Olá Dione, a resposta é esta, mas não precisa colocar duas variáveis k e m neste caso. Não vai ficar errado se você colocar k e m, mas fica desnecessário pois a parte do "ou" na resposta já fica subentendido que o "k" na primeira parte é independente do "k" na segunda parte (considerando que você coloque k nas duas partes).
Professor, bom dia. Dúvida minha: no primeiro exercício do vídeo, a solução poderia ser reescrita como simplesmente k(pi) ? Acredito que vai abranger as duas soluções que o exercício teve. Desde já, obrigado pelas aulas.
Oi, professor! Agradeço pelas excelentes aulas que o senhor disponibiliza aqui no TH-cam! Não entendi o motivo que me fez errar o exercício final, depois que desenhei o círculo trigonométrico extraí três valores para x, sendo eles: x = π + 2kπ ; x = 2kπ ; x = π/3 + 2kπ . Por favor, o senhor poderia me explicar por qual motivo o senhor desconsiderou o x = 2kπ na resposta? Quando o sen(x) = 0 o cos(x) = 1 ou -1, certo?
Eduardo, note que x = 2kπ não é uma solução da equação original. Para testar isso, substitua esse valor: sqrt(3)(sen(2kπ)) - cos(2kπ) = 1 sqrt(3)·(0) - 1 = 1 - 1 = 1 Como podemos verificar, a equação original fica falsa para x = 2kπ. O motivo que lhe fez errar é o fato de que durante a resolução você elevou ambos os membros da equação ao quadrado. Ao fazer isso, você pode encontrar soluções dessa nova equação que não são soluções da equação original. Sendo assim, precisamos testar na equação original os valores encontrados para a nova equação, desconsiderando então os valores que não resolvem a equação original. Por exemplo, veja que se a gente estivesse considerando a equação [sqrt(3)(sen(x)) - cos(x)]² = 1², então x = 2kπ seria uma solução. Veja como ficaria: [sqrt(3)(sen(2kπ)) - cos(2kπ)]² = 1² [sqrt(3)·(0) - 1]² = 1 (- 1)² = 1 1 = 1 Ficou mais claro agora o motivo do seu erro? Comente aqui!
@@LCMAquino , muito obrigado! : ) Realmente não estava testando a veracidade dos resultados que eu obtinha nas equações originais dos exercícios, agora ficarei mais atento!
Olá professor, tudo bom? Sobre a letra b do exercício 1 e o exercício proposto no final, notei que há uma forma de resolução que ajuda a diminuir um pouco o trabalho algébrico: Na letra b, se multiplicarmos a equação por 1 = (2/2), ficamos com: 2*((1/2)senx + (√3/2)cosx) = 1. A soma que apareceu lembra o resultado do seno da soma de dois arcos, pois (1/2) = cos(pi/3) e (√3/2) = sen(pi/3). Assim, a equação pode ser reescrita como: sen(x + pi/3) = 1/2, levando ao mesmo resultado encontrado. No exercício proposto do final do vídeo, seguindo o mesmo raciocínio de multiplicar a equação por 1 = 2/2, a equação se transformaria em: sen(x - pi/6) = 1/2, que leva a solução x = pi/3 + 2kpi ou x = pi + 2kpi. Muito bacana sua playlist de pré-cálculo. Meus parabéns pelo seu trabalho, é um material excelente para quem está se dedicando a solidificar as bases.
Oi Vinicus, eu vou mostrar os passos principais e você completa as contas para treinar, beleza? Você pode fazer seguindo a ideia que fiz no exercício 1 (b). Comece montando o sistema de equações: sqrt(3)*sen(x) - cos(x) = 1 sen²(x) + cos²(x) = 1 Isole cos(x) na primeira equação: cos(x) = sqrt(3)*sen(x) - 1 Substitua isso na segunda equação: sen²(x) + (sqrt(3)*sen(x) - 1)² = 1 Desenvolva isso até chegar em: 4sen²(x) - 2sqrt(3)*sen(x) = 0 Coloque 2sen(x) em evidência: (2sen(x))(2sen(x) - sqrt(3)) = 0 Agora você terá duas equações para resolver: 2sen(x) = 0 ou 2sen(x) - sqrt(3) = 0 Resolvendo essas equações e conferindo as respostas na equação original, você vai obter a solução final: x = π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
Professor, uma dúvida em relação ao ítem b do Primeiro exercício, como estamos avaliando o sen x = -1/2 (sabendo que corresponde a -π/6), não seria correto afirmar também que o sen x = 7π/6 ? (tendo em vista que o seno do ângulo π + π/6 = ao seno do ângulo -π/6)
Professor, na letra A do primeiro exercício eu usei a identidade cos2x = (-2sen^2x + 1), pra poder deixar em função de senx, e no final cheguei às mesmas respostas x= 2kpi ou x= pi + 2kpi, continua certo né?
Boa noite, professor Aquino Neto. Gostaria de saber se o senhor poderia me tirar uma dúvida. Enquanto eu ia formulando a minha dúvida, percebi uma possibilidade da explicação da mesma, então gostaria só de confirmar se a minha conjectura está correta. No caso do exercício final, normalmente teríamos duas possibilidades para calcular o x do seno e mais duas para calcular o x do cosseno, tirando pela própria definição de Equação Trigonométrica que o senhor nos apresentou algumas aulas atrás. Sendo elas, para seno: α = β + 2kπ ou α = π - β + 2kπ e, para cosseno: α = β + 2kπ ou α = -β + 2kπ. A minha dúvida é: no caso dessa questão, só temos duas possibilidades de x, sendo elas, x = π + 2kπ e x = (π/3) + 2kπ. Percebi, então, que usamos apenas a relação α = β + 2kπ e então deduzi que só consideramos ela porque como estamos trabalhando com seno e cosseno simultaneamente em uma mesma equação, ao menos de início, usamos a relação que está em comum tanto para a solução de uma equação trigonométrica do seno, quanto para a do cosseno. Então, estaríamos tirando a "interseção" das duas soluções das equações que encontramos, considerando as duas possibilidades de solução como as citadas no primeiro parágrafo? Bom, era essa a minha dúvida, se o senhor puder responder seria de grande ajuda para o meu aprendizado e tenho muito a agradecer ao senhor e, assim que puder, o ajudarei. Obrigado, Aquino.
Saudações =======INFORMAÇÕES & QUESTÃO======== sqrt(3)sen x - cos x = 1 // Resolver Equação sqrt(3)sen x - cos x = 1 sqrt(3)sen x = 1 + cos x 1 + cos x = sqrt(3)sen x Inverter a igualdade cos x = sqrt(3)sen x - 1 sen^2 x + cos^2 x = 1 Identidade fundamental sen^2 x + (sqrt(3)sen x - 1)^2 = 1 Substitui a igualdade encontrada acima sen^2 x +3sen^2 x - 2sqrt(3)sen x + 1 = 1 4sen^2 x - 2sqrt(3)sen x = 0 Subtrai 1 nos dois lados da equação 2sen x * (2sen x - sqrt(3)) = 0 Fatorei 2sen x 2sen x = 0 ; ou 2sen x - sqrt(3) = 0 Dois casos CASO 1 2sen x = 0 sen x = 0 x = 0 + 2kπ ; ou x = π - 0 + 2kπ x = 2kπ ; ou x = π + 2kπ CASO 2 2sen x - sqrt(3) = 0 2sen x = sqrt(3) sen x = sqrt(3)/2 sen x = π/3 x = π/3 + 2kπ; ou x = (π - π/3) + 2kπ x = π/3 + 2kπ; ou x = 2π/3 + 2kπ Resposta: x = 2kπ ou x = π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ
Professor no último exercício cheguei a x= pi + 2 k pi ou x= pi/3 +2 m pi, professor coloquei duas variáveis k e m.Tá certo dessa forma.
Olá Dione, a resposta é esta, mas não precisa colocar duas variáveis k e m neste caso. Não vai ficar errado se você colocar k e m, mas fica desnecessário pois a parte do "ou" na resposta já fica subentendido que o "k" na primeira parte é independente do "k" na segunda parte (considerando que você coloque k nas duas partes).
Professor acertei :D
É um canal excelente.
Obrigado pelo conteúdo!
Professor, bom dia. Dúvida minha: no primeiro exercício do vídeo, a solução poderia ser reescrita como simplesmente k(pi) ? Acredito que vai abranger as duas soluções que o exercício teve. Desde já, obrigado pelas aulas.
Sim, poderia ser reescrita como x = kπ.
Oi, professor!
Agradeço pelas excelentes aulas que o senhor disponibiliza aqui no TH-cam!
Não entendi o motivo que me fez errar o exercício final, depois que desenhei o círculo trigonométrico extraí três valores para x, sendo eles:
x = π + 2kπ ;
x = 2kπ ;
x = π/3 + 2kπ .
Por favor, o senhor poderia me explicar por qual motivo o senhor desconsiderou o x = 2kπ na resposta? Quando o sen(x) = 0 o cos(x) = 1 ou -1, certo?
Eduardo, note que x = 2kπ não é uma solução da equação original. Para testar isso, substitua esse valor:
sqrt(3)(sen(2kπ)) - cos(2kπ) = 1
sqrt(3)·(0) - 1 = 1
- 1 = 1
Como podemos verificar, a equação original fica falsa para x = 2kπ. O motivo que lhe fez errar é o fato de que durante a resolução você elevou ambos os membros da equação ao quadrado. Ao fazer isso, você pode encontrar soluções dessa nova equação que não são soluções da equação original. Sendo assim, precisamos testar na equação original os valores encontrados para a nova equação, desconsiderando então os valores que não resolvem a equação original.
Por exemplo, veja que se a gente estivesse considerando a equação [sqrt(3)(sen(x)) - cos(x)]² = 1², então x = 2kπ seria uma solução. Veja como ficaria:
[sqrt(3)(sen(2kπ)) - cos(2kπ)]² = 1²
[sqrt(3)·(0) - 1]² = 1
(- 1)² = 1
1 = 1
Ficou mais claro agora o motivo do seu erro? Comente aqui!
@@LCMAquino , muito obrigado! : ) Realmente não estava testando a veracidade
dos resultados que eu obtinha nas equações originais dos exercícios, agora ficarei mais atento!
Olá professor, tudo bom?
Sobre a letra b do exercício 1 e o exercício proposto no final, notei que há uma forma de resolução que ajuda a diminuir um pouco o trabalho algébrico:
Na letra b, se multiplicarmos a equação por 1 = (2/2), ficamos com: 2*((1/2)senx + (√3/2)cosx) = 1.
A soma que apareceu lembra o resultado do seno da soma de dois arcos, pois (1/2) = cos(pi/3) e (√3/2) = sen(pi/3). Assim, a equação pode ser reescrita como: sen(x + pi/3) = 1/2, levando ao mesmo resultado encontrado.
No exercício proposto do final do vídeo, seguindo o mesmo raciocínio de multiplicar a equação por 1 = 2/2, a equação se transformaria em: sen(x - pi/6) = 1/2, que leva a solução x = pi/3 + 2kpi ou x = pi + 2kpi.
Muito bacana sua playlist de pré-cálculo. Meus parabéns pelo seu trabalho, é um material excelente para quem está se dedicando a solidificar as bases.
Olá Rubens, essa estratégia que você usou também é válida! Vale a pena usá-la para simplificar as contas.
professor, não encontrei uma reposta pro exercício final
Oi Vinicus, eu vou mostrar os passos principais e você completa as contas para treinar, beleza? Você pode fazer seguindo a ideia que fiz no exercício 1 (b). Comece montando o sistema de equações:
sqrt(3)*sen(x) - cos(x) = 1
sen²(x) + cos²(x) = 1
Isole cos(x) na primeira equação:
cos(x) = sqrt(3)*sen(x) - 1
Substitua isso na segunda equação:
sen²(x) + (sqrt(3)*sen(x) - 1)² = 1
Desenvolva isso até chegar em:
4sen²(x) - 2sqrt(3)*sen(x) = 0
Coloque 2sen(x) em evidência:
(2sen(x))(2sen(x) - sqrt(3)) = 0
Agora você terá duas equações para resolver:
2sen(x) = 0 ou 2sen(x) - sqrt(3) = 0
Resolvendo essas equações e conferindo as respostas na equação original, você vai obter a solução final:
x = π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
Professor, uma dúvida em relação ao ítem b do Primeiro exercício, como estamos avaliando o sen x = -1/2 (sabendo que corresponde a -π/6), não seria correto afirmar também que o sen x = 7π/6 ? (tendo em vista que o seno do ângulo π + π/6 = ao seno do ângulo -π/6)
O mesmo se aplica ao exercício final (acabei de resolver), sen 5π/6 = sen π/6.
Professor, na letra A do primeiro exercício eu usei a identidade cos2x = (-2sen^2x + 1), pra poder deixar em função de senx, e no final cheguei às mesmas respostas x= 2kpi ou x= pi + 2kpi, continua certo né?
Oi Rogério, sim, continua certo fazer por esse caminho.
Acertei a letra a do exercício 1 mas achei seno=0
Boa noite, professor Aquino Neto. Gostaria de saber se o senhor poderia me tirar uma dúvida.
Enquanto eu ia formulando a minha dúvida, percebi uma possibilidade da explicação da mesma, então gostaria só de confirmar se a minha conjectura está correta.
No caso do exercício final, normalmente teríamos duas possibilidades para calcular o x do seno e mais duas para calcular o x do cosseno, tirando pela própria definição de
Equação Trigonométrica que o senhor nos apresentou algumas aulas atrás. Sendo elas, para seno: α = β + 2kπ ou α = π - β + 2kπ e, para cosseno: α = β + 2kπ ou α = -β + 2kπ.
A minha dúvida é: no caso dessa questão, só temos duas possibilidades de x, sendo elas, x = π + 2kπ e x = (π/3) + 2kπ.
Percebi, então, que usamos apenas a relação α = β + 2kπ e então deduzi que só consideramos ela porque como estamos trabalhando com seno e cosseno simultaneamente em uma mesma equação, ao menos de início, usamos a relação que está em comum tanto para a solução de uma equação trigonométrica do seno, quanto para a do cosseno. Então, estaríamos tirando a "interseção" das duas soluções das equações que encontramos, considerando as duas possibilidades de solução como as citadas no primeiro parágrafo?
Bom, era essa a minha dúvida, se o senhor puder responder seria de grande ajuda para o meu aprendizado e tenho muito a agradecer ao senhor e, assim que puder, o ajudarei. Obrigado, Aquino.
Olá Anthony, a sua interpretação está correta.
Saudações
=======INFORMAÇÕES & QUESTÃO========
sqrt(3)sen x - cos x = 1 // Resolver Equação
sqrt(3)sen x - cos x = 1
sqrt(3)sen x = 1 + cos x
1 + cos x = sqrt(3)sen x Inverter a igualdade
cos x = sqrt(3)sen x - 1
sen^2 x + cos^2 x = 1 Identidade fundamental
sen^2 x + (sqrt(3)sen x - 1)^2 = 1 Substitui a igualdade encontrada acima
sen^2 x +3sen^2 x - 2sqrt(3)sen x + 1 = 1
4sen^2 x - 2sqrt(3)sen x = 0 Subtrai 1 nos dois lados da equação
2sen x * (2sen x - sqrt(3)) = 0 Fatorei 2sen x
2sen x = 0 ; ou 2sen x - sqrt(3) = 0 Dois casos
CASO 1
2sen x = 0
sen x = 0
x = 0 + 2kπ ; ou x = π - 0 + 2kπ
x = 2kπ ; ou x = π + 2kπ
CASO 2
2sen x - sqrt(3) = 0
2sen x = sqrt(3)
sen x = sqrt(3)/2
sen x = π/3
x = π/3 + 2kπ; ou x = (π - π/3) + 2kπ
x = π/3 + 2kπ; ou x = 2π/3 + 2kπ
Resposta:
x = 2kπ
ou x = π + 2kπ
ou x = π/3 + 2kπ
ou x = 2π/3 + 2kπ
x = 2kπ e x = 2π/3 + 2kπ devem ser desconsideradas, pois quando x = 2kπ o cosx = 1 e no caso de x = 2π/3 o cosx= - 1/2