중심극한정리 개념 소개
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- เผยแพร่เมื่อ 15 พ.ย. 2019
- 글로 정리된 곳: angeloyeo.github.io/2020/09/1...
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영상에서 사용된 모든 MATLAB 코드는 아래의 github repo에서 받아가실 수 있습니다.
github.com/angeloyeo/gongdols
좋은 영상 감사합니다 근데 의문인게 있어요
예를들어 모집단이 1이 천억개 2가 10억개라 하면 표본평균은 1부터 2사이의 값일꺼고 표본의 크기가 몇이든 표본평균의 평균은 1에아주가까운 값일꺼니까 대칭이 아닌데 어째서 이게 정규분포가 되는 건가요?
안녕하세요. 말씀하신 내용은 p가 매우 작은 경우의 이항분포인데요. 이 경우에는 1또는 2의 선택이 있고 1이 선택될 확률은 1/100이겠네요. 이항분포는 말씀하신 대로 skewed되어 있구요(한쪽으로 치우침).
이항분포도 표본의 크기가 매우 커지면 정규분포를 따르는 것으로 알려져있습니다. 이 때 표본의 크기를 n이라고 하면 평균이 np, 분산이 np(1-p) 인 정규분포가 됩니다.
아 혹은 2가 뽑힐 확률이 매우 낮으니까 포아송 분포라고도 볼 수도 있는데 포아송 분포도 시행횟수가 매우 많아지면 마찬가지로 정규분포로 근사될 수 있음이 알려져 있습니다
@@AngeloYeo 답변 감사합니다
근데 제가 말한 모집단의 표본의 크기가 몇이든 표본평균의 평균은 1.5가 아닌 1에 엄청 가까운 값이고 표본평균은 1부터 2까지 일껀데 그러면 대칭이 아니니까 정규분포가 아니지 않나요? 왜 이게 정규분포가 되나요?
구체적으로 답변드릴게요. 말씀하신대로 100:1의 비율을 가지고 1과 2로 구성된 모집단이 있다고 하겠습니다.
잘못 생각하고 계신건 이 모집단의 평균값은 1.5가 아닌 1.01이라는 점이라는 점은 먼저 말씀드립니다.
어쨋든 1과 2의 사건의 발생 빈도는 100:1이므로 이항분포에서 말하는 p의 값은 0.01입니다. 알려지기로는 표본의 크기가 n이라 할 때 np > 5인 경우 정규분포를 따른다고 볼 수 있다고 하므로 우리는 표본의 크기가 500이상인 경우를 상정해서 시뮬레이션 해보겠습니다.
시뮬레이션에서는 모집단에서 1이라는 라벨을 가진 원소가 1백만개, 2라는 라벨을 가진 원소가 1만개 있다고 하겠습니다.
표본의 크기가 10,000이라고 하고, 500회 반복해서 표본을 추출해서 평균을 취해서 분포를 확인해보면 1.01을 중심으로 정규분포를 따릅니다.
아래의 페이지에서 그림 확인 부탁드릴게요.
raw.githubusercontent.com/angeloyeo/gongdols/master/%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99/CLT/Y-Good_Question/pic.png
표본의 크기는 더 커질 수록 더 정규분포에 가까워집니다.
그리고 아래에 들어가시면 소스코드도 있으니 확인하실 수 있습니다.
github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99/CLT/Y-Good_Question
@@AngeloYeo 친절히 답변해주셔서 감사합니다. 제가 저런 분포에서 표본평균이 2쪽으로 가까이 갈 때 무시할수 있을정도로 작다는걸 간과하고 있었네요.
다시한번 감사드립니다
이게 얼마만의 영상인지 ! 종종 업로드 해주세요 ~ !
이상엽 선생님 오랜만이에요~~ 환영의 댓글 감사합니다 ㅋㅋ 종종 업로드 하도록 하겠습니닷 !! ㅎㅎ
앗 이상엽쌤이...
학교 후배입니다,, 감사합니다... 슨배님..
대학원 예비 진학생입니다ㅎ
영상 정주행중인데 너무 이해잘되요
항상 수고하시고 고맙습니다ㅎㅎ
서로 다른 분포로부터의 표본평균분포에도 중심극한 정리가 적용되는지 몰랐네요.
이걸 자연현상하고 연결해주실 때 소름이었습니다.
오늘도 배워가요 감사합니다.
매번 재밌게 봐주시니 감사합니다 ^^~
자연사회현상이 여러특성의 합, 평균적인 결과로써 나온 현상이라, 평균분포는 결국 종모양을 따른다! 생각하게 만드는 강의 마무리까지. 감사합니다.
잘보고 있습니다!!!
압도적 감사
교수님이 인도 교수님이라 무슨 말인지 못알아 들었는데 여기서 확실하게 알아가요
오늘도 잘 보고갑니당 :))
혹시 제르니케함수(파면수차함수)도 다뤄주실 수 있을까요?
강의 잘보았습니다 시뮬레이션으로 하니까 이해가 훨씬 와닿네요 구독하고가요
하나 질문이 있는데요 중심극한정리는 모집단의 분포에 상관없이 표본의 크기 n이 커질수록 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워진다잖아요 이거랑 혹시 이항분포에서 시행횟수가 무한히 커지면 정규분포에 가까워진다는 것과 어떤 관련이 있나요?
제가 중심극한정리랑 Galton 보드가 관련이 있다고 필기를해놨는데 왜인지를 안써놔서 공부하다가 영상을 보게 되었어요 ... 근데 아무리봐도 둘 사이의 연관성을 못찾겠어서요
공돌이님 깃하브 블로그 항상 잘보고 잇습니다!! 보니까 우리 교수님도 공돌이님 블로그 베껴서 문제냄 ㅋㅋㅋ 구글에 신호처리 관련 검색하면 맨 위에 뜹니당!! 시험공부하면서 너무 잘 참고햇어요 취뽀해서 돈벌면 후원할께요!!!키킼
오랜만이에요 감사합니다 좋은 영상
얼마전에 알게 된 채널인데 넘 유용해용~~ 감삼다
고라니님 반갑습니다 ~_~
저 공수 조졌어요ㅋㅋㅋㅋ 재수강할때까지 볼게요..!
늘 좋은 정보 감사합니다! 혹시 변분법의 기본정리에 대해 좀 다뤄주실 수 있나요? 역학 공부 중에 라그랑지안을 이해하기가 좀 어렵네요ㅠㅠ
안녕하세요. 제가 변분법에 대해서 수업을 들은 적이 있긴한데... 너무 얕게만 알고 있어서 제가 다루기는 힘들것 같네요 ㅠㅠ
우와 오랜만에 업뎃이네요!
안녕하세요 ~ ㅎ 비도 오고 약속도 없고 그래서... MATLAB 잡아봤다가 쀨(?) 받아서 오랫동안 미뤄뒀던 주제로 영상 하나 만들어보았습니다 (_ _)
강의 잘들었습니다! 감사합니다! 그럼 보통 표본 갯수 30개를 뽑으면 표본평균이 정규분포를 따른다 볼수있는데 샘플만 딱 30개를 뽑을경우는 정규분포를 따르지 않는걸까요?ㅎ
중심극한정리의 증명은 제 블로그의 아래 article에서 확인하실 수 있습니다.
angeloyeo.github.io/2020/01/10/CLT_proof.html
표준편차와 스케일파라미터는 같은 것인가요? generalized gaussian distribution 공부중인데, 확률밀도함수 pdf가 f(x;m,σ,β) 라고 하네요.
σ는 스케일파라미터, β는 shape파라미터라 하는데
Scale 파라미터는 모두 σ로 표현해여 하나요? 표현하기 나름인가요..
GGD에서 scale 파라미터 = σ^2*감마(1/shape p)/(감마(3/shape p) 이기 때문에
스케일파라미터를 σ로 표기하면 안되눈 것 아닌가요 ??
좋은 영상 감사합니다. 한가지 중심극한정리를 배우면서 의문이 남는 점이 있어 질문을 드립니다.
중심극한정리는 분포에 상관없이 모집단에서 표본을 추출했을 때, 표본의 갯수가 n개가 넘어서면 표본 평균이 정규분포를 따른다고 알고 있습니다.
저는 이 말이 '표본의 평균이 정규분포를 따르는 것'이지 '각 표본들이 정규분포를 따르는 것은 아니다'라고 생각합니다.
하지만 많은 강의나 교재에서 '어떤 하나의 표본에서 X의 수가 충분하면(통상적으로 25~30개 이상) 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다'고 되어있습니다.
어떻게 해서 '표본의 평균이 정규분포를 따른다'에서 '표본이 정규분포를 따른다'가 되는지 궁금합니다.
아니면 표본 크기를 1로 30개의 표본을 추출했을 때, 각 X가 표본 평균이 되는 것으로 이해할 수 있으므로 표본 평균이 정규분포를 따른다로 이해하면 되는 것일까요?
전용재님 안녕하세요.
이해하신 내용이 맞다고 생각합니다. 애초에 모집단의 분포가 정규분포가 아니라면, 표본을 아무리 많이 뽑더라도 표본의 분포가 정규분포를 이루게 된다고 할 수는 없습니다.
아마 말씀하신 '어떤 하나의 표본에서 X의 수가 충분하면(통상적으로 25~30개 이상) 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다'라는 내용에서 ** ~ 표본 평균이 정규 분포를 따른다** 라고 설명한 것을 오해한 것은 아닐까하고 "조심스럽게" 추측해봅니다.
추론 통계학을 공부할 때 보통 표본평균부터 배우게 되는데, 그 때 중심극한정리에 대한 개념이 잘 잡혀있지 않은 상태에서 배우다보니 생기는 주된 오해 중 하나라고 생각합니다.
아래의 고등학교 수학교과서에도 전용재님이 말씀하신 내용이 명확히 명시되어 있습니다.
bit.ly/2JLSmXq
언급드린 내용은 139페이지 하단의 부분에 있습니다.
다음 시간의 수학적 증명을 어떻게 하실건지 궁금해지네요ㅎㅎ
다양한 접근들이 있는데 저는 통계열역학에서 Random walk(dynamics)와 probability distribution에 대해 공부를 해보니
확률밀도함수의 수식 유도와 물리적(?)의미를 이해할 수 있었던 것 같습니다.
오 저는 통계열역학이라는 과목은 수강해본적이 없어서... ㅎㅎ characteristic function을 이용해서 증명할까 생각중이었습니다 ㅎ
감사합니다
댓글 감사드려용~~^^
ㅎㅎ.. 중학생 고등학생 뿐만 아니라 대학원생도 와서 봅니다...ㅠ
좀 공부를 하다가 와서 다시 질문드려 봅니다.
표본평균의 분포가 종모양의 그래프로 수렴한다는 중심극한정리가 중요한 이유가 ... 그렇다면 통계적 분석에서 중심극한정리가 성립하니 정규성 조건을 충족하기 때문에 그렇다고 봐도 되나요? 근데 원 데이터의 분포가 정규성이 있는 거랑 표본평균의 분포가 정규성이 있는 거랑 같이 봐도 될지.. 궁금합니다. 읽어주셔서 감사합니다.
안녕하세요. 중심극한정리를 중요하게 생각하는 이유는...
1. 자연으로부터 얻는 특징들의 분포가 정규분포를 따르는 경우가 많고, 이를 토대로 성장한 통계 검정 테크닉들이 많다보니 중요한 것입니다.
2. 평균에 관한 비교가 빈번하게 이루어지기 때문입니다. 평균의 본래적 의미는 '합'인데, 많은 random variable들을 합한 것의 분포는 정규분포를 따르게 됩니다.
3. "근데 원 데이터의 분포가 정규성이 있는 거랑 표본평균의 분포가 정규성이 있는 거랑 같이 봐도 될지.." 이 말은 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다.
회전행렬에대한 주제도 궁금한데 요청가능할까요!ㅎㅎ
안녕하세요! 블로그와 함께 잘 보고있습니다. 감사합니다.
제가 알고 있는 것과 달라서 굉장히 헷갈리고 있어요.
제가 아는 것은 n이 크면 정규분포에 근사한다는 것인데, 공돌이님 영상을 보면 n=3명으로 굉장히 작은데 표본집단을 뽑는 횟수가 증가하는 것으로도 정규분포를 따르네요.
영상중간에 n이 커지면 더욱 잘 근사될 것이라 하시는데 여기서 더 헷갈려집니다.
표본집단을 뽑는 횟수가m
표본의 수가 n명일때
정규분포에 근사하도록 커져야하는것은 m인가요 n인가요? 아니면 둘다인가요?
미리 감사드립니다.!
자주 질문드리겠습니다.
안녕하세요.
1. 표본을 뽑는 횟수는 표본 평균이 어떤 분포를 따르는지와 관계가 없습니다. 다시 말해 정규 분포에 근사하도록 커져야 하는 것은 샘플 수 n이 맞습니다. 샘플링을 여러번 하는 것(m이 큰 경우)은 한번의 샘플링으로는 분포를 알 수 없기 때문에 최대한 여러번 추출해서 분포의 모양을 확인하기 위한 작업입니다.
2. 영상에서는 n=3일 때 표본 평균의 분포가 마치 정규분포를 따르는 것 같이 *시각적으로* 표현된 것 같습니다.
** 표본 평균은 모평균과 가까운 값이 많이 추출 되기 때문에 가운데가 볼록한 모양으로 분포가 나오긴 했습니다만**,
눈으로 종모양 분포처럼 보이는 분포를 얻었다고 해서 이것이 정규분포를 따른다고 보기는 어렵습니다. 그래서 추가 검사를 해서 정말 정규분포를 따르는지 보아야 합니다.
@@AngeloYeo 정말 감사드립니다!
안녕하세요 선생님! 중심극한정리 개념 소개하는 영상에서 정규로 근사하는 것을 직접 시뮬레이션 하셔서 보여주셨는데요. 알려주신 링크타고 들어가면...1. 코드는 나오는데 실제로 구동을 해볼려면 어떻게 해야하나요?
2. MATLAB으로 구동하지 않고 그대로 코드를 파이썬에 넣어도 구동이 되나요?
썸네일 너무 귀여운거 아닙니까 퓨ㅠㅠㅍㅍ퓨ㅠ
EnderCreeper님 오랜만이에요~ ㅎㅎ
오랜만에 오셨네여~
넵 ㅎ 반갑습니당 주말에 비도 오고 약속도 없고 해서 ㅋㅋ MATLAB 잡아봤다가 생각나서 만들어보았습니다 ㅎ
아니 왜 이제서야 돌아왔어요
표본 평균의 분포가 정규분포에 가까워진다는 사실이 무엇에 유용한가요?
1. 합(addition) 혹은 평균이라는 현상은 많은 자연 현상에서 보일 수 있는 것이므로 분포들을 정규분포로 가정하는 것은 꽤 합리적입니다. (물론 정규 분포 가정의 타당성을 확인하기 위한 테스트들도 많습니다.)
2. 정규분포의 형태 및 수식을 비롯한 여러가지 특성들이 연구되었기 때문에 유용합니다. 특히, 정규 분포를 가정하면 통계학에서 모수 기법(t-test, ANOVA 등)을 적용할 수 있습니다. 모수 기법은 오랜 기간 동안 연구되어 왔으므로 많은 연구자들이 사용하고 있어 갖추어진 시스템, 툴이 많고 기법이 타당하다고 입증된 경우가 많습니다.
와우 단번에 이해...
그렇게 말씀해주시니 뿌듯하네요 ^^~ 도움 되었다니 다행입니다 ㅎㅎ
와!
이 남자 👍👍
우왓 ㅋㅋ 빠른 댓글이네요 감사합니다
Matlab프로그램 사용하신걸 따라해보고싶은데 어떻게 하면되나요....??
github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99/CLT
여기에 들어가셔서 CLT_pics_for_PPT.m 파일을 다운받아 사용하시면 됩니다!
@@AngeloYeo Matlab을 처음써보는데 제어시스템을 깔면되나요...??
@@user-ue3ul6jq4k 음... 제어시스템 패키지는 필요없을 것 같고 제 생각앤 statistics toolbox 를 깔면 충분하지 않을까 싶습니다
이렇게 쉽게 설명하는거 실화인가요?
혹시 중심극한정리를 전기전자 신호처리 학과에서 배우나요? 구체적인 학과명과 과목을 알고 싶습니다!...
보통은 안 배울 것 같습니다. 배운다면 통계학 과목에서 배울겁니다. 기초통계학 등에서 필요할 것 같네요. 다만 증명 과정은 수학 테크닉이 꽤 필요하기 때문에 기초통계학에서는 다루기 어려울 것 같습니다.
그렇군요.. 중심극한정리의 관계를 지오지브라로 증명하는 활동을 했는데 대학에서 안배운다니 ㅠㅠ... AI 한테 물어보니 신호처리쪽과 연관성이 없지는 않다고 말하던데 구체적으로 이 정리가 신호처리에 쓰이는 경우 아시나요? 추후 탐구 계획을 작성하는데 대학에서 배울 내용과 연관시키고 싶어요. ㅠㅠ
@@user-td6ph6el1i 학부과정에서는 잘 안 다루지만 통계적 신호처리라는 과목이 있긴합니다. 저는 대학원과정에서 배웠습니다. 거기서는 약간 도움이 될 수는 있을 것 같습니다.
@@AngeloYeo 생기부에 적으면 연계율이 떨어져서 안되겠네요ㅜㅜ 주제 찾기가 너무 힘들어서 늦은 시간에 마지막 질문 남겨용.. 고등학생 수준에 맞는 신호처리 확률과 통계 탐구 주제 추천해주실 수 있나요? 주변에 전문인이 없어서 생기부 채우기가 너무 힘드네요...관련 키워드라도 괜찮습니다ㅜ
@@user-td6ph6el1i 화이팅입니다. 저는 고등학교 내용은 잘 몰라서요...
와! 통계! 와! CLT!
와! CLT 아시는구나!
이런 방법으로
정규분포 그래프나
중심극한정리를
실험과 직관으로 접근할 수 있군요
(이 동영상 왼쪽의 공은
각각의 키나 점수에 대한 사람 이고
이 동영상 오른쪽의 공은
표본을 뽑아서 평균 나온 값 공이고)
이 방법을
"표본평균 평균값 공들 누적시키기로
중심극한 그래프 유도 실험"
이라고 불러야 할 것 같은데
가우스적분으로
정규분포 그래프 식 유도나
이항분포 시행 횟수 증가에 의해
정규분포 그래프에 근사시키기 보다
더욱 더
직관적이고
기하학적이고
몸으로 체감되는 방법 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
충격입니다 ~~~~~~~~
허수나 미적분과 달리
이상하게 친근감이나 열정이 안 가는 통계라
(지나치게 실용적 분야라 그런지)
좀처럼 공부나 동영상 보기도 안 하는데
이상한 힘에 의해 동영상을 보니
기상천외의 방법을 발견했습니다 !!!!!!!!!
감사합니다 ~~~~~ ㅎ !!!!!!!!!!!!!!!
가우스적분도 필요 없고
이항분포 평균, 표준편차도 필요 없고
일단
몸으로 먼저 느끼게 하는 방법 !!!!!!!!!!!!!!
오옷~ 통계학쪽을 보시다니~ 신선한 댓글 위치네요 ㅎㅎ 통계학은 저는 대단히 이론적이고 고리타분하다고 생각했었는데 ㅎㅎ 제가 생각했던 방식?과 반대네요 ㅎㅎ
통계학도 공부하다보면 재밌습니다 ㅎㅎ 중심극한정리는 모수통계법의 핵심이 되는 정규분포와 관련된 이론인데 시뮬레이션을 해 보면 좀 더 쉽게 이해되서 이 영상을 준비했었습니다 ㅎㅎ 제가 이해할 수 있을 정도가 되어야 다른 분들도 이해하실 것 같아서요 ㅎㅎ
오태식이 돌아왔구나~
나다 이 ... ㅇㅅㅇ? 환영 감사합니당ㅋㅋ
사물궁이 캐릭터 같네요 ㅋㅋㅋ
네 ㅋㅋ... 눈만 땡땡 그렸었는데 그리고보니 사물궁이 캐릭터같아서 따라서 한번...
@@AngeloYeo 저도 공학도로서 공업수학 관련해서 공부를 했는데 여지껏 올려주신 영상 덕분에 꺠달음도 얻고 영감도 얻고 갑니다. 계속 꾸준히 올려주셔요 ㅎㅎ
싱기하다
^^ 재밌게 봐주셔서 감사합니다 ㅎㅎ