Wie groß ist der FLÄCHENINHALT der GRÜNEN HALBKREISFLÄCHE? 🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie

In diesem Video schauen wir uns mal wieder eine Geometrie Knobelaufgabe an. In einem Halbkreis befindet sich ein kleinerer Halbkreis und wir wollen den Flächeninhalt der übrigen Halbkreisfläche berechnen. Wir wissen nur dass die waagrechte Tangente an den kleinen Halbkreis 6 cm lang ist.
Wie groß ist der FLÄCHENINHALT der GRÜNEN HALBKREISFLÄCHE? 🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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[@docmichide]

Genial einfach, wenn man weiß wie! Bin beim Ergebnis eben geflasht gewesen, dass es einfach war, als vermutet.

[@unknowntimelord9557]

Da die größe des kleinen halbkreis nicht bekannt ist, betrachte ich die grüne fläche für einen infinitesimal kleinen inneren halbkreis. Dann ist R = 3cm und die Formel für die Kreisfläche liefert sofort 4.5π cm

[@BigMarser]

Der Mathematiker definiert bei sowas gern Ausnahmen und hätte auch gern einen Beweis. Interessant ist nämlich, dass die Radien der Halbkreise überhaupt nichts zur Sache tun. Je größer Rg desto größer wird Rk so dass am Ende nur eine dünne Sichel übrig bleibt, oder wenn Rg klein wird, wird auch Rk klein und es kommt fast der eigentliche große Halbkreis heraus. Und jetzt kommen die Ausnahmen: der ganze Spaß funktioniert freilich nur: 1. wenn Rg echt größer Rk ist (ansonsten macht die ganze Aufgabe keinen Sinn) und 2. wenn Rg auch tatsächlich echt größer 3cm ist (auch bei gleich 3cm oder kleiner macht die Aufgabe keinen Sinn, weil ja dann keine Sekante mehr 6cm lang sein kann, wenn der Durchmesser schon kleiner ist). Beispiele: Rg = 1km. Wie groß ist dann Rk? die Gleichung haben wir: Rg²-Rk² = 9 wir rechnen hier in cm also ist Rg=1000m=100.000cm Rk² = 100.000²-9 = 9.999.999.991 Rk = √9.999.999.991 = 99.999,99995499999...cm also auch fast 1km nur halt 0,45 Mikrometer! kürzer. Umgekehrtes Beispiel: Rg ist 3,1cm: jetzt rechne ich mal in Millimeter: Rg² - Rk² = 30² = 900 -> Rk² = 961-900 = 61 Rk = √61 = 7,8mm also nicht ganz 1cm noch.

[@Tom-gz5fn]

Wäre es denn möglich zu berechnen wenn du jetzt nicht den Ansatz genommen hättest dass rG^2-rK^2 = 9 ist? Also hätte man anders weitermachen können?

[@gelbkehlchen]

Lösung:
R = Radius des großen Halbkreises,
r = Radius des kleinen Halbkreises.
Rechtwinkliges Dreieck:
Hypotenuse = vom Mittelpunkt des großen Halbkreises zum linken Anfangspunkt der 6 cm Strecke,
senkrechte Kathete = r,
waagerechte Kathete = 3[cm].
Pythagoras:
R² = r²+3² ⟹ (1) R²-r²= 9
Grüne Halbkreisfläche = π/2*R²-π/2*r² = π/2*(R²-r²) = [nach (1)] π/2*9
= 4,5π[cm²] ≈ 14,1372[cm²]

[@Birol731]

Mein Lösungsvorschlag ▶
Radius von dem großen Kreis: R
Radius von dem kleinen Kreis: r
Gesucht wird die grüne Fläche, Agrün:
Agrün= π*R²/2 -π*r²/2
= π/2 (R²-r²)
⇒
Wenn man das Zentrum des großen Kreises betrachtet und eine Linie zu der parallelen Linie zieht, ist dieser Abstand identisch mit dem Radius des kleinen Kreises, dargestellt als r.
⇒ Dies führt dazu, dass die Linie in zwei gleich lange Abschnitte von jeweils 3 cm geteilt wird (6/2= 3 cm)
⇒ Wenn man vom Zentrum zu der linken Seite (oder rechten Seite) den Radius zieht (bis zum Beginn der parallelen Linie), bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt der Satz des Pythagoras:
r²+3²= R²
R²-r²= 9
Agrün= π/2 (R²-r²)
Agrün= 9π/2 cm²
Agrün≅ 14,14 cm²

[@Nikioko]

Ach ja, der altbekannte Höhensatz bzw. Sehnensatz...
(6 cm / 2)² = (R + r) (R − r)
9 cm² = R² − r²
A = πR²/2 − πr²/2
= π(R² − r²)/2
= 9π/2 cm²

[@Acampestre]

Es gibt unendlich viele Halbkreise mit einer Sekante von 6cm. Und der kleine Halbkreis soll dann immer 4,5Pi sein? Ich habe da Zweifel.

[@keinKlarname]

Nicht der kleine Halbkreis, sondern die Differenz von grossem und kleinem Halbkreis.

[@Acampestre]

@@keinKlarname wenn es unendlich viele kleine Halbkreise, die die Bedingungen erfüllen, gibt, gibt es auch unendlich viele korrespondierende große Halbkreise und ich frage mich, ob die Differenz immer 4,5Pi sein soll.

[@keinKlarname]

@@Acampestre Zu jedem grossen Halbkreis (der groß genug ist) gibt es genau einen (OK, zwei - links, rechts) kleinen Halbreis. Die Differenz der Flächeninhalte ist immer gleich, wie im Video gezeigt wurde.

[@Acampestre]

OK, jetzt komm ich auch dahin. Der kleinstmögliche große Halbkreis wäre der, bei dem die Sekante gleich dem Durchmesser ist. Dann wäre der Radius des kleinen Halbkreises gleich null und die Differenz wäre die Fläche des großen Halbkreises = (6/2)^2PI /2 = 4,5PI

[@heff6119]

​@@keinKlarname macht für die rechnung eigentlich keinen unterschied, ob der kleine halbkreis nun rechts oder links liegt oder irgendwo dazwischen... also gibts zu jedem (hinreichend) großen halbkreis unendlich viele kleine halbkreise... 😉😃