Des demis cercles ne feront jamais une droite, c'est aussi simple que ça :) Chacune des infimes "hauteurs" de cercles multipliÃĐes par le nombre infiniment grand qu'elles sont feront bien pi
Je ne sais pas si c'est une thÃĐorie "reconnue" , mais à la fac le prof de math à dit un jour qu'une droite ( ou un segment) peut-Être considÃĐrÃĐ comme un cercle de rayon infini. Au dÃĐbut ça choque, mais aprÃĻs ça donne une autre vision des choses. dans ce problÃĻme c'est que le rayon est infiniment petit , le demi cercle aussi , mais le rapport Pi est toujours conservÃĐ avec la mÊme formule que pour les premiers cercles. Dire que 2 = PI c'est juste balancÃĐ une connerie gratuitement :)
La longueur pour (2^n) cercles c'est (2^n)*pi/(2^n) = pi, pas de souci de passage à la limite ici. L'erreur est l'extrapolation qu'à la limite on sera "collÃĐ au segment".
Petit coquin ð Je la sentais venir de loin celle là . J'ai bien aimÃĐ comme tu arrives à garder ton sÃĐrieux quand tu prÃĐtends qu'une infinitÃĐ de demi cercle serait considÃĐrÃĐ comme un segment ð
Dans la plupart des commentaires que j'ai lu, on trouve des bouts de rÃĐponse assez ÃĐvasifs (et parfois mÊme faux). Je vais donc apporter ma contribution et essayer de donner une rÃĐponse claire et prÃĐcise à ce problÃĻme, niveau prÃĐpa (spÃĐ ?). Notons : fn : la fonction dont la courbe reprÃĐsentative est les 2^n demi-cercles à l'ÃĐtape n sur [-1 ; 1] f : la fonction nulle sur [-1 ; 1] long : la fonction qui, à une fonction continue sur [-1 ; 1] , associe la longueur de sa courbe reprÃĐsentative || . || dÃĐsigne la norme infinie (ou norme de la convergence uniforme) 1) fn converge bien uniformÃĐment vers f (contrairement à ce qu'insinuent certains commentaires plus bas...) : || fn - f || = || fn || = sup(fn) = (1/2)^n qui converge bien vers 0. 2) long n'est pas continue en f. Pour le prouver, il faut montrer que : Il existe epsilon >0 , pour tout eta >0 , il existe g_eta , || g_eta - f || < eta et || long(g_eta) - long(f) || > epsilon. Prenons donc epsilon = 1. Soit eta > 0. On construit une courbe "en dents de scie" (affine par morceaux) qui vaut (+eta) en (-1) , (-eta) en (-1 + eta) , (+eta) en (-1 + 2*eta) , et ainsi de suite (faire un dessin). La courbe compte ainsi environ 2/eta "morceaux" sur [-1 , 1] On vÃĐrifie aisÃĐment que la fonction g_eta associÃĐe vÃĐrifie : o || g_eta - f || = || g_eta || = eta o Comme chaque morceau de la fonction affine par morceaux g_eta a une longueur > 2*eta, on a || long(g_eta) - long(f) || = long(g_eta) - long(f) > (2/eta) * (2*eta) - 2 = 2 > epsilon (=1) On a donc bien vÃĐrifiÃĐ que la fonction long n'est pas continue en f. 3) Dans la vidÃĐo, on nous dit que o Pour tout n, long(fn) = Pi (c'est vrai) o fn converge vers f avec long(f) = 2 (c'est vrai) o Donc lim ( long(fn) ) = long (lim (fn) ) = long(f) On ne peut pas affirmer ce dernier point en raison de la non continuitÃĐ de long en f : l'erreur se situe bien ici !
la convergence de la courbe formÃĐe par les demis cercles à chaque itÃĐration n'est pas C1, il n'y a donc pas convergence uniforme sur le diamÃĻtre, le passage à la limite est donc faux.
l'erreur est sur le fait que l'on considÃĻre une limite et une infinitÃĐ de demi cercles qui tendent a former une droite or on ne peut pas se restreindre à une droite. Je m'explique. On pose N= nombre de demi cercles. On aurait alors lim N ( N tend vers + infini ) = +infini mais en mathÃĐmatiques l'infini est pas atteignable ( d'oÃđ le concept de limites ) donc cette droite n'est pas atteignable et ainsi pi n'est pas ÃĐgal à la longueur de la droite
"en mathÃĐmatiques l'infini est pas atteignable" Non malheureusement tu n'as pas compris le concept de limite. "Atteignable" c'est un concept de physicien, pas de matheux. Il y a des tas d'exemples oÃđ on considÃĻre l'infini comme atteint: - Deux droites parallÃĻles sont deux droites qui se coupent à l'infini. - Projection stÃĐrÃĐographique oÃđ le pole nord est la projection de l'infini. - la droite rÃĐelle achevÃĐe [-infini; + infini ] .... Par contre le concept de limite considÃĻre que quelque chose n'est pas atteignable, oui, par exemple: limite de f quand x tend vers 3 = 5. 5 n'est pas un nombre inatteignable, mais pour cette fonction particuliÃĻre, si... [du moins si tu restes dans les rÃĐels...] Donc tu aurais pu ÃĐcrire: "en mathÃĐmatiques la limite n'est pas forcÃĐment atteignable" Et du coup tu serais proche de la solution, puisque effectivement cette suite à quelque chose de spÃĐcial qui fait qu'elle ne tend pas vers la droite contrairement à ce que nous laisse penser l'intuition. C'est un exemple trÃĻs intÃĐressant qui montre la limite de l'intuition humaine, et la nÃĐcessite d'avoir une dÃĐfinition de "limite" totalement rigoureuse (ce qui n'est pas le cas des dÃĐfinitions donnÃĐes dans le secondaire).
Pour l'erreur, je dirais que ça vient du fait que la convergence uniforme d'une suite de fonctions dÃĐrivables (fn) vers une fonction f dÃĐrivable, n'implique pas la convergence uniforme de (fn') vers f'. Ici, lorsqu'on paramÃĐtrise le rayon par une fonction f, puis qu'on paramÃĐtrise chaque courbe formÃĐe de demis-cercles par une suite (fn) de fonctions, on a clairement convergence uniforme de (fn) vers f, puisqu'on a convergence graphique. Cependant on n'a pas convergence uniforme des dÃĐrivÃĐes. Donc on ne peut pas dire que " limite de l'intÃĐgrale des fn' = intÃĐgrale de la limite des fn' ". Pas de bol, c'est justement en calculant l'intÃĐgrale de la dÃĐrivÃĐe d'une paramÃĐtrisation qu'on dÃĐtermine la longueur d'une courbe.
Une droite n'as pas d'ÃĐpaisseur, elle n'est reprÃĐsentÃĐ que par 1 dimension et un demi-cercle est dÃĐfini par 2 dimension mÊme pour ton demi-cercle d'un rayon infiniment petit donc elle est forcÃĐment plus grande!!
@@lucasbelot3524 j'ai l'impression que je ne me suis pas bien exprimer, par ÃĐpaisseur je parle du fait que yne droite est plate et ne divage pas dans une autre direction et un demicercle oui il le fait donc il est forcÃĐment plus long
L'expression gÃĐnÃĐralisÃĐe est : Soit D la longueur totale de la frise, Soit nâŽN, D = n*ð*(1/n) = ð*(n/n) = ð (pour un rayon initial de 1 ÃĐvidemment) Pas besoin de calcul de limite, la fonction qui à n associe D est f(n)=ð. C'est une constante
D'un point de vue didactique, c'est bien sympa de laisser les gens se poser des questions et d'ÃĐchanger entre eux dans les commentaires. Mais, Ã la lecture d'une petite partie des commentaires et au vu des erreurs et mauvaises conceptions que j'ai trouvÃĐes dans les commentaires, ce serait vraiment bien de donner une bonne explication dans une autre vidÃĐo par exemple. Sinon, bien que votre intention soit louable, l'enfer lui, est une fois de plus pavÃĐ de bonnes intentions et je crains que la connaissance (mathÃĐmatique) n'en ressorte pas indemne.
Je ne trouve pas ce commentaire trÃĻs constructif de plus cet espace a un but collaboratif de plus au lieux de dire qu'il y a des erreurs et que cela n'est pas bien corriges les. "Sinon, bien que votre intention soit louable, l'enfer lui, est une fois de plus pavÃĐ de bonnes intentions et je crains que la connaissance (mathÃĐmatique) n'en ressorte pas indemne." cette phrase et dâailleurs profondÃĐment mÃĐchantes envers Yvan Monka qui je souhaiterais quand mÊme vous le rappeler pousse certains ÃĐlÃĻves a la rÃĐussite mais plus que ça les poussent a la recherche a la rÃĐflÃĐction et au travail. Certains professeures le recommandent mÊme!
@@julienlebret9776 Pour ta gouverne, j'ai dÃĐjà corrigÃĐ une erreur mais il y en a tellement qu'il serait sage de proposer des corrections dÃĐfinitives pour que toutes ces mauvaises conceptions arrÊtent de se diffuser une bonne fois pour toute. Il n'y a aucune mÃĐchancetÃĐ là -dedans et je trouve mon commentaire trÃĐs constructif au contraire, car s'il ÃĐtait appliquÃĐ, cela permettrait de nettoyer le web de ces fausses connaissances qui finissent par cacher les vraies. Dans la thÃĐorie de l'information cela s'appelle du "bruit" et quand il y a trop de bruit, on n'entend plus le message principal. Je finis par une autre idÃĐe constructive : faire la liste des erreurs les plus frÃĐquemment faites et faire une vidÃĐo dessus.
Mais tu n'a don rien compris à mon propos ce ne sont pas des fausse conception mais des recherches. Crois tu vraiment que les copies d'un ÃĐlÃĻve soit sans faute ? Je te dirais tout de mÊme que ta formulation '' pour ta gouverne '' est je trouve tout d'abord enfentilisante pour moi et de deux inappropriÃĐ. Car cette expression a pour signification une reprimende
@@julienlebret9776 Pourquoi opposer recherches et mauvaises conceptions? Ce sont deux notions diffÃĐrentes mais connexes. Il est tout-à -fait possible qu'une mauvaise conception apparaisse à la suite d'une recherche. Il n'y a là rien d'extraordinaire. Concernant, les copies d'ÃĐlÃĻves, pour en avoir corrigÃĐes des milliers, je peux en effet te confirmer que c'est trÃĻs rare qu'il n'y ait pas de faute. Enfin, ÃĐvite d'Être dÃĐsagrÃĐable avec des propos comme "tu n'as don rien compris" et essaie d'ÃĐlever un peu le propos. Cela permet d'avoir des ÃĐchanges beaucoup plus constructifs.
@@julienlebret9776 Je pense qu'il parle du fait que si il n'y a pas de correction concrÃĻte, quelqu'un pourrait repartir de cette vidÃĐo en ayant vu des commentaires faux, et puis cette personne va alors transmettre cette info à une autre, etc... Et en fin de compte, beaucoup de personnes penseront que la rÃĐponse est *ceci* alors que non, car il n'y avait pas de rÃĐponse clair à cette question. Je ne suis pas prof de math, ni un surdouÃĐ des mathÃĐmatiques et d'ailleurs je ne sais tjr pas quelle est la rÃĐelle rÃĐponse, mais pour moi je pense en effet qu'une correction serait bien pour mettre les choses au clair :)
n : nombre de cercles. R=1: le rayon du cercle de rayon 1. La longueur en radian du pÃĐrimÃĻtre du demi-cercle est pi*R Lorsqu'on rajoute les demi-cercles plus petits on divise le rayon (R) par 2 Ã chaque fois. PÃĐrimÃĻtre= n*pi*R/(2*n) = pi*R, or R=1 donc PÃĐrimÃĻtre =pi. Dans cette formule si n->+infini on obtient toujours pi.
Explication savante : il y a convergence sur lâespace topologique des compacts de R2 pour la distance de Haussdorf mais la mesure de Lebesgue nâest pas continue sur cet espace. Explication intuitive : la somme des ÃĐcarts entre lâunion des petits cercles et le diamÃĻtre est toujours ÃĐgale à 1.
C'est plutÃīt une mesure de Jordan. L'application qui à un arc associe sa longueur n'est pas continue si vous voulez. Si vous ne voyez pas le rapport , je vous conseille de reprendre votre cours sur la continuitÃĐ d'une application entre espace topologique.
@@albandasilva Justement, un cours ÃĐlÃĐmentaire de L2 sur des espaces (fonctionnels) normÃĐs permet de rÃĐpondre facilement à la question: L'opÃĐrateur f -> longueur de f n'est pas bornÃĐ sur C(-1,1), donc non continu, basta. Pas besoin de thÃĐorie de la mesure, de distance de Hausdorff, etc. Vous voulez sortir un bazooka pour abattre une mouche.
â@@letmeoffendyou C'est vous qui sortez un bazooka en changeant de cadre !! Dans ce cadre gÃĐomÃĐtrique, pour dire "qu'une partie du plan tend vers une autre" la topologie naturelle est bien celle de la mesure de Haussdorf.
â@@albandasilva Je parlais du point de vue bagages mathÃĐmatiques nÃĐcessaires pour rÃĐpondre à la question: thÃĐorie de la mesure et distances entre espaces, c'est mini L3, et encore je n'ai jamais rencontrÃĐ de "mesure de Jordan" ni de "mesure continue", je doute que ça soit dans un cours de L3, mais plutÃīt donnÃĐs dans des exos de td... "C'est vous qui sortez un bazooka en changeant de cadre !!" On choisit le cadre oÃđ le problÃĻme se traite le plus facilement. Vu le problÃĻme, je trouve plus simple de manipuler un opÃĐrateur sur un espace fonctionnel simple avec des thÃĐorÃĻmes accessibles en L2, plutÃīt que l'application sur des parties du plan avec une mÃĐtrique de Hausdorff...
C'est assez simple ! La formule c'est i*pi*R(i) = pi i ÃĐtant le nombre d'itÃĐration (ou encore le nombre de demi-cercles) R(i) est le rayon correspondant à chaque ittÃĐration. R(i) = 1/i La formule devient donc pi = i*pi/i. Quand vous parlez de construire une infinitÃĐ de demi-cercles, vous Êtes en train de dire que i tend vers l'infini. Ce qui donne une forme indÃĐterminÃĐe : pi = infini*pi/infini. CQFD
La longueur d'une ligne formÃĐ par des demi-cercles infiniment petit sera toujours plus grande que la longueur de la ligne. La somme des longueurs des demi-cercles sera toujours ÃĐgale Ã Ï et non à 2.
On est tous d'accord c'est FAUX ! Si quant cela tend vers l'infini alors Ï=2, donc tu dis ÃĐgalement que le diamÃĻtre D, D=Ï=2. Ici normalement on voit l'absurditÃĐ .... soit le diamÃĻtre d'un cercle est le chemin le plus court d'une extrÃĐmitÃĐ a l'autre d'un demi-cercle tout comme l'arc du demi-cercle #ABSURDE !! Deplus si tu remplaces le Rayon par Ï/2. Tu obtiens: 2ÏR=2ÏÃÏ/2=Ï^2
Pour pouvoir inverser une limite et une mesure et garder une ÃĐgalitÃĐ, il y a des conditions à vÃĐrifier (souvenir de mes cours en thÃĐorie de la mesure). Et dans cet exemple, comme celui de l'escalier qui tend vers la diagonale d'un rectangle, ces conditions ne sont manifestement pas prÃĐsentes. Ce qui est intÃĐressant dans cet exemple à base de cercles, c'est que l'on peut transformer facilement enlever les points de non dÃĐrivabilitÃĐ (les angles) en faisant une rÃĐflexion d'axe horizontal sur un demi cercle sur deux.
Dit simplement : l'erreur est dans le fait qu'on prÃĐtend que la longueur de la limite d'une suite de chemins est ÃĐgale à la limite des longueurs de chaque chemin. Ce qui n'est pas prouvÃĐ ; et est faux et cette vidÃĐo est d'ailleurs une dÃĐmonstration de la non continuitÃĐ de la longueur d'un chemin. La longueur n'est pas continue pour la convergence uniforme. Ici on a une suite de fonctions : f_ n(x)=racinecarrÃĐe( (r/(2^n))Âē - xÂē) dÃĐfinie sur [-1,1] Qui tend uniformÃĐment vers la fonction f(x)=0 dÃĐfinie sur [-1,1] Ce qui est affirmÃĐ c'est que lim longueur(f_n)= longueur( lim f_n) Ce qui prÃĐtend une continuitÃĐ de la fonction "longueur" en la fonction f. Ce qui est faux.
+Yvan Monka Si vous dites que ð=2 avec ce cercle de diamÃĻtre 2, ð serait ÃĐgal à 4 avec un cercle de diamÃĻtre 4, ð serait ÃĐgal à 8 avec un cercle de diamÃĻtre 8, etc...
C'est a dire, il y aura des points qui ne seront jamais touchÃĐ par cette suite par exemple les nombres irrationnels. La suite qu on peut construire d une telle façon pour qu elle invective..
n = nombre de demi-cercles R = rayon de chaque demi-cercle = 1/n P = pÃĐrimÃĻtre d'un demi-cercle = (2piR)/2 = piR = pi/n Donc Pn = somme des pÃĐrimÃĻtres de tous les demi-cercles = n*(pi/n) = pi Conclusion : peu importe la valeur de n, mÊme vers l'infini, la somme des demi-pÃĐrimÃĻtres sera toujours ÃĐgale à pi lorsque R=1/n
La division et compliquer a aprehender mais avec la technique secrete du cercle trigonomÃĐtrique (mesurÃĐ en radiants): Cercle entier: 0 ou 2pi ou -2pi [2pi] 1/2 cercle: pi ou -pi [2pi] 1/4 cercle: pi/2 ou -pi/2 ou 3pi/2 ou -3pi/2 [2pi] 1/8 cercle: pi/4 ou -pi/4 ou 6pi/4 ou -6pi/4 [2p] ... etc on peut continuer longtemps.
J'arrive un peu tard mais j'ai pas vu cette justification dans les commentaires, j'aurais dit que le nombre de points des demi-cercles qui "touchent" le diamÃĻtre est un infini dÃĐnombrable (en effet, on peut associer un entier naturel à chacun de ces points), mais le nombre de points que comporte le diamÃĻtre est indÃĐnombrable (propriÃĐtÃĐ d'un segment), et comme il ne peut pas exister de bijection entre un infini dÃĐnombrable et un infini indÃĐnombrable, on ne peut rien "prouver" d'autre que pi>2.
Grosse diffÃĐrence tout de mÊme, avec les fractals on retrouv era un nombre infini de rÃĐpÃĐtition mais une aire finie mais irrationnel puisqu'elle s'ÃĐtend pourtant vers l'infini, alors qu'ici on aura un nombre infini de cercle, l'aire reste finie mais elle est totalement rationnelle (mÊme si l'on retrouve Pi dans le calcul, l'aire a une fin)
@@grandveuch4570 je me suis mal exprimÃĐ, je parle de la longueur du "trait" Qui definit l'aire (dit grossiÃĻrement), mais j'ai bien dit que l'aire ÃĐtait finie, mÊme deux fois
L'erreur vient du fait qu'on ne peut mesurer la longueur de ce genre d'objet, dont le motif se rÃĐpÃĻte a l'infini ! On est presque dans le cas d'une fractal ! MÊme si sa longueur semble physiquement fini et mesurable, elle est mathÃĐmatiquement, de valeur infini !
@@k_meleon C'est ÃĐgal, c'est les histoires de noms composÃĐs en anglais, la façon dont je l'ai nommÃĐ fonctionne. L'erreur grammaticale est nÃĐgligeable :kappa:
L'erreur est un peu compliquÃĐe à expliquer rigoureusement je pense. Si on appelle f_0 la fonction qui est reprÃĐsentÃĐe par le grand arc de cercle, f_1 celle reprÃĐsentÃĐe par les 2 plus petits, etc ... f_n celle reprÃĐsentÃĐe par 2^n demi cercles, et si on appelle f la fonction nulle sur un segment de longueur 2 (ici le diamÃĻtre, limite de la suite de fonction (f_n)), on obtient une convergence (uniforme) de la suite de fonction (f_n) vers la fonction f. Cette convergence n'implique pas la convergence de la longueur de la courbe de chaque fonction f_n, qui est donnÃĐe par : intÃĐgrale de (1+ (df_n/dx)^2)^0.5 entre les bornes de l'intervalle prÃĐcitÃĐ (le diamÃĻtre) vers la longueur de la fonction limite (ici 2), car il faudrait pour cela une bonne convergence (uniforme) de la suite des dÃĐrivÃĐes (df_n/dx). Autrement dit, ce n'est pas parce qu'une courbe "tend" vers une autre, que sa longueur se rapproche de la longueur de la fonction limite.
Je suis pas mathÃĐmaticien mais pour moi si on fait une infinitÃĐ de courbes c'est une fractale et pas une droite, du coup Pi n'est pas ÃĐgal à 2 mais environ 3,14
Tjrs le meme probleme sur les supersommations lineaires et stable, on peut aussi prouver que 2=sqrt(2) (mdrrr dont sqrt(2)=pi, amazing) Prend un carrÃĐ de cotÃĐ un, tu casses deux des cotÃĐs pour les pliers vers l'interieur du carrÃĐ (en marche d'escalier quoi) repete l'operation a l'infini et tu prouves que le perimÃĻtre n'a pas changer mais il est mtn egale a la diagonale qui vaut sqrt(2)
FAUX mÊme si on considÃĻre une infinitÃĐ de demi cercle ceux ci ne seront jamais collÃĐ au diamÃĻtre du cercle de dÃĐpart. C'est le mÊme principe si l'on trace la coube de la fonction inversÃĐ (1/x), les courbe ne toucheront jamais l'axe des ordonnÃĐ. Ou encore si on se place a 20 mÃĻtre d'un mur et que l'on rÃĐduit a chaque fois la distance par 2. On attendra jamais le mur.
Ãa me rappelle les fractales tout ça ! xD Mais oui, considÃĐrer que les demi cercles vont se joindre au diamÃĻtre du grand cercle est une erreur. MÊme dans l'infiniment petit, nous aurons toujours un nombre infini dÃĐnombrable (2^n si n tend vers l'infini) de demi cercles et non une droite.
En effet le problÃĻme pourrait Être posÃĐ comme suit :"On juxtapose "n" cercles de diamÃĻtres "d" ou encore de rayons "r" à l'intÃĐrieur d'un cercle de diamÃĻtre "D" et de rayon "R" sur la droite diamÃĐtrale du cercle . On aura donc d=D/n ou encore r=R/n . Donc on a "n" cercles de demi-pÃĐrimÃĻtre chacun " pi*R/n" , le total est alors " n*pi*R/n . On voit donc , en simplifiant que le total vaut " pi *R " independemment de "n" , mÊme si "n" tend vers + infini !!! C'est à dire pour R=1 , on a le total qui vaut toujours "pi " quelque soit "n" . Et là on ne voit aucun indice qui pourrait nous dire que lorsque "n" tend vers + infini ,nos cercles vont "s'aplatir " , il se peut que ça soit une illusion d'optique ,ni plus ni moins .
La conjecture de la fin pose problÃĻme, c'est la somme des rayons des cercles minuscule tendant vers l'infini qui font 2, pas la circonfÃĐrence ! car justement, la circonfÃĐrence du demi cercle est ÃĐgal a Pi*Rayon; c'est donc le rayon qui tend vers 0 car Pi est une constante, si le rayon tend vers 0 (sans jamais l'atteindre forcÃĐment) et que donc par consÃĐquent le nombre k de demi cercle tend vers plus l'infini on a bien la limite qui est ÃĐgale à Pi : lim (lorsque k tend vers +inf et R tend vers 0) de k*(Pi*R) = Pi Donc Pi = Pi
TrÃĻs bonne interpretation , merci ,mÊme si r tend vers 0 ,mais multipliÃĐ par n qui tend vers l'infini ,dans ce cas ça aboutit à une limite constante .Dans l'ÃĐtude des limites usuelles ,on a appris -et dÃĐmontrÃĐ-que "0*infini " qui en principe indeterminÃĐ peut bel et bien tendre vers une constante .Bien !!!
là on peut dire que c'est l'inverse des fractale. les demi cercle, mÊme au yoctomÃĻtre prÃĻs, ne seront jamais ÃĐgale à une droite. En revanche, avec cette dÃĐmonstration, on peut dire que pi ~= 2. c'est comme calculer le pÃĐrimÃĻtre d'un pays, tu ne peut pas simplement tracer une droite pour les littoraux en disant " c'est presque pareil " et aprÃĻs dire que cela fait exactement cette mesure. Si tu veux les mesures exactes, il faudrait mesurer a la particule prÃĻs et, mÊme comme ça, se ne serai qu'un arrondi.
Le problÃĻme rÃĐside dans l'existence de la "Limite" tel qu'ÃĐnoncÃĐe dans cette "dÃĐmonstration". En effet, si le nombre de demi-cercles tend bien vers l'infini, le rayon tend lui vers 0. La limite parait visuellement donner une droite et donc une constante. Or ce n'est pas le cas, la limite donne un cas indÃĐterminÃĐ en InfinixZÃĐro, et non une droite. Une autre maniÃĻre de voir les choses, plus l'infinitÃĐ de cercle est grande, moins la diffÃĐrence entre un cercle et une droite est importante, mais plus cette diffÃĐrence est "rÃĐpÃĐtÃĐe" un nombre de fois infini. Ce qui revient à une ÃĐnorme diffÃĐrence entre le micro et le macro. Autre exemple de trucage visuel, si vous partez en randonnÃĐe avec pour seule carte une photographie aÃĐrienne, vous serez beaucoup plus surpris de ne pas arriver à l'heure quand prenant une carte IGN qui vous donnera une idÃĐe du relief!
En vrai termes mathÃĐmatiques, l'erreur rÃĐside au moment oÃđ on considÃĻre une limite d'une infinitÃĐ de cercles qui tend à devenir une droite. En rÃĐalitÃĐ, on a ici multipliÃĐ l'infini (le nombre de cercles) par 0 ( le rayon des cercles, qui est alors ÃĐgal à 1/infini). Or, et c'est le principe des limites, les infinis sont de tailles diffÃĐrentes et il en existe des si grands que multipliÃĐs par 0, il ne valent pas 0. C'est une forme indÃĐterminÃĐe.
ce problÃĻme revient à celui d'Einstein qui se deamndait si la limite d'une courbe serait un segement, et qu'on appelerait une gÃĐodesique, ce qui revient à dire que la dÃĐrivÃĐe en tout point de la courbe resterait nulle le long du diametre, or il se trouve qu'il existe des point continue oÃŧ la dÃĐrivÃĐ ne s'anulle pas, ce qui demontre qu'en ces point la pente de la courbe n'est pas parallÃĻle à la direction du segment, par consÃĐquent la limite de la longueur d'un demi-cercle en ces points n'est pas un segement mais une corde dont la longeurr d'onde est son segment
l'erreur vient du fait que la courbe limite qu'on obtient en rajoutant les demi cercles n'est pas une droite mais une courbe fractale. En effet mÊme si visuellement on a l'impression que c'est une droite ça ne l'est pas : si on zoom sur un point de cette courbe limite on obtient jamais quelque chose de "lisse" contrairement à une droite.
Preuve : On pose f(nb_cercle) = nb_cercle * 2 * pi * 1/(2 * nb_cercle). Il s'agit là d'une fonction qui gÃĐnÃĐralise le pÃĐrimÃĻtre de tout les cercles. En fait, on remarque que pour faire n cercles on a besoin d'un rayon de 1/2*n. C'est de la que vient cette fonction avec nb cercle prenant les valeurs : 1,2,4,8... Ensuite en passe à la limite de f(nb_cercle) en + infini mais si on regarde bien, f(nb_cercle) = cste = pi. Donc pour nb_cercle tendant vers + infini, f(nb cercle) = pi. Donc ce pÃĐrimÃĻtre vaudra toujours pi et non 2
On aura jamais vÃĐritablement une droite mais toujours une succession de demi cercles, c'est là oÃđ est l'erreur. En poussant le calcul à l'infini, on obtiendrait en fait : â/2 à 2ÏR = â/2 à 2Ï x 1/â = â à Ï/â = â Pour faire une analogie simple, si on parcours une route de 10 km en changeant constamment de trottoir (en faisant des demi-cercles), à l'arrivÃĐe on n'aura bien ÃĐvidemment pas parcouru 10 km, mais [10/2 à Ï] kms
L'erreur c'est qu'il n'y a pas d'erreur nn jrigole ^^ L'erreur c'est que les demi cercles liÃĐs ne sont pas plat et ne seront jamais ÃĐgaux au diamÃĻtre (pas trÃĻs mathÃĐmatiques tout sa xD)
En fait c'est plus compliquer que sa mais en gros d'aprÃĻs les thÃĐories sur les fractals on aurais certes 2, mais pas 2 cm ou 2 cmÂē mais une unitÃĐe intermÃĐdiaire
Pour faire simple on suivra le mÊme raisonnement du prof : prÃĐrequis : la longueur d'un demi cercle est ÏR. en divisant une infinitÃĐ de fois le rayon du demi cercle, R va tendre vers 0. Donc on aura une infinitÃĐ de demi cercles dont la longueur est ÏÃR = ÏÃ0 = 0.
Donc pour trouver la longueur totale on doit multiplier le nombre de demi cercles ( on a supposÃĐ que ça tendait vers +l'infini) par la longueur de chaque demi cercle ( qui va tendre vers 0). Et ça on peut jamais le calculer
Conclusion : vous avez beau diviser le rayon de cercle , jamais les demis cercles ne seront superposÃĐs au segment de longueur 1. Et c'est ça l erreur !
kimou naillik ce que je veux dire , câest quâil utilise la formule dâun pÃĐrimÃĻtre dâun cercle ou justement il y a pi, or il fais de plus en plus de petit cercle. Or si on en fait infiniment, le rayon de cercle va tendre vers 0. Et si il tend vers 0 il nây a donc plus de cercle (câest ce quâil dit , câest faux mais imaginons que ce soit vrai) . si il nây a plus de cercle il ne peut utilisÃĐ la formule du pÃĐrimÃĻtre dâun cercle. Donc il ne peut pas utiliser le pi, pour justement montrer que pi =2 .
Je pense que le problÃĻme est la dÃĐfinition de la longueur de la figure limite. En prenant un autre exemple plus simple on peut montrer les problÃĻmes que la longueur peuvent crÃĐer : si on prends un segment , et qu'on enlÃĻve un point le segment à la mÊme longeur puisque un point n'as pas de longeur. Pareil si on enlÃĻve 40 , 1000 , un gogol. Pourtant si on enlÃĻve une infinitÃĐ (indenombrable pour les pointilleux) de points le segment devient de longeure nulle. On voit alors qu'on ne peut pas parler de longeur d'une figure limite sans plus d'outils.
Si on note p_n la longueur totale aprÃĻs avoir divisÃĐ n fois (et donc on a 2^n demi cercles de rayon 1/2^n) on a p_n = 2^n*(2*pi*1/2^n)/2 = pi ce qui est vrai. Mais cette suite ne dÃĐpend pas de n donc passer à la limite et dire que lim(p_n)=2 (alors que c'est une suite constant ÃĐgale à pi) n'a aucun sens, en rÃĐalitÃĐ la longueur mÊme si "ça a l'air d'Être le cas" ne sera jamais ÃĐgale à 2. Les cercles s'ÃĐcrasent certes, mais pas au point de former une droite mÊme lorsque on tend vers une infinitÃĐ de cercles.
L erreur rÃĐside dans la derniÃĻre phrase de votre conclusion que la limite tend vers deux alors qu il s agit d une suite de valeur constante qui tend vers pi à l'infini et non vers 2
C'est un peu comme dire que le pÃĐrimÃĻtre d'un carrÃĐ dont on a tournÃĐ les angles vers l'intÃĐrieur une infinitÃĐ de fois ( et donc avec l'allure d'un cercle ) est ÃĐgale à celle d'un cercle, c'est absurde d'un point de vue logique
Comme ça a dÃĐjà ÃĐtÃĐ rappelÃĐ plusieurs fois la continuitÃĐ ou la derivabilite n'est pas nÃĐcessaire vu qu'on peut rectifier des courbes par une suite de segments, comme ce qu'a fait ArchimÃĻde avec son approximation de pi. l'erreur c'est de dire que si la courbe limite semble Être ÃĐgale au diamÃĻtre (convergence uniforme si on veut ) alors la longueur aussi. Or La suite des sommes partielles valant toujours Pi c'est pareil à la limite, elle ne vaudra jamais 2...
En rÃĐpÃĐtant la procÃĐdure à lâinfini, on pose n le nombre de demi cercle. Et U(n) la longueur des demi cercle. On a alors R=1/n, On peu donc ÃĐcrire que Pour tout nâŽN, U(n)=(n/2)*2piR U(n)=(n/2)*2pi*1/n U(n)=n2pi/2n U(n)=pi Et surtout pas à pi ! Je sais pas si câest trÃĻs rigoureux comme dÃĐmonstration.
Tu ne verras peut Être jamais ce com (sÃŧrement). Mais sache que je te remercie parce que tu mâas donnÃĐ lâidÃĐe pour rÃĐsoudre un exercice (je suis en ÃĐcole dâingÃĐnieur).
Je tenais à vous dire fÃĐlicitation pour la rÃĐdaction de Myriade math cycle 4, j'ai eu l'occasion de le feuilleter et vous voir dans la page de garde m'a semblÃĐ familier bonne continuation :)
On a suite constante qui est ÃĐgale Ã Ï avec des cercles de rayons extrÊmement petits.Cela n'affirme pas qu'au fur et à mesure qu'on aura une droite donc la distance est 2 mais un nombre constante depuis le dÃĐbut proche de Ï
l'erreur est que mÃĐme de la cas limite mÃĐme si on construise une infinitÃĐ de demi cercle on ne se retrouvera pas coller avec le diamtre car pour etre coller avec le diametre il faut que a un moment donnÃĐ le rayon de l'un de ces dÃĐmi cercle soit ÃĐgale a zero ce qui ne serai jamais le cas !!
Soit Un la somme des longueurs des demi-cercles à la n-ÃĻme division. On a donc Un=(2^n)*pi*(1/2)^n=1^n*pi=pi Donc lim (n->+inf) Un=pi MÊme si n est trÃĻs grand, Un sera toujours ÃĐgal à pi vu que Un est une suite constante.
Isabelle Sautiere l'erreur est de considÃĐrer que si ça semble se confondre avec le diamÃĻtre ça a la taille du diamÃĻtre. Une approximation visuel n'est pas une preuve mathÃĐmatique recevable. Si en plus de dÃĐcouper notre diamÃĻtre en frise on pouvait continuer de zoomer, il vous paraÃŪtrait ÃĐvident à chaque ÃĐtape que pi n'est pas ÃĐgal à 2. L'erreur vient donc du raisonnement que l'on fait assez intuitivement :"si je ne peut le distinguer c'est sÃŧrement indistinguable."
Il est vrai que la valeur de Un ne changera jamais au final, mÊme si n tend vers l'infini. Donc considÃĐrer que cette infinitÃĐ dÃĐnombrable de demi-cercles se confond avec la droite est une erreur.
l'erreur c'est de considÃĐrer une petite courbe une ligne droite, ce que vous ÃĐcrivez a la fin c'est pas une valeur mathÃĐmatique ou rÃĐsultat d'une ÃĐquation c'est juste une approche de visibilitÃĐ a lâÅil
La limite du tracÃĐ en arcs de cercle n'est pas une courbe lisse (segment de droite) de longueur 2, mais une courbe infiniment rugueuse de longueur ð > 2. Ce qu'on imagine à l'Åil nu n'est pas la rÃĐalitÃĐ de ce qui se passe dans l'infiniment petit ...
Avec le raisonnement menÃĐ, on arrive à un calcul type â/â Forme indÃĐterminÃĐe Je n'ai pas fais la dÃĐmarche de calculs, mais si on suit la logique rÃĐsoudre cette forme indÃĐterminÃĐe nous ramÃĻnera à Ï. L'erreur du raisonnement est que quand bien mÊme on aurait une infinitÃĐ de demi cercles, leur longueur cumulÃĐes seraient quoiqu'il en soit plus grandes que le segment sous-jacent
à l'infini ce sont les centres des demi cercles qui seront collÃĐs au diamÃĻtre initial, c'est à dire on aura plus de demi cercles. je vois que l'erreur commise c'est que vous avez simplifier le 0 qui n'est pas simplifiable pour la multiplication.
Quand il y a une infinitÃĐ de demi cercle sur le diamÃĻtre initial, les demis cercle qui son info ne vont jamais tendre en un segment car on pourrait aller sur la figure à l'infini et on pourrait observer des demi cercle et non pas une droite. Quand on addition le pÃĐrimÃĻtre des demi cercle in obtient environ 3,1415... Dans la gÃĐomÃĐtrie, les figure ne peuvent changer de forme un demi cercle restera un demi cercle quoi qu'il arrive il ne peut en aucun cas devenir une droite ou un segment. Ce que prouve la vidÃĐo est que pi vaut plus de 2
on peut dÃĐfinir le rayon des demi cercles par une suite gÃĐomÃĐtrique de raison 1/2, lorsque n tend vers l'infini le rayon tend vers 0. c_à dire la longueur de chaque demi cercle vaut 0. autrement dit à l'infini on aura pas de demi cercles,
La figure ainsi construite par passage à la limite n'est pas de dimension 1, c'est une fractale dont on pourrait peut-Être calculer la dimension, et comparer une longueur à un objet de dimension autre, bah c'est aussi pertinent que de comparer une surface à un volume.
Il y a un problÃĻme similaire. Il stipule que sqrt(2) = 2. C'est dure à expliquer sans schÃĐma, mais on fait avec un triangle isocÃĻle rectangle, dont la base vaut sqrt(2), et on fait comme on a fait pour le cercle dans la vidÃĐo. Et on trouve que si on poursuit le processus à l'infinie, 2 = sqrt(2). L'erreur de raisonnement est la mÊme que dans la vidÃĐo. Si on poursuit la construction une infinitÃĐ de fois, on obtiendra jamais une droite. Si on zoom, autan de fois qu'il en est nÃĐcessaire, mÊme une infinitÃĐ de fois, on obtiendra toujours une frise composÃĐ de la figure de dÃĐpart. En consÃĐquence, il y aura toujours suffisamment dâaspÃĐritÃĐ, pour que l'ÃĐgalitÃĐ soit conservÃĐ.
On sait que la longueur des arcs est supÃĐrieure à celle du diamÃĻtre mais on ne sait pas vraiment si les arcs convergent rÃĐellement vers la droite, pour en Être sÃŧrs il faudrait encadrer la longueur des arcs par deux longueurs qui tendent vers la mÊme limite (thÃĐorÃĻme des gendarmes), ce qu'on n'arrivera pas à faire ici
La somme des diamÃĻtres des petits demi-cercles est ÃĐgale au diamÃĻtre du demi-cercle. Le passage à la limite impliquerait que la longueur d'un petit demi-cercle tende vers son diamÃĻtre ce qui est idiot puisque au plus 2 points d'un cercle peuvent se trouver sur la mÊme droite.
L'erreur n'est pas dans le calcul mais dans le raisonnement. A chaque ligne, tu obtient toujours le mÊme rÃĐsultat. Il y a une constance. Il n'existe aucune convergence. Il n'y a donc pas de limite à rechercher. La limite serait la constante pi...
L'opÃĐrateur A : f ---> Longueur de f (= intÃĐgrale de -1 à 1 de racine ( 1+ f' Âē ) dx) n'est pas bornÃĐ dans l'espace C(-1,1) des fonctions continues sur (-1,1). [ On peut le prouver par l'absurde en pensant à la fameuse suite de fonctions g_n affines par morceaux qui passe de 0 à 1 avec une pente = n sur un intervalle de mesure non nul: A(g_n) explose, tandis que ||g_n||_inf = 1. ] Par consÃĐquent, A n'est pas continu sur C(-1,1), ainsi, pour toute suite f_n convergeant uniformÃĐment vers f dans C(-1,1), ce qui est le cas ici A(f_n) n'a aucune raison de converger vers A(f) dans R. C'est pourquoi, la longueur des arcs de cercle à l'infini n'est pas ÃĐgal à la la longueur de l'intervalle, cà d 2. Cette vidÃĐo est donc un bon moyen d'illustrer ce dernier point.
fr.wikipedia.org/wiki/1/2_%2B_1/4_%2B_1/8_%2B_1/16_%2B_%E2%8B%AF le demi cercle est ÃĐgal a pi*r aussi petit soit le demi cercle. l erreur est d accepter que le demi cercle a la mÊme longueur que le diamÃĻtre.
la largeur d'un segment est ÃĐgale à 0 donc les demi cercles qui ne peuvent donc pas Être ÃĐgaux à 0 seront toujours plus grand que la largeur du diamÃĻtre du plus grand des demi cercles et donc ne pourra pas Être ÃĐgale à 2.
L'erreur c'est que l'infini n'est pas un rÃĐel et donc encore moins un entier naturel, mÊme pas un nombre tout court. Donc tu ne peux pas calculer avec l'infini ou faire une infinitÃĐ de cercles. Par ailleurs Disons que N est le nombre de demi-cercles, la longueur totale des demi-cercles sera de : N*pi*R = N*pi*1/N = pi On n'a donc pas besoin de faire une infinitÃĐ d'essais, on peut prouver que pour tout N entier naturel (donc fini) non nul (on ne peut pas diviser par 0), la longueur des demi-cercles sera toujours pi (c'est la puissance du calcul littÃĐral)
l'erreur est à partir de la 3eme ligne car 2ÃpiÃR c'est pour le cercle entier donc il n'y a pas besoin de faire Ã2... La 3eme ligne est ÃĐgale à 1/2 pi et la 4 eme est comme la 3eme mais en pire
Lâerreur câest quâon compte (dans la longueur totale soi-disant ÃĐgale à pi) à chaque fois deux fois le point dâintersection de deux demi-cercles, ce qui, lorsque lâon rÃĐitÃĻre le processus à lâinfini, finit par rajouter jusquâà environ 1,14 à la valeur rÃĐelle de la longueur quâon calcule, dâoÃđ le fait quâon trouve pi au lieu de 2. Lâerreur vient donc du fait de sommer des demi-cercles ÂŦ entiers Âŧ, alors que à chaque fois ce ne sont pas 2 (ou 2n) demi-cercles puisquâil partagent 1 (ou n) point(s) en commun. RÃĐitÃĐrÃĐe à lâinfini, lâerreur prend une ampleur telle quâelle viendrait à ÂŦ dÃĐmontrer Âŧ que pi=2, ce qui, en effet, est absurde.
L'erreur c'est que dans le cas oÃđ l'on utilise une infinitÃĐ de cercle, on utilise alors une limite. Ce qui donne infiniÃpiÃ(1/infini). Or 1/infini=0 et infiniÃ0 est une forme indÃĐterminÃĐe
L'erreur se situe dans le passage de suite de demi-cercles à segment : un demi-cercle est la moitiÃĐ d'un cercle, or un cercle est un ensemble de point situÃĐ Ã mÊme distance d'un centre. à partir du moment oÃđ r est diffÃĐrent de 0 , les points des demi-cercles ne sont pas alignÃĐs, et ne forment toujours qu'une suite de demi-cercles. Ici, r =/= 0 , puisque le diamÃĻtre d du demi-cercle de rayon 1 vÃĐrifie l'ÃĐquation d = 2r * (nombre de cercle) , si r = 0 , d = 0 , or ici d = 2.
lâerreur c'est que que quant on il fait son opÃĐration de dÃĐdoubler son cercle il obtient un nouveaux rayon ÃĐgal a 1/2 du ÃĐdentent alors que c'est le diamÃĻtre qui fait 1/2 donc le rayon fait 1/4 on a donc les demie cercle suivent 2*Nb demi-cercle se qui nous donne si on repren du dÃĐbut 2*1*pi/2 =pi puis 2*2*pi/2*1/4= pi/2 puis 2*4*pi/2*1/16=pi/4 ... donc l'ÃĐquivalence est respecter et mÊme si on suit la demarche avec l'infiniment petit on arriverais avec pi/infini = 2 et donc 0=2 ou des absurdiste du gore. bien essayer.
le fait que ce resonement soit en partit faux est que l'infini n'est qu'une notion trop abstraite pour pouvoir etre utilisÃĐe, si on s'amuse a faire le procÃĐdÃĐ a "l'infini" le seul resultat que l'on pourrais obtenir est une forme fractale continuelle de ponts les un plus petits que les autres, et non pas un segment droit, autrement dis, plus il y aura de ponts, plus il y aura de mini deformations de ce "segment" et donc autant d'information de longueure a rajouter au resultat total
La somme des infiniments petits n'est pas un infiniment petit. C'est à dire ici la somme infini des petites diffÃĐrences entre la trÃĻs trÃĻs trÃĻs petite circonfÃĐrence et son diamÃĻtre qui sont infiniment petits n'est pas pourtant infiniment petite. On ne peut pas appliquer les lois d'une somme fini à une somme infini. Autrement il faut comparer les 2 grandeurs par le rapport et non pas par la diffÃĐrence et voir si la limite du rapport tend vers 1 ou non. Voilà : A la niÃĻme ÃĐtape la demi circonfÃĐrence est pi/n & le diamÃĻtre correspondant : 2/n .ce sont 2 suites qui tendent chacune vers zÃĐro quand n tend vers l'infini .le rapport de ces 2 suites a pour limite pi/2 et non 1 donc ce ne sont pas 2 suites ÃĐquivalentes à l'infini bien qu'elles tendent chacune vers 0. (Pour le calcul de cette limite simplifier et non remplacer sinon indÃĐtermination ) L'erreur c'est que comme la diffÃĐrence entre la niÃĻme demi circonfÃĐrence et le niÃĻme diamÃĻtre correspondant tend vers 0 (infiniment petit) ça laisse penser à tort que la somme de ces infiniments petits tend aussi vers 0 ce qui est faux. Quand on fait la somme infini des infiniment petits on trouve pas forcÃĐment un infiniment petit. Vous pouvez devenir riche si vous accummulez des sommes infiniment petits d'argent si vous passez toute la vie à le faire bien que cet exemple n'est pas impeccable car ni la vie n'est infini ni la somme d'argent minime soit elle n'est infiniment petit. Conseil Quant on compare 2 grandeurs que ce soit par diffÃĐrence ou rapport ou autre procÃĐdÃĐ il faut pas remplacer par 0 avant le rÃĐsultat mais plutÃīt par l'expression .il faut trouver le rÃĐsultat comme expression et l'interprÃĐter. En plus on utilise pas la diffÃĐrence mais le rapport des 2 expressions si elles sont ÃĐquivalentes ou non ce j'ai fait .si ils s'avÃĻrent ÃĐquivalentes on calcule le rapport relatif ce que j'ai pas fait parce que dÃĐjà non ÃĐquivalentes. Aussi quand on fait une somme infini de quantitÃĐs infinim petits on remplace pas la valeur quantitÃĐ par 0 mais par son expression seulmt .on remplace seulmt dans le rÃĐsultat final si possible
Sois n le nombre d'ÃĐtape de construction Rn la longueur du rayon à l'ÃĐtape n Par raisonnement de rÃĐcurrence Rn+1=Rn*1/2 alors Rn=(1/2)^(n-1) Sois Un le nombre de demi cercle à l'ÃĐtape n Un+1 = Un*2 alors Un = 2^(n-1) Sois Ln la somme de la circonfÃĐrence des demi-cercles à l'ÃĐtape n, comme : pi = C/D C = Dpi (demi-cercles alors) C/2 = (Dpi)/2 = Rpi Ln = pi *Rn*Un = (1/2)^(n-1)*2^(n-1)*pi On cherche alors la limite de Ln quand n tant vers +l'infini : On remarque que (1/2)^(n-1)*2^(n-1) = 1 donc que Ln = pi*1 = pi Ln est une fonction constante alors quand n tant vers l'infini Ln garde la mÊme valeur Comme le rayon devient infiniment petit on pourrait croire que les demi cercles sont confondu avec la droite mais comme nous ÃĐcrivons une limite, le rayon est au plus proche de 0 possible mais n'est jamais nul donc la somme de la circonfÃĐrence des demi-cercle n'est jamais ÃĐgalÃĐ Ã la longueur du segment
L'erreur est pourtant simple en partant sur l'idee que l'infini est un nombre quelconque tout comme deux le calcul reste le meme : (1/2)*(L'infini)*2*(Pi)*R= (l'infini)*(Pi)*1/(L'infini) = (Pi) Le calcul reste le meme qu'avec 4 cercles dans 1 (1/2)*(4)*2*(Pi)*1/4= (Pi) Vu que l'on multiplie toujours 2(Pi)R par le nombre totale de cercle se trouvant sur le cercle de rayon 1 le nombre de cercle sera donc de la moitie de l'infini . Par la suite le rayon lui est ÃĐgal comme a chaque fois a l'inverse du nombre totale de cercle ce trouvant sur le diametre soit 1/(l'infini) et du coup le resultat reste belle est bien (Pi) L'infini n'es jamais utiliser dans les calcul traditionnel car il ne nous permet de trouver un resultat exploitable que lorsqu'il est supprimer en le multipliant par son inverse par exemple . Si l'on vous aurez dit 1 milliard de cercle sur 2 cm de diametre quelle resultat aurez vous trouver et qu'elle apparence aurais chacun de vos cercles mis bout a bout ?
Vous dites calculer la longueur (surface) mais vous avez utilisÃĐ la formule du pÃĐrimÃĻtre. Si nous avions, selon la formule de la surface on aurait : NÃPi/(N^2)=Pi/N et quand N tant vers l'infini, la limite est ZÃĐro. Et pour ce qui est du pÃĐrimÃĻtre, la sommes des pÃĐrimÃĻtres de deux figures gÃĐomÃĐtriques n'est pas ÃĐgale au pÃĐrimÃĻtre de la figure gÃĐomÃĐtrique formÃĐe par les deux premiÃĻres figures placÃĐes selon une certaine disposition dont le non m'ÃĐchappe.ð
Bref si on se place dans un cas infinitÃĐsimal le segment de droite de longueur dx ne sera pas de mÊme longueur que la longueur du demi cercle qui vaudra alors pi/2*dx. Pour que localement les deux longueur soit ÃĐgales, on le voit dans ce cas, il nous faut une condition de tangence en tout points ce qui nâest clairement pas respectÃĐ ici. En effet, il nây a mÊme aucun point de la fractale qui est tangente au segment ! En bref, si on change le demi cercle par nâimporte quel autre forme et quâon fait la mÊme opÃĐration, on pourrait prouver aussi que nâimporte quoi plus grand que 2 est ÃĐgal à 2
Lorsque n tend vers + infini 2^n* ð/2^n tend toujours vers ð, donc l'ÃĐgalitÃĐ ne tient pas, l'erreur de raisonnement commise est que mÊme au voisinage de 0 la circonfÃĐrence d'un demi cercle n'est pas ÃĐquivalent à celle de son diamÃĻre : le rapport vaudra toujours ð !
la surface comprise entre les demi cercles et le grand diametre est de pi*2^(-n-1) ce qui est une suite qui tend vers 0 je le concede mais quelquesoit la valeur de n cette surface ne sera jamais nulle ce qui empeche le raisonnement de confondre une droite et une serie de demi-cercle
Une droite ne reprÃĐsente jamais une infinitÃĐ de courbes, merci les fractales, et non l'ERREUR
je suis d'accord
Ce que j'allais dire, mais c'est quoi ces vidÃĐos qui parlent d'erreur alors qu'il y en a pas !!!!
@@nicolasbertheau1585mkmkmjjkh m
@@nicolasbertheau1585 mkmkqdhkkgljshhm
@@mohammedswidy9029 l'erreur est dans la conclusion de la dÃĐmonstration
La limite des longueurs n'est pas la longueur des limites
Entre les limites *
Des demis cercles ne feront jamais une droite, c'est aussi simple que ça :)
Chacune des infimes "hauteurs" de cercles multipliÃĐes par le nombre infiniment grand qu'elles sont feront bien pi
Je ne sais pas si c'est une thÃĐorie "reconnue" , mais à la fac le prof de math à dit un jour qu'une droite ( ou un segment) peut-Être considÃĐrÃĐ comme un cercle de rayon infini.
Au dÃĐbut ça choque, mais aprÃĻs ça donne une autre vision des choses.
dans ce problÃĻme c'est que le rayon est infiniment petit , le demi cercle aussi , mais le rapport Pi est toujours conservÃĐ avec la mÊme formule que pour les premiers cercles.
Dire que 2 = PI c'est juste balancÃĐ une connerie gratuitement :)
il s'agit en tout et pour tout du feel flux ?
La longueur pour (2^n) cercles c'est (2^n)*pi/(2^n) = pi, pas de souci de passage à la limite ici.
L'erreur est l'extrapolation qu'Ã la limite on sera "collÃĐ au segment".
Physicien va!
Vielle blague de prof de maths en prÃĐpa me trompje ?
@@lasscarlut42 de ouf mdr.
Mais es ce faux?
Oui tout a fait
@@lasscarlut42 En quoi est-ce faux ? C'est le genre d'approximation qu'on fait en physique...
Ca dÃĐpend
Petit coquin ð
Je la sentais venir de loin celle là . J'ai bien aimÃĐ comme tu arrives à garder ton sÃĐrieux quand tu prÃĐtends qu'une infinitÃĐ de demi cercle serait considÃĐrÃĐ comme un segment ð
Chui mort ð
Dans la plupart des commentaires que j'ai lu, on trouve des bouts de rÃĐponse assez ÃĐvasifs (et parfois mÊme faux). Je vais donc apporter ma contribution et essayer de donner une rÃĐponse claire et prÃĐcise à ce problÃĻme, niveau prÃĐpa (spÃĐ ?).
Notons :
fn : la fonction dont la courbe reprÃĐsentative est les 2^n demi-cercles à l'ÃĐtape n sur [-1 ; 1]
f : la fonction nulle sur [-1 ; 1]
long : la fonction qui, Ã une fonction continue sur [-1 ; 1] , associe la longueur de sa courbe reprÃĐsentative
|| . || dÃĐsigne la norme infinie (ou norme de la convergence uniforme)
1) fn converge bien uniformÃĐment vers f (contrairement à ce qu'insinuent certains commentaires plus bas...) :
|| fn - f || = || fn || = sup(fn) = (1/2)^n qui converge bien vers 0.
2) long n'est pas continue en f. Pour le prouver, il faut montrer que :
Il existe epsilon >0 , pour tout eta >0 , il existe g_eta , || g_eta - f || < eta et || long(g_eta) - long(f) || > epsilon.
Prenons donc epsilon = 1. Soit eta > 0.
On construit une courbe "en dents de scie" (affine par morceaux) qui vaut (+eta) en (-1) , (-eta) en (-1 + eta) , (+eta) en (-1 + 2*eta) , et ainsi de suite (faire un dessin). La courbe compte ainsi environ 2/eta "morceaux" sur [-1 , 1]
On vÃĐrifie aisÃĐment que la fonction g_eta associÃĐe vÃĐrifie :
o || g_eta - f || = || g_eta || = eta
o Comme chaque morceau de la fonction affine par morceaux g_eta a une longueur > 2*eta, on a
|| long(g_eta) - long(f) || = long(g_eta) - long(f) > (2/eta) * (2*eta) - 2 = 2 > epsilon (=1)
On a donc bien vÃĐrifiÃĐ que la fonction long n'est pas continue en f.
3) Dans la vidÃĐo, on nous dit que
o Pour tout n, long(fn) = Pi (c'est vrai)
o fn converge vers f avec long(f) = 2 (c'est vrai)
o Donc lim ( long(fn) ) = long (lim (fn) ) = long(f)
On ne peut pas affirmer ce dernier point en raison de la non continuitÃĐ de long en f : l'erreur se situe bien ici !
la convergence de la courbe formÃĐe par les demis cercles à chaque itÃĐration n'est pas C1, il n'y a donc pas convergence uniforme sur le diamÃĻtre, le passage à la limite est donc faux.
Anti Matter Bien jouÃĐ la suite de fonctions !! J'ai plus pensÃĐ Ã la caractÃĐrisation sÃĐquentielle de la limite mais vraiment bien jouÃĐ
C'est pas le problÃĻme on pourrait la rendre C1 en appliquant une symÃĐtrie d'axe horizontal à tous les demis- cercles non adjacent.
Ta pas tort
1. C est quoi une convergence C1?
@@Joffrerap ça veut dire que sa dÃĐrivÃĐe est continue
l'erreur est sur le fait que l'on considÃĻre une limite et une infinitÃĐ de demi cercles qui tendent a former une droite or on ne peut pas se restreindre à une droite. Je m'explique. On pose N= nombre de demi cercles. On aurait alors lim N ( N tend vers + infini ) = +infini mais en mathÃĐmatiques l'infini est pas atteignable ( d'oÃđ le concept de limites ) donc cette droite n'est pas atteignable et ainsi pi n'est pas ÃĐgal à la longueur de la droite
"en mathÃĐmatiques l'infini est pas atteignable"
Non malheureusement tu n'as pas compris le concept de limite.
"Atteignable" c'est un concept de physicien, pas de matheux.
Il y a des tas d'exemples oÃđ on considÃĻre l'infini comme atteint:
- Deux droites parallÃĻles sont deux droites qui se coupent à l'infini.
- Projection stÃĐrÃĐographique oÃđ le pole nord est la projection de l'infini.
- la droite rÃĐelle achevÃĐe [-infini; + infini ]
....
Par contre le concept de limite considÃĻre que quelque chose n'est pas atteignable, oui, par exemple:
limite de f quand x tend vers 3 = 5.
5 n'est pas un nombre inatteignable, mais pour cette fonction particuliÃĻre, si... [du moins si tu restes dans les rÃĐels...]
Donc tu aurais pu ÃĐcrire:
"en mathÃĐmatiques la limite n'est pas forcÃĐment atteignable"
Et du coup tu serais proche de la solution, puisque effectivement cette suite à quelque chose de spÃĐcial qui fait qu'elle ne tend pas vers la droite contrairement à ce que nous laisse penser l'intuition.
C'est un exemple trÃĻs intÃĐressant qui montre la limite de l'intuition humaine, et la nÃĐcessite d'avoir une dÃĐfinition de "limite" totalement rigoureuse (ce qui n'est pas le cas des dÃĐfinitions donnÃĐes dans le secondaire).
+ALtihbeert1 je vois je vois :) Merci de m'ÃĐclairer :)
Ahah ;)
Adam Bahri
A dÃĐfaut d'avoir eu le temps de te le faire:
www.ilemaths.net/sujet-demi-cercles-emboites-605867.html
Bonne lecture.
ce serait pas une sorte de fractale?
Pour l'erreur, je dirais que ça vient du fait que la convergence uniforme d'une suite de fonctions dÃĐrivables (fn) vers une fonction f dÃĐrivable, n'implique pas la convergence uniforme de (fn') vers f'. Ici, lorsqu'on paramÃĐtrise le rayon par une fonction f, puis qu'on paramÃĐtrise chaque courbe formÃĐe de demis-cercles par une suite (fn) de fonctions, on a clairement convergence uniforme de (fn) vers f, puisqu'on a convergence graphique. Cependant on n'a pas convergence uniforme des dÃĐrivÃĐes. Donc on ne peut pas dire que " limite de l'intÃĐgrale des fn' = intÃĐgrale de la limite des fn' ". Pas de bol, c'est justement en calculant l'intÃĐgrale de la dÃĐrivÃĐe d'une paramÃĐtrisation qu'on dÃĐtermine la longueur d'une courbe.
N x Pi/N = Pi peu importe la valeur de N, mÊme infiniment grand.
Grave ya un mec au dessus il a dis nimp il a eu bcp de likes
@@Wanydo bien-sure que si tu peux simplifier
Non on ne peut pas, c'est une forme indÃĐterminÃĐe.
@@raphaeljay4567 il suffit de simplifier avant de passer a la limite mdr
@@Wanydo exactement, parceque si vous avez fait un minimum de calculs de limites vous savez qu'on peut simplifier ça sans problÃĻmes
Yvan dans toutes tes vidÃĐos, tu fais soit des divisions par 0 soit des raisonnements aux limites plus que limites ;) . Voila quoi !
Une droite n'as pas d'ÃĐpaisseur, elle n'est reprÃĐsentÃĐ que par 1 dimension et un demi-cercle est dÃĐfini par 2 dimension mÊme pour ton demi-cercle d'un rayon infiniment petit donc elle est forcÃĐment plus grande!!
Pas de sens, on parle de longueur pas d'ÃĐpaisseur, il faut se rÃĐfÃĻrer à l'homogÃĐnÃĐitÃĐ des formules
@@lucasbelot3524 j'ai l'impression que je ne me suis pas bien exprimer, par ÃĐpaisseur je parle du fait que yne droite est plate et ne divage pas dans une autre direction et un demicercle oui il le fait donc il est forcÃĐment plus long
L'expression gÃĐnÃĐralisÃĐe est :
Soit D la longueur totale de la frise,
Soit nâŽN,
D = n*ð*(1/n)
= ð*(n/n)
= ð
(pour un rayon initial de 1 ÃĐvidemment)
Pas besoin de calcul de limite, la fonction qui à n associe D est f(n)=ð. C'est une constante
I don't understand French. But this lesson was very easy because mathematics are a universal language. ð Thank you.
D'un point de vue didactique, c'est bien sympa de laisser les gens se poser des questions et d'ÃĐchanger entre eux dans les commentaires. Mais, Ã la lecture d'une petite partie des commentaires et au vu des erreurs et mauvaises conceptions que j'ai trouvÃĐes dans les commentaires, ce serait vraiment bien de donner une bonne explication dans une autre vidÃĐo par exemple. Sinon, bien que votre intention soit louable, l'enfer lui, est une fois de plus pavÃĐ de bonnes intentions et je crains que la connaissance (mathÃĐmatique) n'en ressorte pas indemne.
Je ne trouve pas ce commentaire trÃĻs constructif de plus cet espace a un but collaboratif de plus au lieux de dire qu'il y a des erreurs et que cela n'est pas bien corriges les.
"Sinon, bien que votre intention soit louable, l'enfer lui, est une fois de plus pavÃĐ de bonnes intentions et je crains que la connaissance (mathÃĐmatique) n'en ressorte pas indemne." cette phrase et dâailleurs profondÃĐment mÃĐchantes envers Yvan Monka qui je souhaiterais quand mÊme vous le rappeler pousse certains ÃĐlÃĻves a la rÃĐussite mais plus que ça les poussent a la recherche a la rÃĐflÃĐction et au travail. Certains professeures le recommandent mÊme!
@@julienlebret9776 Pour ta gouverne, j'ai dÃĐjà corrigÃĐ une erreur mais il y en a tellement qu'il serait sage de proposer des corrections dÃĐfinitives pour que toutes ces mauvaises conceptions arrÊtent de se diffuser une bonne fois pour toute. Il n'y a aucune mÃĐchancetÃĐ là -dedans et je trouve mon commentaire trÃĐs constructif au contraire, car s'il ÃĐtait appliquÃĐ, cela permettrait de nettoyer le web de ces fausses connaissances qui finissent par cacher les vraies. Dans la thÃĐorie de l'information cela s'appelle du "bruit" et quand il y a trop de bruit, on n'entend plus le message principal.
Je finis par une autre idÃĐe constructive : faire la liste des erreurs les plus frÃĐquemment faites et faire une vidÃĐo dessus.
Mais tu n'a don rien compris à mon propos ce ne sont pas des fausse conception mais des recherches. Crois tu vraiment que les copies d'un ÃĐlÃĻve soit sans faute ?
Je te dirais tout de mÊme que ta formulation '' pour ta gouverne '' est je trouve tout d'abord enfentilisante pour moi et de deux inappropriÃĐ. Car cette expression a pour signification une reprimende
@@julienlebret9776 Pourquoi opposer recherches et mauvaises conceptions? Ce sont deux notions diffÃĐrentes mais connexes. Il est tout-à -fait possible qu'une mauvaise conception apparaisse à la suite d'une recherche. Il n'y a là rien d'extraordinaire.
Concernant, les copies d'ÃĐlÃĻves, pour en avoir corrigÃĐes des milliers, je peux en effet te confirmer que c'est trÃĻs rare qu'il n'y ait pas de faute.
Enfin, ÃĐvite d'Être dÃĐsagrÃĐable avec des propos comme "tu n'as don rien compris" et essaie d'ÃĐlever un peu le propos. Cela permet d'avoir des ÃĐchanges beaucoup plus constructifs.
@@julienlebret9776 Je pense qu'il parle du fait que si il n'y a pas de correction concrÃĻte, quelqu'un pourrait repartir de cette vidÃĐo en ayant vu des commentaires faux, et puis cette personne va alors transmettre cette info à une autre, etc... Et en fin de compte, beaucoup de personnes penseront que la rÃĐponse est *ceci* alors que non, car il n'y avait pas de rÃĐponse clair à cette question. Je ne suis pas prof de math, ni un surdouÃĐ des mathÃĐmatiques et d'ailleurs je ne sais tjr pas quelle est la rÃĐelle rÃĐponse, mais pour moi je pense en effet qu'une correction serait bien pour mettre les choses au clair :)
n : nombre de cercles.
R=1: le rayon du cercle de rayon 1.
La longueur en radian du pÃĐrimÃĻtre du demi-cercle est pi*R
Lorsqu'on rajoute les demi-cercles plus petits on divise le rayon (R) par 2 Ã chaque fois.
PÃĐrimÃĻtre= n*pi*R/(2*n) = pi*R, or R=1 donc PÃĐrimÃĻtre =pi.
Dans cette formule si n->+infini on obtient toujours pi.
Explication savante : il y a convergence sur lâespace topologique des compacts de R2 pour la distance de Haussdorf mais la mesure de Lebesgue nâest pas continue sur cet espace. Explication intuitive : la somme des ÃĐcarts entre lâunion des petits cercles et le diamÃĻtre est toujours ÃĐgale à 1.
C'est pas clair.
Qu'est ce qu'une "une mesure [de Lebesgue] continue" ? et oÃđ est le rapport ? pouvez vous dÃĐtailler cet "ÃĐcart" ÃĐgal à 1 ?
C'est plutÃīt une mesure de Jordan. L'application qui à un arc associe sa longueur n'est pas continue si vous voulez. Si vous ne voyez pas le rapport , je vous conseille de reprendre votre cours sur la continuitÃĐ d'une application entre espace topologique.
@@albandasilva Justement, un cours ÃĐlÃĐmentaire de L2 sur des espaces (fonctionnels) normÃĐs permet de rÃĐpondre facilement à la question: L'opÃĐrateur f -> longueur de f n'est pas bornÃĐ sur C(-1,1), donc non continu, basta. Pas besoin de thÃĐorie de la mesure, de distance de Hausdorff, etc. Vous voulez sortir un bazooka pour abattre une mouche.
â@@letmeoffendyou C'est vous qui sortez un bazooka en changeant de cadre !! Dans ce cadre gÃĐomÃĐtrique, pour dire "qu'une partie du plan tend vers une autre" la topologie naturelle est bien celle de la mesure de Haussdorf.
â@@albandasilva Je parlais du point de vue bagages mathÃĐmatiques nÃĐcessaires pour rÃĐpondre à la question: thÃĐorie de la mesure et distances entre espaces, c'est mini L3, et encore je n'ai jamais rencontrÃĐ de "mesure de Jordan" ni de "mesure continue", je doute que ça soit dans un cours de L3, mais plutÃīt donnÃĐs dans des exos de td...
"C'est vous qui sortez un bazooka en changeant de cadre !!"
On choisit le cadre oÃđ le problÃĻme se traite le plus facilement. Vu le problÃĻme, je trouve plus simple de manipuler un opÃĐrateur sur un espace fonctionnel simple avec des thÃĐorÃĻmes accessibles en L2, plutÃīt que l'application sur des parties du plan avec une mÃĐtrique de Hausdorff...
C'est assez simple !
La formule c'est i*pi*R(i) = pi
i ÃĐtant le nombre d'itÃĐration (ou encore le nombre de demi-cercles)
R(i) est le rayon correspondant à chaque ittÃĐration. R(i) = 1/i
La formule devient donc pi = i*pi/i.
Quand vous parlez de construire une infinitÃĐ de demi-cercles, vous Êtes en train de dire que i tend vers l'infini. Ce qui donne une forme indÃĐterminÃĐe : pi = infini*pi/infini. CQFD
La longueur d'une ligne formÃĐ par des demi-cercles infiniment petit sera toujours plus grande que la longueur de la ligne.
La somme des longueurs des demi-cercles sera toujours ÃĐgale Ã Ï et non à 2.
On est tous d'accord c'est FAUX !
Si quant cela tend vers l'infini alors Ï=2, donc tu dis ÃĐgalement que le diamÃĻtre D, D=Ï=2. Ici normalement on voit l'absurditÃĐ .... soit le diamÃĻtre d'un cercle est le chemin le plus court d'une extrÃĐmitÃĐ a l'autre d'un demi-cercle tout comme l'arc du demi-cercle #ABSURDE !!
Deplus si tu remplaces le Rayon par Ï/2. Tu obtiens:
2ÏR=2ÏÃÏ/2=Ï^2
Pour pouvoir inverser une limite et une mesure et garder une ÃĐgalitÃĐ, il y a des conditions à vÃĐrifier (souvenir de mes cours en thÃĐorie de la mesure). Et dans cet exemple, comme celui de l'escalier qui tend vers la diagonale d'un rectangle, ces conditions ne sont manifestement pas prÃĐsentes. Ce qui est intÃĐressant dans cet exemple à base de cercles, c'est que l'on peut transformer facilement enlever les points de non dÃĐrivabilitÃĐ (les angles) en faisant une rÃĐflexion d'axe horizontal sur un demi cercle sur deux.
Ce sang froid a toute ÃĐpreuve c'est incroyable
Dit simplement : l'erreur est dans le fait qu'on prÃĐtend que la longueur de la limite d'une suite de chemins est ÃĐgale à la limite des longueurs de chaque chemin.
Ce qui n'est pas prouvÃĐ ; et est faux et cette vidÃĐo est d'ailleurs une dÃĐmonstration de la non continuitÃĐ de la longueur d'un chemin.
La longueur n'est pas continue pour la convergence uniforme.
Ici on a une suite de fonctions : f_ n(x)=racinecarrÃĐe( (r/(2^n))Âē - xÂē) dÃĐfinie sur [-1,1]
Qui tend uniformÃĐment vers la fonction f(x)=0 dÃĐfinie sur [-1,1]
Ce qui est affirmÃĐ c'est que lim longueur(f_n)= longueur( lim f_n)
Ce qui prÃĐtend une continuitÃĐ de la fonction "longueur" en la fonction f.
Ce qui est faux.
Enfin une vraie rÃĐponse ! Ãa fait peur quand on voit que des aberrations ont bien plus de likes
Quand je dis "enfin" c'est qu'il faut pas mal scroller pour y arriver...
+Yvan Monka Si vous dites que ð=2 avec ce cercle de diamÃĻtre 2, ð serait ÃĐgal à 4 avec un cercle de diamÃĻtre 4, ð serait ÃĐgal à 8 avec un cercle de diamÃĻtre 8, etc...
Non parce que dans ces cas on se retrouverait avec 2pi =4 et 4pi = 8 soit toujours Pi = 2 aprÃĻs simplification
Ta parfaitement raison
Il se trouve que un intervalle non vide de R, n est pas dÃĐnombrable !
Donc tu peux pas conclure en passant a la limite
Hacen Sidi Bonjour jâai du mal à voir le rapport, pouvez-vous expliciter ?
C'est a dire, il y aura des points qui ne seront jamais touchÃĐ par cette suite par exemple les nombres irrationnels.
La suite qu on peut construire d une telle façon pour qu elle invective..
Dâaccord je comprends câest intÃĐressant et effectivement vraie mais ne dÃĐmontre en rien que le passage à la limite est faux
n = nombre de demi-cercles
R = rayon de chaque demi-cercle = 1/n
P = pÃĐrimÃĻtre d'un demi-cercle = (2piR)/2 = piR = pi/n
Donc Pn = somme des pÃĐrimÃĻtres de tous les demi-cercles = n*(pi/n) = pi
Conclusion : peu importe la valeur de n, mÊme vers l'infini, la somme des demi-pÃĐrimÃĻtres sera toujours ÃĐgale à pi lorsque R=1/n
lim(n->+oo) n PI 1/n = PI, dans le cas limite ça vaut toujours PI parcequ'on a pas rÃĐellement de droite au final
Quelle imposture de l'approximation Pi = 2 + epsilon x l'infini
Merci professeur !
Bien que ça soit trÃĻs proche du segment à lâÃĐchelle dâune mesure infiniment prÃĐcise, la longueur de la frise sera quand mÊme ÃĐgale à pi
La division et compliquer a aprehender mais avec la technique secrete du cercle trigonomÃĐtrique (mesurÃĐ en radiants):
Cercle entier: 0 ou 2pi ou -2pi [2pi]
1/2 cercle: pi ou -pi [2pi]
1/4 cercle: pi/2 ou -pi/2 ou 3pi/2 ou -3pi/2 [2pi]
1/8 cercle: pi/4 ou -pi/4 ou 6pi/4 ou -6pi/4 [2p]
... etc on peut continuer longtemps.
ça collerait le segment mais ça serait quand mÊme des demi-cercles donc non ça fonctionne pas
J'arrive un peu tard mais j'ai pas vu cette justification dans les commentaires, j'aurais dit que le nombre de points des demi-cercles qui "touchent" le diamÃĻtre est un infini dÃĐnombrable (en effet, on peut associer un entier naturel à chacun de ces points), mais le nombre de points que comporte le diamÃĻtre est indÃĐnombrable (propriÃĐtÃĐ d'un segment), et comme il ne peut pas exister de bijection entre un infini dÃĐnombrable et un infini indÃĐnombrable, on ne peut rien "prouver" d'autre que pi>2.
Cela me fait penser aux mÊmes genres de problÃĻmes que l'on peut rencontrer avec les fractals.
Grosse diffÃĐrence tout de mÊme, avec les fractals on retrouv
era un nombre infini de rÃĐpÃĐtition mais une aire finie mais irrationnel puisqu'elle s'ÃĐtend pourtant vers l'infini, alors qu'ici on aura un nombre infini de cercle, l'aire reste finie mais elle est totalement rationnelle (mÊme si l'on retrouve Pi dans le calcul, l'aire a une fin)
Moi aussi mais je pense qu'il y a quand mÊme une diffÃĐrence
@@grandveuch4570 ? J'ai jamais dit que l'aire est infinie, il faut lire avant de parler.
@@grandveuch4570 je me suis mal exprimÃĐ, je parle de la longueur du "trait" Qui definit l'aire (dit grossiÃĻrement), mais j'ai bien dit que l'aire ÃĐtait finie, mÊme deux fois
Le rayon des demi cercle rouge est 1/4 et non 1/2!
Non
L'erreur vient du fait qu'on ne peut mesurer la longueur de ce genre d'objet, dont le motif se rÃĐpÃĻte a l'infini ! On est presque dans le cas d'une fractal ! MÊme si sa longueur semble physiquement fini et mesurable, elle est mathÃĐmatiquement, de valeur infini !
C'est vrai selon le "ingeneering fundamental theorem", en fait.
Cf Flammable Maths.
fundamental theorem of engineering*
PTDR sin x = x
@@k_meleon C'est ÃĐgal, c'est les histoires de noms composÃĐs en anglais, la façon dont je l'ai nommÃĐ fonctionne.
L'erreur grammaticale est nÃĐgligeable :kappa:
@@moonj1n
Plus simple.
D'aprÃĻs ce fameux thÃĐorÃĻme, pi = e, et e = 2.
Donc pi = 2.
CQFD.
L'erreur est un peu compliquÃĐe à expliquer rigoureusement je pense.
Si on appelle f_0 la fonction qui est reprÃĐsentÃĐe par le grand arc de cercle, f_1 celle reprÃĐsentÃĐe par les 2 plus petits, etc ... f_n celle reprÃĐsentÃĐe par 2^n demi cercles, et si on appelle f la fonction nulle sur un segment de longueur 2 (ici le diamÃĻtre, limite de la suite de fonction (f_n)), on obtient une convergence (uniforme) de la suite de fonction (f_n) vers la fonction f.
Cette convergence n'implique pas la convergence de la longueur de la courbe de chaque fonction f_n, qui est donnÃĐe par :
intÃĐgrale de (1+ (df_n/dx)^2)^0.5 entre les bornes de l'intervalle prÃĐcitÃĐ (le diamÃĻtre)
vers la longueur de la fonction limite (ici 2), car il faudrait pour cela une bonne convergence (uniforme) de la suite des dÃĐrivÃĐes (df_n/dx).
Autrement dit, ce n'est pas parce qu'une courbe "tend" vers une autre, que sa longueur se rapproche de la longueur de la fonction limite.
Je suis pas mathÃĐmaticien mais pour moi si on fait une infinitÃĐ de courbes c'est une fractale et pas une droite, du coup Pi n'est pas ÃĐgal à 2 mais environ 3,14
Tjrs le meme probleme sur les supersommations lineaires et stable, on peut aussi prouver que 2=sqrt(2) (mdrrr dont sqrt(2)=pi, amazing)
Prend un carrÃĐ de cotÃĐ un, tu casses deux des cotÃĐs pour les pliers vers l'interieur du carrÃĐ (en marche d'escalier quoi) repete l'operation a l'infini et tu prouves que le perimÃĻtre n'a pas changer mais il est mtn egale a la diagonale qui vaut sqrt(2)
FAUX mÊme si on considÃĻre une infinitÃĐ de demi cercle ceux ci ne seront jamais collÃĐ au diamÃĻtre du cercle de dÃĐpart. C'est le mÊme principe si l'on trace la coube de la fonction inversÃĐ (1/x), les courbe ne toucheront jamais l'axe des ordonnÃĐ. Ou encore si on se place a 20 mÃĻtre d'un mur et que l'on rÃĐduit a chaque fois la distance par 2. On attendra jamais le mur.
Tu comprends pas ce quâest une limite ?
Ãa me rappelle les fractales tout ça ! xD
Mais oui, considÃĐrer que les demi cercles vont se joindre au diamÃĻtre du grand cercle est une erreur. MÊme dans l'infiniment petit, nous aurons toujours un nombre infini dÃĐnombrable (2^n si n tend vers l'infini) de demi cercles et non une droite.
En effet le problÃĻme pourrait Être posÃĐ comme suit :"On juxtapose "n" cercles de diamÃĻtres "d" ou encore de rayons "r" à l'intÃĐrieur d'un cercle de diamÃĻtre "D" et de rayon "R" sur la droite diamÃĐtrale du cercle . On aura donc d=D/n ou encore r=R/n .
Donc on a "n" cercles de demi-pÃĐrimÃĻtre chacun " pi*R/n" , le total est alors " n*pi*R/n .
On voit donc , en simplifiant que le total vaut " pi *R " independemment de "n" , mÊme si "n" tend vers + infini !!! C'est à dire pour R=1 , on a le total qui vaut toujours "pi " quelque soit "n" . Et là on ne voit aucun indice qui pourrait nous dire que lorsque "n" tend vers + infini ,nos cercles vont "s'aplatir " , il se peut que ça soit une illusion d'optique ,ni plus ni moins .
Un demi-cercle ne devient jamais plat comme un sÃĐgement
La conjecture de la fin pose problÃĻme, c'est la somme des rayons des cercles minuscule tendant vers l'infini qui font 2, pas la circonfÃĐrence ! car justement, la circonfÃĐrence du demi cercle est ÃĐgal a Pi*Rayon; c'est donc le rayon qui tend vers 0 car Pi est une constante, si le rayon tend vers 0 (sans jamais l'atteindre forcÃĐment) et que donc par consÃĐquent le nombre k de demi cercle tend vers plus l'infini on a bien la limite qui est ÃĐgale à Pi :
lim (lorsque k tend vers +inf et R tend vers 0) de k*(Pi*R) = Pi
Donc Pi = Pi
C'est assez drÃīle, NoLimit qui parle de limite.
+Nicolas DA SILVA XD
NoLimit quelle conclusion ÃĐdifiante
TrÃĻs bonne interpretation , merci ,mÊme si r tend vers 0 ,mais multipliÃĐ par n qui tend vers l'infini ,dans ce cas ça aboutit à une limite constante .Dans l'ÃĐtude des limites usuelles ,on a appris -et dÃĐmontrÃĐ-que "0*infini " qui en principe indeterminÃĐ peut bel et bien tendre vers une constante .Bien !!!
0 fois l'infini est une limite indeterminÃĐe...
là on peut dire que c'est l'inverse des fractale. les demi cercle, mÊme au yoctomÃĻtre prÃĻs, ne seront jamais ÃĐgale à une droite. En revanche, avec cette dÃĐmonstration, on peut dire que pi ~= 2. c'est comme calculer le pÃĐrimÃĻtre d'un pays, tu ne peut pas simplement tracer une droite pour les littoraux en disant " c'est presque pareil " et aprÃĻs dire que cela fait exactement cette mesure. Si tu veux les mesures exactes, il faudrait mesurer a la particule prÃĻs et, mÊme comme ça, se ne serai qu'un arrondi.
Le problÃĻme rÃĐside dans l'existence de la "Limite" tel qu'ÃĐnoncÃĐe dans cette "dÃĐmonstration". En effet, si le nombre de demi-cercles tend bien vers l'infini, le rayon tend lui vers 0. La limite parait visuellement donner une droite et donc une constante. Or ce n'est pas le cas, la limite donne un cas indÃĐterminÃĐ en InfinixZÃĐro, et non une droite.
Une autre maniÃĻre de voir les choses, plus l'infinitÃĐ de cercle est grande, moins la diffÃĐrence entre un cercle et une droite est importante, mais plus cette diffÃĐrence est "rÃĐpÃĐtÃĐe" un nombre de fois infini. Ce qui revient à une ÃĐnorme diffÃĐrence entre le micro et le macro.
Autre exemple de trucage visuel, si vous partez en randonnÃĐe avec pour seule carte une photographie aÃĐrienne, vous serez beaucoup plus surpris de ne pas arriver à l'heure quand prenant une carte IGN qui vous donnera une idÃĐe du relief!
En vrai termes mathÃĐmatiques, l'erreur rÃĐside au moment oÃđ on considÃĻre une limite d'une infinitÃĐ de cercles qui tend à devenir une droite. En rÃĐalitÃĐ, on a ici multipliÃĐ l'infini (le nombre de cercles) par 0 ( le rayon des cercles, qui est alors ÃĐgal à 1/infini). Or, et c'est le principe des limites, les infinis sont de tailles diffÃĐrentes et il en existe des si grands que multipliÃĐs par 0, il ne valent pas 0. C'est une forme indÃĐterminÃĐe.
Quartzis Games' aaaa enfin quelqu un qui trouve la solution ça commençait à faire long
@@lucachialvo4090 Ben non, ce n'est pas ca le problÃĻme
ce problÃĻme revient à celui d'Einstein qui se deamndait si la limite d'une courbe serait un segement, et qu'on appelerait une gÃĐodesique, ce qui revient à dire que la dÃĐrivÃĐe en tout point de la courbe resterait nulle le long du diametre, or il se trouve qu'il existe des point continue oÃŧ la dÃĐrivÃĐ ne s'anulle pas, ce qui demontre qu'en ces point la pente de la courbe n'est pas parallÃĻle à la direction du segment, par consÃĐquent la limite de la longueur d'un demi-cercle en ces points n'est pas un segement mais une corde dont la longeurr d'onde est son segment
l'erreur vient du fait que la courbe limite qu'on obtient en rajoutant les demi cercles n'est pas une droite mais une courbe fractale. En effet mÊme si visuellement on a l'impression que c'est une droite ça ne l'est pas : si on zoom sur un point de cette courbe limite on obtient jamais quelque chose de "lisse" contrairement à une droite.
A chaque fois on divise par 4 le rayon pas par 2!
Preuve : On pose f(nb_cercle) = nb_cercle * 2 * pi * 1/(2 * nb_cercle). Il s'agit là d'une fonction qui gÃĐnÃĐralise le pÃĐrimÃĻtre de tout les cercles. En fait, on remarque que pour faire n cercles on a besoin d'un rayon de 1/2*n. C'est de la que vient cette fonction avec nb cercle prenant les valeurs : 1,2,4,8... Ensuite en passe à la limite de f(nb_cercle) en + infini mais si on regarde bien, f(nb_cercle) = cste = pi. Donc pour nb_cercle tendant vers + infini, f(nb cercle) = pi. Donc ce pÃĐrimÃĻtre vaudra toujours pi et non 2
On aura jamais vÃĐritablement une droite mais toujours une succession de demi cercles, c'est là oÃđ est l'erreur.
En poussant le calcul à l'infini, on obtiendrait en fait :
â/2 Ã 2ÏR = â/2 Ã 2Ï x 1/â = â Ã Ï/â = â
Pour faire une analogie simple, si on parcours une route de 10 km en changeant constamment de trottoir (en faisant des demi-cercles), Ã l'arrivÃĐe on n'aura bien ÃĐvidemment pas parcouru 10 km, mais [10/2 Ã Ï] kms
L'erreur c'est qu'il n'y a pas d'erreur nn jrigole ^^ L'erreur c'est que les demi cercles liÃĐs ne sont pas plat et ne seront jamais ÃĐgaux au diamÃĻtre (pas trÃĻs mathÃĐmatiques tout sa xD)
exac
Cerise 9 pas trÃĻs français tout Sa
En fait c'est plus compliquer que sa mais en gros d'aprÃĻs les thÃĐories sur les fractals on aurais certes 2, mais pas 2 cm ou 2 cmÂē mais une unitÃĐe intermÃĐdiaire
Non absolument pas. Les demis cercles tendent vraiment vers le segment
Erreur de raisonnement et pas erreur mathÃĐmatique
Pour faire simple on suivra le mÊme raisonnement du prof : prÃĐrequis : la longueur d'un demi cercle est ÏR.
en divisant une infinitÃĐ de fois le rayon du demi cercle, R va tendre vers 0. Donc on aura une infinitÃĐ de demi cercles dont la longueur est ÏÃR = ÏÃ0 = 0.
Donc pour trouver la longueur totale on doit multiplier le nombre de demi cercles ( on a supposÃĐ que ça tendait vers +l'infini) par la longueur de chaque demi cercle ( qui va tendre vers 0). Et ça on peut jamais le calculer
Conclusion : vous avez beau diviser le rayon de cercle , jamais les demis cercles ne seront superposÃĐs au segment de longueur 1. Et c'est ça l erreur !
Je voulais dire le segment de longueur 2.
Si le rayon des demis cercle tend vers 0 alors il nây aura plus de cercle , donc plus de pÃĐrimÃĻtre donc 0*pi
Donc pour toi Ï=0
Dans tous les cas il y'a une forme indÃĐterminÃĐe, c'est comme si tu choisis de faire la limite de xÂē/x ou x/xÂē, il joue de l'indÃĐtermination
kimou naillik ce que je veux dire , câest quâil utilise la formule dâun pÃĐrimÃĻtre dâun cercle ou justement il y a pi, or il fais de plus en plus de petit cercle. Or si on en fait infiniment, le rayon de cercle va tendre vers 0. Et si il tend vers 0 il nây a donc plus de cercle (câest ce quâil dit , câest faux mais imaginons que ce soit vrai) . si il nây a plus de cercle il ne peut utilisÃĐ la formule du pÃĐrimÃĻtre dâun cercle. Donc il ne peut pas utiliser le pi, pour justement montrer que pi =2 .
Je pense que le problÃĻme est la dÃĐfinition de la longueur de la figure limite. En prenant un autre exemple plus simple on peut montrer les problÃĻmes que la longueur peuvent crÃĐer : si on prends un segment , et qu'on enlÃĻve un point le segment à la mÊme longeur puisque un point n'as pas de longeur. Pareil si on enlÃĻve 40 , 1000 , un gogol. Pourtant si on enlÃĻve une infinitÃĐ (indenombrable pour les pointilleux) de points le segment devient de longeure nulle. On voit alors qu'on ne peut pas parler de longeur d'une figure limite sans plus d'outils.
Si on note p_n la longueur totale aprÃĻs avoir divisÃĐ n fois (et donc on a 2^n demi cercles de rayon 1/2^n) on a p_n = 2^n*(2*pi*1/2^n)/2 = pi ce qui est vrai. Mais cette suite ne dÃĐpend pas de n donc passer à la limite et dire que lim(p_n)=2 (alors que c'est une suite constant ÃĐgale à pi) n'a aucun sens, en rÃĐalitÃĐ la longueur mÊme si "ça a l'air d'Être le cas" ne sera jamais ÃĐgale à 2. Les cercles s'ÃĐcrasent certes, mais pas au point de former une droite mÊme lorsque on tend vers une infinitÃĐ de cercles.
L erreur rÃĐside dans la derniÃĻre phrase de votre conclusion que la limite tend vers deux alors qu il s agit d une suite de valeur constante qui tend vers pi à l'infini et non vers 2
C'est un peu comme dire que le pÃĐrimÃĻtre d'un carrÃĐ dont on a tournÃĐ les angles vers l'intÃĐrieur une infinitÃĐ de fois ( et donc avec l'allure d'un cercle ) est ÃĐgale à celle d'un cercle, c'est absurde d'un point de vue logique
Comme ça a dÃĐjà ÃĐtÃĐ rappelÃĐ plusieurs fois la continuitÃĐ ou la derivabilite n'est pas nÃĐcessaire vu qu'on peut rectifier des courbes par une suite de segments, comme ce qu'a fait ArchimÃĻde avec son approximation de pi. l'erreur c'est de dire que si la courbe limite semble Être ÃĐgale au diamÃĻtre (convergence uniforme si on veut ) alors la longueur aussi. Or La suite des sommes partielles valant toujours Pi c'est pareil à la limite, elle ne vaudra jamais 2...
En rÃĐpÃĐtant la procÃĐdure à lâinfini, on pose n le nombre de demi cercle. Et U(n) la longueur des demi cercle. On a alors R=1/n,
On peu donc ÃĐcrire que
Pour tout nâŽN,
U(n)=(n/2)*2piR
U(n)=(n/2)*2pi*1/n
U(n)=n2pi/2n
U(n)=pi
Et surtout pas à pi !
Je sais pas si câest trÃĻs rigoureux comme dÃĐmonstration.
Je tiens juste a indiquer que comme le fait que pi=2 n'ait pas ete prouve par le calcul, on ne peut pas appeler cela une preuve.
Tu ne verras peut Être jamais ce com (sÃŧrement). Mais sache que je te remercie parce que tu mâas donnÃĐ lâidÃĐe pour rÃĐsoudre un exercice (je suis en ÃĐcole dâingÃĐnieur).
Je tenais à vous dire fÃĐlicitation pour la rÃĐdaction de Myriade math cycle 4, j'ai eu l'occasion de le feuilleter et vous voir dans la page de garde m'a semblÃĐ familier bonne continuation :)
Sympa :-) Merci beaucoup !
On a suite constante qui est ÃĐgale Ã Ï avec des cercles de rayons extrÊmement petits.Cela n'affirme pas qu'au fur et à mesure qu'on aura une droite donc la distance est 2 mais un nombre constante depuis le dÃĐbut proche de Ï
l'erreur est que mÃĐme de la cas limite mÃĐme si on construise une infinitÃĐ de demi cercle on ne se retrouvera pas coller avec le diamtre car pour etre coller avec le diametre il faut que a un moment donnÃĐ le rayon de l'un de ces dÃĐmi cercle soit ÃĐgale a zero ce qui ne serai jamais le cas !!
Soit Un la somme des longueurs des demi-cercles à la n-ÃĻme division.
On a donc Un=(2^n)*pi*(1/2)^n=1^n*pi=pi Donc lim (n->+inf) Un=pi
MÊme si n est trÃĻs grand, Un sera toujours ÃĐgal à pi vu que Un est une suite constante.
Papiertoilette violet OK mais sa question est: oÃđ est l'erreur ?
Cette est constante donc elle a pas de limite
Isabelle Sautiere l'erreur est de considÃĐrer que si ça semble se confondre avec le diamÃĻtre ça a la taille du diamÃĻtre. Une approximation visuel n'est pas une preuve mathÃĐmatique recevable. Si en plus de dÃĐcouper notre diamÃĻtre en frise on pouvait continuer de zoomer, il vous paraÃŪtrait ÃĐvident à chaque ÃĐtape que pi n'est pas ÃĐgal à 2.
L'erreur vient donc du raisonnement que l'on fait assez intuitivement :"si je ne peut le distinguer c'est sÃŧrement indistinguable."
Il est vrai que la valeur de Un ne changera jamais au final, mÊme si n tend vers l'infini.
Donc considÃĐrer que cette infinitÃĐ dÃĐnombrable de demi-cercles se confond avec la droite est une erreur.
Zbam exact merci :) !!
l'erreur c'est de considÃĐrer une petite courbe une ligne droite, ce que vous ÃĐcrivez a la fin c'est pas une valeur mathÃĐmatique ou rÃĐsultat d'une ÃĐquation c'est juste une approche de visibilitÃĐ a lâÅil
La limite du tracÃĐ en arcs de cercle n'est pas une courbe lisse (segment de droite) de longueur 2, mais une courbe infiniment rugueuse de longueur ð > 2.
Ce qu'on imagine à l'Åil nu n'est pas la rÃĐalitÃĐ de ce qui se passe dans l'infiniment petit ...
Avec le raisonnement menÃĐ, on arrive à un calcul type â/â
Forme indÃĐterminÃĐe
Je n'ai pas fais la dÃĐmarche de calculs, mais si on suit la logique rÃĐsoudre cette forme indÃĐterminÃĐe nous ramÃĻnera à Ï.
L'erreur du raisonnement est que quand bien mÊme on aurait une infinitÃĐ de demi cercles, leur longueur cumulÃĐes seraient quoiqu'il en soit plus grandes que le segment sous-jacent
à l'infini ce sont les centres des demi cercles qui seront collÃĐs au diamÃĻtre initial, c'est à dire on aura plus de demi cercles. je vois que l'erreur commise c'est que vous avez simplifier le 0 qui n'est pas simplifiable pour la multiplication.
Quand il y a une infinitÃĐ de demi cercle sur le diamÃĻtre initial, les demis cercle qui son info ne vont jamais tendre en un segment car on pourrait aller sur la figure à l'infini et on pourrait observer des demi cercle et non pas une droite. Quand on addition le pÃĐrimÃĻtre des demi cercle in obtient environ 3,1415... Dans la gÃĐomÃĐtrie, les figure ne peuvent changer de forme un demi cercle restera un demi cercle quoi qu'il arrive il ne peut en aucun cas devenir une droite ou un segment. Ce que prouve la vidÃĐo est que pi vaut plus de 2
on peut dÃĐfinir le rayon des demi cercles par une suite gÃĐomÃĐtrique de raison 1/2, lorsque n tend vers l'infini le rayon tend vers 0. c_à dire la longueur de chaque demi cercle vaut 0. autrement dit à l'infini on aura pas de demi cercles,
La figure ainsi construite par passage à la limite n'est pas de dimension 1, c'est une fractale dont on pourrait peut-Être calculer la dimension, et comparer une longueur à un objet de dimension autre, bah c'est aussi pertinent que de comparer une surface à un volume.
Il y a un problÃĻme similaire. Il stipule que sqrt(2) = 2. C'est dure à expliquer sans schÃĐma, mais on fait avec un triangle isocÃĻle rectangle, dont la base vaut sqrt(2), et on fait comme on a fait pour le cercle dans la vidÃĐo. Et on trouve que si on poursuit le processus à l'infinie, 2 = sqrt(2). L'erreur de raisonnement est la mÊme que dans la vidÃĐo. Si on poursuit la construction une infinitÃĐ de fois, on obtiendra jamais une droite. Si on zoom, autan de fois qu'il en est nÃĐcessaire, mÊme une infinitÃĐ de fois, on obtiendra toujours une frise composÃĐ de la figure de dÃĐpart. En consÃĐquence, il y aura toujours suffisamment dâaspÃĐritÃĐ, pour que l'ÃĐgalitÃĐ soit conservÃĐ.
On sait que la longueur des arcs est supÃĐrieure à celle du diamÃĻtre mais on ne sait pas vraiment si les arcs convergent rÃĐellement vers la droite, pour en Être sÃŧrs il faudrait encadrer la longueur des arcs par deux longueurs qui tendent vers la mÊme limite (thÃĐorÃĻme des gendarmes), ce qu'on n'arrivera pas à faire ici
La somme des diamÃĻtres des petits demi-cercles est ÃĐgale au diamÃĻtre du demi-cercle. Le passage à la limite impliquerait que la longueur d'un petit demi-cercle tende vers son diamÃĻtre ce qui est idiot puisque au plus 2 points d'un cercle peuvent se trouver sur la mÊme droite.
L'erreur n'est pas dans le calcul mais dans le raisonnement. A chaque ligne, tu obtient toujours le mÊme rÃĐsultat. Il y a une constance. Il n'existe aucune convergence. Il n'y a donc pas de limite à rechercher.
La limite serait la constante pi...
L'opÃĐrateur A : f ---> Longueur de f (= intÃĐgrale de -1 Ã 1 de racine ( 1+ f' Âē ) dx) n'est pas bornÃĐ dans l'espace C(-1,1) des fonctions continues sur (-1,1).
[ On peut le prouver par l'absurde en pensant à la fameuse suite de fonctions g_n affines par morceaux qui passe de 0 à 1 avec une pente = n sur un intervalle de mesure non nul: A(g_n) explose, tandis que ||g_n||_inf = 1. ]
Par consÃĐquent, A n'est pas continu sur C(-1,1), ainsi, pour toute suite f_n convergeant uniformÃĐment vers f dans C(-1,1), ce qui est le cas ici A(f_n) n'a aucune raison de converger vers A(f) dans R.
C'est pourquoi, la longueur des arcs de cercle à l'infini n'est pas ÃĐgal à la la longueur de l'intervalle, cà d 2. Cette vidÃĐo est donc un bon moyen d'illustrer ce dernier point.
fr.wikipedia.org/wiki/1/2_%2B_1/4_%2B_1/8_%2B_1/16_%2B_%E2%8B%AF
le demi cercle est ÃĐgal a pi*r aussi petit soit le demi cercle. l erreur est d accepter que le demi cercle a la mÊme longueur que le diamÃĻtre.
la largeur d'un segment est ÃĐgale à 0 donc les demi cercles qui ne peuvent donc pas Être ÃĐgaux à 0 seront toujours plus grand que la largeur du diamÃĻtre du plus grand des demi cercles et donc ne pourra pas Être ÃĐgale à 2.
L'erreur c'est que l'infini n'est pas un rÃĐel et donc encore moins un entier naturel, mÊme pas un nombre tout court. Donc tu ne peux pas calculer avec l'infini ou faire une infinitÃĐ de cercles.
Par ailleurs
Disons que N est le nombre de demi-cercles, la longueur totale des demi-cercles sera de :
N*pi*R
= N*pi*1/N
= pi
On n'a donc pas besoin de faire une infinitÃĐ d'essais, on peut prouver que pour tout N entier naturel (donc fini) non nul (on ne peut pas diviser par 0), la longueur des demi-cercles sera toujours pi (c'est la puissance du calcul littÃĐral)
l'erreur est à partir de la 3eme ligne car 2ÃpiÃR c'est pour le cercle entier donc il n'y a pas besoin de faire Ã2... La 3eme ligne est ÃĐgale à 1/2 pi et la 4 eme est comme la 3eme mais en pire
Lâerreur câest quâon compte (dans la longueur totale soi-disant ÃĐgale à pi) à chaque fois deux fois le point dâintersection de deux demi-cercles, ce qui, lorsque lâon rÃĐitÃĻre le processus à lâinfini, finit par rajouter jusquâà environ 1,14 à la valeur rÃĐelle de la longueur quâon calcule, dâoÃđ le fait quâon trouve pi au lieu de 2. Lâerreur vient donc du fait de sommer des demi-cercles ÂŦ entiers Âŧ, alors que à chaque fois ce ne sont pas 2 (ou 2n) demi-cercles puisquâil partagent 1 (ou n) point(s) en commun. RÃĐitÃĐrÃĐe à lâinfini, lâerreur prend une ampleur telle quâelle viendrait à ÂŦ dÃĐmontrer Âŧ que pi=2, ce qui, en effet, est absurde.
Baptiste Lavagna nâimporte quoi mdr
La limite n'est pas une droite mais une frise infiniment fine dont la longueur n'est pas ÃĐgale à la longueur d'une droit bornÃĐe.
J'en connais qui se retournerait dans leur tombe
L'erreur c'est que dans le cas oÃđ l'on utilise une infinitÃĐ de cercle, on utilise alors une limite. Ce qui donne infiniÃpiÃ(1/infini). Or 1/infini=0 et infiniÃ0 est une forme indÃĐterminÃĐe
paradoxe du penalty.... mdr
je sais carton rouge je sors
( quoi que ) ;-)
L'erreur se situe dans le passage de suite de demi-cercles à segment : un demi-cercle est la moitiÃĐ d'un cercle, or un cercle est un ensemble de point situÃĐ Ã mÊme distance d'un centre. à partir du moment oÃđ r est diffÃĐrent de 0 , les points des demi-cercles ne sont pas alignÃĐs, et ne forment toujours qu'une suite de demi-cercles. Ici, r =/= 0 , puisque le diamÃĻtre d du demi-cercle de rayon 1 vÃĐrifie l'ÃĐquation d = 2r * (nombre de cercle) , si r = 0 , d = 0 , or ici d = 2.
lâerreur c'est que que quant on il fait son opÃĐration de dÃĐdoubler son cercle il obtient un nouveaux rayon ÃĐgal a 1/2 du ÃĐdentent alors que c'est le diamÃĻtre qui fait 1/2 donc le rayon fait 1/4 on a donc les demie cercle suivent 2*Nb demi-cercle se qui nous donne si on repren du dÃĐbut 2*1*pi/2 =pi puis 2*2*pi/2*1/4= pi/2 puis 2*4*pi/2*1/16=pi/4 ... donc l'ÃĐquivalence est respecter et mÊme si on suit la demarche avec l'infiniment petit on arriverais avec pi/infini = 2 et donc 0=2 ou des absurdiste du gore. bien essayer.
Lim (n->+inf) n * pi/n = pi =! 2
Cqfd
le fait que ce resonement soit en partit faux est que l'infini n'est qu'une notion trop abstraite pour pouvoir etre utilisÃĐe, si on s'amuse a faire le procÃĐdÃĐ a "l'infini" le seul resultat que l'on pourrais obtenir est une forme fractale continuelle de ponts les un plus petits que les autres, et non pas un segment droit, autrement dis, plus il y aura de ponts, plus il y aura de mini deformations de ce "segment" et donc autant d'information de longueure a rajouter au resultat total
La somme des infiniments petits n'est pas un infiniment petit.
C'est à dire ici la somme infini des petites diffÃĐrences entre la trÃĻs trÃĻs trÃĻs petite circonfÃĐrence et son diamÃĻtre qui sont infiniment petits n'est pas pourtant infiniment petite.
On ne peut pas appliquer les lois d'une somme fini à une somme infini.
Autrement il faut comparer les 2 grandeurs par le rapport et non pas par la diffÃĐrence et voir si la limite du rapport tend vers 1 ou non.
Voilà :
A la niÃĻme ÃĐtape la demi circonfÃĐrence est pi/n & le diamÃĻtre correspondant : 2/n .ce sont 2 suites qui tendent chacune vers zÃĐro quand n tend vers l'infini .le rapport de ces 2 suites a pour limite pi/2 et non 1 donc ce ne sont pas 2 suites ÃĐquivalentes à l'infini bien qu'elles tendent chacune vers 0.
(Pour le calcul de cette limite simplifier et non remplacer sinon indÃĐtermination )
L'erreur c'est que comme la diffÃĐrence entre la niÃĻme demi circonfÃĐrence et le niÃĻme diamÃĻtre correspondant tend vers 0 (infiniment petit) ça laisse penser à tort que la somme de ces infiniments petits tend aussi vers 0 ce qui est faux.
Quand on fait la somme infini des infiniment petits on trouve pas forcÃĐment un infiniment petit.
Vous pouvez devenir riche si vous accummulez des sommes infiniment petits d'argent si vous passez toute la vie à le faire bien que cet exemple n'est pas impeccable car ni la vie n'est infini ni la somme d'argent minime soit elle n'est infiniment petit.
Conseil
Quant on compare 2 grandeurs que ce soit par diffÃĐrence ou rapport ou autre procÃĐdÃĐ il faut pas remplacer par 0 avant le rÃĐsultat mais plutÃīt par l'expression .il faut trouver le rÃĐsultat comme expression et l'interprÃĐter.
En plus on utilise pas la diffÃĐrence mais le rapport des 2 expressions si elles sont ÃĐquivalentes ou non ce j'ai fait .si ils s'avÃĻrent ÃĐquivalentes on calcule le rapport relatif ce que j'ai pas fait parce que dÃĐjà non ÃĐquivalentes.
Aussi quand on fait une somme infini de quantitÃĐs infinim petits on remplace pas la valeur quantitÃĐ par 0 mais par son expression seulmt .on remplace seulmt dans le rÃĐsultat final si possible
Sois n le nombre d'ÃĐtape de construction
Rn la longueur du rayon à l'ÃĐtape n
Par raisonnement de rÃĐcurrence Rn+1=Rn*1/2 alors Rn=(1/2)^(n-1)
Sois Un le nombre de demi cercle à l'ÃĐtape n
Un+1 = Un*2 alors Un = 2^(n-1)
Sois Ln la somme de la circonfÃĐrence des demi-cercles à l'ÃĐtape n, comme :
pi = C/D C = Dpi (demi-cercles alors) C/2 = (Dpi)/2 = Rpi
Ln = pi *Rn*Un = (1/2)^(n-1)*2^(n-1)*pi
On cherche alors la limite de Ln quand n tant vers +l'infini :
On remarque que (1/2)^(n-1)*2^(n-1) = 1 donc que Ln = pi*1 = pi
Ln est une fonction constante alors quand n tant vers l'infini Ln garde la mÊme valeur
Comme le rayon devient infiniment petit on pourrait croire que les demi cercles sont confondu avec la droite mais comme nous ÃĐcrivons une limite, le rayon est au plus proche de 0 possible mais n'est jamais nul donc la somme de la circonfÃĐrence des demi-cercle n'est jamais ÃĐgalÃĐ Ã la longueur du segment
L'erreur est pourtant simple en partant sur l'idee que l'infini est un nombre quelconque tout comme deux le calcul reste le meme :
(1/2)*(L'infini)*2*(Pi)*R= (l'infini)*(Pi)*1/(L'infini) = (Pi)
Le calcul reste le meme qu'avec 4 cercles dans 1
(1/2)*(4)*2*(Pi)*1/4= (Pi)
Vu que l'on multiplie toujours 2(Pi)R par le nombre totale de cercle se trouvant sur le cercle de rayon 1 le nombre de cercle sera donc de la moitie de l'infini . Par la suite le rayon lui est ÃĐgal comme a chaque fois a l'inverse du nombre totale de cercle ce trouvant sur le diametre soit 1/(l'infini) et du coup le resultat reste belle est bien (Pi)
L'infini n'es jamais utiliser dans les calcul traditionnel car il ne nous permet de trouver un resultat exploitable que lorsqu'il est supprimer en le multipliant par son inverse par exemple .
Si l'on vous aurez dit 1 milliard de cercle sur 2 cm de diametre quelle resultat aurez vous trouver et qu'elle apparence aurais chacun de vos cercles mis bout a bout ?
Vous dites calculer la longueur (surface) mais vous avez utilisÃĐ la formule du pÃĐrimÃĻtre.
Si nous avions, selon la formule de la surface on aurait :
NÃPi/(N^2)=Pi/N et quand N tant vers l'infini, la limite est ZÃĐro.
Et pour ce qui est du pÃĐrimÃĻtre, la sommes des pÃĐrimÃĻtres de deux figures gÃĐomÃĐtriques n'est pas ÃĐgale au pÃĐrimÃĻtre de la figure gÃĐomÃĐtrique formÃĐe par les deux premiÃĻres figures placÃĐes selon une certaine disposition dont le non m'ÃĐchappe.ð
Bref si on se place dans un cas infinitÃĐsimal le segment de droite de longueur dx ne sera pas de mÊme longueur que la longueur du demi cercle qui vaudra alors pi/2*dx. Pour que localement les deux longueur soit ÃĐgales, on le voit dans ce cas, il nous faut une condition de tangence en tout points ce qui nâest clairement pas respectÃĐ ici.
En effet, il nây a mÊme aucun point de la fractale qui est tangente au segment !
En bref, si on change le demi cercle par nâimporte quel autre forme et quâon fait la mÊme opÃĐration, on pourrait prouver aussi que nâimporte quoi plus grand que 2 est ÃĐgal à 2
Lorsque n tend vers + infini 2^n* ð/2^n tend toujours vers ð, donc l'ÃĐgalitÃĐ ne tient pas, l'erreur de raisonnement commise est que mÊme au voisinage de 0 la circonfÃĐrence d'un demi cercle n'est pas ÃĐquivalent à celle de son diamÃĻre : le rapport vaudra toujours ð !
la surface comprise entre les demi cercles et le grand diametre est de pi*2^(-n-1) ce qui est une suite qui tend vers 0 je le concede mais quelquesoit la valeur de n cette surface ne sera jamais nulle ce qui empeche le raisonnement de confondre une droite et une serie de demi-cercle