ארז שיינר מציג - סכומי רימן והקשר שלהם לסכומי דרבו
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 29 มี.ค. 2020
- בשיעור זה נגדיר סכומי רימן ואינטגרביליות לפי רימן.
נוכיח שהאינטגרביליות שלמדנו עד כה לפי דרבו שקולה לזו לפי רימן.
נסיק בקלות שמספר סופי של נקודות לא משפיע על שטח הפונקציה.
בסרטון הבא על אורך עקומה נראה שימוש לסכומי רימן.
זה מעולה. תודה על ההעלאה
אלוהים, מה מחכה לי עוד שלוש שנים.
יעשו עליך חארבו דארבו
6:52 היי ארז, החסימות הזו שתיארת יכולה לקרות גם אם הפונקציה לא חסומה? או שהמעבר הזה מתאפשר אם ורק אם היא חסומה? (אני מנחש שזה רק אם היא חסומה, אבל בכל זאת אינטגרל רימן לפי רימן לא בהכרח חסום לכן אני תוהה..)
לא בטוח שהבנתי. יש משפט בהמשך שפונקציה אינטגרבילית רימן חייבת להיות חסומה.
בדרבו, הגדרתי סכומי דרבו רק לפונקציות חסומות מלכתחילה
@@sheiner הכוונה שלי היא שלא הבנתי איך יכולת לומר שהגובה של ערך פונקציה בנקודה מסוימת חסום בין סופרמום לאינפימום, לפני שהוכחת שפונקציה אינטגרבילית רימן לפי רימן היא חסומה. אני תוהה אם פספסתי משהו כי אני מתקשה קצת להבין את זה.
@@amnont8724 כי בכיוון הזה אני מניח שהיא אינטגרבילית דרבו. זה אומר שלפי ההגדרה היא חסומה.
סכומי דרבו אינם מוגדרים לפונקציות שאינן חסומות, ובוודאי היא אינה אינטגרבילית דרבו.
בכיוון השני, כשנתון אינטגרביליות רימן, אני מוכיח חסימות
@@sheiner עכשיו זה ברור, תודה רבה!!
האם בשביל לקבוע אינטגרביליות של פונקציה לפי רימן, אפשר לקחת חלוקה אינסופית של הקטע?
לא.
ראשית, מה היא חלוקה אינסופית? צריך להגדיר סכימה אינסופית (טור), ואז השאלה היא אם הטור מתכנס.
שנית, בחלוקה הזו יהיה מלבן שרוחבו גדול ממש מאפס, כלומר הסכום לא יהיה מדוייק.
לכן לוקחים סדרה של סכומי רימן, בכל סכום רימן החלוקה סופית, אבל כמות החלקים שואפת לאינסוף עם הסדרה.
@@sheiner אז מה קורה אם יש לי פונקציה שמוגדרת למשל בקטע [-1, 1], באופן הבא:
f(1/n) = 0 לכל n טבעי.
ו-f(x) = 3 לכל שאר הנקודות.
אני מנסה להוכיח לפי רימן שהיא אינטגרבילית ולחשב מה האינטגרל שלה בקטע.
אני מנסה לבנות חלוקה אבל לא כל כך הבנתי מה עושים במצב זה :(
@@ormaoz8592 אתה צריך לבנות סדרה של חלוקות.
בחלוקה הn הקטע הראשון יהיה בגודל 1 חלקי n, והוא יכיל אינסוף מהנקודות הבעייתיות, וישארו n נקודות כאלה בחוץ. אץ שאר החלקי תעשה למשל ברוחב של 1 חלקי n בריבוע.
אז ב n מתוך הקטעים האלה יש בעייה, אבל הרוחב הכולל שלהם הוא n כפול אחד חלקי n בריבוע, שזה אחד חלקי n.
כל שאר הנקודות הבעייתיות הן בקטע הראשון, שרוחבו 1 חלקי n.
אז בכל הקטע פחות 2 חלקי n הגובה הוא קבוע שלוש.
השטח שואף ל3 כפול אורך הקטע.
@@sheiner שאתה מתכוון ל"נקודות בעייתיות" אתה מתכוון לכל הנקודות f(1/n) = 0?
אז אני מבין לפי מה שאתה אומר למה חוץ מהקטע עם האינסוף נק בעייתיות, השטח שואף ל3 כפול אורך הקטע, אבל אני לא מבין איך אפשר פשוט "להתעלם" מהקטע הבעייתי עם האינסוף נק בעייתיות...
מה הנימוק לכך?
תודה!
@@ormaoz8592 לא מתעלם - המקרה הגרוע שהשטח שם הוא 0. אז סהכ השטח על סכום הרימן יוצא שלוש פחות שתיים חלקי n.
זה שואף ל3 כשn שואף לאינסוף.
אף סכום רימן לא שווה ממש לשטח בהכרח, אבל סדרת הקירובים הללו שואפת לשטח.