@@zawatsky Полностью согласен. Эту да, я же рассказал алгоритмический путь решения вначале. Но факт, что геометрию с доп построением ИИ не решает неоспорим ... пока.
*Нужна хорошая алгебраическая техника и хорошее знание простых формул тригонометрии.* Тогда можно *БЫСТРО* решить эту задачу без всяких ухищрений. Из верхнего треугольника, дважды применив т.косинусов, получим: CD² = 2 + √3, ∡МDC = 60°.Отсюда следует, что точка М лежит на диагонали, поэтому есть все углы нижнего треугольника. Теперь даже без теоремы синусов легко получить х = 1. И не нужно тратить время на поиски красивого решения. *На олимпиаде или экзамене это важно.* *А вот на канале можно и нужно заниматься поисками красивых, неожиданных решений, что делает и чему учит В.В.* Это как раз подходящее место для творчества!
Определяем по теореме косов Длину стороны.CD=(sqrt 3+1)/(sqrt 2). Расстояние от точки O до сторон BC,CD и AD обозначим соотв.а,d и b По теореме Пифа a^2+d^2=3. b^2+d^2=2. Откуда a^2-b^2=1 a+b=(sqrt 3+1)/(sqrt 2) Получаем b=1/(sqrt 2) a=(sqrt 3)/(sqrt 2) d=b и окончательно x=1. Замечательно то,что точка О лежит на диагонали AC
Две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно. Воспользуемся этим для решения этой задачи. 1. Проведём диагональ АС, а также построим равносторонний тр-к DCR в стороне DC вершиной R влево. Пусть М1 - точка пересечения диагонали АС и стороны DR. Тогда угол DM1C=180-60-45=75 гр. и по теореме синусов M1D/sin45=M1C/sin60; т.е. M1D/M1C=sqrt(2/3). Т.е. полученный тр-к DM1C по двум сторонам и углу между ними равен заданному тр-ку DMC - отсюда вывод: точки М1 и М совпадают, т.е. точка М лежит на диагонали АС. 2. По теореме синусов к тр-ку АМD: x/sin30=sqrt(2)/sin45; откуда х=1
Главное - понять: что и как крутить, а именно: сторону, общую для двух тр-ков внутри квадрата (МD), вместе с одним из этих тр-ков (МСD или АМD), вокруг их общей вершины (D) на угол между сторонами квадрата (90°). С пониманием этого решение станет устным.
Треугольник MCD равен (по двум сторонам и углу между ними) треугольнику с углами 60° (sin60=√3/2); 45° (sin45°=√2/2) и со сторонами напротив этих углов √3 и √2 соответственно. М на диагонали квадрата. AM=1 по теореме синусов из тр. АМD.
По теореме синусов в большом треугольнике дополнительные углы 45° и 60°. Значит точка М лежит на дигонали, а углы в малом треугольнике 45° и 30°. По теореме синусов x=1.
Надо же, ниже есть почти точно такое же решение :) Но я все равно не буду удалять свой комментарий. Я посмотрел, в ролике нигде не проясняется вопрос, какие углы у треугольника. На самом деле тут довольно забавно - пусть эти углы α - напротив стороны √2, и β напротив √3. Тогда sin(α)/sin(β) = √2/√3 = sin(45°)/sin(60°); при этом α + β=105°; ясно, что α = 45° и β=60°; походят (Это означает, что только так и может быть, и причина - в признаке равенства треугольников. В самом деле, может, этот треугольник и НЕ такой, но тогда точно есть ЕЩЕ И такой, и они равны по ... ага. Появление угла в 45° означает - много, чего. В частности, х и √3 - куски диагонали квадрата) Дальше можно применить теорему синусов еще раз, но уже к "нижнему" треугольнику, у которого внезапно определились углы - 45° напротив стороны √2 и 30° напротив х, откуда х=1.
Я нечестно решал. Через т М провел параллель и меридиан. Получается, что разность квадратов отрезков СД равна 1. Откуда получается, что угол СМД делится на 45 и 30. АМ -- на диагонали АС и квадраты его проекций на АВ и СД равны по 1/2 Ответ:1
Сразу становится ясно, что угол в 75 градусов возник не просто так ,т.е. треугольник МСD составлен из двух прямоугольных, один с углами 45 градусов, другой 60 -и 30. Проверил, так и есть. Ну а если это знать, Х, конечно, вычислить не составляет проблем.
А почему вдруг он катет? АМС на рисунке-ломаная, поэтому Вы не можете утверждать, что угол МСМ1 равен 90. Учитель вовсе не зря применил теорему кос-ов.
@@misha3815 Послушайте Вы, причем внимательно, КАК он это сказал! Это пока ниоткуда не следует, это надо ДОКАЗАТЬ. В.В. сказал это с усмешкой. Вот его слова, которые подчеркивают, что на данном этапе этого делать нельзя: "Да, равен, мы в курсе. *Но до этого что-то еще нужно поделать."* Или Вы читаете выборочно? Поскольку поворот на 90 градусов, то СМ1 перпендикулярно АМ, но никак не МС, потому что АМС- ломаная.
@@SB-7423 Уважаемый, в том то и дело что надо доказать! Автор в самом начале отказался от теоремы косинусов, сказал что "мы пойдем другим путем", но пришли мы опять к косинусам. Так давай докажем прямоугольность этого треугольника и получим тот самый другой путь. Раз СМ1 равняется половине ММ1 при 30 градусах, значит это гипотенуза а треугольник прямоугольный и значит АМС не ломанная а получается что прямая, и все это надо доказать. А то зачем повороты и развороты если с самого начала можно было косинусами решить? Я понятно выразился?
Дамы и господа, если ролик понравился не ЗАБУДЬТЕ ПОСТАВИТЬ "ЛАЙК". Это +10 показов ролика на ютубе.
Уверен, Зундамон решила бы эту задачку - не стоит ИИ недооценивать.🤭
@@zawatsky Полностью согласен. Эту да, я же рассказал алгоритмический путь решения вначале. Но факт, что геометрию с доп построением ИИ не решает неоспорим ... пока.
@@GeometriaValeriyKazakov я скормил ей пару ваших задач в своё время. Она обычно сразу берёт теорему синусов или косинусов.
Очень красиво! Кто любит геометрию, тот любит красоту и в искусстве! Спасибо за хороший фильм!
*Нужна хорошая алгебраическая техника и хорошее знание простых формул тригонометрии.* Тогда можно *БЫСТРО* решить эту задачу без всяких ухищрений. Из
верхнего треугольника, дважды применив т.косинусов, получим: CD² = 2 + √3, ∡МDC = 60°.Отсюда следует, что точка М лежит на диагонали, поэтому есть все углы нижнего
треугольника. Теперь даже без теоремы синусов легко получить х = 1. И не нужно тратить время на поиски красивого решения. *На олимпиаде или экзамене это важно.*
*А вот на канале можно и нужно заниматься поисками красивых, неожиданных решений, что делает и чему учит В.В.* Это как раз подходящее место для творчества!
Определяем по теореме косов
Длину стороны.CD=(sqrt 3+1)/(sqrt 2).
Расстояние от точки O до сторон BC,CD и AD обозначим соотв.а,d и b
По теореме Пифа
a^2+d^2=3. b^2+d^2=2.
Откуда a^2-b^2=1 a+b=(sqrt 3+1)/(sqrt 2)
Получаем b=1/(sqrt 2) a=(sqrt 3)/(sqrt 2) d=b и окончательно x=1.
Замечательно то,что точка О лежит на диагонали AC
При вычислении Х можно было воспользоваться - напротив 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенуза 2, Х=1.
Две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно. Воспользуемся этим для решения этой задачи.
1. Проведём диагональ АС, а также построим равносторонний тр-к DCR в стороне DC вершиной R влево. Пусть М1 - точка пересечения диагонали АС и стороны DR. Тогда угол DM1C=180-60-45=75 гр. и по теореме синусов M1D/sin45=M1C/sin60; т.е. M1D/M1C=sqrt(2/3). Т.е. полученный тр-к DM1C по двум сторонам и углу между ними равен заданному тр-ку DMC - отсюда вывод: точки М1 и М совпадают, т.е. точка М лежит на диагонали АС.
2. По теореме синусов к тр-ку АМD: x/sin30=sqrt(2)/sin45; откуда х=1
Из ∆MCD по теореме косинусов CD = (√3+1)/ √2, по теореме синусов sin
Главное - понять: что и как крутить, а именно: сторону, общую для двух тр-ков внутри квадрата (МD), вместе с одним из этих тр-ков (МСD или АМD), вокруг их общей вершины (D) на угол между сторонами квадрата (90°). С пониманием этого решение станет устным.
Треугольник MCD равен (по двум сторонам и углу между ними) треугольнику с углами 60° (sin60=√3/2); 45° (sin45°=√2/2) и со сторонами напротив этих углов √3 и √2 соответственно. М на диагонали квадрата. AM=1 по теореме синусов из тр. АМD.
Спасибо.
Спасибо. И если 45, то М на диагонали! И если из точки M опустить перпендикуляры на CD и AD, то можно без т. кос и син обойтись. Отличнаяу у вас идея.
По теореме синусов в большом треугольнике дополнительные углы 45° и 60°. Значит точка М лежит на дигонали, а углы в малом треугольнике 45° и 30°. По теореме синусов x=1.
Надо же, ниже есть почти точно такое же решение :) Но я все равно не буду удалять свой комментарий.
Я посмотрел, в ролике нигде не проясняется вопрос, какие углы у треугольника. На самом деле тут довольно забавно - пусть эти углы α - напротив стороны √2, и β напротив √3. Тогда sin(α)/sin(β) = √2/√3 = sin(45°)/sin(60°); при этом α + β=105°; ясно, что α = 45° и β=60°; походят
(Это означает, что только так и может быть, и причина - в признаке равенства треугольников. В самом деле, может, этот треугольник и НЕ такой, но тогда точно есть ЕЩЕ И такой, и они равны по ... ага. Появление угла в 45° означает - много, чего. В частности, х и √3 - куски диагонали квадрата)
Дальше можно применить теорему синусов еще раз, но уже к "нижнему" треугольнику, у которого внезапно определились углы - 45° напротив стороны √2 и 30° напротив х, откуда х=1.
Вычисления в лоб:
В ∆ CDM, CD²=DM²+CM²-2*DM*CM*cos∠CMD;
CD²=2+3-2*√2*√3*cos75◦;
cos75◦=cos(45◦+30◦)=cos45◦*cos30◦-sin45◦*sin30◦=(√2/2)*(√3/2)-(√2/2)*(1/2)=(√6-√2)/4; cos75◦=(√6-√2)/4.
CD²=5-2√6*(√6-√2)/4=2+√3; CD=√(2+√3).
CD=AD; AD=√(2+√3).
∠CDM=𝜶; ∠ADM=𝞫.
CD/sin75◦=CM/sin𝜶; sin𝜶=(CM*sin75◦)/CD;
sin75◦=sin(45◦+30◦)=sin45◦*cos30◦+cos45◦*sin30◦=(√2/2)*(√3/2)*(1/2)=(√6+√2)/4; sin75◦=(√6+√2)/4.
sin𝜶=(√3*(√6+√2)/4)/√(2+√3)=(√18+√6)/(4*√(2+√3).
B ∆ ADM, AM²= AD²+DM²-2*AD*DM*cos𝞫; cos𝞫=cos(90◦-𝜶)=sin𝜶.
AM²=2+√3+2-2*√(2+√3)*√2*((√18+√6)/(4*√(2+√3))=4+√3-(√2*(√18+√6))/2=4+√3-((6-2√3))/2=4+√3-3-√3=1;
AM²=1; AM=x=1; x=1.
Ответ: х=1.
😀
я так же решил)
выходит, что М лежит на диагонали АС? видимо построение сделано так. чтобы этого не показать
Я нечестно решал.
Через т М провел параллель и меридиан. Получается, что разность квадратов отрезков СД равна 1.
Откуда получается, что угол СМД делится на 45 и 30. АМ -- на диагонали АС и квадраты его проекций на АВ и СД равны по 1/2
Ответ:1
Честно - нечестно, результат есть! Идея отличная.
Дело не в образованиях. Л̀ди были не такие. Фон социальный образованя был лругой
Катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы х=1/2ММ1=1😅
Сразу становится ясно, что угол в 75 градусов возник не просто так ,т.е. треугольник МСD составлен из двух прямоугольных, один с углами 45 градусов, другой 60 -и 30. Проверил, так и есть. Ну а если это знать, Х, конечно, вычислить не составляет проблем.
Так сказал В. И. Ленин матери, после казни брата.
А что если он этого не говорил?
В. И. Ленин
Чистейшее наслаждение.
решил таким же способом, как и в видео
оказывается, мм1с еще и прямой
@@MiroSlave1 Есть много всякого на свете, "друг Горацио!"
@@MiroSlave1😳 🤔 😬 Нет!
м...да, не дуже тяжка, було б цікавіше коли т. М не лежить на діагоналі.!
Молодец Казаков
зачем косинусы, ведь катет против 30 градусного угла равен половине гипотенузы.
А почему вдруг он катет? АМС на рисунке-ломаная, поэтому Вы не можете утверждать, что угол МСМ1 равен 90. Учитель вовсе не зря применил теорему кос-ов.
Да, равен, мы в курсе. Но до этого что-то еще нужно поделать.
@@SB-7423 Внимательно послушайте с 6:25 , там говорится, что треугольник прямоугольный.
@@misha3815 Послушайте Вы, причем внимательно, КАК он это сказал! Это пока ниоткуда не следует, это надо ДОКАЗАТЬ. В.В. сказал это с усмешкой.
Вот его слова, которые подчеркивают, что на данном этапе этого делать нельзя: "Да, равен, мы в курсе. *Но до этого что-то еще нужно поделать."*
Или Вы читаете выборочно? Поскольку поворот на 90 градусов, то СМ1 перпендикулярно АМ, но никак не МС, потому что АМС- ломаная.
@@SB-7423 Уважаемый, в том то и дело что надо доказать! Автор в самом начале отказался от теоремы косинусов, сказал что "мы пойдем другим путем", но пришли мы опять к косинусам. Так давай докажем прямоугольность этого треугольника и получим тот самый другой путь. Раз СМ1 равняется половине ММ1 при 30 градусах, значит это гипотенуза а треугольник прямоугольный и значит АМС не ломанная а получается что прямая, и все это надо доказать. А то зачем повороты и развороты если с самого начала можно было косинусами решить? Я понятно выразился?
А где доказательство того, что вы все перевернули правильно?
Зуб даем!
Поделив некрасивые 75 на красивые 45+30 с помощью Пифагора Самосского увидим что ответ ✓3/(✓3/✓2)*(✓2/2)=1
Да, проведя высоты треугольников.
Знаю, кто так сказал, и точно не являюсь его поклонником
Волков
Математику отвратительно преподают, особенно геометрию(МВТУ в.1982)
Согласен. Уровень упал.