학생들 중에는 설명할 수 있어야 이해한 거다라는 얘기의 함의를 파악하지 못하고 문장을 그냥 있는 그대로 외워서 마치 앵무새가 사람 말을 따라하듯 누군가의 설명을 그대로 내뱉는 학생들이 좀 있더라고요. 언어라는 건 머릿속 생각을 겉으로 드러내는 수단이 되어야 하는데 누군가의 형식을 그대로 따라해버리면 거기에는 학습자 자신의 생각이 담기지 않으니 학습자 자신이 무엇을 알고 무엇을 모르는지 파악하기가 어려워져서 학습 효율이 나쁠 수밖에 없는 것 같습니다.
누군가에게 실제로 설명해보면 됩니다. 막히는부분 다시 보는거죠. 어릴땐 가족에게, 성인이면 스터디원에게.. 그렇게 하다보면 감이생겨 실제로 남에게 설명하지 않아도 혼자 백지에 설명하면서 공부할 수 있습니다. 저는 공부할때 실제로 이해하지 못하고 이해한것처럼 외워서 말하는걸을 매우 경계했는데요, 그 방법중 하나로 “다시말해”, “다르게 설명하면”으로 여러방법으로 백지에 설명하면서 이해를 확인했습니다. 이 방법을 깨닫고 공부는 어디가서 질 자신이 없었어요
좋은 영상 정말 감사합니다. 고등학생때 전교 1등한 친구가 같은반 친구들이 질문하면 너무 착하고 친절하게 가르쳐 주던 모습이 기억나네요. 어쩜 이런 착한 행위가 자신에게 도움도 된다는 걸 전교 1등 친구는 이미 알고 있었을것 같네요. 자기가 이해를 못하면 지식 수준이 각기다른 모든 친구들에게 설명을 할 수 없았을테니까요 😊
이런 영상들을 사람들이 많이 보고 진지하게 잘 받아들이면 좋겠네요. 수학을 공부한다는 게 뭔지, 이해한다는 게 뭔지를 중학생 때 깨닫고 오면 고등학교 수학도 쭉 이어서 할 수 있는데, 정작 그게 없이 선행학습에 매달리는 학생과 학부모가 너무 많은 게 안타깝습니다. 건물을 짓는 걸로 치면 땅 밑의 기초를 다지는 공사를 해야 위에 건물을 높이 쌓는 건데, 그냥 쌓고 무너지고를 반복하다보면 언젠가는 튼튼해질 거라고 믿는 것 같아요.. 고등학교 수학을 몇 바퀴 돌렸다고 자랑처럼 말할 게 아닙니다. 한 번만에 충분히 이해할 수 있는 건데 대체 n회독이 왜 필요했던 건지, 뭔가 본질적인 문제가 있었다는 거죠.
영상의 내용을 부연설명하면(물리학을 예시로 드심) 수학은 이런겁니다 한가지 증명을 이해가 완전히 될때까지 반복적으로 연습해야합니다 이는 단순 암기와는 차이가 있습니다 예를 들어서 2차방정식ax²+bx+c=0의 근의 공식이 [-a±sqrt(b²-4ac)]/2a라고 한다면 1.2차방정식을 완전제곱의 형태로 변형 2.변형된 식에서 좌변의 상수를 우변으로 넘기며 정리 3.좌변 우변에 루트를 씌움 그리고 양변을 b/a만큼 빼줌 그러면 우리가 아는 그 근의 공식이 나옵니다 그리고 미분의 엄밀한 정의는 함수f(x)위의 어떤 x값에 대해서Δx가 원하는만큼 한없이 작아질때 기울기도 일정값에 수렴하는걸 볼수가 있을겁니다 그게 바로->lim b->a[f(b)-f(a)]/(b-a) 즉 lim x->a[f(x)-f(a)]/(x-a) 입니다 여기서 x-a=h라고 놓고 보면 x=a+h입니다 h=Δx인걸 모르는 사람은 없을거라고 생각합니다 그럼 위식은 lim Δx->0 [f(a+Δx)-f(a)]/Δx가 되겠죠 그럼 f'(a)가 되는겁니다 우리가 아는 이차,삼차함수 초월함수의 미분이 그렇게 되는 이유또한 증명과정에서 그렇게 나온겁니다 여기서 Δx를 h로 바꾸면 우리가아는 그 미분계수 공식이 됩니다
저도 취미로 수학하는 사회인입니다. 저는 근의공식을 사례로 들면서 증명과정을 알겠다고 하고 실제 문제는 근의공식에 대입하는 것으로는 안되고, 개별 문제를 증명의 방식으로 풀어보는 것이 이해에 이르는 길이라고 설명하곤 했는데, 영상을 보니 이것도 불완전하다는 걸 느낍니다. 좋은 영상 감사합니다.
😁수학취미님이 하신 말씀을, "프로그래머"들이 소프트웨어 만들 때 무한 반복하고 있습니당... "인간의 언어" 대신 "컴퓨터 언어"로 쓰는 과정입니다. ㅎㅎㅎ /////////////// 제가 오래 전부터 "수학을 잘 하려면 국어를 잘 해야 된다"고 강조했는데, "그렇지, 공감!" 한다고 하는 분들은 "수학을 잘 하는 분들"이고 "이건 뭔 소리?" 하는 분들은 "수학에 약한 분들" 이었습니다. /////////////// 딴 건 몰라도, 기하학 도형 문제는 언어만으로는 안 되고, 머리속에서 복잡한 도형을 막 굴려보는 상상을 할 수 있어야 됩니다. 그래서 엄마가 혼내도(?) 테트리스 게임을 해야 합니다. 테트리스는 공간지각능력 향상 교육적 목적으로 만든 게임입니다. 머리속에서 도형을 굴리고 돌리고 할 수 없다면 기하학은 포기해야 됩니다. 그럼 어떻게? 책을 거꾸로 들고 글을 읽어봅니다. 도저히 못 읽겠지만 계속 읽어 봅니다. 거울에 비친 글자들을 빠른 속도로 읽어보는 연습을 합니다. 지도를 여러 가지 방향으로 돌렸을 때, 여러 도시들의 위치는 어디로 옮겨가나? 이런 연습도 해보시구요. 공부 잘 하는 방법 설명할 때 아무도 말 안 해 주는 거? 그건 바로 두뇌에 필요한 깨끗한 공기, 충분한 영양, 충분한 수면(잠) 입니다. 그게 안 되면 아주 신기한 방법으로 공부해도 성적 안 오릅니다. 잠 잘 때, 어떤 작은 불빛도 수면의 질을 떨어뜨리므로 불을 끄세요. 심지어 수면중 불빛은 수면의 질을 떨어뜨려서, 정신건강에도 안 좋다는 연구결과가 있습니다. 추가 : 축농증, 비염은 기억력에 아주 안 좋습니다. 기억이 안 나면 문제를 잘 못 풀어요 ㅠㅠ 땅콩, 아몬드는 두뇌에 좋은 영양소를 많이 공급합니다.
정리와 다르게 정의를 이해했다는 뜻은 조금 다른거 같음. 정의는 말그대로 선언일 뿐이기 때문에 이해하는 대상이 아님. 그럼에도 불구하고 우리는 그것을 이해했다고 말하곤하는데. 그것은 수학자들이 정의를 만든 배경이나 심리를 파악했다 정도로 해석할 수 있을거 같음. 가령 어떤 수학자가 123을 고양이라고 정의했다고 가정했을때 고양이를 이해했다고 말하는건 매우 이상한거임. 하지만 실제로는 난 고양이를 이해했어 라는 착각을 하게되는데 그것은 아마도 수학자가 왜 123을 고양이라고 정의했는지 이유를 알것같다 정도로 해석할 수 있다는거지. 그런점 때문에 수학의 정의를 공부를 할 때는 왜 그런 정의가 등장했는지 역사를 알면 도움이 될 수 있음.
이런 말에 흔들리지 마라. 이해와 암기를 구분하지 말아야 하며 , 그 순서도 꼭 이해부터가 먼저이고 암기가 나중인 것도 아니다. 단 ,무지성 암기는 지양해야 한다. 이해와 암기를 구분짓는 각종 영상들 대부분이 이해가 중요함에 무게를 두는 컨텐츠인데…이해가 암기보다 늘 선행되어야 하는 것도 아니다 😊
"이해하지 말고 넘어가라" 는 학습법도 있어요 th-cam.com/video/i8oDLO7GPsk/w-d-xo.html 학습에서 어떤 걸 "이해한다"는 개념은 사실 없어요. 사람이 말로 만든 개념이지 사실은 존재하지 않죠. 단지 어떤 목적이 있고 목적을 실제로 달성한 과정만 있는 것이지 이해는 그 과정을 거친 사람이 자기가 뭔가를 했다고 착각하여 만든 단어일 뿐이죠 예를 들어 튀어나온 못을 보고 당장 그 못 한개를 박아넣는게 목적이라면 꼭 망치라는 도구를 알 필요(이해할 필요)는 없습니다. 그때는 오히려 못을 잘 만져 보고 그 딱딱함을 느끼고 신발 뒷굽이든 숟가락이든 충분히 단단하다고 생각되면 그걸 가지고 못을 박으면 되는거죠 내가 만약 목수라서 박아넣을 못이 여러개다 평생 못을 박아야 한다면 망치를 잘 골라야 하죠 평생 임기응변만 할순 없으니까. 반대로 목수는 어쩌면 이걸로도 못을 박을 수 있었어? 라는 임기응변을 평생 모를수도 있습니다. 평생 망치로만 못을 박았기 때문에 오히려 이해의 폭이 좁을수도 있는거죠 수포자로서 수학을 학습하는 목적을 잘 모르겠고 수학 잘하는 사람은 대체 무슨 목적을 가지고 그 문제들을 증명하려고 애쓰는지 모르겠더라고요 이해를 위한 이해를 끝없이 반복하는 사람들 같달까... 그걸 견딜 수 있어야 수학자를 하겠구나 싶더라고요
눈에 보이지도 않는 것을. 자기 사상우로 이해 해야 하기에 정말. 힘듬 특히 입시 위조 교육에서. 더 욱 심각 함 이해를 해야. 응용이 가능 하기 때문에 교육의 깊이보다 기초에 대한 이해를 돋는데 교육으로 바꿔야 하지만 결국 기득권 유지 방법에 교육 최 우선 이기 때문 교육에서. 수준 창기. 생겨야 쉽게 기득권. 유지기 가능 하기 때문에 어렵게 가야 주고 안 알려 줌
![[⏰ 48분 순삭] 이 영상을 '끝까지' 본다면 반드시 인생이 바뀐다.](http://i.ytimg.com/vi/MYVUsvknZ2I/mqdefault.jpg)
학생들 중에는 설명할 수 있어야 이해한 거다라는 얘기의 함의를 파악하지 못하고 문장을 그냥 있는 그대로 외워서 마치 앵무새가 사람 말을 따라하듯 누군가의 설명을 그대로 내뱉는 학생들이 좀 있더라고요. 언어라는 건 머릿속 생각을 겉으로 드러내는 수단이 되어야 하는데 누군가의 형식을 그대로 따라해버리면 거기에는 학습자 자신의 생각이 담기지 않으니 학습자 자신이 무엇을 알고 무엇을 모르는지 파악하기가 어려워져서 학습 효율이 나쁠 수밖에 없는 것 같습니다.
그래서 수학이 어려운 겁니다. 이해한 것을
자기만의 언어로 표현하는 것이 아니니. 이미 정해진 수학적 언어를 배우는거죠. 😊
누군가에게 실제로 설명해보면 됩니다. 막히는부분 다시 보는거죠. 어릴땐 가족에게, 성인이면 스터디원에게.. 그렇게 하다보면 감이생겨 실제로 남에게 설명하지 않아도 혼자 백지에 설명하면서 공부할 수 있습니다. 저는 공부할때 실제로 이해하지 못하고 이해한것처럼 외워서 말하는걸을 매우 경계했는데요, 그 방법중 하나로 “다시말해”, “다르게 설명하면”으로 여러방법으로 백지에 설명하면서 이해를 확인했습니다. 이 방법을 깨닫고 공부는 어디가서 질 자신이 없었어요
좋은 영상 정말 감사합니다. 고등학생때 전교 1등한 친구가 같은반 친구들이 질문하면 너무 착하고 친절하게 가르쳐 주던 모습이 기억나네요. 어쩜 이런 착한 행위가 자신에게 도움도 된다는 걸 전교 1등 친구는 이미 알고 있었을것 같네요. 자기가 이해를 못하면 지식 수준이 각기다른 모든 친구들에게 설명을 할 수 없았을테니까요 😊
내가 정의하는 수학에서 이해를 했다는 뜻은 공리로 부터 정리까지 논리적으로 연결시킬 수 있다는 뜻임. 모든 학문에는 공리가 있기 때문에 비슷하게 적용가능 할 듯
이런 영상들을 사람들이 많이 보고 진지하게 잘 받아들이면 좋겠네요. 수학을 공부한다는 게 뭔지, 이해한다는 게 뭔지를 중학생 때 깨닫고 오면 고등학교 수학도 쭉 이어서 할 수 있는데, 정작 그게 없이 선행학습에 매달리는 학생과 학부모가 너무 많은 게 안타깝습니다.
건물을 짓는 걸로 치면 땅 밑의 기초를 다지는 공사를 해야 위에 건물을 높이 쌓는 건데, 그냥 쌓고 무너지고를 반복하다보면 언젠가는 튼튼해질 거라고 믿는 것 같아요.. 고등학교 수학을 몇 바퀴 돌렸다고 자랑처럼 말할 게 아닙니다. 한 번만에 충분히 이해할 수 있는 건데 대체 n회독이 왜 필요했던 건지, 뭔가 본질적인 문제가 있었다는 거죠.
영상의 내용을 부연설명하면(물리학을 예시로 드심) 수학은 이런겁니다
한가지 증명을 이해가 완전히 될때까지 반복적으로 연습해야합니다 이는 단순 암기와는 차이가 있습니다
예를 들어서 2차방정식ax²+bx+c=0의 근의 공식이 [-a±sqrt(b²-4ac)]/2a라고 한다면
1.2차방정식을 완전제곱의 형태로 변형
2.변형된 식에서 좌변의 상수를 우변으로 넘기며 정리
3.좌변 우변에 루트를 씌움 그리고 양변을 b/a만큼 빼줌
그러면 우리가 아는 그 근의 공식이 나옵니다
그리고 미분의 엄밀한 정의는 함수f(x)위의 어떤 x값에 대해서Δx가 원하는만큼 한없이 작아질때 기울기도 일정값에 수렴하는걸 볼수가 있을겁니다 그게 바로->lim b->a[f(b)-f(a)]/(b-a)
즉 lim x->a[f(x)-f(a)]/(x-a) 입니다 여기서 x-a=h라고 놓고 보면 x=a+h입니다 h=Δx인걸 모르는 사람은 없을거라고 생각합니다
그럼 위식은 lim Δx->0 [f(a+Δx)-f(a)]/Δx가 되겠죠
그럼 f'(a)가 되는겁니다 우리가 아는 이차,삼차함수 초월함수의 미분이 그렇게 되는 이유또한 증명과정에서 그렇게 나온겁니다 여기서 Δx를 h로 바꾸면 우리가아는 그 미분계수 공식이 됩니다
좋은 영상 감사합니다 😊
최근 초등생 수학에 관심이 많다보니 알고리즘으로 선생님 영상을 접했습니다.
앞으로도 수학에 대한 좋은 영상 부디 많은 분에게 영감을 주면 좋겠고. 선생님도 이런 재능덕에 더 유명해지셨으면 좋겠네요~ 앞으로 응원 많이 하겠습니다.
좋은 말씀 감사합니다~!!
저도 취미로 수학하는 사회인입니다. 저는 근의공식을 사례로 들면서 증명과정을 알겠다고 하고 실제 문제는 근의공식에 대입하는 것으로는 안되고, 개별 문제를 증명의 방식으로 풀어보는 것이 이해에 이르는 길이라고 설명하곤 했는데, 영상을 보니 이것도 불완전하다는 걸 느낍니다. 좋은 영상 감사합니다.
수학과 교수를 하셨어야 하신분. 그래도 재능을 썩히지 않고 이렇게 전파해주셔서 감사합니다.
좋은 영상 감사합니다.
이분한테 수학 과외받고 싶다. 뭔가 수학을 재미있게 공부할수 있을거 같다.
시험에서 요구하는 내용은 무조건 암기에서 시작 후 이해가 가능하다는 세뇌교육에 익숙하지만. 아무리 그래도 이해와 암기는 다른 거 같아요 😅
시험에서 암기 문제 위주로 내는건 잘못됐지만
뇌에 넣어놓고 몇 일 자고 일어나면 갑자기 풀리는 문제들이 있어서 외우는 것 자체는 그렇게 나쁘지 않다고 생각합니다
😁수학취미님이 하신 말씀을, "프로그래머"들이 소프트웨어 만들 때
무한 반복하고 있습니당...
"인간의 언어" 대신 "컴퓨터 언어"로 쓰는 과정입니다. ㅎㅎㅎ
///////////////
제가 오래 전부터 "수학을 잘 하려면 국어를 잘 해야 된다"고 강조했는데,
"그렇지, 공감!" 한다고 하는 분들은 "수학을 잘 하는 분들"이고
"이건 뭔 소리?" 하는 분들은 "수학에 약한 분들" 이었습니다.
///////////////
딴 건 몰라도, 기하학 도형 문제는 언어만으로는 안 되고,
머리속에서 복잡한 도형을 막 굴려보는 상상을 할 수 있어야 됩니다.
그래서 엄마가 혼내도(?) 테트리스 게임을 해야 합니다.
테트리스는 공간지각능력 향상 교육적 목적으로 만든 게임입니다.
머리속에서 도형을 굴리고 돌리고 할 수 없다면 기하학은 포기해야 됩니다.
그럼 어떻게?
책을 거꾸로 들고 글을 읽어봅니다. 도저히 못 읽겠지만 계속 읽어 봅니다.
거울에 비친 글자들을 빠른 속도로 읽어보는 연습을 합니다.
지도를 여러 가지 방향으로 돌렸을 때, 여러 도시들의 위치는 어디로 옮겨가나?
이런 연습도 해보시구요.
공부 잘 하는 방법 설명할 때 아무도 말 안 해 주는 거?
그건 바로 두뇌에 필요한 깨끗한 공기, 충분한 영양, 충분한 수면(잠)
입니다. 그게 안 되면 아주 신기한 방법으로 공부해도 성적 안 오릅니다.
잠 잘 때, 어떤 작은 불빛도 수면의 질을 떨어뜨리므로 불을 끄세요.
심지어 수면중 불빛은 수면의 질을 떨어뜨려서, 정신건강에도 안 좋다는 연구결과가 있습니다.
추가 :
축농증, 비염은 기억력에 아주 안 좋습니다. 기억이 안 나면 문제를 잘 못 풀어요 ㅠㅠ
땅콩, 아몬드는 두뇌에 좋은 영양소를 많이 공급합니다.
ㅎㅎ 감사합니다~!! 저도 배우고갑니다 ㅎㅎ
책을 거꾸로 들고 읽어 본다니 신박한 연습 방법이네요 ㅎㅎ
수.취.직 님 내용 너므 좋아서 구독 좋댓공 갑니다요! 위 영상 필기 프로그램 무엇이나요??
제일 좋은건 한가지 증명을 이해가 될때까지 계속 반복해보는겁니다
파인만이 말한건 이런게 아닌것 같아요. 설명하신 네단계는 그냥 다 1단계를 반복한듯.
덧붙이고 압축하고 덧붙이고 압축하고 ...
“나중에 볼 동영상“
정리와 다르게 정의를 이해했다는 뜻은 조금 다른거 같음. 정의는 말그대로 선언일 뿐이기 때문에 이해하는 대상이 아님. 그럼에도 불구하고 우리는 그것을 이해했다고 말하곤하는데. 그것은 수학자들이 정의를 만든 배경이나 심리를 파악했다 정도로 해석할 수 있을거 같음. 가령 어떤 수학자가 123을 고양이라고 정의했다고 가정했을때 고양이를 이해했다고 말하는건 매우 이상한거임. 하지만 실제로는 난 고양이를 이해했어 라는 착각을 하게되는데 그것은 아마도 수학자가 왜 123을 고양이라고 정의했는지 이유를 알것같다 정도로 해석할 수 있다는거지. 그런점 때문에 수학의 정의를 공부를 할 때는 왜 그런 정의가 등장했는지 역사를 알면 도움이 될 수 있음.
이런 말에 흔들리지 마라. 이해와 암기를 구분하지 말아야 하며 , 그 순서도 꼭 이해부터가 먼저이고 암기가 나중인 것도 아니다. 단 ,무지성 암기는 지양해야 한다. 이해와 암기를 구분짓는 각종 영상들 대부분이 이해가 중요함에 무게를 두는 컨텐츠인데…이해가 암기보다 늘 선행되어야 하는 것도 아니다 😊
이해를 하는 방법에 대해 이야기한거라 암기보다 더 중요하다는 의견은 없었습니다 ㅎㅎ
이해와 암기에 대해선 무엇이 중요하다고 확답을 내리기 어려운 것 같습니다. 좋은 생각 나눠주셔서 감사합니다~!
"이해하지 말고 넘어가라" 는 학습법도 있어요
th-cam.com/video/i8oDLO7GPsk/w-d-xo.html
학습에서 어떤 걸 "이해한다"는 개념은 사실 없어요. 사람이 말로 만든 개념이지 사실은 존재하지 않죠.
단지 어떤 목적이 있고 목적을 실제로 달성한 과정만 있는 것이지
이해는 그 과정을 거친 사람이 자기가 뭔가를 했다고 착각하여 만든 단어일 뿐이죠
예를 들어 튀어나온 못을 보고 당장 그 못 한개를 박아넣는게 목적이라면 꼭 망치라는 도구를 알 필요(이해할 필요)는 없습니다.
그때는 오히려 못을 잘 만져 보고 그 딱딱함을 느끼고 신발 뒷굽이든 숟가락이든 충분히 단단하다고 생각되면 그걸 가지고 못을 박으면 되는거죠
내가 만약 목수라서 박아넣을 못이 여러개다 평생 못을 박아야 한다면 망치를 잘 골라야 하죠 평생 임기응변만 할순 없으니까.
반대로 목수는 어쩌면 이걸로도 못을 박을 수 있었어? 라는 임기응변을 평생 모를수도 있습니다. 평생 망치로만 못을 박았기 때문에 오히려 이해의 폭이 좁을수도 있는거죠
수포자로서 수학을 학습하는 목적을 잘 모르겠고 수학 잘하는 사람은 대체 무슨 목적을 가지고 그 문제들을 증명하려고 애쓰는지 모르겠더라고요
이해를 위한 이해를 끝없이 반복하는 사람들 같달까...
그걸 견딜 수 있어야 수학자를 하겠구나 싶더라고요
정말 도움됩니다. 우리딸에게도 저에게도 꼭 필요하네요. 고맙습니다.
동어반복을 20분 동안이나 하시네...횡설수설...잘 모르면 보통 이렇게 시간을 보냄.
님 문해력 부족하죠?
긴 글도 아니고 동영상인데
요즘은 디지털 문해력도 부족한 사람들이 참 많다 ㅋㅋㅋ
파인만 기법이라고 인터넷에 떠도는 얘기들.. 정작 파인만은 이런 거 고민해봤을까 싶음.. 파인만 인터뷰 보면 일관되게 "내가 그딴 거 까지 설명해야 해"라는 태도가 보이는데.. 그러면서 한 얘기를 신주단지 모시듯이 하는 사람들 보면 참..
뭔소리야. 대중을 위한 과학 전파에 진심이셨던 분이고, 눈높이에 맞춘 대답에 신중하셨던 위대한 과학자인데 , 말도 안되는 폄하 좀 하지말고.... 어디 그 동영상이나 링크 달아봐라. 그런게 있나.
한번도 그런 태도를 본적이 없다. ㅉㅉㅉ
눈에 보이지도 않는 것을.
자기 사상우로 이해 해야 하기에 정말. 힘듬
특히
입시 위조 교육에서. 더 욱 심각 함
이해를 해야. 응용이 가능 하기 때문에
교육의 깊이보다
기초에 대한 이해를 돋는데 교육으로 바꿔야 하지만
결국
기득권 유지 방법에 교육 최 우선 이기 때문
교육에서. 수준 창기. 생겨야
쉽게 기득권. 유지기 가능 하기 때문에
어렵게 가야 주고 안 알려 줌