自然数・平方数・立方数の和の公式［今週の定理・公式No.24］
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ธ.ค. 2024
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すいません昨日編集したのに満足してアップロード忘れてました．
可愛い...
大事ですよね。単元で必要になる計算ノウハウがいくつもあって。
14:11から正方形で解説してくださったおかげで、ようやく、なぜ、Σ3乗の公式が1/2n(n+1)の2乗で表せるのか理解できました。ありがとうございました‼️
図形的な解説、面白かったです！
この動画のサムネみたとき
「あれ？今日金曜日だっけ！？」
って錯覚した
積分ができて余力があるなら，以下を覚えておくと簡単に導ける
S(k,n)=1^k + 2^k + 3^k + ･･･ + n^kとすれば
S(k,n)=k ∫ S(k-1, n) dn + Cn（CはS(k,1)=1となるような定数）
が成り立つ
例･･･明らかにS(0,n)=nであるので
S(1, n)=1×∫ S(0,n) dn + Cn
=1×∫ n dn + Cn
=(1/2)n^2 + Cn
S(1,1)=1/2 + C = 1よりC=1/2
∴S(1,n)= (1/2)n^2 + (1/2)n=n(n+1)/2
何故こうなるのかを概説すると･･･
S(k,n) - S(k,n-1) = n^kである．この両辺をnで微分すれば
S'(k,n) - S'(k,n-1) = k n^(k-1)
ここでF(n) = (1/k){S'(k,n-1) - S'(k,0)}とすれば，
F(n) - F(n-1)
= (1/k){S'(k,n) - S'(k,0)} - (1/k){S'(k,n-1) - S'(k,0)}
=n^(k-1)
よってF(n)=S(k-1,n)であるから
F(n) = S(k-1,n) = (1/k){S'(k,n) - S'(k,0)}
S'(k,0)は定数であるから，これをCとすれば
S(k-1,n) = (1/k){S'(k,n) - C}
両辺にkを掛けてnで積分すると･･･
S(k,n) = k ∫ S(k-1,n) dn + Cn
となる
これは大学の範囲になるが，高校生でも理解できると思う．誘導付きなら大学入試で出題される可能性もあるので，難関大学を目指すなら考察しておくことをお勧めする
19:15の正方形の面積である、
(Σk)^2=(n(n+1)/2)^2
をnで微分すると
n(n+1)(2n+1)/2
になりました。なぜΣk^2と形が似ているかは不明ですが、こいつをk-1からkで積分するとキレイにk^3になりました。
面積の増分がk^3になっていることが解析的にも示せます。
なんでΣk^2と似てるのか分かる方いらっしゃったらヒントください🙏
ヒントとなるかはわかりませんが、th-cam.com/video/GxFb-0fVxSU/w-d-xo.html
この動画の方法だとn(n+1)(2n+1)/2が出てきます。
理屈を確認できて有りがたいです
前半は冪多項式の差分で、絵的に面白い後半は差分多項式の差分って感じですね
待ってました！
自然数に関してのみそういった話題が存在するのは
整数の和と積に関しては
総和も積もどちらも０であると自明だから
議論の余地はないってことでいいんですよね
二項係数 i_C_j (ただしi
やっぱり差分がすきだなぁ
Σを動画中と同じ扱い(kを1~nまで足し合わせるもの)として
Σ(n-k+1)^2の計算でΣについてどの程度理解出来ているか考えられそう
展開する人居そう
yukiさん 展開した後でもまだマシな人とそうでない人が居ますね
展開しないやり方があるんですか？
Σ｛(n+1)-k｝^2としてn+1を定数と見て考えるであってます？
何度もすいません やってみたら2乗の公式と一致したんですけどあってます？
黒板に寄りかかったみたいな服w
韓国の数学の公式で Σ k(k＋1)＝1/3n(n＋1)(n＋2)があり、これをを証明してから1/6証明するほうが簡単ということを聞いたことあります
k(k+1)(k+2)−(k-1)k(k+1)=3k(k+1)より
Σk(k+1)=1/3×Σ{k(k+1)(k+2)−(k-1)k(k+1)}
=1/3×n(n+1)(n+2)
ですかね?差分ってマイナーだと思ってたら結構色んな人が常套手段としていてびっくりです。
自然数の３乗の和が正方形の面積に等しいとは信じがたい、体積＝面積にしか見えない。次元はどうなっている。お見事。
高校数学で躓いた人間には、最初の証明だけで感動ものw
ブロック組み立てみたいな？
実はbbaaaaの並び方を考察することでも導き出せます。
早送りした時の音がヨビノリのそれ
線形性？
4乗和以降も帰納的に考えて同様に導出できるが
流石にダルいので多少なりとも工夫はすべき模様。
「この公式は貴重なタンパク源になります」
ベア•グリルズw
これシグマの1番最初の授業で解かされた。確か九州大学の問題だったかな
とりあえず進学校ってことはわかった。
ベルヌーイ数を使って積分で出した方が早いし楽なのでそっちを使ってます。
ベルヌーイ数をなまで覚えてるんですか？すごいですね。
高校生が受験でそれをやるときは、ベルヌーイ数を使う必然性を述べる手間が却って足を引っ張りそうですね。
というか衒学ですよねこれ、お疲れ様です。研究頑張って下さい
(*｀･ω･)ゞ
平面の話で３乗の話が出てくる点に違和感を感じてしまうあたりに自分の数学センスのなさが・・・
梅沢DIMLIM 動画の内容何もわかってなくて草
ベルヌーイ数が登場！
今日は、土曜日ですから、念のため注意を与えておきます。
なんで(k+1)²-k²なのw
それな
@@金-e7i 何でか分かったわwww特に意味はなくて、昔の偉い人が見つけただけ。
要するに差分ですね
シグマの1乗2乗3乗の公式みてパッと閃いたから自分で導出したことある奴や笑
⬅️導こうとしてできなかった奴
k=0からじゃなく無い？サムネで騙された
寄り目ですね
いや、なんで正方形の面積の差が3乗になってるって一般に言えんの？偶然n=3までそうなだけかもしれないじゃん、て思ったらそれを証明してるんだったw
サムネのΣ、𝑘＝0からになってる(誤りではない)けど、なんか意味あるんですか？
なんというか、あんまり教える才能はないね
低学歴がなんかほざいてて草wwwwwwww