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これ見てようやくチャートの解説が理解できたわ
問題集でつまづいた問題で、自力で解説を読むだけではどうにもしっくり来なかったので解説とてもありがたいです。ありがとうございます。
単位円描き始めたとき、これからフリーハンドで7角形描くぞと思ってワクワクした。結果感動した！
実は、複素平面上に正奇数角形をうまく描くには、数学的知識を頭に入れておけば良いのです。「1以外の偶数個の頂点は共役の複素数のペアになっている」即ち実軸と対象の位置にある。それを意識するとうまく描けます。
(1) \alpha は1の原始7乗根なので、\alpha^7=1 すなわち (\alpha-1)(\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)=0 である。ここで、\alpha eq 1 なので、\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0 である。よって、\alpha+\alpha^2+alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1 を得る。(2) 普通に \alpha の多項式として計算しても出てきますが、(1)より、\alpha は1の原始7乗根なので、 x^7-1=0 すなわち (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0 すなわち (x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6)=0 の解となる。ここで、これら7次方程式の左辺はいずれも等しいので、x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)= (x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) であり、(x-1) \{ (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)-(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) \}=0になるので、x=1 または x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) となる。「または」で結ばれた後者の式に x=1 を代入すれば、7=(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)(1-\alpha^5)(1-\alpha^6) を得る。よって、(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)(1-\alpha^5)(1-\alpha^6)=7 となる。この解法（動画の解法にほぼほぼ同じ）だと、（一般の自然数nに対して）1の原始n乗根の場合にも通用しますし、直接計算が煩雑になってミスすることを考えれば、遙かに一般性が高く良いと思います。
この問題は絶対に知識としてオチを知っておかないといけない問題。
これ、公比がαとして等比数列の和としてもできるんですよね。最近知りました。
コメント欄でも色々な解法が見られて楽しいです
備忘録2周目👏60G, (1)【 ド･モアブルの定理より 】α⁷＝１･･･① ⇔ (α－1)(α⁶+･･･+α+1)＝０ 与式より、α≠1だから α⁶+･･･+α+1＝０ ⇔ α⁶+･･･+α＝－1 ■ (2)【 円周等分多角形 】①より、α は、 x⁷＝１ の解の一つで､ 全部の解は x＝1, α , ･･･, α⁶ だから、因数定理より x⁷－１＝ (x－1)(x－α)•･･･•(x－α⁶) である。 x≠1のとき、 x⁶+･･･+x+1＝ (x－α)•･･･•(x－α⁶) 【これは､x についての恒等式】 これに x＝1 を代入して、7 ＝ (1－α)(1－α²)(1－α³)･･･(1－α⁶) ■
俺もまず7角形をキレイに描く練習から始めよう…と思った
ありがとうございます意識してみます！
青チャート例題17にも同じ解法でできる問題がありましたね
(2)は何も思い浮かばなかったので普通に計算しました
いやガチそれな
バチくそ典型でありがたい
この千葉大学の問題の類題を昔の北海道大学でみたことがあります。
(1)原点を中心とする単位円を外接円とし、点(1,0)を1つの頂点に持つ正七角形について、各点の頂点のx座標、y座標の総和をそれぞれ Sx , Sy とする。このときα+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=Sx+iSy が成り立つ。また、この正七角形の重心は (0,0) より、 Sx=0 , Sy=0 である。したがってα+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=0⇔ α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶=-1記述は適当だけどこんな感じで出せた気がする。
別解x^7-1=(x-1)(x-α)…(x-α^6)(1)解と係数の関係より-1(2)与式=lim[x→1] x^7-1/x-1=7･1^6=7
(2)は微分の定義を知っていればなんてことない問題ですね。
俺もこの前誰かの書き込みで、「おぉッ❗」ってなった解法を採用してますね。ただ、x^7－1＝(x－1)(x－α)(x－α^2)…(x－α^6)とやってから、両辺をx－1で割ると…ってやると、「アレ？これからx＝1を代入するつもりなのに、x－1で割っていいんだっけ？」とか余計な迷いが生じるんで、解説では巧みにそれを避けてますね。上手い❗
久しぶりにこの動画見て早く寝ないとと思いました。
実際に答案に書くときどう書くべきかも教えてほしいです
助かりました。ありがとうございます。
（2）の解説聞いて感動しました！
結局、正ｎ角形において、１つの頂点から残りの(n-1)個の頂点を結んだ線分の長さをかけ算するとｎになるということが示されますが、なぜそうなるのか、この式に何か特別な意味があるのかご存じでしょうか？（実はｎ＝２のときもZ^2=1の解がZ=±1で、Z=1とZ=-1を結ぶ線分の長さが2なので、この関係式が成り立ちます）さらに、これを式変形すると 2以上の整数ｎについて、k=1～n-1でΠsin(kπ/n)＝n/2^(n-1) の関係式を導き出すことができます。すなわち、k=1～n-1でΠ(2sin(kπ/n))＝n と表すことができ、その意味は、ｙ＝2sinXをX=0～πの範囲でｎ等分して（つまりx=kπ/n）、X＝0とπを除くｋ＝1～n-1について2sin（kπ/n）をかけ算するとｎになるということ有名角ではないと一般に三角関数を計算するのが難しいまたは計算できないのに、すべてかけ算するとなぜｎになるのか、この式にどのような意味があるのか、ご存じでしょうか？参考になる図書などがありましたらご教示願います。よろしくお願いいたします。
料理動画の再生リストに入ってて草
超典型的な問題。取れなきゃ死。だからちゃんと演習しなきゃいけない
図きれいですご！
初項α、公比αの第1項目から第6項目までの和で等比数列の和の公式を用いる。
(1)は瞬殺でしたが、(2)は両端から掛けていく解法しか思いつかなかった。ちなみに思いついただけで面倒そうなので計算しませんでした。貫太郎先生の解法はエレガントその物ですが、それゆえちょっと思いつかない･･･。
知ってればいけるんである意味イージーですね、初見は解けないすけど
スマホ何にしますか？
わかりやすいなぁ。確かにあれにいれたほうがくそはぇわぁ七分で復習とれるのはでかいし。よゆーやな。
初見で(1)は解けたけど(2)はきつい
(x-1)(x-3)からx²-4x+3は簡単に作れて恒等式だと分かるんですが、(x-a)(x-a²)…(x-a^6)から1+x+x²+…+x^6は作りにくいのになぜ瞬時に恒等式と言えるんですか？
xの解がa,a^2,…a^6だからか。ふわふわした感じだけど自分で解決しました。
これは解放暗記ゲー
この問題今日の学年末試験で出ました…
めっちゃレベル高いですね笑
複素数平面は糞つまらない三角関数を輝かせる。
7分でできた。あとでみたけど、誘導はぶいたね。
エレガント
これ白紙多いらしいね
いちまいなすあーるぶんのえーかっこいちまいなすあーるのえぬじょー
だいたいはa-1をかければなんとかなる(だろう)
これ見てようやくチャートの解説が理解できたわ
問題集でつまづいた問題で、自力で解説を読むだけではどうにもしっくり来なかったので解説とてもありがたいです。ありがとうございます。
単位円描き始めたとき、これからフリーハンドで7角形描くぞと思ってワクワクした。結果感動した！
実は、複素平面上に正奇数角形をうまく描くには、数学的知識を頭に入れておけば良いのです。「1以外の偶数個の頂点は共役の複素数のペアになっている」即ち実軸と対象の位置にある。それを意識するとうまく描けます。
(1) \alpha は1の原始7乗根なので、\alpha^7=1 すなわち (\alpha-1)(\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)=0 である。ここで、\alpha
eq 1 なので、\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0 である。よって、\alpha+\alpha^2+alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1 を得る。
(2) 普通に \alpha の多項式として計算しても出てきますが、(1)より、\alpha は1の原始7乗根なので、 x^7-1=0 すなわち (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0 すなわち (x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6)=0 の解となる。ここで、これら7次方程式の左辺はいずれも等しいので、x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)= (x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) であり、(x-1) \{ (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)-(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) \}=0になるので、x=1 または x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6) となる。「または」で結ばれた後者の式に x=1 を代入すれば、7=(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)(1-\alpha^5)(1-\alpha^6) を得る。よって、(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)(1-\alpha^5)(1-\alpha^6)=7 となる。この解法（動画の解法にほぼほぼ同じ）だと、（一般の自然数nに対して）1の原始n乗根の場合にも通用しますし、直接計算が煩雑になってミスすることを考えれば、遙かに一般性が高く良いと思います。
この問題は絶対に知識としてオチを知っておかないといけない問題。
これ、公比がαとして等比数列の和としてもできるんですよね。最近知りました。
コメント欄でも色々な解法が見られて楽しいです
備忘録2周目👏60G, (1)【 ド･モアブルの定理より 】α⁷＝１･･･① ⇔ (α－1)(α⁶+･･･+α+1)＝０
与式より、α≠1だから α⁶+･･･+α+1＝０ ⇔ α⁶+･･･+α＝－1 ■ (2)【 円周等分多角形 】①より、
α は、 x⁷＝１ の解の一つで､ 全部の解は x＝1, α , ･･･, α⁶ だから、因数定理より
x⁷－１＝ (x－1)(x－α)•･･･•(x－α⁶) である。 x≠1のとき、 x⁶+･･･+x+1＝ (x－α)•･･･•(x－α⁶)
【これは､x についての恒等式】 これに x＝1 を代入して、7 ＝ (1－α)(1－α²)(1－α³)･･･(1－α⁶) ■
俺もまず7角形をキレイに描く練習から始めよう…と思った
実は、複素平面上に正奇数角形をうまく描くには、数学的知識を頭に入れておけば良いのです。「1以外の偶数個の頂点は共役の複素数のペアになっている」即ち実軸と対象の位置にある。それを意識するとうまく描けます。
ありがとうございます
意識してみます！
青チャート例題17にも同じ解法でできる問題がありましたね
(2)は何も思い浮かばなかったので普通に計算しました
いやガチそれな
バチくそ典型でありがたい
この千葉大学の問題の類題を昔の北海道大学でみたことがあります。
(1)
原点を中心とする単位円を外接円とし、点(1,0)を1つの頂点に持つ正七角形について、各点の頂点のx座標、y座標の総和をそれぞれ Sx , Sy とする。
このとき
α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=Sx+iSy が成り立つ。
また、この正七角形の重心は (0,0) より、 Sx=0 , Sy=0 である。
したがって
α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=0
⇔ α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶=-1
記述は適当だけどこんな感じで出せた気がする。
別解
x^7-1=(x-1)(x-α)…(x-α^6)
(1)解と係数の関係より-1
(2)与式=lim[x→1] x^7-1/x-1=7･1^6=7
(2)は微分の定義を知っていればなんてことない問題ですね。
俺もこの前誰かの書き込みで、「おぉッ❗」ってなった解法を採用してますね。
ただ、x^7－1＝(x－1)(x－α)(x－α
^2)…(x－α^6)とやってから、両辺をx－1で割ると…ってやると、「アレ？これからx＝1を代入するつもりなのに、x－1で割っていいんだっけ？」とか余計な迷いが生じるんで、解説では巧みにそれを避けてますね。上手い❗
久しぶりにこの動画見て早く寝ないとと思いました。
実際に答案に書くときどう書くべきかも教えてほしいです
助かりました。ありがとうございます。
（2）の解説聞いて感動しました！
結局、正ｎ角形において、１つの頂点から残りの(n-1)個の頂点を結んだ線分の長さをかけ算するとｎになるということが示されますが、
なぜそうなるのか、この式に何か特別な意味があるのかご存じでしょうか？
（実はｎ＝２のときもZ^2=1の解がZ=±1で、Z=1とZ=-1を結ぶ線分の長さが2なので、この関係式が成り立ちます）
さらに、これを式変形すると 2以上の整数ｎについて、k=1～n-1でΠsin(kπ/n)＝n/2^(n-1) の関係式を導き出すことができます。
すなわち、k=1～n-1でΠ(2sin(kπ/n))＝n と表すことができ、その意味は、ｙ＝2sinXをX=0～πの範囲でｎ等分して（つまりx=kπ/n）、
X＝0とπを除くｋ＝1～n-1について2sin（kπ/n）をかけ算するとｎになるということ
有名角ではないと一般に三角関数を計算するのが難しいまたは計算できないのに、すべてかけ算するとなぜｎになるのか、
この式にどのような意味があるのか、ご存じでしょうか？
参考になる図書などがありましたらご教示願います。
よろしくお願いいたします。
料理動画の再生リストに入ってて草
超典型的な問題。取れなきゃ死。
だからちゃんと演習しなきゃいけない
図きれいですご！
初項α、公比αの第1項目から第6項目までの和で等比数列の和の公式を用いる。
(1)は瞬殺でしたが、(2)は両端から掛けていく解法しか思いつかなかった。
ちなみに思いついただけで面倒そうなので計算しませんでした。
貫太郎先生の解法はエレガントその物ですが、それゆえちょっと思いつかない･･･。
知ってればいけるんである意味イージーですね、初見は解けないすけど
スマホ何にしますか？
わかりやすいなぁ。
確かにあれにいれたほうがくそはぇわぁ
七分で復習とれるのはでかいし。
よゆーやな。
初見で(1)は解けたけど(2)はきつい
(x-1)(x-3)からx²-4x+3は簡単に作れて恒等式だと分かるんですが、
(x-a)(x-a²)…(x-a^6)から
1+x+x²+…+x^6は作りにくいのになぜ瞬時に恒等式と言えるんですか？
xの解がa,a^2,…a^6だからか。
ふわふわした感じだけど自分で解決しました。
これは解放暗記ゲー
この問題今日の学年末試験で出ました…
めっちゃレベル高いですね笑
複素数平面は糞つまらない三角関数を輝かせる。
7分でできた。
あとでみたけど、誘導はぶいたね。
エレガント
これ白紙多いらしいね
いちまいなすあーるぶんのえーかっこいちまいなすあーるのえぬじょー
だいたいはa-1をかければなんとかなる(だろう)