Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [75/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): th-cam.com/video/7ywKEsQCwpE/w-d-xo.html Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: contact@oljen.fr 🌞 Bonne écoute !
Je vous remercie pour vos vidéos, c'est bien de faire des mathématiques, mais proposer de tels concpets avec une telle clarté ce n'est pas donné à tout le monde. Je vous encourage à garder cet esprit de proposer ces contenus avec une approche très méthodique et surtout de répondre à la fameuse question dont on se posait en cours de sup et spé : " mais d'où ca vient ?! " Merci encore un vrai plaisir de vous suivre
Je viens de découvrir cette vidéo et par la même occasion votre chaîne. C'est limpide, brillant. merci beaucoup pour vos explications, je sens que je vais dévorer vos vidéos afin de dépoussiérer mes souvenirs trop flous, et découvrir de nouvelles choses.
Merci bien ! Je vais faire tout ce que je peux pour que ce soit le cas dans les deux prochaines années. Et si ça ne fonctionne pas, je me dirai qu'au moins, j'aurai essayé.
@@oljenmaths votre chaîne est d'utilité publique, même si ça ne prend pas tout de suite. Elle permettra à des milliers d'étudiants chaque année de comprendre les maths, donc je pense que vous aurez toujours du succès sur youtube bien que cela prenne du temps.
C'est la raison précise pour laquelle je pense que je ne peux pas « rater ». Au pire, il restera toujours des centaines de vidéos de mathématiques qui serviront pendant des années. Et je ferai autre chose de ma vie, mais mon travail restera 👍🏻.
La chaîne est une mine d'or pour des étudiants en maths/sciences mais il est compréhensible que tout le monde ne s'y intéresse pas. De plus, les vidéos rentrent dans le détails des preuves rigoureuses et ne sont pas de "simples" illustrations de grandes idées comme sur 3blue1brown par exemple (qui reste une excellente chaîne, mais plus axée "divertissement"). Cela dit je souhaite aussi le succès de la chaîne !
Merci beaucoup pour cette vidéo qui est non seulement très ludique et structurée mais qui en plus a le bon goût de répondre à ma question ! xD Un concours sauvé (enfin j'espère) de plus à votre palmarès ;)
J'ai cependant une petite question: dans le cas où b=0, en quoi la suite a0 = 1 et pour tout n non nul an = 0 vérifie-t-elle la relation de récurrence an+2 = a * an+1 (notamment lorsque a différent de 0) ? En effet, n'a-t'on pas ici affaire à un espace vectoriel de dimension 1 (en partie dû au fait que le premier terme conditionne les termes de la suite), ce qui fait que toutes les suites vérifiant cette relation seraient uniquement colinéaires à la suite géométrique classique ? :)
@@romaingerard3661 Merci beaucoup 🙏 ! Pour b = 0, les relations u_{n+2} = a*u_{n+1} sont u2 = a*u1, u3 = a*u_2, etc. Nulle question de u0 là-dedans: ce terme peut être choisi comme on veut. Si l'on ajoute le choix de u1, alors là, oui, le choix de (u0,u1) détermine entièrement chaque élément de la suite. En réalité, on retrouve exactement le même isomorphisme d'espaces vectoriels que celui qui est présenté à 3:03 👨🏫.
Merci pour votre vidéo est très bien travaillé et très compréhensible, je vous remercie d'avoir aborder ce sujet étant en math sup notre prof nous a un peu sortie les formules de son chapeau et ça me perturbais de ne pas savoir d'où elles venaient, par chance avant de partir en vacances nous avons fais un premier chapitre sur les espaces vectoriels du coup maintenant je pense ressentir d'où viennent ces formules.
11:06 , comment vérifier que (n+1)q^n appartient à S ? En utilisant le fait que q est racine double, je vois pas trop.. J'étais parti en me disant que ((n+1)q^n) = (nq^n + q^n)=(nq^n) + (q^n) somme de deux suites. Ensuite si j'arrive à monter que (nq^n) appartient à S, comme S est stable par addition, on aura le résultat, mais j'y arrive pas!
La démarche qui consiste à démontrer que (nq^n) appartient à S fonctionne. Je suppose que tu as dû oublier d'utiliser l'un des éléments suivants: 🔹 q² = aq + b (q est une racine de X²-aX-b), 🔹 2q = a (q est racine double, donc aussi racine du polynôme dérivé 2X-a). De plus, petit conseil générique: 🔸 pour démontrer que deux quantités sont égales, il est souvent pratique de démontrer que leur différence est nulle. Je te laisse fouiller, mais si tu ne trouves pas en un temps raisonnable, réponds à ce commentaire et je te mettrai l'intégralité du calcul.
@@oljenmaths q²=aq+b 2q= a on multiplie l'égalité du haut par nq^(n) l'égalité du bas par q^(n+1), et on a : nq^(n+2) = anq^(n+1) + bnq^(n) 2q^(n+2) = aq^(n+1) On additionne ces deux égalités et on obtient : (n+2)q^(n+2) = a(n+1)q^(n+1) + bnq^(n) On en déduit que (nq^(n)) appartient à S.
Bonjour, Tout d'abord merci pour votre travail de qualité ! J'ai du mal à comprend comment on peut être sûr que les suites géométriques de raison q1 et q2 ne sont pas colinéaire ( 9:08 ).
Salutations ! Considérons deux suites géométriques de raison a et b, distinctes, de même premier terme 1. Si elles étaient colinéaires, alors quitte à échanger les rôles de a et b, il existerait un réel λ tel que (1,a,a²,...) = λ (1,b,b²,...) En particulier, en regardant les deux premiers termes, on aurait λ = 1 et λ(a-b) = 0, c'est-à-dire λ = 0 = 1, ce qui est impossible. Et le tour est joué 🎩 !
super la démo; on peut aussi par un représentation matricielle de la suite, puis diagonalisation, calcul des vp etc... on obtient le même résultat non?
Oui, exactement 👍🏻. J'aime beaucoup le coup de la suite matricielle, l'idée est très belle : quitte à faire grossir la taille de l'objet manipulé, on peut faire baisser l'ordre de la relation de récurrence 👍🏻.
J'ai une question concernant le retrait du facteur "2i" dans le cas du discriminant strictement négatif. Cela fonctionne-t-il parce que l'on considère un C-espace vectoriel, et donc pour une suite (u), (2iu) et (u) sont colinéaires ? Merci pour votre vidéo très claire et très engageante par ailleurs.
Oui, c'est très précisément cela. Le C-espace vectoriel engendré par (u) et (2iu) est le même 👍🏻. Merci pour les compliments sur la vidéo, c'était une vidéo de mes tous débuts sur TH-cam 😅!
Bonsoir . puis-je demontrer plus facilement le cas où a=b=1 (on a pas encore fait ce cours cependant le professeur nous a demander de la demontrer . j'imagine donc ne pas forcement avoir a utiliser les démonstrations d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 tel que vous avez expliqué dans la video )
Bonsoir. En réalité, si vous n'avez pas encore fait le cours là-dessus, cela reste assez difficile. Vous pouvez par exemple prendre le résultat que je propose, celui du cours que vous allez faire, et procéder par récurrence double pour démontrer que vous avez la bonne suite :-). Sans l'équation caractéristique de la récurrence linéaire, je connais aussi une démonstration avec une récurrence double, mais ça reste relativement ardu. Quoiqu'il en soit, le cas a=b=1 fait penser à la suite de Fibonacci, peut-être trouverez-vous dans cette direction là.
Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 sont tout simplement les suites géométriques. Je n'ai pas fait de vidéos là-dessus, mais comme ça relève des compétences vues au lycée, il y en a sûrement des tas ailleurs sur TH-cam 😉.
Je vous decouvre depuis peu et à chaque fois que je commence une de vos vidéos, je ne peux m'arrêter. Vos élèves ont de la chance de vous avoir ! Par curiosité : combien de temps a nécessité cette vidéo par exemple ? On ne se rend pas compte du travail derrière chaque vidéo
Merci beaucoup 🙏🏻! À l'époque de cette vidéo, il me fallait à peu près 20 fois le temps de la vidéo pour réaliser une vidéo. Je suppose qu'il m'a donc fallu ~6/7h de travail. Aujourd'hui, la qualité de production est montée considérablement et je suis plutôt autour de 60 fois le temps de la vidéo quand tout se passe bien. L'investissement est conséquent mais ça vaut le coup: les vidéos sont vues des milliers de fois, après tout !
Lorsque la notion d'espace vectoriel vient d'être introduite, il convient de préciser systématiquement les lois 👍🏻. Cela dit, avec l'usage, dans des situations usuelles, on ne le fait plus.
Juste une question, pour le cas du discriminant négatif mais où la suite est a valeur réelles , comment on montre que les formes trouvées cets l’ensemble des solutions et qu’il en manque pas , puisque tout combinaison linéaire vérifie , alors pourquoi on ne s’arrêterait pas uniquement à la somme des des (r1)^n (r2) ^n ? Cets une combinaison linéaire , mais alors on aurait que le terme en cosinus il manquerait la partie en sinus et on aurait pas l’ensemble des solutions , donc comment savoir quand on s’arrêter pour avoir une solution « globale » sans oublier des formes de solutions ?
Si je fais un résumé des grandes étapes, dans le cas du discriminant négatif pour une suite à valeurs réelles: 👉🏻 La recherche de solutions particulières grâce aux suites géométriques ne donne rien (dans R). 👉🏻 En étendant cette recherche dans C, on obtient des solutions qui sont des suites à valeurs dans C, mais cela ne répond pas à la question puisque les suites géométriques produites ne sont pas à valeurs réelles. 👉🏻 En considérant des combinaisons linéaires des suites précédentes, on récupère deux suites à valeurs réelles qui vérifient la relation de récurrence. Et à partir de là, c'est comme dans les cas précédents: on démontre que ces deux suites forment une famille libre, et comme l'espace vectoriel des solutions est de dimension 2, l'espace vectoriel engendré par ces deux suites est égal à l'ensemble des solutions, c'est-à-dire que toute suite qui vérifie la relation de récurrence peut être exprimée comme combinaison linéaire de nos deux suites à valeurs réelles. Est-ce que cela répond à votre question, ou bien ai-je tapé « à côté » 😇 ?
Salut merci bcp pour ton travail tout est super bien expliqué. Juste un petit truc qui me laisse perplexe : dans le cas où Δ < 0 , l'expression q est de la forme ρe^iθ. Tu as dis que ρ et θ sont des réels ( ρ >0 ) mais si θ est un multiple de π, dans ce cas q serait réel et donc ne pourrait pas être solution de l'équation caractéristique non ?
J'ai peut-être tenu un discours un peu embrouillé, mais deux ans et demie après la publication de cette émission, voilà que l'occasion se présente de le clarifier. 🔹 Si Δ < 0, chercher un q réel est inutile: il n'en existe pas (l'équation caractéristique n'a aucune solution réelle). Effectivement, θ = π n'adviendra donc jamais, par exemple. 🔹 Je choisis donc, à tout hasard, d'examiner les suites complexes qui vérifieraient la relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Naturellement, je tombe sur des suites complexes. 🔹 En réalisant une petite manipulation (somme et différence), je parviens, retournement de situation, à récupérer deux suites /réelles/ qui conviennent (!).
Bonjour Monsieur, je vous remercie pour votre travail élégant et précis. Je me rends peu à peu compte que cette notion d'équation caractéristique se rencontre dans des domaines qui semblent relativement éloignés. Je pense comprendre la structure d'espace vectoriel de dimension 2 implique que tout élément de cet espace peu être écrit comme une combinaison linéaire de 2 vecteurs. Cependant le fait que ces équations resurgissent "magiquement" dans des théories aussi éloignées m'échappe.
Bonjour Nathan ! Je suppose que tu fais référence, lorsque tu parles de domaines éloignés, aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et aux équations différentielles, aussi linéaires d'ordre 2, sans second membre, qu'on rencontre entre autres dans cette émission: 🎬 [UT#46] Introduction aux espaces vectoriels - th-cam.com/video/2BMlHEQXjLA/w-d-xo.html Comme tu le dis, non seulement on dispose d'une structure d'espace vectoriel de dimension deux dans chacun des cas, mais en plus, le couple (u0,u1) pour les suites joue, en quelque sorte, le même rôle que (f(0),f'(0)) pour les fonctions. En réalité, si tu veux vraiment comprendre pourquoi les équations caractéristiques sont les mêmes, il faut pousser un peu plus loin. Les équations u_{n+2} = au_{n+1} + u_n et f'' = af' + bf peuvent s'écrire matriciellement à l'aide de la même matrice 2 x 2. Tu peux regarder t'inspirer, par exemple, de la question 1 de la partie I du document ci-dessous: 📜 cutt.ly/Otmn3ES Et si tu veux commencer à comprendre la magie, il ne te reste plus qu'à calculer le polynôme caractéristique de cette matrice (et tu comprendras d'ailleurs d'où vient le mot).
En essayant de dénombrer le nombre de façon de faire un score n au rugby, je tombe sur l'étude de la suite : u(n) = u(n-3)+u(n-5)+u(n-7) (avec u(0) = 1 et pour tout n < 0 u(n) = 0 (autrement dit les premiers termes sont : 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) j'ai donc penser aux suites récurrentes linéaires pour essayer de trouver une formule explicite, le problème c'est que je ne sais pas trouver les racines d'un polynôme du 7eme degré... Je sais que dans le cas général on ne peux pas trouver les racines d'un polynôme du 7eme degré, mais vu que celui la comporte plein coefficients nuls, peut-être que c'est pas impossible, est-ce que c'est possible d'avoir de l'aide sur ce problème ?
L'approche paraît assez musclée, raison pour laquelle il me vient en tête une approche qui l'est tout autant : utiliser un ordinateur pour calculer les racines en valeurs approchées et voir si on se fait punir pour cela 🤣. Plus sérieusement, s'il n'y a pas de racines évidentes, l'entreprise est compromise et c'est sans doute un autre outil qu'il est souhaitable d'utiliser. Et là, difficile d'y voir clair… peut-être chercher du côté des nombres de Catalan pour s'inspirer 🔎 ?
@@oljenmaths Oui, j'ai déjà essayer cette approche, mais elle ne satisfait pas l'examinateur (moi même). Du coup, je me demande dans quels cas une équation d'un degré >= 5 est résolvable ? J'ai du mal à voir le lien avec les nombres de Catalan, c'est bien la suite des n parmi 2n - n+1 parmi 2n ? si c'est le cas je ne vois pas le rapport, sinon, je ne connais pas les nombres de catalan
@@vinceguemat3751 Pour les équations de degré >=5, je sais seulement qu'il n'existe aucune méthode qui permet de traiter le cas général (contrairement à la méthode de Cardan et Ferrari pour les degrés 3 et 4). Quant aux nombres de Catalan, après recherche, il semble que je me sois craqué. J'ai confondu avec le concept de « partitions d'un entier » auquel j'ai pensé en vous lisant : fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier
Bonsoir Mr s'il vous plait j'aimerais savoir s'il existe des suites géométriques dans l'ensemble des suites de FIBONACCI à l'exception de la suite nulle?
Précisément: la suite de Fibonnaci est unique, déterminée par ses deux premiers termes et par la fameuse relation de récurrence d'ordre 2. Si l'on oublie les deux premiers termes, et que l'on se concentre uniquement sur la relation de récurrence, il n'y a que deux familles de suites géométriques qui vérifient cette relation: - Les multiples de la suite (ϕ^n), où ϕ est le nombre d'or. - Les multiples de la suite (ς^n), où ς est (1-\sqrt{5})/2.
Salut :) Ou alors dans le cas où le discriminant de l'équation caractéristique est strictement négatif on fait le même raisonnement avec les suites complexes et du coup on aura toujours des solutions qui fourniront des suites géométriques non colineaires et dans S non ? :) D'ailleurs on peut même le faire dès le début non ? Cordialement Ps : merci pour cette vidéo !
Salutations ! Si on travaille avec des suites complexes, il n'y a finalement que deux cas à traiter: discriminant nul, et non nul. Dans le cadre de cette vidéo, j'ai choisi de me concentrer sur les suites réelles, et l'approche des deux suites géométriques non colinéaires pose un léger problème dans la mesure où les suites qu'on obtient ne sont pas à valeurs réelles. Heureusement, un joyeux trafic basé sur la formule d'Euler nous permet de récupérer deux suites réelles non colinéaires: nous triomphons dans la gloire 👑 !
@@oljenmaths Yep je comprends :) Après loin de moi l'idée de critiquer cette approche, je suis un matheux passionné mais concernant la rapidité du calcul, est-ce si rentable que ça pour Fibonacchi d'avoir l'expression algébrique exacte avec le calcul d'une puissance à faire avec des racines, simplification, etc plutôt que de faire "simplement" le calcul récursif ? Cordialement
@@Aroux1930 Je n'ai pas fait les calculs, mais je ne pense pas me tromper en disant que la complexité d'un calcul récursif est bien moindre que celle d'un calcul à partir d'une expression explicite. L'expression explicite fait intervenir des multiplications, ce qui est très gourmand, alors que l'expression récurrente ne fait intervenir que des additions.
Excellente vidéo, très claire et complète. Une petite question au passage : Que faire si la suite en question se présente sous la forme u_n+2 = au_n+1 + bu_n + c ? Peut-on encore traiter cette suite comme récurrente linéaire ? Je ne sais vraiment pas quoi faire de mon troisième coefficient !
Une telle suite s'appellerait "suite récurrente linéaire avec second membre". Pour trouver l'ensemble des suites qui vérifient l'équation u_n+2 = au_n+1 + bu_n + c (E), on procède comme suit: 🔹 On détermine l'ensemble des suites telles que u_n+2 = au_n+1 + bu_n (H). 🔹 On trouve une suite particulière, disons v, solution de l'équation (E). 🔹 On dit (ou on démontre), que l'ensemble des suites vérifiant (E) est l'ensemble des suites qui s'écrivent comme la somme de v, et d'une suite qui vérifie (H). Si tu connais la théorie des équations différentielles, c'est le même système: pour résoudre une équation avec second membre, on résout l'équation homogène (sans second membre), auquel on ajoute une solution particulière.
@@oljenmaths Merci beaucoup pour cette réponse rapide ! J'avais effectivement déjà vu passer le nom de ce type de suites au cours de mes recherches sans pour autant faire le lien avec mon problème. :/ J'avais réussi à reformuler mon expression sous la forme d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3 mais l'expression générale donnait des résultats très peu précis pour de grandes valeurs. Je crois malheureusement qu'il est toujours un peu délicat de généraliser sur quelques termes... En tout cas, ça m'a l'air parfait pour ce que je cherche, dès que j'aurai l'occasion je m'y attèle !
En effet, la méthode fonctionne à merveille ! Le seul souci, c'est que j'obtiens là aussi une expression générale peu précise.. Je réalise avoir simplifié un peu hâtivement mon expression de départ. C'est également une suite récurrente d'ordre 2, mais avec des exposants. Je n'ai aucune idée de comment en trouver un polynôme caractéristique. Existe-t-il des méthodes (comme un changement de variable par exemple) qui pourraient me permettre de gérer une suite de ce type ?
@@marchenwald4666 Mmmh... qu'entends-tu par "mais avec des exposants" ? Est-il possible que ta suite ne soit pas une vraie suite récurrente linéaire d'ordre 2 ? Dans ce cas, effectivement, il serait peut-être possible d'introduire une suite auxiliaire qui, elle, pourrait vérifier une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Quoiqu'il en soit, l'expression générale obtenue a le mérite d'exister, mais peut tout à fait être une horreur absolue. L'exemple typique est la suite de Fibonacci, dont l'expression explicite, qui fait apparaître des radicaux, est bien loin de refléter la simplicité apparente de la relation de récurrence qu'elle vérifie (que tu peux retrouver sur le site de Serge Mehl avec le lien ci-dessous). 🔗 La formule de Binet - cutt.ly/OgWh987
@@oljenmaths Par "exposants" j'entends, par exemple, une expression du type u(n+2)² = u(n+1)*u(n) ; une expression dans laquelle les termes de la suites se multiplient entre eux. J'ai comme l'intuition que l'expression générale de ma suite est possiblement une de ces horreurs dont vous parlez. En l’occurrence, ma relation de récurrence présente une racine carré. Toutefois, ce qui est troublant et me fait penser qu'il serait peut-être possible de récrire différemment cette expression est le comportement de ma suite, malgré la présence de cette racine carré. En effet, tous les termes de la suite, aussi loin qu'il m'ait été possible de les calculer (15 termes) appartiennent aux entiers naturels en dépit de la présence de cette racine. De plus, ma suite croît assez rapidement, et même lorsqu'un nombre à 10 ordres de grandeur se trouve sous ma racine, il s'agit toujours d'un carré parfait ! J'ai bien entendu essayé de faire disparaitre ma racine en remaniant les termes, mais j'aboutis à une expression longue comme le bras avec encore davantage d'exposants.. Dans tous les cas, merci mille fois pour votre temps ! J'y vois désormais un peu plus clair.
@@mevan8825 Franchement, deux ans après avoir réalisé cette émission, je n'y vois absolument aucun intérêt 🤣 ! Je pense qu'à l'époque, je préférais éviter les q^{n-1} en raison des conflits potentiels qu'ils posent pour n = 0, où l'on se retrouve avec un q au dénominateur sans vraiment s'en rendre compte. Mais ici, comme cette quantité est multipliée par n, il n'y aurait aucun problème de toute manière. Aujourd'hui, je vote pour nq^{n-1} !
Un peu déçu... Ça partait bien, c'était clair, mais j'avoue que je vous ai perdu à l'analogie avec les suites géométriques... Dommage, un peu frustré du coup
Je disais seulement que les suites géométriques sont les suites récurrentes linéaires d'ordre 1. Si tu te souviens encore de l'endroit où tu as décroché dans cette vidéo (timestamp), n'hésite pas à l'indiquer, je pourrai sûrement te faire raccrocher les wagons 🚂 !
![[EM#4] Théorème de la limite monotone (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/Knj8SNV5NPc/mqdefault.jpg)
![[EM#4] Théorème de la limite monotone (Démonstration)](/img/tr.png)
![[EM#2] Suites arithmético-géométriques (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/WvkpPC6vLFA/mqdefault.jpg)
![[EM#10] Identité de Vandermonde (Démonstration)](/img/n.gif)
Cher spectateur, salutations !
Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis:
📘 Les principes d'une année réussie:
amzn.to/33RoTUH
📗 Le petit manuel de la khôlle:
amzn.to/35AeFZ9
Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [75/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne.
🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''):
th-cam.com/video/7ywKEsQCwpE/w-d-xo.html
Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire.
📧 Contact: contact@oljen.fr
🌞 Bonne écoute !
Je vous remercie pour vos vidéos, c'est bien de faire des mathématiques, mais proposer de tels concpets avec une telle clarté ce n'est pas donné à tout le monde. Je vous encourage à garder cet esprit de proposer ces contenus avec une approche très méthodique et surtout de répondre à la fameuse question dont on se posait en cours de sup et spé : " mais d'où ca vient ?! "
Merci encore un vrai plaisir de vous suivre
Merci infiniment !
Je viens de découvrir cette vidéo et par la même occasion votre chaîne. C'est limpide, brillant. merci beaucoup pour vos explications, je sens que je vais dévorer vos vidéos afin de dépoussiérer mes souvenirs trop flous, et découvrir de nouvelles choses.
Bienvenue 😃 !
Merci beaucoup, j'espère que votre chaîne aura un jour l'attention qu'elle mérite. (J'y crois)
Merci bien ! Je vais faire tout ce que je peux pour que ce soit le cas dans les deux prochaines années. Et si ça ne fonctionne pas, je me dirai qu'au moins, j'aurai essayé.
@@oljenmaths votre chaîne est d'utilité publique, même si ça ne prend pas tout de suite. Elle permettra à des milliers d'étudiants chaque année de comprendre les maths, donc je pense que vous aurez toujours du succès sur youtube bien que cela prenne du temps.
C'est la raison précise pour laquelle je pense que je ne peux pas « rater ». Au pire, il restera toujours des centaines de vidéos de mathématiques qui serviront pendant des années. Et je ferai autre chose de ma vie, mais mon travail restera 👍🏻.
La chaîne est une mine d'or pour des étudiants en maths/sciences mais il est compréhensible que tout le monde ne s'y intéresse pas. De plus, les vidéos rentrent dans le détails des preuves rigoureuses et ne sont pas de "simples" illustrations de grandes idées comme sur 3blue1brown par exemple (qui reste une excellente chaîne, mais plus axée "divertissement").
Cela dit je souhaite aussi le succès de la chaîne !
Pourquoi si peu de vue ? Cest ultra travaillé et expliqué rien n es laissé au hasard bravo cest parfait
Merci pour ton commentaire ! La chaîne est toute nouvelle, donc mon travail n'est pas encore très bien référencé, d'où le faible nombre de vues :-).
Tlayme ouiii
Il faut partager pour que ça touche beaucoup de personnes.
+1 abonnement je pense que ta chaîne va sauver mes exams !! Merci beaucoup
VOUS ETE LE MEILLEUR ! CONTINUER COMME SA vous GEREZ!
Merci beaucoup pour cette vidéo qui est non seulement très ludique et structurée mais qui en plus a le bon goût de répondre à ma question ! xD
Un concours sauvé (enfin j'espère) de plus à votre palmarès ;)
J'ai cependant une petite question: dans le cas où b=0, en quoi la suite a0 = 1 et pour tout n non nul an = 0 vérifie-t-elle la relation de récurrence an+2 = a * an+1 (notamment lorsque a différent de 0) ? En effet, n'a-t'on pas ici affaire à un espace vectoriel de dimension 1 (en partie dû au fait que le premier terme conditionne les termes de la suite), ce qui fait que toutes les suites vérifiant cette relation seraient uniquement colinéaires à la suite géométrique classique ? :)
@@romaingerard3661 Merci beaucoup 🙏 ! Pour b = 0, les relations u_{n+2} = a*u_{n+1} sont u2 = a*u1, u3 = a*u_2, etc. Nulle question de u0 là-dedans: ce terme peut être choisi comme on veut. Si l'on ajoute le choix de u1, alors là, oui, le choix de (u0,u1) détermine entièrement chaque élément de la suite. En réalité, on retrouve exactement le même isomorphisme d'espaces vectoriels que celui qui est présenté à 3:03 👨🏫.
@@oljenmaths Super merci ! ^^
Merci bcp ! ça m'aide énormément à comprendre les suites, mais ducoup aussi les solutions des équations différentielles d'ordre 2 !
Oui, cela fonctionne de la même manière 👍 !
Merci pour cette vidéo de qualité :)
Merci beaucoup ! Je suis ravi que cette antique vidéo puisse encore aider, j'espère avoir le temps de les refaire à l'avenir 😇.
Merci pour votre vidéo est très bien travaillé et très compréhensible, je vous remercie d'avoir aborder ce sujet étant en math sup notre prof nous a un peu sortie les formules de son chapeau et ça me perturbais de ne pas savoir d'où elles venaient, par chance avant de partir en vacances nous avons fais un premier chapitre sur les espaces vectoriels du coup maintenant je pense ressentir d'où viennent ces formules.
Merci beaucoup pour la vidéo
Je vous remercie bcp prof
Mathématiques et poésie.
Il fallait y penser !
11:06 , comment vérifier que (n+1)q^n appartient à S ? En utilisant le fait que q est racine double, je vois pas trop.. J'étais parti en me disant que ((n+1)q^n) = (nq^n + q^n)=(nq^n) + (q^n) somme de deux suites.
Ensuite si j'arrive à monter que (nq^n) appartient à S, comme S est stable par addition, on aura le résultat, mais j'y arrive pas!
La démarche qui consiste à démontrer que (nq^n) appartient à S fonctionne. Je suppose que tu as dû oublier d'utiliser l'un des éléments suivants:
🔹 q² = aq + b (q est une racine de X²-aX-b),
🔹 2q = a (q est racine double, donc aussi racine du polynôme dérivé 2X-a).
De plus, petit conseil générique:
🔸 pour démontrer que deux quantités sont égales, il est souvent pratique de démontrer que leur différence est nulle.
Je te laisse fouiller, mais si tu ne trouves pas en un temps raisonnable, réponds à ce commentaire et je te mettrai l'intégralité du calcul.
@@oljenmaths
q²=aq+b
2q= a
on multiplie l'égalité du haut par nq^(n) l'égalité du bas par q^(n+1), et on a :
nq^(n+2) = anq^(n+1) + bnq^(n)
2q^(n+2) = aq^(n+1)
On additionne ces deux égalités et on obtient :
(n+2)q^(n+2) = a(n+1)q^(n+1) + bnq^(n)
On en déduit que (nq^(n)) appartient à S.
C'est vraiment excellent
8:00 alors j'étais pas du tout prêt :')
Les 14 pouces rouges viennent probablement de là 🙃 !
Bonjour,
Tout d'abord merci pour votre travail de qualité ! J'ai du mal à comprend comment on peut être sûr que les suites géométriques de raison q1 et q2 ne sont pas colinéaire ( 9:08 ).
Salutations !
Considérons deux suites géométriques de raison a et b, distinctes, de même premier terme 1. Si elles étaient colinéaires, alors quitte à échanger les rôles de a et b, il existerait un réel λ tel que
(1,a,a²,...) = λ (1,b,b²,...)
En particulier, en regardant les deux premiers termes, on aurait λ = 1 et λ(a-b) = 0, c'est-à-dire λ = 0 = 1, ce qui est impossible. Et le tour est joué 🎩 !
@@oljenmaths Merci beaucoup !
c'est parfait....merci
super la démo; on peut aussi par un représentation matricielle de la suite, puis diagonalisation, calcul des vp etc... on obtient le même résultat non?
Oui, exactement 👍🏻. J'aime beaucoup le coup de la suite matricielle, l'idée est très belle : quitte à faire grossir la taille de l'objet manipulé, on peut faire baisser l'ordre de la relation de récurrence 👍🏻.
J'ai une question concernant le retrait du facteur "2i" dans le cas du discriminant strictement négatif. Cela fonctionne-t-il parce que l'on considère un C-espace vectoriel, et donc pour une suite (u), (2iu) et (u) sont colinéaires ?
Merci pour votre vidéo très claire et très engageante par ailleurs.
Oui, c'est très précisément cela. Le C-espace vectoriel engendré par (u) et (2iu) est le même 👍🏻. Merci pour les compliments sur la vidéo, c'était une vidéo de mes tous débuts sur TH-cam 😅!
Bonsoir . puis-je demontrer plus facilement le cas où a=b=1 (on a pas encore fait ce cours cependant le professeur nous a demander de la demontrer . j'imagine donc ne pas forcement avoir a utiliser les démonstrations d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 tel que vous avez expliqué dans la video )
Bonsoir. En réalité, si vous n'avez pas encore fait le cours là-dessus, cela reste assez difficile. Vous pouvez par exemple prendre le résultat que je propose, celui du cours que vous allez faire, et procéder par récurrence double pour démontrer que vous avez la bonne suite :-).
Sans l'équation caractéristique de la récurrence linéaire, je connais aussi une démonstration avec une récurrence double, mais ça reste relativement ardu. Quoiqu'il en soit, le cas a=b=1 fait penser à la suite de Fibonacci, peut-être trouverez-vous dans cette direction là.
Merci , je pense que je vais faire ça . le but du devoir etait surement de faire des recherches apres tout . Bonne continuation ^^
Merci, bon courage !
et pour les suites récurrentes d'ordre 1 il y a une video ?
Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 sont tout simplement les suites géométriques. Je n'ai pas fait de vidéos là-dessus, mais comme ça relève des compétences vues au lycée, il y en a sûrement des tas ailleurs sur TH-cam 😉.
Je vous decouvre depuis peu et à chaque fois que je commence une de vos vidéos, je ne peux m'arrêter.
Vos élèves ont de la chance de vous avoir !
Par curiosité : combien de temps a nécessité cette vidéo par exemple ?
On ne se rend pas compte du travail derrière chaque vidéo
Merci beaucoup 🙏🏻! À l'époque de cette vidéo, il me fallait à peu près 20 fois le temps de la vidéo pour réaliser une vidéo. Je suppose qu'il m'a donc fallu ~6/7h de travail. Aujourd'hui, la qualité de production est montée considérablement et je suis plutôt autour de 60 fois le temps de la vidéo quand tout se passe bien. L'investissement est conséquent mais ça vaut le coup: les vidéos sont vues des milliers de fois, après tout !
Bonjour, si l'on parle de structure d'espace vectoriel, ne doit-on pas préciser les différentes lois ?
Lorsque la notion d'espace vectoriel vient d'être introduite, il convient de préciser systématiquement les lois 👍🏻. Cela dit, avec l'usage, dans des situations usuelles, on ne le fait plus.
Juste une question, pour le cas du discriminant négatif mais où la suite est a valeur réelles , comment on montre que les formes trouvées cets l’ensemble des solutions et qu’il en manque pas , puisque tout combinaison linéaire vérifie , alors pourquoi on ne s’arrêterait pas uniquement à la somme des des (r1)^n (r2) ^n ? Cets une combinaison linéaire , mais alors on aurait que le terme en cosinus il manquerait la partie en sinus et on aurait pas l’ensemble des solutions , donc comment savoir quand on s’arrêter pour avoir une solution « globale » sans oublier des formes de solutions ?
Si je fais un résumé des grandes étapes, dans le cas du discriminant négatif pour une suite à valeurs réelles:
👉🏻 La recherche de solutions particulières grâce aux suites géométriques ne donne rien (dans R).
👉🏻 En étendant cette recherche dans C, on obtient des solutions qui sont des suites à valeurs dans C, mais cela ne répond pas à la question puisque les suites géométriques produites ne sont pas à valeurs réelles.
👉🏻 En considérant des combinaisons linéaires des suites précédentes, on récupère deux suites à valeurs réelles qui vérifient la relation de récurrence.
Et à partir de là, c'est comme dans les cas précédents: on démontre que ces deux suites forment une famille libre, et comme l'espace vectoriel des solutions est de dimension 2, l'espace vectoriel engendré par ces deux suites est égal à l'ensemble des solutions, c'est-à-dire que toute suite qui vérifie la relation de récurrence peut être exprimée comme combinaison linéaire de nos deux suites à valeurs réelles.
Est-ce que cela répond à votre question, ou bien ai-je tapé « à côté » 😇 ?
Salut merci bcp pour ton travail tout est super bien expliqué. Juste un petit truc qui me laisse perplexe : dans le cas où Δ < 0 , l'expression q est de la forme ρe^iθ. Tu as dis que ρ et θ sont des réels ( ρ >0 ) mais si θ est un multiple de π, dans ce cas q serait réel et donc ne pourrait pas être solution de l'équation caractéristique non ?
J'ai peut-être tenu un discours un peu embrouillé, mais deux ans et demie après la publication de cette émission, voilà que l'occasion se présente de le clarifier.
🔹 Si Δ < 0, chercher un q réel est inutile: il n'en existe pas (l'équation caractéristique n'a aucune solution réelle). Effectivement, θ = π n'adviendra donc jamais, par exemple.
🔹 Je choisis donc, à tout hasard, d'examiner les suites complexes qui vérifieraient la relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Naturellement, je tombe sur des suites complexes.
🔹 En réalisant une petite manipulation (somme et différence), je parviens, retournement de situation, à récupérer deux suites /réelles/ qui conviennent (!).
Bonjour merci pour les vidéos. Peut-on connaitre l'outil utilisé pour les présentations?
✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY
📝 Enregistrement vidéo: Camtasia + Photoshop.
🎧 Enregistrement son: Audacity.
🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.
Bonjour Monsieur, je vous remercie pour votre travail élégant et précis. Je me rends peu à peu compte que cette notion d'équation caractéristique se rencontre dans des domaines qui semblent relativement éloignés. Je pense comprendre la structure d'espace vectoriel de dimension 2 implique que tout élément de cet espace peu être écrit comme une combinaison linéaire de 2 vecteurs. Cependant le fait que ces équations resurgissent "magiquement" dans des théories aussi éloignées m'échappe.
Bonjour Nathan !
Je suppose que tu fais référence, lorsque tu parles de domaines éloignés, aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et aux équations différentielles, aussi linéaires d'ordre 2, sans second membre, qu'on rencontre entre autres dans cette émission:
🎬 [UT#46] Introduction aux espaces vectoriels - th-cam.com/video/2BMlHEQXjLA/w-d-xo.html
Comme tu le dis, non seulement on dispose d'une structure d'espace vectoriel de dimension deux dans chacun des cas, mais en plus, le couple (u0,u1) pour les suites joue, en quelque sorte, le même rôle que (f(0),f'(0)) pour les fonctions.
En réalité, si tu veux vraiment comprendre pourquoi les équations caractéristiques sont les mêmes, il faut pousser un peu plus loin. Les équations u_{n+2} = au_{n+1} + u_n et f'' = af' + bf peuvent s'écrire matriciellement à l'aide de la même matrice 2 x 2. Tu peux regarder t'inspirer, par exemple, de la question 1 de la partie I du document ci-dessous:
📜 cutt.ly/Otmn3ES
Et si tu veux commencer à comprendre la magie, il ne te reste plus qu'à calculer le polynôme caractéristique de cette matrice (et tu comprendras d'ailleurs d'où vient le mot).
Øljen - Les maths en finesse Merci beaucoup Monsieur!
En essayant de dénombrer le nombre de façon de faire un score n au rugby, je tombe sur l'étude de la suite : u(n) = u(n-3)+u(n-5)+u(n-7) (avec u(0) = 1 et pour tout n < 0 u(n) = 0 (autrement dit les premiers termes sont : 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) j'ai donc penser aux suites récurrentes linéaires pour essayer de trouver une formule explicite, le problème c'est que je ne sais pas trouver les racines d'un polynôme du 7eme degré... Je sais que dans le cas général on ne peux pas trouver les racines d'un polynôme du 7eme degré, mais vu que celui la comporte plein coefficients nuls, peut-être que c'est pas impossible, est-ce que c'est possible d'avoir de l'aide sur ce problème ?
L'approche paraît assez musclée, raison pour laquelle il me vient en tête une approche qui l'est tout autant : utiliser un ordinateur pour calculer les racines en valeurs approchées et voir si on se fait punir pour cela 🤣. Plus sérieusement, s'il n'y a pas de racines évidentes, l'entreprise est compromise et c'est sans doute un autre outil qu'il est souhaitable d'utiliser. Et là, difficile d'y voir clair… peut-être chercher du côté des nombres de Catalan pour s'inspirer 🔎 ?
@@oljenmaths Oui, j'ai déjà essayer cette approche, mais elle ne satisfait pas l'examinateur (moi même). Du coup, je me demande dans quels cas une équation d'un degré >= 5 est résolvable ?
J'ai du mal à voir le lien avec les nombres de Catalan, c'est bien la suite des n parmi 2n - n+1 parmi 2n ? si c'est le cas je ne vois pas le rapport, sinon, je ne connais pas les nombres de catalan
@@vinceguemat3751 Pour les équations de degré >=5, je sais seulement qu'il n'existe aucune méthode qui permet de traiter le cas général (contrairement à la méthode de Cardan et Ferrari pour les degrés 3 et 4).
Quant aux nombres de Catalan, après recherche, il semble que je me sois craqué. J'ai confondu avec le concept de « partitions d'un entier » auquel j'ai pensé en vous lisant :
fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier
Bonsoir Mr s'il vous plait j'aimerais savoir s'il existe des suites géométriques dans l'ensemble des suites de FIBONACCI à l'exception de la suite nulle?
Précisément: la suite de Fibonnaci est unique, déterminée par ses deux premiers termes et par la fameuse relation de récurrence d'ordre 2. Si l'on oublie les deux premiers termes, et que l'on se concentre uniquement sur la relation de récurrence, il n'y a que deux familles de suites géométriques qui vérifient cette relation:
- Les multiples de la suite (ϕ^n), où ϕ est le nombre d'or.
- Les multiples de la suite (ς^n), où ς est (1-\sqrt{5})/2.
merci.
Salut :)
Ou alors dans le cas où le discriminant de l'équation caractéristique est strictement négatif on fait le même raisonnement avec les suites complexes et du coup on aura toujours des solutions qui fourniront des suites géométriques non colineaires et dans S non ? :)
D'ailleurs on peut même le faire dès le début non ?
Cordialement
Ps : merci pour cette vidéo !
Salutations ! Si on travaille avec des suites complexes, il n'y a finalement que deux cas à traiter: discriminant nul, et non nul. Dans le cadre de cette vidéo, j'ai choisi de me concentrer sur les suites réelles, et l'approche des deux suites géométriques non colinéaires pose un léger problème dans la mesure où les suites qu'on obtient ne sont pas à valeurs réelles. Heureusement, un joyeux trafic basé sur la formule d'Euler nous permet de récupérer deux suites réelles non colinéaires: nous triomphons dans la gloire 👑 !
@@oljenmaths
Yep je comprends :)
Après loin de moi l'idée de critiquer cette approche, je suis un matheux passionné mais concernant la rapidité du calcul, est-ce si rentable que ça pour Fibonacchi d'avoir l'expression algébrique exacte avec le calcul d'une puissance à faire avec des racines, simplification, etc plutôt que de faire "simplement" le calcul récursif ?
Cordialement
@@Aroux1930 Je n'ai pas fait les calculs, mais je ne pense pas me tromper en disant que la complexité d'un calcul récursif est bien moindre que celle d'un calcul à partir d'une expression explicite. L'expression explicite fait intervenir des multiplications, ce qui est très gourmand, alors que l'expression récurrente ne fait intervenir que des additions.
@@oljenmaths Yep je pense aussi et même à la main je pense que les deux binômes à développer doivent pas être tous mignons...
Excellente vidéo, très claire et complète.
Une petite question au passage : Que faire si la suite en question se présente sous la forme u_n+2 = au_n+1 + bu_n + c ? Peut-on encore traiter cette suite comme récurrente linéaire ? Je ne sais vraiment pas quoi faire de mon troisième coefficient !
Une telle suite s'appellerait "suite récurrente linéaire avec second membre". Pour trouver l'ensemble des suites qui vérifient l'équation u_n+2 = au_n+1 + bu_n + c (E), on procède comme suit:
🔹 On détermine l'ensemble des suites telles que u_n+2 = au_n+1 + bu_n (H).
🔹 On trouve une suite particulière, disons v, solution de l'équation (E).
🔹 On dit (ou on démontre), que l'ensemble des suites vérifiant (E) est l'ensemble des suites qui s'écrivent comme la somme de v, et d'une suite qui vérifie (H).
Si tu connais la théorie des équations différentielles, c'est le même système: pour résoudre une équation avec second membre, on résout l'équation homogène (sans second membre), auquel on ajoute une solution particulière.
@@oljenmaths Merci beaucoup pour cette réponse rapide ! J'avais effectivement déjà vu passer le nom de ce type de suites au cours de mes recherches sans pour autant faire le lien avec mon problème. :/ J'avais réussi à reformuler mon expression sous la forme d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3 mais l'expression générale donnait des résultats très peu précis pour de grandes valeurs. Je crois malheureusement qu'il est toujours un peu délicat de généraliser sur quelques termes... En tout cas, ça m'a l'air parfait pour ce que je cherche, dès que j'aurai l'occasion je m'y attèle !
En effet, la méthode fonctionne à merveille ! Le seul souci, c'est que j'obtiens là aussi une expression générale peu précise.. Je réalise avoir simplifié un peu hâtivement mon expression de départ. C'est également une suite récurrente d'ordre 2, mais avec des exposants. Je n'ai aucune idée de comment en trouver un polynôme caractéristique. Existe-t-il des méthodes (comme un changement de variable par exemple) qui pourraient me permettre de gérer une suite de ce type ?
@@marchenwald4666 Mmmh... qu'entends-tu par "mais avec des exposants" ? Est-il possible que ta suite ne soit pas une vraie suite récurrente linéaire d'ordre 2 ? Dans ce cas, effectivement, il serait peut-être possible d'introduire une suite auxiliaire qui, elle, pourrait vérifier une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
Quoiqu'il en soit, l'expression générale obtenue a le mérite d'exister, mais peut tout à fait être une horreur absolue. L'exemple typique est la suite de Fibonacci, dont l'expression explicite, qui fait apparaître des radicaux, est bien loin de refléter la simplicité apparente de la relation de récurrence qu'elle vérifie (que tu peux retrouver sur le site de Serge Mehl avec le lien ci-dessous).
🔗 La formule de Binet - cutt.ly/OgWh987
@@oljenmaths Par "exposants" j'entends, par exemple, une expression du type u(n+2)² = u(n+1)*u(n) ; une expression dans laquelle les termes de la suites se multiplient entre eux.
J'ai comme l'intuition que l'expression générale de ma suite est possiblement une de ces horreurs dont vous parlez. En l’occurrence, ma relation de récurrence présente une racine carré. Toutefois, ce qui est troublant et me fait penser qu'il serait peut-être possible de récrire différemment cette expression est le comportement de ma suite, malgré la présence de cette racine carré. En effet, tous les termes de la suite, aussi loin qu'il m'ait été possible de les calculer (15 termes) appartiennent aux entiers naturels en dépit de la présence de cette racine. De plus, ma suite croît assez rapidement, et même lorsqu'un nombre à 10 ordres de grandeur se trouve sous ma racine, il s'agit toujours d'un carré parfait !
J'ai bien entendu essayé de faire disparaitre ma racine en remaniant les termes, mais j'aboutis à une expression longue comme le bras avec encore davantage d'exposants..
Dans tous les cas, merci mille fois pour votre temps ! J'y vois désormais un peu plus clair.
Masterclass
comment avez-vous défini la suite géométrique dérivée par (n+1)q**n ?
C'est juste un décalage d'indice de la suite nq^{n-1}, qu'on peut appeler suite géométrique dérivée.
@@oljenmaths merci
@@oljenmaths salut, c'était quoi l'intérêt de changer l'indice ? pourquoi ne pas laisser nq^(n-1) ? merci pour tes vidéos (:
@@mevan8825 Franchement, deux ans après avoir réalisé cette émission, je n'y vois absolument aucun intérêt 🤣 ! Je pense qu'à l'époque, je préférais éviter les q^{n-1} en raison des conflits potentiels qu'ils posent pour n = 0, où l'on se retrouve avec un q au dénominateur sans vraiment s'en rendre compte. Mais ici, comme cette quantité est multipliée par n, il n'y aurait aucun problème de toute manière. Aujourd'hui, je vote pour nq^{n-1} !
Un peu déçu... Ça partait bien, c'était clair, mais j'avoue que je vous ai perdu à l'analogie avec les suites géométriques... Dommage, un peu frustré du coup
Je disais seulement que les suites géométriques sont les suites récurrentes linéaires d'ordre 1. Si tu te souviens encore de l'endroit où tu as décroché dans cette vidéo (timestamp), n'hésite pas à l'indiquer, je pourrai sûrement te faire raccrocher les wagons 🚂 !