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こうやってkとかlとかいっぱい文字出てきても最後の答えを代入するときれいに素数になるのがなんか感動する…
x,y のどちらかはpの倍数。xy²/p=1+x/y で、左辺は整数だから x は y の倍数なので x=ky とおく。y³=p(1+1/k) となり k は p の約数だが k=1 は不適なので k=p 。(y-1)(y²+y+1)=p だから y=2 , x=14 。コメント欄を見ると、実にいろいろな解き方があるものですね。
x=ad,y=bdとおくと(a,bは互いに素な自然数)、与式はd^3ab^3=(a+b)pとなる。ab,a+bは互いに素だからab^3=1or p。何れにせよb=1で、a=ab^3=1と仮定すると、d^3=2pとなり不適。よってa=pで、d^3=p+1。後は同様で、d=2,p=7と分かる。
素数は2以上というのは素朴に強い条件なのだとわかりました。
備忘録👏。p∈素数, すべての文字∈自然数 とする。xy³＝p(x+y) ･･･① よって xy³≡０(mod p) ⇔ x≡０, y≡０ (ⅰ) y≡０のとき y= pk を①に代入して xp³k³＝p(x+pk) ⇔ xp²k³＝x+pk ･･･② よって ０≡x (mod pk) ∴x=pkl を ②に代入して 整理して、lp²k³＝l+1 ⇔ l･(p²k³－1)＝1 これより、l=1, p²k³－1=1 ∴ p²k³=2 これは p²≧4 だから、適さない。 (ⅱ) x≡０のとき x= pk を ①に代入して、pky³＝p(pk+y) ⇔ ky³＝pk+y ･･･③ よって ０≡y (mod k) ∴y=kl を③に代入して 整理して、k³l³＝p+l ⇔ (k³l²－1)×l＝1 これより、l=1, k³l²－1=p (∵y≠０mod p) よって (k-1)(k²+k+1)＝p ⇔ k=2, 7＝p 以上より、x=14, y=2 ■(アキトさんの真似)
x=x'g,y=y'g gは最大公約数p=xy^3/x+yとおくp=xy^3/x+y=x'y'^3g^3/(x'+y')x'+y'≡x' (mod y')であり、x'とy'は互いに素だからx'+y'とy'も互いに素。同様にx'+y'とx'も互いに素。よってx'y'^3g^3をx'+y'で割ったときx'とy'^3は残る。つまりx'とy'^3はpの約数。pは素数だから条件を満たすy'はy'=1のみ。このことからx'は素数であることもわかる。よってp=x'g^3/x'+1と表せる。pが素数でx'g^3がx'+1で割り切れてx'とx'+1が互いに素だからg^3=x'+1∴x'=g^3-1 =(g-1)(g^2+g+1)x'は素数でg-1,g^2+g+1は整数だからg-1=1 (g>0よりg^2+g+1>1)∴g=2よってx'=1×7=7(素数)したがってx=14,y=2
すでにやってる人おったわ
題意の数を素数pとしてp=xy^3/x+yとするx,y互いに素ならpは整数にならないよってx,yの最大公約数をGとしてx=Ga,y=Gbとできる(このときGは2以上,aとbは互いに素)代入してp=G^3ab^3/a+bここでaとbは互いに素だからpが整数ならばG^3/a+bは整数.pは(G^3/a+b)とaとb^3の3つの整数の積で,かつ素数だから,((G^3/a+b),a,b)=(p,1,1),(1,p,1)の2通り前者ならG^3=2pだが,これはp素数より明らかに不適後者ならG^3=1+p⇔(G-1)(G^2+G+1)=pでGが2以上から二つの正の整数の積,G-1=1のみが条件を満たしうる.このとき(G,p)＝(2,7)で成立以上より(x,y)=(14,2)が唯一の解
G^3/ a+bの可能性はどこで捨て切ったのでしょうか？わからなかったため教えていただけると幸いです
@@user-nl8xk9ft8u ((G^3/a+b),a,b)=(p,1,1)が不適の部分でしょうか？意味を取り違えてたらすみませんこの場合a=b=1であるから代入するとG^3/2=p⇔G^3=2p［A］Gは2以上だからGは素因数を1つ以上もつ,よってG^3は素因数を3個以上.一方2pは素因数が2つ(p素数)より2個.不一致なので不適［B］右辺が2の倍数だからG=2kとおけ,代入して8k^3=2p⇔p=4k^3、pが4の倍数となるがp素数より不適A,Bどちらでもいいと思います.
ご丁寧にありがとうございます！
私はxとyの両方がpの倍数になる場合も考えたのですが、必要ありませんか？
y≡0(mod p)の場合は任意のxと独立に不適なので、結果的にx,yがともにpの倍数の場合も不適ですね。また、x≡0(mod p) or y≡0(mod p) とは、集合で考えてX＝｛x|xはpの倍数｝Y＝｛y|yはpの倍数｝とおいたときのX∪Yのことであるから、ベン図をイメージしていただければX∩Yすなわちx,yがともにpの倍数であることを含むことがわかるので、ご指摘の箇所も検討をしていることにはなると思います。なんか中途半端な説明ですみません。
@@narikinboy 確認してもう一度解いてみます。ありがとうございました。
良問ですね
5:53 なんで不適になるのかが分からないです。分かる人教えて貰えれば嬉しいです。
山田太郎 背理法です。y=p×kと仮定したとき、①p:素数より p>=2, ②k:自然数よりk>=1①,②より p^2×k^3>=4が成り立つが、これはp^2×k^3=2に矛盾。よってy not=p×kすなわちx=p×k。
y≡0を仮定するとp2k3=2 にならないといけないのにp3k3≧4になっちゃうからです
name no なるほど！ありがとうございました！
ろすくま ありがとうございます！
このやり方は大丈夫だろうか？x，yが互いに素だとすると、x+yは、x，yとも互いに素になるので、与式が整数にはならないため、x，yは最大公約数c(>1)を持つ。x＝cm、y＝cn（但し、c>1、m，n互いに素）とすると、与式＝c^3･m･n^3/(m+n)。m+nとm，nは互いに素なので、c^3がm+nの倍数。c^3＝k(m+n)とすると、与式＝k･m･n^3。これが素数になるためには、n＝1が必要。よって、y＝c。そして、k＝1でmが素数、または、m＝1でkが素数かのどちらかになる。m＝1とすると、y^3＝2kとなり、yが偶数となるが、そうすると、2kが8の倍数、つまり、kが4の倍数となり、素数じゃなくなるので、不適。よって、k＝1。y^3＝m+1⇔(y－1)(y^2+y+1)＝m（素数）。y^2+y+1>1なので、y－1＝1⇔y＝2。m＝7。∴x＝14。
まずx,yが互いに素であるかどうかを検討するところから思いつかねぇ…
コメ欄見る感じ、そういう解法が多いですね…皆さん賢すぎませんか
(y³-p)(x+y)=y⁴と変形できるので、y³-pはy⁴の正の約数で、y≧2。y³-pがy⁴の2以上の正の約数であると仮定すると、pが素数でなくなってしまうので矛盾。よってy³-p=1だから(y-1)(y²+y+1)=pより...としました。文字でmodを取る手法は未だに使いこなせないので何とか頑張りたいです！
同じです！
場合分けはありますが結局素数条件を倍数約数に帰着させる典型的な処理なので高校生の基礎練習に良さそうですね。分数型が割り切れるのを直接約数処理しようとしたらこんな感じになりました：g=gcd(x,y)とする。つまり互いに素な正の整数m,nを用いてx=gm, y=gn。この時(与式)=g^3mn^3/(m+n)となるが、m,nは互いに素な正の整数であるから、gcd(mn^3, m+n)=gcd(m,m+n)=gcd(m,n)=1。従って与式が素数となるためにはg>1かつg^3|(m+n)が必要。(与式)=g^3/(m+n)*m*n^3が素数となるためには、3つの整数g^3/(m+n), m, n^3のうちいずれか2つが1で1つだけが素数でなければならない。n^3は明らかに素数でないのでn^3=1 ゆえに n=1。m=1とするとg^3/(m+n)=g^3/2が素数となるが、そのようなgは偶数でg^3は8の倍数、つまりg^3/2は4の倍数となり不適。従ってmが素数でg^3/(m+1)=1. ゆえに g^3-1=m ⇔ (g-1)(g^2+g+1)=m。g^2+g+1>3よりg-1=1, g^2+g+1=m. よってg=2, m=7.逆にx=14, y=2の時(与式)=14*8/(14+2)=7より十分性もOK
まず最初の時点でx、yは偶数では無いと行けないことがわかるからx=2m,y=2nとすれば、8mn^3/（m+n）となるからこの8をm+nで約分し、なおかつn=1という条件じゃないと素数になりえないから、m=7よってx=14,y=2。証明はちゃんとしてないけど、これならそこそこ早く求まらないですかね？？
方針さえ見失わなければ案外とけそうと思ってしまうけどそもそも方針たてんのが難しいんだよなぁ
一見難しそうに見えるけど単純なことしかしてなくて、やってみることが大切だと思った
うわーすげー
【メモ】共通の文字でmodとる。1を右辺に残して積をつくって±1に候補を絞る
1週間ずっと考えたけどわからんかった
普通に難しいと思いました。
短い問題って与えられてる情報が少ないから難しいよね。
tan1°は有理数か
M Mさぼ それはかなり簡単の部類に入ると思います
Re i 僕の周りでも本番の緊張感で解け無かった人が殆どでしたよ。まあ後期故に母数が少ないですが。「試験｣での難易度と単なる問題の難易度は必ずしも一致する訳では無いです。
ああ そんな躍起になって的外れなこと言っても…
コンプレックスやばそう
解けたから誰か褒めて。
すげ
これの作問者もすごいよね。
解けましたー
できたー
やってみたら10分ぐらいでできて嬉しかった(*≧∀≦*)
方針と手続きについては確かに慣れればそんなに難しくない感じですね。進数表現のところで、例えば二進数でいえば、2で割ったあまり、それを引いて2で割ってまた2で割った余りを考えることでもう一つの上の桁がえられ、そしてそれを引いて、、、というような合同式の冪についての精密化議論は経験しておくと、本問などにも応用が利きますね。何故合同式をとった後にうまく割れてまた合同式をとって、という議論をするのかということが自然に理解できるかも知れません。オリンピック的にはやはり場合わけの順序を綺麗に遂行できればいいでしょうけれども、はじからやると、あー先にこれ書いとけばー、みたいになりそうですね笑面白い問題でした👍🏻
This is TMO problem#thailand
うぽつ
こうやってkとかlとかいっぱい文字出てきても最後の答えを代入するときれいに素数になるのがなんか感動する…
x,y のどちらかはpの倍数。
xy²/p=1+x/y で、左辺は整数だから x は y の倍数なので x=ky とおく。
y³=p(1+1/k) となり k は p の約数だが k=1 は不適なので k=p 。
(y-1)(y²+y+1)=p だから y=2 , x=14 。
コメント欄を見ると、実にいろいろな解き方があるものですね。
x=ad,y=bdとおくと(a,bは互いに素な自然数)、与式は
d^3ab^3=(a+b)pとなる。ab,a+bは互いに素だからab^3=1or p。
何れにせよb=1で、a=ab^3=1と仮定すると、d^3=2pとなり不適。
よってa=pで、d^3=p+1。後は同様で、d=2,p=7と分かる。
素数は2以上というのは素朴に強い条件なのだとわかりました。
備忘録👏。p∈素数, すべての文字∈自然数 とする。xy³＝p(x+y) ･･･① よって xy³≡０(mod p)
⇔ x≡０, y≡０ (ⅰ) y≡０のとき y= pk を①に代入して xp³k³＝p(x+pk) ⇔ xp²k³＝x+pk ･･･② よって
０≡x (mod pk) ∴x=pkl を ②に代入して 整理して、lp²k³＝l+1 ⇔ l･(p²k³－1)＝1 これより、l=1,
p²k³－1=1 ∴ p²k³=2 これは p²≧4 だから、適さない。 (ⅱ) x≡０のとき x= pk を ①に代入して、
pky³＝p(pk+y) ⇔ ky³＝pk+y ･･･③ よって ０≡y (mod k) ∴y=kl を③に代入して 整理して、k³l³＝p+l
⇔ (k³l²－1)×l＝1 これより、l=1, k³l²－1=p (∵y≠０mod p) よって (k-1)(k²+k+1)＝p ⇔ k=2, 7＝p
以上より、x=14, y=2 ■(アキトさんの真似)
x=x'g,y=y'g gは最大公約数p=xy^3/x+yとおく
p=xy^3/x+y=x'y'^3g^3/(x'+y')
x'+y'≡x' (mod y')であり、x'とy'は互いに素だからx'+y'とy'も互いに素。同様にx'+y'とx'も互いに素。
よってx'y'^3g^3をx'+y'で割ったときx'とy'^3は残る。つまりx'とy'^3はpの約数。pは素数だから条件を満たすy'はy'=1のみ。このことからx'は素数であることもわかる。
よってp=x'g^3/x'+1と表せる。
pが素数でx'g^3がx'+1で割り切れてx'とx'+1が互いに素だからg^3=x'+1
∴x'=g^3-1
=(g-1)(g^2+g+1)
x'は素数でg-1,g^2+g+1は整数だから
g-1=1 (g>0よりg^2+g+1>1)
∴g=2
よってx'=1×7=7(素数)
したがってx=14,y=2
すでにやってる人おったわ
題意の数を素数pとしてp=xy^3/x+yとする
x,y互いに素ならpは整数にならない
よってx,yの最大公約数をGとしてx=Ga,y=Gbとできる
(このときGは2以上,aとbは互いに素)
代入してp=G^3ab^3/a+b
ここでaとbは互いに素だからpが整数ならばG^3/a+bは整数.
pは(G^3/a+b)とaとb^3の3つの整数の積で,かつ素数だから,((G^3/a+b),a,b)=(p,1,1),(1,p,1)の2通り
前者ならG^3=2pだが,これはp素数より明らかに不適
後者ならG^3=1+p⇔(G-1)(G^2+G+1)=pでGが2以上から二つの正の整数の積,G-1=1のみが条件を満たしうる.このとき(G,p)＝(2,7)で成立
以上より(x,y)=(14,2)が唯一の解
G^3/ a+bの可能性はどこで捨て切ったのでしょうか？わからなかったため教えていただけると幸いです
@@user-nl8xk9ft8u
((G^3/a+b),a,b)=(p,1,1)が不適の部分でしょうか？意味を取り違えてたらすみません
この場合a=b=1であるから代入するとG^3/2=p⇔G^3=2p
［A］Gは2以上だからGは素因数を1つ以上もつ,よってG^3は素因数を3個以上.一方2pは素因数が2つ(p素数)より2個.不一致なので不適
［B］右辺が2の倍数だからG=2kとおけ,代入して8k^3=2p⇔p=4k^3、pが4の倍数となるがp素数より不適
A,Bどちらでもいいと思います.
ご丁寧にありがとうございます！
私はxとyの両方がpの倍数になる場合も考えたのですが、必要ありませんか？
y≡0(mod p)の場合は任意のxと独立に不適なので、結果的にx,yがともにpの倍数の場合も不適ですね。
また、
x≡0(mod p) or y≡0(mod p)
とは、集合で考えて
X＝｛x|xはpの倍数｝
Y＝｛y|yはpの倍数｝
とおいたときの
X∪Y
のことであるから、ベン図をイメージしていただければ
X∩Yすなわちx,yがともにpの倍数であることを含むことがわかるので、ご指摘の箇所も検討をしていることにはなると思います。
なんか中途半端な説明ですみません。
@@narikinboy 確認してもう一度解いてみます。ありがとうございました。
良問ですね
5:53 なんで不適になるのかが分からないです。
分かる人教えて貰えれば嬉しいです。
山田太郎
背理法です。
y=p×kと仮定したとき、
①p:素数より p>=2,
②k:自然数よりk>=1
①,②より p^2×k^3>=4
が成り立つが、
これはp^2×k^3=2に矛盾。
よってy not=p×k
すなわちx=p×k。
y≡0を仮定すると
p2k3=2 にならないといけないのにp3k3≧4になっちゃうからです
name no なるほど！
ありがとうございました！
ろすくま ありがとうございます！
このやり方は大丈夫だろうか？
x，yが互いに素だとすると、x+yは、x，yとも互いに素になるので、与式が整数にはならないため、x，yは最大公約数c(>1)を持つ。
x＝cm、y＝cn（但し、c>1、m，n互いに素）とすると、
与式＝c^3･m･n^3/(m+n)。
m+nとm，nは互いに素なので、c^3がm+nの倍数。
c^3＝k(m+n)とすると、
与式＝k･m･n^3。これが素数になるためには、n＝1が必要。よって、y＝c。
そして、k＝1でmが素数、または、m＝1でkが素数かのどちらかになる。
m＝1とすると、y^3＝2kとなり、yが偶数となるが、そうすると、2kが8の倍数、つまり、kが4の倍数となり、素数じゃなくなるので、不適。
よって、k＝1。y^3＝m+1⇔(y－1)(y^2+y+1)＝m（素数）。
y^2+y+1>1なので、y－1＝1⇔y＝2。m＝7。∴x＝14。
まずx,yが互いに素であるかどうかを検討するところから思いつかねぇ…
コメ欄見る感じ、そういう解法が多いですね…皆さん賢すぎませんか
(y³-p)(x+y)=y⁴と変形できるので、y³-pはy⁴の正の約数で、y≧2。
y³-pがy⁴の2以上の正の約数であると仮定すると、pが素数でなくなってしまうので矛盾。
よってy³-p=1だから(y-1)(y²+y+1)=pより...としました。
文字でmodを取る手法は未だに使いこなせないので何とか頑張りたいです！
同じです！
場合分けはありますが結局素数条件を倍数約数に帰着させる典型的な処理なので高校生の基礎練習に良さそうですね。
分数型が割り切れるのを直接約数処理しようとしたらこんな感じになりました：
g=gcd(x,y)とする。つまり互いに素な正の整数m,nを用いてx=gm, y=gn。
この時(与式)=g^3mn^3/(m+n)となるが、
m,nは互いに素な正の整数であるから、gcd(mn^3, m+n)=gcd(m,m+n)=gcd(m,n)=1。
従って与式が素数となるためにはg>1かつg^3|(m+n)が必要。
(与式)=g^3/(m+n)*m*n^3が素数となるためには、3つの整数g^3/(m+n), m, n^3のうちいずれか2つが1で1つだけが素数でなければならない。
n^3は明らかに素数でないのでn^3=1 ゆえに n=1。
m=1とするとg^3/(m+n)=g^3/2が素数となるが、そのようなgは偶数でg^3は8の倍数、つまりg^3/2は4の倍数となり不適。
従ってmが素数でg^3/(m+1)=1. ゆえに g^3-1=m ⇔ (g-1)(g^2+g+1)=m。g^2+g+1>3よりg-1=1, g^2+g+1=m. よってg=2, m=7.
逆にx=14, y=2の時(与式)=14*8/(14+2)=7より十分性もOK
まず最初の時点でx、yは偶数では無いと行けないことがわかるからx=2m,y=2nとすれば、8mn^3/（m+n）となるからこの8をm+nで約分し、なおかつn=1という条件じゃないと素数になりえないから、m=7よってx=14,y=2。
証明はちゃんとしてないけど、これならそこそこ早く求まらないですかね？？
方針さえ見失わなければ
案外とけそうと思ってしまうけど
そもそも方針たてんのが難しいんだよなぁ
一見難しそうに見えるけど単純なことしかしてなくて、やってみることが大切だと思った
うわーすげー
【メモ】共通の文字でmodとる。1を右辺に残して積をつくって±1に候補を絞る
1週間ずっと考えたけどわからんかった
普通に難しいと思いました。
短い問題って与えられてる情報が少ないから難しいよね。
tan1°は有理数か
M Mさぼ それはかなり簡単の部類に入ると思います
Re i 僕の周りでも本番の緊張感で解け無かった人が殆どでしたよ。まあ後期故に母数が少ないですが。
「試験｣での難易度と単なる問題の難易度は必ずしも一致する訳では無いです。
ああ そんな躍起になって的外れなこと言っても…
コンプレックスやばそう
解けたから誰か褒めて。
すげ
これの作問者もすごいよね。
解けましたー
できたー
やってみたら10分ぐらいでできて嬉しかった(*≧∀≦*)
方針と手続きについては確かに慣れればそんなに難しくない感じですね。進数表現のところで、例えば二進数でいえば、2で割ったあまり、それを引いて2で割ってまた2で割った余りを考えることでもう一つの上の桁がえられ、そしてそれを引いて、、、というような合同式の冪についての精密化議論は経験しておくと、本問などにも応用が利きますね。何故合同式をとった後にうまく割れてまた合同式をとって、という議論をするのかということが自然に理解できるかも知れません。
オリンピック的にはやはり場合わけの順序を綺麗に遂行できればいいでしょうけれども、はじからやると、あー先にこれ書いとけばー、みたいになりそうですね笑
面白い問題でした👍🏻
This is TMO problem
#thailand
うぽつ