LIMITE PARAMETRICO CON SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR th-cam.com/video/GJIM3abeAfQ/w-d-xo.html LIMITE CON SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR #1 th-cam.com/video/Ik1Q-rX4RSQ/w-d-xo.html ANALISI UNO - ESERCIZI D'ESAME SVOLTI th-cam.com/video/hM0pILsWR08/w-d-xo.html&pp=gAQBiAQB
scusi in 2:27 perchè o((x^2 -x^4/3 + o(x^5))^2) diventa o(x^4+o(x^4)) e (x^2- x^4/3 + o(x^5))^2 diventa così e xarcatanx arriva fino a x^4? Grazie per l'eventuale risposta
Non esiste una regola che permetta di stabilire a priori fino a che grado sviluppare. Ciò detto, come precisato ad inizio video, in questo limite un indizio poteva arrivare dal termine presente al denominatore, che è un x^4; basta per esser sicuri? Ovviamente no, ma prima di prendere troppi termini per ogni sviluppo, meglio vedere se è sufficiente fermarsi al quarto grado. Questo quindi spiega lo sviluppo dell'arcotangente. Quanto al quadrato, è fatto con l'usuale procedura del quadrato del trinomio (d'altra parte il quadrato contiene tre termini...). Ricordando che siamo interessati (in prima battuta, e in effetti si vedrà che tanto basta) ad arrivare al quarto grado, teniamo i termini del quadrato inferiori od uguali al quarto grado (quindi solo x^4) mentre gli altri li "trascuriamo" facendoli ricadere all'interno dell'o-piccolo di x^4 (che appunto tiene conto di tutti i termini di grado superiore ad x^4). A quel punto si applicano le regole degli o-piccolo per determinare l'equivalenza tra o(x^4+o(x^4)) e o(x^4)
Certo. Nell'ultima riga, in corrispondenza di ln(1+x*arctgx) si sviluppa il prodotto -1/2 (x^4+o(x^4)) mediante proprietà distributiva del prodotto e si ha -(x^2)/2 + o(x^4), quest'ultimo passaggio giustificato da una proprietà degli o-piccolo per la quale k*o(x^n)=o(x^n), essendo k una costante. A quel punto i termini di 4° grado (ossia -(x^4)/3 - (x^4)/2) danno proprio -5/6 x^4.
Il problema sta nell'o-piccolo. se ci fermassimo al primo termine avremmo: (x^2-x^4/3+o (x^5))+o (x^2-x^4/3+o (x^5)) Per le proprietà degli o - piccolo si ha che questo ultimo termine diventa o (x^2), infatti il più piccolo termine all'interno dell'o - piccolo è un x^2. A quel punto lo sviluppo diventerebbe: x^2-x^4/3+o (x^5) + o (x^2) con o (x^2) che andrebbe a mangiarsi tutti i termini di grado superiore, per cui il tutto si ridurrebbe a: x^2 + o (x^2) Come vedi perdiamo il termine di quarto grado che invece vorremmo ci fosse. L'unico modo per non perderlo è sviluppare un termine in più del logaritmo (che è stato lo sviluppo che ce lo ha fatto perdere)
Beh si, per forza, altrimenti è dura risolvere i limiti. Un po' come voler risolvere delle equazioni senza sapere le principali proprietà algebriche... Comunque nel libro di testo che hai è impossibile non ci siano. Altrimenti puoi cercare su internet "proprietà o-piccolo" ;)
@ Hai ragione, mi conviene dal libro, solo che il libro è tutta teoria ed non è facilissimo da decifrare per questo spesso mi affido a video, il nostro prof ci ha spiegato taylor in un oretta, dicendo che tanto con de hopital e la lista delle equivalenze asintotiche,che ora ho scoperto sono gli sviluppi di taylor al primo ordine, riusciamo a risolvere tutto, magari in più passaggi ma si tratta solo di chi ha l’occhio e in caso risolvere determinati limiti ad un punto su de hopital e cose varie…
Conta che questi esercizi sono (quasi) tutti livello ingegneria/matematica/fisica, dove hai almeno tre esami di matematica (analisi 1, analisi 2 e Algebra lineare) mentre in corsi di laurea in cui c'è solo un esame di matematica queste cose, se fatte, sono trattate in modo molto più semplice. Visto quello che mi dici, il dubbio mi viene.
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stra utile grazie mille
scusi in 2:27 perchè o((x^2 -x^4/3 + o(x^5))^2) diventa o(x^4+o(x^4)) e (x^2- x^4/3 + o(x^5))^2 diventa così e xarcatanx arriva fino a x^4? Grazie per l'eventuale risposta
Non esiste una regola che permetta di stabilire a priori fino a che grado sviluppare. Ciò detto, come precisato ad inizio video, in questo limite un indizio poteva arrivare dal termine presente al denominatore, che è un x^4; basta per esser sicuri? Ovviamente no, ma prima di prendere troppi termini per ogni sviluppo, meglio vedere se è sufficiente fermarsi al quarto grado. Questo quindi spiega lo sviluppo dell'arcotangente.
Quanto al quadrato, è fatto con l'usuale procedura del quadrato del trinomio (d'altra parte il quadrato contiene tre termini...). Ricordando che siamo interessati (in prima battuta, e in effetti si vedrà che tanto basta) ad arrivare al quarto grado, teniamo i termini del quadrato inferiori od uguali al quarto grado (quindi solo x^4) mentre gli altri li "trascuriamo" facendoli ricadere all'interno dell'o-piccolo di x^4 (che appunto tiene conto di tutti i termini di grado superiore ad x^4). A quel punto si applicano le regole degli o-piccolo per determinare l'equivalenza tra o(x^4+o(x^4)) e o(x^4)
posso chiederle i calcoli per ottenere -5/6x^4 grazie
Certo. Nell'ultima riga, in corrispondenza di ln(1+x*arctgx) si sviluppa il prodotto -1/2 (x^4+o(x^4)) mediante proprietà distributiva del prodotto e si ha -(x^2)/2 + o(x^4), quest'ultimo passaggio giustificato da una proprietà degli o-piccolo per la quale k*o(x^n)=o(x^n), essendo k una costante. A quel punto i termini di 4° grado (ossia -(x^4)/3 - (x^4)/2) danno proprio -5/6 x^4.
ma perchè prendiamo ln fino al secondo ordine ?? Non basta il primo così quando sostituiamo t abbiamo già il l'o(x^4) ??
Il problema sta nell'o-piccolo. se ci fermassimo al primo termine avremmo:
(x^2-x^4/3+o (x^5))+o (x^2-x^4/3+o (x^5))
Per le proprietà degli o - piccolo si ha che questo ultimo termine diventa o (x^2), infatti il più piccolo termine all'interno dell'o - piccolo è un x^2. A quel punto lo sviluppo diventerebbe:
x^2-x^4/3+o (x^5) + o (x^2)
con o (x^2) che andrebbe a mangiarsi tutti i termini di grado superiore, per cui il tutto si ridurrebbe a:
x^2 + o (x^2)
Come vedi perdiamo il termine di quarto grado che invece vorremmo ci fosse. L'unico modo per non perderlo è sviluppare un termine in più del logaritmo (che è stato lo sviluppo che ce lo ha fatto perdere)
@ purtroppo il mio prof le proprietà degli o piccoli non le ha spiegate, tu hai fatto qualche lezione?
Beh si, per forza, altrimenti è dura risolvere i limiti. Un po' come voler risolvere delle equazioni senza sapere le principali proprietà algebriche... Comunque nel libro di testo che hai è impossibile non ci siano. Altrimenti puoi cercare su internet "proprietà o-piccolo" ;)
@ Hai ragione, mi conviene dal libro, solo che il libro è tutta teoria ed non è facilissimo da decifrare per questo spesso mi affido a video, il nostro prof ci ha spiegato taylor in un oretta, dicendo che tanto con de hopital e la lista delle equivalenze asintotiche,che ora ho scoperto sono gli sviluppi di taylor al primo ordine, riusciamo a risolvere tutto, magari in più passaggi ma si tratta solo di chi ha l’occhio e in caso risolvere determinati limiti ad un punto su de hopital e cose varie…
Conta che questi esercizi sono (quasi) tutti livello ingegneria/matematica/fisica, dove hai almeno tre esami di matematica (analisi 1, analisi 2 e Algebra lineare) mentre in corsi di laurea in cui c'è solo un esame di matematica queste cose, se fatte, sono trattate in modo molto più semplice. Visto quello che mi dici, il dubbio mi viene.