 면도사는 단 한명이어야한다 라는 조건이 없으므로 두 면도사가 서로 해주면 된다
잘 이해가 안되네요. 첫번째 대각선 논법에서 대응하지 않는 실수 한개를 찾았다고 기수가 높다니?(물론 비슷한 방법으로 더 많이 만들 수 있지만) 자연수는 무한한 변화가 없어보여 자연수 조작은 할 수 없다고 생각하는 것 같은데 자연수 조작에서 무한의 성질만 이용하면 사실상 똑같이 더 많이도 만들 수 있을 것 같은데 그 확장된 무한은 객체 자체가 아니라고 딴지걸거 같고 두번째 모순가능성은 알려주지 않았고.. 세번째도 기계 h를 예시로 했는데 무한루프에 빠지는 것 자체가 무한루프에 빠니다는 것으로 결론 난 것이라고 생각하면 h+를 만들어도 결정지어지는 것으로 정해지는데요?
애초에 모든 무한한 자연수를 다 왼쪽 변에 썼고 그에 매칭하는 실수를 다 썼다고 가정한 뒤에 그래도 아직 안쓴 실수가 있다는 얘기라 또 다른 자연수가 있다는 거 자체가 말이 안됩니다
다른 자연수가 있다는게 아니라 어떤 자연수에도 대응되지 못한 실수 한개를 찾을 수 있다는 말입니다.(물론 같은 방식으로 여러개 찾기 가능) 저는 이걸로 무한의 크기를 비교하는게 부적절하다는 말이고요..
문과라서 솔직히 뭔 말인지는 모르겠는데 하여튼 엄청 대단하고 재밌는(?) 영상이었습니다. 작은 두뇌와 100년도 못사는 수명을 가진 주제에 왜 인간은 무한이란 개념을 상상하고 증명하려고 하는 시도를 하는 것일까요? 생물로서 주어진 조건 그 너머를 보고 싶어하는 욕구가 인간의 본질인지도 모르겠습니다.
이런 양질의 영상은 거의 다 영어로 되어있어서 보기 힘들었는데, 정말 감사합니다!
이 영상은 이공계 포르노로 분류되어야 한다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
괴델 전까지는 재밌게 듣고 있었는데 괴델부터 갑자기 집중력이 필요하네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
th-cam.com/video/92WHN-pAFCs/w-d-xo.html
정지 문제를 멋지게 소개하는 영상 추천
영상 잘 봤습니다 감사합니다.
어렵다 너무 어렵다. 근데 너무 재미있다. 좋은 영상 감사합니다.
불완전성 정리를 잘구성한 스토리와 이론적내용과 그래픽을 통해 보니 섺스 그자체임 아는 내용이었지만 여태본 영상들과 차원이다르다
단편적인 종이에 그려져있던 개념과 이론들이 다른 이론과 상호적 관계가 있다는걸 볼때의 그 짜릿함이란.... 하 어떻게 수학을 사랑하지 않을수가 있을까요 ㅎㅎㅎ 예전에도 봤던 영상인데 오늘은 사무치게 눈에 띄네요 ㅎㅎㅎㅎ
2022.06.12.일요일.
오후 22:13 작성.
짱구야.
점 선 면에서 다음은 입체일텐데 입체의 기준과 조건이 성립되어야 가능하니 이 경우의 계산값에서 불가능한건
중심이 있어야 가능하지 않을까?.
즉 자전이던 공전이던 각각에 있어서 균형을 유지할수 있기위해서 계산을 한다면
전자계산기의 경우 0과 1은 길이의 단위에 있어서 0과 1의 경우의 차이를 알아야하고 이속에 시간 거리에 따른 속도 또한 다르게 구분 되어야하며 다른 경우들의 구분도 생각해봐야하는것에서 그에따라 각각의 숫자 2의 각각의 구분 분류속에 표현에 있어서 계산 방식은 그 수의 자릿수에 따라 비트수에 있어서나 구조방식에 있어서 표현에 있어서 설정을 다시 해야한다면 그 정해진 수를 넘어버리기 이전에 비워야하는것에서 비우지 못한다면 이미 불가능한 일인것 같은데...
오 주워들은 내용 다 나오네요 튜링머신에 halt-problem에 무한 집합 개수에 괴델 불완전성 등등 사실 살아가면서 몰라도 되지만 알면 유익한 그런 내용들
26:40 애초에 판단 가능하다고 가정한 기계는 h이고, h+는 h의 반대값만 출력하는 것으로 가정했는데 왜 갑자기 h+가 판단 가능한 기계인 것으로 변형되었나요?
h+는 h의 반댓값이 핀단 가능한지 판단해주는 기계라고 생각하면 됩니다. h+의 구조를 보면 안에 h와 h의 결과값을 반대로 만들어주는 장치 두개가 들어있어요
와 이거 넘넘넘 궁금헀는데 설명들으니까 속이 뻥 뚫린다...... 미쳤다 이게 이거구나
제가 노자 도덕경 1장의 수학적 논리학적 구조를 완전히 해독해 유툽에 올려놓았는데 혹 논리학 수학 하시는분 있으시면 검증 부탁드립니다
14:14 Decidable은 명제가 공리를 '따른다'라고 표현하기보다는 이 명제가 공리로부터 추론을 통해 나올 수 있다 로 해석하는 게 나을 듯 싶네요
사랑합니다… 한국어라니!! 감격..
불완정성 정리 = 수학은 완전하지 않다는 것. 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다는것.
아주 감사합니다. 아주
0,1 사이의 모든 유리수는 모든 자연수와 일대일 대응합니다.
왜냐하면 n을 모든 자연수라고 두면 모든 유리수는 1/n으로 나타낼 수 있으니까요. 그렇다면 0과1 사이의 실수는 유리수를 포함하는데다가 무리수 또한 포함하니 0과 1사이의 실수가 더 많죠
이 댓글 보고 궁금해져서, 한번 찾아봤는데
놀랍게도 1대1로 대응할 수 있으면 같은 농도로 본다는
무슨 개념을 적용하면 유리수는 가산집합이라고 하네요;
|N| ≤ |Q^+| ≤ |NxN|,
여기서, 1:1 대응 시킴 |NxN| = |N|,
따라서, |N| = |Q^+|
무한의 크기를 서로 비교할 수 있다면?
TH-camr : Ray 수학
th-cam.com/video/Kbz1bSVHBb0/w-d-xo.html
0과 1사이의 실수와 모든 자연수의 개수를 비교하려면 어떤 자연수를 n, 그에 대응하는 0과 1사이의 실수를 1/n이라고 하고 목록을 작성했을때 1/무리수 꼴의 실수는 대응되지 않았기 때문에 0과 1사이의 실수의 개수가 모든 자연수의 개수가 많다고 봐도 되나요?
썸네일 되게 센스있다.....
수학은 완벽이 아니다...
튜링, 힐베르트, 괴델, 러셀, 화이트헤드까지...
한 영상을 통해 만나게 되어 신기하고 흥미롭습니다.
좋은 영상 감사합니다.
여러분은 지금 "신은 전지전능한가?" 라는 철학적 물음에 대해 수학자들이 어떻게 대답해왔고, 어떤 대답을 얻었는지에 대해 보고 있습니다.
베리타슘 한국채널 왜 이제 알았지...
퀄리티는 검증된거나 마찬가지라 킹고리즘만 타면 떡상할듯
남이 본인을 독살하려 한다는 생각에 빠져 음식 먹기를 거부하다 굶어 죽었다면 과연 그 죽음에 대한 두려움은 무엇을 위한 두려움이었을까?
무한 목록이라는 표현이 학생들에게 혼돈을 줄 수 있을것같습니다..
무한 목록에서 없는 숫자를 만들었다는 표현은 학생이나 일반인들에게 상상속의 어떤 특정 퀀터티? 를 상상하게 할 수도 있다 생각합니다..
아~~~~~ 이 행복한 감정을 어떻게 말할 수 있을까! 마치 마약을 한 것처럼 행복하다. 이런 사실을 알고 죽을 수 있다니!!!!
와.... 정지문제, 튜링머신에 괴델수 까지.... 내가 알고 싶던 모든게 해결되었다!
내가 고등학교까지 제일 잘한 과목이 수학이고 , 그 덕분에 지금 의사를 하고 있고.
난 아직도 수학을 좋아하는 의사이다.
근데 동영상을 봐도 당췌 뭔 소린지 모르겠고, 수학을 전공을 안하기를 잘 했다고 생각한다.
하튼 공부 못하는 애들은 의사나 해야 된다.
똑똑한 애들이 수학자 컴퓨터공학 이런거 해야 하고.
의사 맞으세요? 거짓말 ㄴㄴ
@@emiliofermi9994의사가 되기가 어려운거지, 의학이 가장 깊고 어려운 학문은 아니거든....
1:34 살아 있는 칸이 한 개 이하거나 네 개 이상이면 죽습니다. 로 바꿔야할 것 같네요
양자학도 다른 것들도
다 조건이 무엇인지 모를경우
답을 예상하지만 어떤 답이 나올지 알수없는 상태를 뜻함
그러나 현실상 조건이 주어져있음
우리가 모를뿐
조건이 주어져 있으니
답도 정해져있음
조건을 모르니 답도 모를뿐
왜 조건이 주어져 있냐면
세상이 존재하기에
이미 진행중이기에
변수도 무한이기에
무한으로 진행하다 변수로 멈출수있지만 다시 변수로 작동할수있기에
멈춘적이 있으니 멈췄다 라는것도 틀린것이 아니기에
유한인것도 사실 무한에 속하기에
수학이라는 학문적 접근으로 변하지 않는 완벽한 수라는 개념을 이해했는데 이런 사례도 있으니 흥미롭네요..ㅎㅎ 영상 잘 보고 갑니다
와.. 영상 다보고 시간보고 놀랐습니다. 32분인데 1분처럼 느껴집니다.
항상 재밌고 흥미로운 영상을 올려주시네요 ㅎㅎ
짐은 적이고 짐의 최악의 적은 자기 자신이고 적의 적은 친구이므로 짐은 자신의 친구인데 짐은 적이다..(?) ㅁ..잘 이해한걸까요
영상 퀄리티 미쳤네요.
몇 번은 더 봐야 할 것 같은데, 너무 재미있습니다.
영원히 이루지 못할것도 있겠지만
그게 무서워서 포기하진 말아야겠다
질문이 있습니다.
(1) 괴델수를 괴델이 한 방식인 소수들의 곱으로 나타내지 않고 다른 방식으로 부여하는 방법이 있나요? (y/n)
(2) 다른 방식으로 괴델수를 부여하면 전체적인 증명에서 어떤 문제가 생기나요? 예를 들어 모든 수학적 명제들을 열거한 다음에 거기에 그냥 1, 2, 3...으로 괴델수를 부여하고, 그것을 잘 기억하여 어떤 문장이든 보다 짧은 괴델수 n을 찾을 수 있고, 어떤 괴델수 n에서든 거기에 해당하는 문장을 찾을 수 있도록 정의하여 출발하면 역시 증명이 가능한가요? (y/n)
(3) 이런 식으로 증명하면 안 된다면, (2)의 경우에 괴델식 증명의 어느 단계에서 문제가 생기나요? 예를 들어서 Dem(x,z)를 정의할 수 없다든지...?
헐 veritasium 한글 번역채널이 있었다니!! 왜이렇게 유명하지 않은거죠? 이건 혁명적인건데
떴네요
붐은 왔다
이해는 어렵지만 참 유익하고 재밌는 영상입니다
10:04 여기서 이게 왜 모순일까요? 마을에 남자 면도사가 두명 이상이 있다면 서로 면도를 해줄 수 있지 않을까요. 그렇다면 그 법칙에 부합하기 위해 한 마을에 두명 이상의 남자 면도사를 둬야한다는 규칙만 추가하면 될텐데.
불완전성을 증명하기 위해서는 모순이 생기는 반례 하나만 들면 됩니다.
그리고 저 규칙을 추가하지 않으면 모순이 생기므로 반례를 찾는 것이죠
애초에 다른 조건을 끌고 오는것도 문제가 있지만
다른 이발사가 있든 말든 자기 자신을 면도하는 것도 면도하지 않는 것도 못한다는게 중요한거임
두 명중 한 명이 은퇴하거나 죽으면요? 이발사가 두 명인건 문제에 대한 답이 되지 못합니다.
작은 희망의 간절함이 내일을 살아가게하는 작은 힘이라고 생각함.
최근에 가장 궁금한 건 이거였어요.
쉽게 예시를 들어보자면 이런거죠
인간은 인간을 포함한 우주에서 절대 실현불가능한 것을 상상할 수 있냐는 것입니다.
왜냐면 인간은 우주의 물질과 에너지로 이루어져 우주의 시공간에서 살고 있고, 그러한 인간의 상상은 우주의 데이터니깐요
그런데 우주에 절대로 존재할 수 없는 뭔가를 상상한다는 것 자체가 우주에서 탄생한 데이터가 우주에서 절대 존재할 수 없는 데이터라는 말도 안 되는 모순에 갇히기 때문이죠.
만약 이 모순이 해결될 수 없다면, 여태 인간이 상상했던 모든 것은 사실 이 우주에서 실현가능한 것들인 겁니다.
여기서 우린 명백하게 구분해야할 것이 있죠
상상은 그저 신경계의 물리화학적 반응의 연속이 만들어낸 이미지일 뿐이고, 결국 데이터에 불과하지만
그러한 데이터가 특정 시공간 내에서 물질과 에너지로 이루어진 연속체로서 존재한다는 건 별개의 문제라는 것 말이죠
다시 말해 가상현실에 구현할 수 있다고 해서 현실 속에서 반드시 구현가능한 건 아닌 겁니다.
그렇다면 우리가 만들어낸 논리와 그 논리에서 기반한 학문들조차도 사실 현실을 나타내고 설명하기 위한 데이터에 불가한 것일 수도 있다고 생각해봐야 합니다.
다시 말해 학문조차도 그저 이 우주에선 하나의 현상에 불과한 데이터의 역사일 뿐인거죠.
와 좋은 영상 감사합니다!
"우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다"에서 흥미 있게 봤던 내용인데, 더 자세하고 깊이있는 설명감사합니다
탑을 쌓을 수록 더욱더 불완전한 상태에 놓이게 되네요...
영상 개지리네요.. ㄷㄷ
끝내줘요~ 일반인들도 흥미를 잃지 않고
조금이라도 더 알고싶게 만듭니다! 👍
참인지 알지만 그걸 증명할수없다는 것을 알았는데, 그런데 우리는 그것이 참인지는 어떻게 알까요?