Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [77/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): th-cam.com/video/7ywKEsQCwpE/w-d-xo.html Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: contact@oljen.fr 🌞 Bonne écoute !
Merci beaucoup, en fait je viens de trouver sur internet, que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle même convergente, ainsi un espace métrique compact est complet.
En l'état, je n'ai réalisé aucun raisonnement par l'absurde, mais on aurait pu, par exemple pour supposer l'existence de deux limites différentes et montrer qu'il y a un problème !
super vidéo très bien expliqué, juste quelque chose, comment tu passes de valeurs absolue de l - Un + Un - l(prime) à valeur absolue de Un - l + valeur absolue de Un - lprime dans la première démonstration?
C'est juste l'inégalité triangulaire, qui dit que |a+b| est plus petit que |a| + |b|. J'applique cette propriété avec a = l-un et b = un-l', sans oublier que la valeur absolue d'un nombre, c'est la même que celle de son opposé 👍🏻.
merci beaucoup pour cette vidéo, je voudrai savoir comment on montre qu'un compact est complet, comment on montre que toute suite de Cauchy est convergente dans un compact?
Difficile de répondre en commentaire, mais l'idée qui me vient, ce serait d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass pour extraire une sous-suite convergente de la suite de Cauchy, puis d'utiliser l'inégalité triangulaire pour conclure 😇.
Bonsoir merci pour cette vidéo, je me questionne sur quelque chose concernant le point b, comment une suite peut à la fois converger vers l à partir d'un rang n0 et avoir un terme avant n0 qui est potentiellement supérieur à l, ça ne pose pas de problème ?
Bonjour ! En fait, la convergence d'une suite est définie par une phrase logique comme « tous les termes de la suite sont aussi proches que je veux de la limite pourvu que je les considère à partir d'un rang assez grand ». Ainsi, considérons une suite qui aurait 10 000 termes complètement fous, puis ensuite, que des termes nuls. Cette suite convergerait allègrement vers 0, peu importe ce qu'il s'est passé « avant n0 ».
Quant au point b., il me semble justement suggérer une disjonction de cas à 5:51. Pour majorer |u(n)|, je distingue les cas des premiers termes de la suite (jusqu'à n0 : ils sont en nombre fini), et le cas des termes « assez proches de la limite ».
Pour l’affirmation suivante “Si une suite est croissante et admet une limite finie alors elle est nécessairement bornée” comment peut-on la démontrer plus simplement?
On devrait juste pouvoir expliquer que tous les termes de la suite sont encadrés par le premier terme d'un côté (immédiat), et la limite de l'autre (presque immédiat) 👍🏻.
monsieur .. POUR la deuxiéme démonstration si on utilise la définition de la limite d'une suite et on enleve la valeur absolue on trouve Un inférier à l+epsilon et supérieur à l-epsilon '' ALORS Un est bornée cela est correcte ???
C'est une démonstration partielle qui reprend l'idée de 5:10. Ce que tu me dis, c'est que pour un certain ϵ, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont compris entre l-ϵ et l+ϵ. Ainsi, à partir d'un certain rang, la suite est bornée. Il te reste à montrer que la suite tout court est bornée, mais tu as fait le plus dur.
Bravo et merci. Je voudrais juste signaler un petit problème de notation: le M utilisé dans le premier point de la démonstration b (max(|u.1| ... |u.n-1|) n'est pas le même que celui utilisé dans le deuxième point de cette même démonstration (majorant de (|u.n - l|)).
Merci 🙏🏻! Effectivement, ça ne pose pas problème ici, mais c'est jeter une peau de banane par terre que d'utiliser deux fois la même lettre pour deux choses différentes: celui qui trébuche dessus dans ces circonstances ne pourra s'en prendre qu'à lui-même. J'en tiendrai compte lorsque je referai cette antique vidéo !
alors dans mon cours j'avais pas compris l'étape comme vous l'avez dit "d'ajouter, retrancher" pour faire apparaitre Un Et dcp j'ai toujours pas compris ce qu'est "ajouter, retrancher"
Ce n'est rien de plus que ce que signifient ces deux verbes. Si j'ajoute 100€ à ton compte en banque puis que je les retranche, tu auras réalisé un bénéfice net de 0€. Après, tu peux te demander l'intérêt de te donner 100€ si c'est pour te les reprendre instantanément. En l'occurrence, cette opération, consistant à écrire l-l' comme l+un-un+l', permet dans ce contexte d'utiliser l'inégalité triangulaire 👍🏻.
Dans le système que j'achève d'écrire à 2:08, il y a, en bout de piste, deux inégalités. Afin de poursuivre le raisonnement, j'aimerais utiliser les deux en même temps. Comme l'une est vraie pour n plus grand que n1, et l'autre pour n plus grand que n2, je suis sûr qu'en prenant n plus grand que max{n1,n2}, elles sont toutes deux vraies.
Il serait étonnant qu'un professeur cherche des crosses sur cette affaire. C'est vraiment un point fondamental des mathématiques: chaque domaine possède sa manière de démontrer que deux objets sont égaux. Voici quelques exemple: 🔹 En arithmétique, deux entiers naturels non nuls a et b sont égaux si et seulement si a divise b et que b divise a. 🔹 En algèbre bilinéaire, deux vecteurs a et b sont égaux si et seulement si ||a-b|| = 0. 🔹 En analyse, deux réels a et b sont égaux si et seulement si |a-b| < eps, et cela pour tout eps strictement positif. Pour démontrer le dernier point, je te propose de passer par la négation, c'est assez simple. N'hésite pas à demander de l'aide si tu n'y parviens pas.
@@mevan8825 La première est bonne. Quant à la deuxième, tu peux juste choisir epsilon qui vaut |a-b|/2, c'est-à-dire la moitié de la distance entre a et b.
Bonjour, Je ne comprends pas la propriété suivante : Si pour tout e > 0 on a | l - l' | < e alors l - l' = 0 Pour moi cela veut juste dire que l - l' est aussi petit que l'on veut. Mais pas forcément nul.. Par exemple dans la définition de la convergence d'une suite Un en un réel l on a : Pour tout e > 0, il existe un certain rang à partir duquel : | Un - l | < e Mais ça ne veut pas dire qu'au bout d'un certain rang : Un - l = 0 vu que la suite n'atteindra jamais sa limite. Cette définition veut simplement dire que la suite sera aussi proche que l'on veut de sa limite l
Bonjour ! Ah, c'est une belle embrouille, je pourrais peut-être même en faire une émission ! 🔹 Considérons la propriété suivante: pour tout e>0, |a|0, il existe un rang *qui dépend de e* à partir duquel |un-l| < e. Par conséquent, le raisonnement que je fais plus haut ne tient plus. Par exemple, |u_10000 - l| est peut-être plus petit que 0.01, mais je ne peux pas forcément dire qu'il est aussi plus petit qu'un milliardième. Peut-être qu'il faut attendre u_1000000 pour avoir une différence aussi petite. Si une autre question t'est venue en lisant ces paragraphes, je t'invite à la poser tout de suite (avant de t'embrouiller avec la suite de ma réponse). Sinon, je t'invite à regarder l'émission ci-dessous, je pense qu'il y a quelque chose d'assez subtil que tu pourrais comprendre en faisant cela: 🎥 [ETI#4] Limite ponctuelle d'une suite de fonctions continues - th-cam.com/video/8jhV6Wl8bos/w-d-xo.html
![[EM#6] Sommes d'entiers, de carrés et de cubes d'entiers (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/Ebe1Nb9EAtc/mqdefault.jpg)
![[EM#6] Sommes d'entiers, de carrés et de cubes d'entiers (Démonstration)](/img/tr.png)
![[EM#16] Suites adjacentes | Théorème des segments emboîtés (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/kJfGmfPTOfw/mqdefault.jpg)
![[EM#23] Théorème des valeurs intermédiaires (Démonstration)](/img/n.gif)
Cher spectateur, salutations !
Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis:
📘 Les principes d'une année réussie:
amzn.to/33RoTUH
📗 Le petit manuel de la khôlle:
amzn.to/35AeFZ9
Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [77/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne.
🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''):
th-cam.com/video/7ywKEsQCwpE/w-d-xo.html
Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire.
📧 Contact: contact@oljen.fr
🌞 Bonne écoute !
Merciiiiiiiii infiniment
Merci beaucoup, en fait je viens de trouver sur internet, que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle même convergente, ainsi un espace métrique compact est complet.
merci beaucoup pour cette vidéo. peut-on dire que nous avons démontrer par l'absurde pour les deux cas ou cela a un nom différent?
En l'état, je n'ai réalisé aucun raisonnement par l'absurde, mais on aurait pu, par exemple pour supposer l'existence de deux limites différentes et montrer qu'il y a un problème !
Tu utilises quel logiciel ou application pour écrire . J’aime bien ta chaîne
C'est un savant mélange de logiciels, en réalité:
✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY
📝 Enregistrement vidéo: Camtasia + Photoshop.
🎧 Enregistrement son: Audacity.
🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.
@@oljenmaths magnifique écriture alors !
super vidéo très bien expliqué, juste quelque chose, comment tu passes de valeurs absolue de l - Un + Un - l(prime) à valeur absolue de Un - l + valeur absolue de Un - lprime dans la première démonstration?
C'est juste l'inégalité triangulaire, qui dit que |a+b| est plus petit que |a| + |b|. J'applique cette propriété avec a = l-un et b = un-l', sans oublier que la valeur absolue d'un nombre, c'est la même que celle de son opposé 👍🏻.
merci beaucoup pour cette vidéo, je voudrai savoir comment on montre qu'un compact est complet, comment on montre que toute suite de Cauchy est convergente dans un compact?
Difficile de répondre en commentaire, mais l'idée qui me vient, ce serait d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass pour extraire une sous-suite convergente de la suite de Cauchy, puis d'utiliser l'inégalité triangulaire pour conclure 😇.
Bonsoir merci pour cette vidéo, je me questionne sur quelque chose concernant le point b, comment une suite peut à la fois converger vers l à partir d'un rang n0 et avoir un terme avant n0 qui est potentiellement supérieur à l, ça ne pose pas de problème ?
Et deuxième question, à la démonstration du point b pourquoi lors de la démonstration du cas général, on ne procède plus par disjonction de cas ?
Bonjour ! En fait, la convergence d'une suite est définie par une phrase logique comme « tous les termes de la suite sont aussi proches que je veux de la limite pourvu que je les considère à partir d'un rang assez grand ». Ainsi, considérons une suite qui aurait 10 000 termes complètement fous, puis ensuite, que des termes nuls. Cette suite convergerait allègrement vers 0, peu importe ce qu'il s'est passé « avant n0 ».
Quant au point b., il me semble justement suggérer une disjonction de cas à 5:51. Pour majorer |u(n)|, je distingue les cas des premiers termes de la suite (jusqu'à n0 : ils sont en nombre fini), et le cas des termes « assez proches de la limite ».
@@oljenmaths merci pour votre réponse, j’avais raisonné sur la suite comme si c’était une fonction continue.
@@oljenmaths merci beaucoup
merciii ....que tu me conseille ? monsieur je suis trés faible dans ce qui concerne les démonstrations
Pour les démonstrations, je te conseille d'écouter cette vidéo:
th-cam.com/video/w4JnhI8u-Y4/w-d-xo.html
Après, il faut s'exercer :-) !
Pour l’affirmation suivante “Si une suite est croissante et admet une limite finie alors elle est nécessairement bornée” comment peut-on la démontrer plus simplement?
On devrait juste pouvoir expliquer que tous les termes de la suite sont encadrés par le premier terme d'un côté (immédiat), et la limite de l'autre (presque immédiat) 👍🏻.
monsieur .. POUR la deuxiéme démonstration si on utilise la définition de la limite d'une suite et on enleve la valeur absolue on trouve Un inférier à l+epsilon et supérieur à l-epsilon '' ALORS Un est bornée cela est correcte ???
C'est une démonstration partielle qui reprend l'idée de 5:10. Ce que tu me dis, c'est que pour un certain ϵ, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont compris entre l-ϵ et l+ϵ. Ainsi, à partir d'un certain rang, la suite est bornée. Il te reste à montrer que la suite tout court est bornée, mais tu as fait le plus dur.
Bravo et merci. Je voudrais juste signaler un petit problème de notation: le M utilisé dans le premier point de la démonstration b (max(|u.1| ... |u.n-1|) n'est pas le même que celui utilisé dans le deuxième point de cette même démonstration (majorant de (|u.n - l|)).
Merci 🙏🏻! Effectivement, ça ne pose pas problème ici, mais c'est jeter une peau de banane par terre que d'utiliser deux fois la même lettre pour deux choses différentes: celui qui trébuche dessus dans ces circonstances ne pourra s'en prendre qu'à lui-même. J'en tiendrai compte lorsque je referai cette antique vidéo !
alors dans mon cours j'avais pas compris l'étape comme vous l'avez dit "d'ajouter, retrancher" pour faire apparaitre Un
Et dcp j'ai toujours pas compris ce qu'est "ajouter, retrancher"
Ce n'est rien de plus que ce que signifient ces deux verbes. Si j'ajoute 100€ à ton compte en banque puis que je les retranche, tu auras réalisé un bénéfice net de 0€. Après, tu peux te demander l'intérêt de te donner 100€ si c'est pour te les reprendre instantanément. En l'occurrence, cette opération, consistant à écrire l-l' comme l+un-un+l', permet dans ce contexte d'utiliser l'inégalité triangulaire 👍🏻.
@@oljenmaths D'accord merci, d'ailleurs super vidéo ça m'aide bien même dans le supérieur 👌
Je n'ai pas très bien compris pourquoi vous avez poser n0=max{n1,n2} c'est pour quelle raison?
Merci pour vos efforts.
Dans le système que j'achève d'écrire à 2:08, il y a, en bout de piste, deux inégalités. Afin de poursuivre le raisonnement, j'aimerais utiliser les deux en même temps. Comme l'une est vraie pour n plus grand que n1, et l'autre pour n plus grand que n2, je suis sûr qu'en prenant n plus grand que max{n1,n2}, elles sont toutes deux vraies.
@@oljenmaths C'est plus clair maintenant!
Merci!
J'ai un peu du mal avec le fait que pr tout ε>0, |l-l'|
Il serait étonnant qu'un professeur cherche des crosses sur cette affaire. C'est vraiment un point fondamental des mathématiques: chaque domaine possède sa manière de démontrer que deux objets sont égaux. Voici quelques exemple:
🔹 En arithmétique, deux entiers naturels non nuls a et b sont égaux si et seulement si a divise b et que b divise a.
🔹 En algèbre bilinéaire, deux vecteurs a et b sont égaux si et seulement si ||a-b|| = 0.
🔹 En analyse, deux réels a et b sont égaux si et seulement si |a-b| < eps, et cela pour tout eps strictement positif.
Pour démontrer le dernier point, je te propose de passer par la négation, c'est assez simple. N'hésite pas à demander de l'aide si tu n'y parviens pas.
@@oljenmaths
0 tq |a-b| > Ԑ si a = b, on a 0 > eps, absurde, donc a≠b
=>si a≠b, et a
@@mevan8825 La première est bonne. Quant à la deuxième, tu peux juste choisir epsilon qui vaut |a-b|/2, c'est-à-dire la moitié de la distance entre a et b.
Bonjour,
Je ne comprends pas la propriété suivante :
Si pour tout e > 0 on a
| l - l' | < e alors l - l' = 0
Pour moi cela veut juste dire que l - l' est aussi petit que l'on veut. Mais pas forcément nul..
Par exemple dans la définition de la convergence d'une suite Un en un réel l on a :
Pour tout e > 0, il existe un certain rang à partir duquel :
| Un - l | < e
Mais ça ne veut pas dire qu'au bout d'un certain rang : Un - l = 0 vu que la suite n'atteindra jamais sa limite. Cette définition veut simplement dire que la suite sera aussi proche que l'on veut de sa limite l
Bonjour ! Ah, c'est une belle embrouille, je pourrais peut-être même en faire une émission !
🔹 Considérons la propriété suivante: pour tout e>0, |a|0, il existe un rang *qui dépend de e* à partir duquel |un-l| < e. Par conséquent, le raisonnement que je fais plus haut ne tient plus. Par exemple, |u_10000 - l| est peut-être plus petit que 0.01, mais je ne peux pas forcément dire qu'il est aussi plus petit qu'un milliardième. Peut-être qu'il faut attendre u_1000000 pour avoir une différence aussi petite.
Si une autre question t'est venue en lisant ces paragraphes, je t'invite à la poser tout de suite (avant de t'embrouiller avec la suite de ma réponse). Sinon, je t'invite à regarder l'émission ci-dessous, je pense qu'il y a quelque chose d'assez subtil que tu pourrais comprendre en faisant cela:
🎥 [ETI#4] Limite ponctuelle d'une suite de fonctions continues - th-cam.com/video/8jhV6Wl8bos/w-d-xo.html
@@oljenmaths Votre réponse est très clair merci beaucoup ! Je vais de ce pas regarder votre autre vidéo
C'est quoi epsilon?
C'est un symbole que les mathématiciens utilisent pour désigner, généralement, une petite quantité réelle (strictement) positive.