Ich bin zwar ab unendlich vielen Bussen mit unendlich vielen Personen nicht mehr mitgekommen, aber ich bin mir sicher, dass selbst ich das noch verstehen werde, wenn ich mir deinen Film noch unendlich viele Male ansehe.
Nunja, die Erklärung wurde nicht geliefert... Es gibt für unendliche Busse mehrere Möglichkeiten. Beispielsweise kann jeder bereits ansässige Gast seine Zimmernummer verdoppeln, was dazu führt, dass die ungeraden Zimmer frei sind. Und dann kann der erste Bus seine n Gäste in der Form 3^n schicken (3, 9, 27...), der zweite Bus seine Gäste in die 5^n (5, 25, 125...), der dritte in die 7^n (7, 49, 343...), und so alle ungeraden Zahlen durchmachen. Das hätte zur Folge, dass dann sogar noch unendlich Zimmer frei sind, nämlich die ungeraden Zimmer, die keine Potenz einer ungeraden Zahl sind (beispielsweise 15). Eine andere Möglichkeit wäre, die ansässigen Gäste in die ungeraden Zimmer ziehen zu lassen: Gast n -> 2n-1, und dann jeden Insassen des n-ten Busses in das Zimmer gehen, das teilbar durch 2^n, aber nicht teilbar durch 2^(n+1) ist. Da wären alle Zimmer belegt. Also Gast 1 aus Bus 1 in Zimmer 2 (2^1), Gast 1 aus Bus 2 in Zimmer 4 (2^2), Gast 2 aus Bus 1 in die 6 (3*2^1), Gast 1 aus Bus 3 in Zimmer 8 (2^3), Gast 3 aus Bus 1 in Zimmer 10 (5*2^1), Gast 2 aus Bus 2 in die 12 (3*2^2), Gast 4 aus Bus 1 in die 14 (7*2^1), Gast 1 aus Bus 4 in die 16 (2^4)... und so weiter... Das hier dargestellte Verfahren, das Cantorsche Diagonalverfahren, ist eine dritte Möglichkeit, aber, wie gesagt, nicht die einzige. Die hier dargestellte Bijektion ist, dass also jedes zweite Zimmer frei gemacht wird, und dann das Verfahren entsprechend abgearbeitet wird, wie ab 4:42 dargestellt, und dann die freigewordenen Zimmer entsprechend der Reihe des Verfahrens abgearbeitet werden.
Ich frag mich echt, wie du es hin bekommst, so viele geniale Videos zu machen. Für einen Vortrag in der Schule oder so, der nur ansatzweise so gut komplizierten Inhalt einfach erklärt wie dieses Video beispielsweise, bräuchte ich schon mal Wochen... Du bist ein Naturtalent der Rhetorik und Veranschaulichung! :)
Wenn wir unendlich viele Leute auf so kleinem Raum haben ist der Sauerstoff unendlich schnell aufgebraucht und alle ersticken. Außerdem ist der Hotelbesitzer unendlich Reich und kann sich mal ein schönes Leben machen und das Hotel verglüht aufgrund von unendlicher Masse im Erdkern. So Problem gelöst ;)
@@trophyycsc4453 Im Gegensatz zu unendlich + unendlich = 2 x unendlich ist allerdings die Umkehrung unendlich - unendlich nicht möglich. Ganz einfach, weil unendlich kein konkreter Zahlenwert darstellt, genau wie der Begriff viel, den früher noch vor der Antike manche Völker gebrauchten. Würde man eine solche Rechenoperation zulassen, würde man bereits spätestens bei der Menge der natürlichen Zahlen auf Probleme stoßen, algegraischer Strukturen betreffend. Denn angenommen man würde unendlich - (unendlich + x) rechnen dann kämen u.U. negative Zahlen heraus und man würde nicht mehr in der Menge der natürlichen Zahlen landen.
@@trophyycsc4453 Das ist falsch. Unendlich minus unendlich kann alles sein. Zum Beispiel plus unendlich, aber auch minus unendlich, null oder 3,14. Um das klar zu machen, betrachte die Variablen A = 3,14 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = unendlich, B = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = unendlich. Und jetzt schau ich mir A - B an, also "unendlich minus unendlich". Und das berechne ich, indem ich den ersten Summanden von A minus den ersten Summen von B rechne, plus den zweiten Summanden von A minus den zweiten von B usw. Dann erhältst du: A - B = (3,14 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + … Die Klammern kann ich jetzt aber auch anders setzen: A - B = 3,14 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1 ) + (-1 + 1) + … Und nun ist jede Klammer gleich 0, also A - B = 3,14 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 3,14 Also hast du als Ergebnis: "Unendlich minus unendlich ist 3,14"! Und wenn ich nicht 3,14 eingesetzt hätte, sondern 0,6, dann wäre unendlich minus unendlich gleich 0,6. Oder auch jede andere Zahl. Es ist daher keine Aussage für unendlich minus unendlich möglich, d.h.: "∞ - ∞ = ?".
@@trophyycsc4453 Nein. Es gibt keine Lösung. ∞ - ∞ ergibt einfach keinen Sinn. Höchstens, wenn die Mächtigkeiten verschieden sind, z.B. |N| - |R| = -|R|, wobei N die natürlichen Zahlen und R die reellen Zahlen sind. Was @Max Simon schreibt, ist auch nicht richtig. Für divergente Folgen gilt das Assoziativgesetz nicht. Man kann keine Klammern setzen (das wird ja im Grunde hier demonstriert), man kann nur schreiben A - B = ∞ - ∞ = nicht definiert.
Der arme Typ im Zimmer Googolplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplex
Hey 🙃 Coole Idee, mit den Bussen - ich hatte bisher nur eine andere Lösung... Und zwar, dass die Personen aus dem Ersten Bus in die Zimmer mit 3^n gehen (3, 9, 27 etc) und die aus dem zweiten Bus in 5^n (5, 25, 125 etc) und so weiter 🙃 Was anderes hatte ich bisher auch noch nie gehört, aber das mit dem Cantors Diagonalargument ist richtig cool! - so sind die reelen Zahlen noch mit drin... Sehr cool - und sehr gut erklärt (würde ich so sagen - kannte das ja schon) 👍🏻
Ich habe Philosophie studiert mit Schwerpunkt Logik und Wissenschaftstheorie. Daher kannte ich alle diese Probleme und deren Lösungen schon. Aber so mächtig hat die Sache mit den Mächtigkeiten noch selten jemand dargestellt! Das Video müsste in allen Schulen allen Lernenden gezeigt werden - egal in welchem Fach!
Ich habe mir zwar schon mehrere Videos über hilberst hotel angeschaut und das war hier auch alles gut erklärt. Vor allem hast du noch rein gebracht, weswegen die menge der reelen zahlen und die der rationalen bzw ganzen und natürlichen zahlen nicht gleichmächtig ist. Jedoch habe ich nicht ganz verstanden wie du alle leute aus den unendlichen vielen bussen in das hotel bringen kannst. Das mit der Bijektion habe ich verstanden und daher muss das auh gehen, aber die analogie habe ich hier vermisst. Das gestaltete sch auch schwer für mich dies vorzustellen, weil ich eine andere erklärung kenne die ganzen leute unterzubringen. Dennoch eines der besten videos über hilberts hotel die ich kenne.
Ich nehmen an, dass deine Frage auf die andere Erklärung für die unendlichen vielen Leute aus den unendlich vielen Bussen bezogen ist. Die Antowrt ist recht mathematisch und ohne bildiche Unterstützung wahrscheinlich nur sehr schwer zu verstehen. Aber ich versuche es trotzdem. Für die Erklärung muss man 2 mathematische Dinge wissen (1): Nach dem Satz von Euklid gibt es unendlich viele Primzahlen. (2): Man muss wissen was die Primfaktorzerlegung ist: Jede Zahl lässt EINDEUTIG als Produkt von Primzahlen schreiben. Z.B. 9=3*3 , 21=3*7 , 50=2*5*5 , 120=2*5*2*3*2 (Die Reihnfolge der Zahlen spielt dabei keine Rolle). Zur Erinnerung: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch GENAU 2 verschiedene Zahlen teilbar sind (z.B. 2, 3, 5 , 7, 11, 13, 17, ...). [Achtung "Klugscheißerargument": Man sagt auch gerne, dass Primzaheln nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Diese Aussage ist aber nur fast richtig, weil man dadurch denken könnte, dass 1 auch eine Primzahl ist. Dies ist aber nicht der Fall, weil 1 nur durch eine und nicht durch 2 Zahlen teilbar ist. Dies ist aber nicht für die Erklärung wichtig.] Dann macht man folgendes: Jeder Gast, der sich gerade im Hotel befindet, nimmt seine Zimmernummer und rechnet diese hoch 2. Das wäre dann ungefähr so 1 -> 2 , 2 -> 4 , 3 -> 9 , 4 -> 16 , ... , 10 -> 1024 , ... Nun geben wir jedem Bus die nächst höhere Primzahl. Bus 1 hat also die 3, Bus 2 die Zahl 5, Bus 3 die Zahl 7 usw. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir jedem Bus auch eine Zahl zuordnen. Jeder Fahrgast hat ja eine Sitznummer. Nun muss jeder die Zahl seines Bussen hoch Sitznummer rechnen. Als Formel wäre das, wenn B die Primzahl des Busses und S die Sitznummer ist, folgendes: B^S z.B: zweiter Bus (mit Primzahl 5) und Sitznummer 2 -> 5^2=25 Somit bekommt jeder Fahrgast seine Zimmernummer. Man fragt sich dann nur, ob es nicht vielleicht irgendwelche Überschneidungen gibt. Hat vielleicht der Hotelgast aus dem Zimmer 7 die gleiche neuer Zimmernummer wie der Fahrgast 3 aus dem zweiten Bus? Oder der Fahrgast 10 aus dem dritten Bus die gleiche Nummer wie der Fahrgast 5 aus dem vierten Bus? Es wird zu keiner Überschneidung kommen. Die Primfaktorzerlegung der Gäste im Hotel besteht nur aus Zweien. Also jeder Gast hat ein Zimmer mit Z=2*2*2*... Für die Fahrgäste in den Bussen ist die Primfaktorzerlegung immer eine andere (pro Bus verschiedene) Zerlegung, also aus dem ersten Bus Z=3*3*3*... aus dem zweiten Bus Z=5*5*5*... usw. Somit taucht keine Zahl aus der Primfaktorzerlegung der Hotelgäste in der Primfaktorzerlegung der Fahrgäst auf. Und untereinander haben die Fahrgäste auch unterschiedliche Primfaktorzerlegungen, weil jeder Bus eine andere Primzahl hat. Zu guter letzt werden natürlich auch die Fahrgäste aus dem gleichen Bus keine Überschneidungen habe, weil sie unterschiedliche Sitznummern haben. "witzigerweise" bleiben sogar noch (unendlich viele) Zimmer unbesetzt, weil nur Zimmer besetzt werden, die eine Primzahlpotenz bilden. Z.B ist Zimmer 6 leer. Das war jetzt recht mathematisch und wahrscheinlich etwas unverständlich. Dies erscheint mir aber (warscheinlich gerade weil es so mathematish ist) einleuchtender und daher besser verständlich.
Wow, sprichst du langsam. Ich meine... das ist nicht unbedingt schlecht, wenn man noch nie von irgendeinem der Begriffe gehört hat muss man vielleicht langsam machen, aber es ist schon außergewöhnlich, dass ich bei einem TH-camr auf 1,5-fache Geschwindigkeit stellen muss, um ein angenehmes Tempo zu erreichen.
Richtig gut :) Hatte das vor 3 Wochen in Theoretischer Informatik aber die Tafelanschriebe von dem Prof. kannst vergessen. Da sind deine Grafiken echt genial ^-^
Was ist unendlich durch unendlich? wenn ich unendlich viele Gerichte auf unendlich viele Leute aufteile, bekommt dann jeder Gast eins oder unendlich viele?
Bin zwar etwas spät dran, aber du bräuchtest halt -unendlich viel Zeit oder -unendlich viele Kellner oder -unendlich viele Portale, durch die das Essen zu den Gästen teleportiert wird. Ich würde ja die Portale empfehlen, sonst kommt man irgendwann an den Punkt, dass das Essen kalt ist, bevor es ankommt ^^
Ist wie 0 durch 0 teilen - jede Antwort ist richtig, deswegen ist es undefiniert. Jede Person kann ein Gericht oder unendlich viele essen, denn es gibt ja unendlich viele Gerichtem
Ich wollte etwas ab 9:37 anmerken. Es gibt noch eine einfachere Beschreibung einer überabzählbaren Menge. Wir können jedes Zimmer im Hilbertschen mit einem Gast belegen oder nicht. Das nennen wir BELEGUNGSZUSTAND. Ein Belegungszustand ist, dass alle Zimmer frei sind oder alle belegt. Soweit so gut. Es gibt unendlich viele davon, z.B. wenn das n-te Zimmer belegt, und alle anderen frei sind. Wieviele Belegungszustände gibt es denn. Sie sind überabzählbar und der Beweis ist sehr einfach. Angenommen, wir können diese Zustände abzahlen mit Z1, Z2, ... Zn. Dann kreieren wir den Zustand Z wie folgt: bei Z ist das erste Zimmer genau dann belegt, wenn es bei Z1 frei ist. Das zweite Zimmer bei Z ist genau dann belegt, wenn es bei Z2 frei ist, und das nte immer ist genau dann belegt wenn es bei Zn frei ist. Was ist mit Z, kommt es in der Liste vor? Z kann wegen der Konstruktion nicht Z1 sein, denn beide unterscheiden sich im ersten Zimmer, auch nicht Z2, denn beide unterscheiden sind im zweiten Zimmer, auch nicht Zn, denn beide unterscheiden sich im n-ten Zimmer. Z erscheint gar nicht auf der Liste! Wir haben eine Menge gefunden, die überabzählbar ist. Sie ist viel anschaulicher als die Menge der reellen Zahlen.
sehr sehr gutes video, ich find mathe ja eigentlich.. blöd aber das Video war wirklich interessant und ich habe es mir gerne angeshen. Auch so locker wie du es erklärt hast!
5:00 man kann ja auch den bussen Primzahlen zuordnen. Bus 1, bekommt die primzahl 3. Und jeder gast aus bus 1 bekommt eine hochzahl fahrgast 1 bekommt 3hoch1 fahrgast 2 3hoch2...
Ich hab noch eine frage: Was ist wenn unendlich viele Straßen zu dem hotel führen auf denen jeweils unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Personen zu dem hotel fahren?🤔
Easy. kannste auch unendlich viele Elemente nehmen z.B.:1. Personen , 2. Busse , 3. Strassen , 4. Universen etc. bis n. Du musst einfach beim zählen nach der 1. Person im n-ten Element zurück zur ersten Ebene. Wichtig ist nur das auf jeder Elementebene Fortschritt gemacht wird. alle Angaben ohne Gewähr, denn die Mathe n-dimensionaler Räume übersteigt mein Vorstellungsvermögen.
Das kann man sich im 3D-Raum noch ganz gut vorstellen. Du nummerierst erstmal alle Straßen, alle Busse auf jeder Straße und alle Personen in jedem Bus. Dann hast du 3 Achsen, jeweils für Straße, Bus und Person. (1,1,1) wäre also bspw. die erste Person in Bus 1 auf Straße 1 und (2,3,4) Person 4 in Bus 3 auf Straße 2. Nun hast du alle unendlich viele Personen im 3D-Raum dargestellt. Jetzt legst du eine Kugel mit Radius 10 (die konkrete Zahl ist egal) und Mittelpunkt (0,0,0) in den Raum. Alle Personen in diesem Raum (das sind definitiv endlich viele, da alle Personen mit einem Koordinatenwert von 11 oder mehr definitiv außerhalb liegen) können jetzt den ersten paar Zimmern zugeordnet werden (wie genau spielt keine Rolle). Danach erhöhst die den Radius auf bspw 20 und sortierst die neu in der Kugel eingeschlossenen (wieder endlich vielen) Personen ein, dann erhöhst du den Kugelradius auf 30 usw. Dadurch wird tatsächlich jeder Person ein Zimmer zugewiesen. Um das zu sehen, kann man das ganze aus der Perspektive einer einzelnen Person sehen. Wenn du Person Z in Bus Y auf Straße X bist, dann ist das in unserer Darstellung Punkt (X,Y,Z). Den Abstand zu (0,0,0) kann man sich dann leicht ausrechnen mit Pythagoras, nämlich sqrt(X²+Y²+Z²). Wichtig ist, das ist eine endlich Zahl! Das heißt irgendwann wird der Kugelradius größer sein (sei es auch erst nach Milliarden von Iterationen) und deine Koordinaten innerhalb der Kugel. Dann bekommst auch du dein Zimmer zugeordnet.
@@patrickwienhoft7987 Perfekt erklärt👌 Klappt die Logik mit dem R4 alalog zum R3? Dürfte ja eigentlich nicht mehr so easy zu erklären sein als mit 3 unendlichen Achsen... Bei unendlich Verzweigungen machts schlichtweg keinen Sinn mehr aber davor muss ja auch irgendeine Logik vorhanden sein mit der man das Problem lösen kann...
@@andreasroth838 Ja, im R4 funktioniert das auch, dann hat man eben kein Tripel als Koordinate, sondern ein Quadrupel und eben eine 4D-Kugel. Visuell wird das natürlich sehr schwer, aber rein mathematisch klappt das genauso.
Cantorsches Diagonaverfahren in 3D. Noch mehr Dimensionen möglich; z. B. Gäste aus unendlich vielen Ländern. Unendlich viele Vorlieben bei den Gästen usw.
4:11 die Begründung stimmt nicht. Man muss die Anweisung ja immer gleichzeitig geben, dass die Gäste das Zimmer wechseln. Man würde es deshalb schon schaffen, Bus 1 unterzubringen! Nur da es unendlich viele Busse gibt, würde man nie fertig werden, alle Busse nacheinander unterzubringen.
gut erklärt ! Frage. Es heißt, dass man nicht durch die 0 teilen darf. Wenn aber im zähler eine positive natürliche Zahl wie die 2 steht, dann müßte das gehen. Denn 2:0,1= 20 oder 2: 0,01 = 200. Geht man so weiter vor wird das Ergebnis immer höher und strebt gegen unendlich. Es klappt aber eben nur wenn der Zähler eine positive natürliche Zahl ist.
Das stimmt, wenn man sich von positiven Werten an die Null annähert. 2/0.1= 20 2/0.01= 200 etc Aber was passiert, wenn man sich von negativen Werten nähert? 2/(-0.1)= -20 2/(-0.01)= -200 etc Wie ist denn jetzt der Grenzwert definiert? +Unendlich oder -Unendlich?
Es gibt eigentlich nur unendlich, also positiv. Persönlich kann ich es mir auch umgekehrt vorstellen, das ist aber nicht definiert und von daher besagt die Regel: Die Division durch positive Zahlen als Element von N ist erlaubt. Das hat was wie 0 hoch null, mal ist es 1, dann wieder null. Träfe der erste Fall ein hätten wir wieder ein Problem, denn dann wäre 0=1 !. Nicht zu viel drüber nachdenke, da sind schon Mathematiker in der Klapse gelandet
Das gute ist, dass nicht zwingend jeder umziehen muss. Es reicht wenn der erste Gast Zimmer 1 frei macht und nach Zimmer 10 geht, der Gast von Hotelzimmer 10 in Zimmer 100 geht, der Gast von Zimmer 100 in Zimmer 1000, der Gast dort zu 10000, der nach 100000 etc. Dann müssen zwar immer noch unendlich viele Gäste umziehen, aber nicht alle. Unendlich viele Gäste können auch in ihren Zimmern bleiben. Viel besser noch: Der Anteil der Gäste der umziehen muss, ist 0% ;)
Also - am liesten wäre ich da schon Gast Nummer *1* :-) Der weiß immer und sofort, wohin er gehen muss - und er hat nie unendlich weit zu gehen, ehe er endlich zu seinem Zimmer findet :-)) …
Ich glaub ich habs verstanden. Allerdings: Wie will man aber die unendlich mal unendlich vielen Gäste nun effektiv im Hotel unterbringen. Natürlich wäre ja für jeden noch ein Zimmer verfügbar, aber wie wollen sie die unendlich viel Meter zu ihrem Zimmer zurücklegen. Natürlich könnte man sie, wie schon gezeigt einfach zwischendrängeln. Allerdings müsste dann jeder Gast seiner zimmernummer mal unendlich nehmen. Das heißt, wir haben wieder eine unendlich große Masse an Menschen, die eine unendlich große Strecke zurücklegen muss, um ihr Zimmer zu erreichen. Nur mit dem unterschied, dass jetzt dir schon vorhandenen Bewohner und die die mit dem Bus gekommen sind angepisst sind. Schon zwischen dem vorhandenen Bewohner Nummer Eins und Nummer Zwei sind ja jetzt unendlich viele Zimmer vorhanden. Dass heißt zwar, dass meinetwegen nur alle Gäste ab Zimmernummer Zwei, ihre Zimmernummer mit unendlich addieren müssen (und ein Gast weniger angepisst ist ;) ), Trotzdem müssen sie ja die selbe Strecke zurücklegen da n mal undenlich = n + unendlich ist. Und schon wenn man dass Zimmer, vor dem vorhandenen Gast nummer zwei bekommen hat, müsste man diese unendlich Strecke zurücklegen. Wäre es nicht einfacher, nochmal ein Hotel mit unendlich viel leeren Zimmern zu bauen, und dann jedem zu sagen, er solle sich halt ein Zimmer suchen und gut is? Zu dem Thema hätte ich aber noch eine Frage: Wenn ein Gast in ein leeres Zimmer geht, kann man sagen unendlich minus 1, weil ein Zimmer jetzt besetzt ist. Wenn alle ihr Zimmer haben, wäre das quasi unendlich minus unendlich. Ergibt sich dann daraus 0, weil jetzt kein Zimmer mehr verfügbar ist? Wenn ja, dann wär das schon komisch, da mann ja immer noch einen Gast dazwischen drängeln könnte, wie du in deinem Video ja bewiesen hast. Das heißt, obwohl jedes Zimmer besetzt sind, ist immer noch eins für den neuen Gast da. Also 0 leere Zimmer sind da und gleichzeitig ist nich 1 für den neuen Gast da. Macht das nicht aus 0=1? Bzw. 0=n?
Halt Stop! Jetzt muss ich mich mal selber korrigieren. XD Natür lich bekommt man alle neuen Gäste unter, indem man einfach wieder jedem Gast sagt, er solle seine Zimmernummer verdoppeln. XD Dann sind ja wieder unendlich viele Zimer frei... usw.
***** Auch das alles ist mir durch den Kopf gegangen. XD Aber ich bin einfach mal davon ausgegangen, dass jeder Mensch unsterblich ist (oder unendliche Strecken in endlicher Zeit zurücklegen kann) Und einfach unendlich viel Fläche und Materiel für unendlich viele Hotels vorhanden ist.
Wie ist das bei folgendem Sachverhalt? Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Die Ebene, in der die Gerade liegt, besteht aus unendlich vielen Geraden. Und der Raum, zu dem die Ebene gehört, besteht aus unendlich vielen Ebenen. Ist dann die Anzahl der Punkte in der Ebene unendlich mal so groß , wie die Anzahl der Punkte in der Geraden? Und ist die Anzahl der Punkte im Raum unendlich mal so groß, wie die Anzahl der Punkte in der Ebene. Und müsste man die Anzahl der Punkte in der Geraden mit unendlich hoch 2 multiplizieren, um die Anzahl der Punkte im Raum zu erhalten. Sprich: Sind das 3 unterschiedliche Mächtigkeiten der Unendlichkeit?
Ich als Durchschnittsbürger frage: "Wofür braucht man das?" Und ja ich würde mich *wirklich* freuen, wenn du mir sagen könntest, wo sowas tatsächlich praktische Anwendung findet!
ich glaub ich habs kapiert: Großes Hotel+fleißiger Koch+viele Busse=Unendlich:) Ne ernsthaft, du kannst echt gut erklären und ich hab mal wieder was zum nachdenken;)
Wenn ich jetzt die Zahl unendlich unendlichfach mit sich selbst potenziere, stünde das dann für die Komplexen Zahlen? Und wenn ja, sind diese dann mächtiger als die Reelen Zahlen? Da nach diesem Muster (unendlich + 1, unendlich + unendlich, ... ) bei genanntem keine sinnvolle Erweiterung mehr möglich ist, lässt sich daraus schließen, dass die Komplexen Zahlen die höchste, zumindest für den Menschen, vorstellbare Zahlenmenge ist?
Zunächst: Die Komplexen Zahlen sind genau so mächtig wie die Reellen Zahlen. Durch Potenzmengen kann man beliebig große Mengen erzeugen. Die Potenzmenge der reellen Zahlen ist mächtiger als die Menge der reellen Zahlen, die Potenzmenge der Potenzmenge der reellen Zahlen nochmal größer etc. Die Potenzmenge der reellen Zahlen hat aber keine wirkliche Kongruenz zu "sinnvollen" Zahlenmengen mehr. P(R) bildet eine boolsche Algebra, aber keinen Körper. Insbesondere heißt das, dass P(R) keine totale Ordnung hat, das heiß, wenn man irgendwie Zahlen findet, die so mächtig sind wie P(R), dann gibt es Zahlen x, y, z für die eine dieser unintuitiven Bedingungen gilt: x>y und y>x weder x>y noch y>x x>y und y>z aber nicht x>z Insofern kann man denke ich sagen, das die reellen Zahlen (zusammen mit allen gleich mächtigen Zahlenmengen) nicht nur die höchste für den Menschen vorstellbare Zahlenmenge, sondern auch die höchste sinnvolle Zahlenmenge ist.
Ja, das ist die Frage. Stell dir die Zimmer mal in einem Kreis vor. Wenn jeder im (oder gegen den) Uhrzeigersinn ein Zimmer weiter geht, dann kann von außen jemand in das erste freigewordene Zimmer gehen. Allerdings würde der letzte nicht in das erste Zimmer können, weil dort der erste ist. Doch wenn dieser ein Zimmer weiter rückt und der nächste wieder ein Zimmer weiter, dann rücken alle immer ein Zimmer weiter. Bei dem Hotel würde der letzte nicht wieder bei dem ersten reinwollen, aber es wären wohl nie alle in einem Zimmer, weil immer einer weiter rückt. Hm... da sich dann immer einer bewegt, und dieser in dem Moment in keinem Zimmer ist, heißt das doch, das garnicht einer mehr untergebracht ist. Zumindest nicht in einem Zimmer, im Hotel ist er ja vielleicht. Ach keine Ahnung :D. Hab ich dich jetzt verwirrt? xD Ich glaube man kann sich die Unendlichkeit einfach nicht vorstellen :D.
Habe jetzt nicht verstanden wie das mit den unendlich viele Busse gehen soll weil sie haben gesagt dass die diagonal verteilt werden allerdings nicht welches Zimmer dann sozusagen wem zugeordnet... also ich habe die Erklärung dafür nicht verstanden
hi tolles Video! Ich hätte da aber noch eine (glaube ich ) recht komplexe Frage: Wie sieht der Graph von (-1)^x aus Ich habe im Internet nichts dazu gefunden Ich schätze mal eine Mischung aus komplexen und reellen Zahlen? Wäre jedenfalls echt cool wenn du das aufklären könntest, da es mir doch nicht aus den Kopf gehen will xD
Der Betrag von -1 ist 1, der Winkel in der kompexen Zahlenebene ist pi, daraus folgt mit der eulerschen Formel: (-1)^x=(e^(i*pi))^x=e^(i*pi*x)=cos(pi*x)+i*sin(pi*x) Das bedeutet der Realteil sieht aus wie der Cosinus, der Imaginärteil wie der Sinus. Würde man nun die komplexe Zahlenebene hernehmen und nach oben durch die x-Achse erweitern, ergäbe sich ein "schraubenförmiger" Graph. Falls x die Zeit wäre, könntest du dir einen Punkt vorstellen, welcher sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit Radius 1 bewegt.
Ich habe da mal eine Verständnis-Frage dazu: Heißt das, dass unendlich x unendlich auch gleich (abzählbar) unendlich ist, aber unendlich^3 (also beispielsweise, unendlich viele Busse mit unendlich vielen Personen, die jeweils unendlich viele Zimmer belegen wollen), dass das dann schon "überabzählbar" unendlich ist? Oder könnte das Hotel Hilbert diese Personen auch aufnehmen? Oder, als Beispiel: jeder der unendlichen Gäste aus unendlichen Bussen hat unendlich viele Essenswünsche (dass kein Essen dem eines anderen Gastes gleicht), also unendlich^3, und, wenn man es weiter spinnt: jedes dieser unendlichen Essenswünsche hat unendlich viele Zutaten, von der keine Zutat der anderen gleicht (unendlich^4)... Ab wann ist es "überabzählbar"?
Bei den unendlich vielen Bussen mit unendlich vielen Personen können doch einfach alle Personen aussteigen und dann macht man es so wie beim einen Bus mit unendlich Personen also alle Hotelgäste gehen in das Zimmer mit der doppelten Zimmerzahl. Korregiert mich wenn ich falsch liege.
Es ist halt ein gedankenexperiment und sowas wie „alle steigen aus“ ist nicht erlaubt und funktioniert auch nicht, da sich nicht unendlich viele Menschen vor dem Hotel aufhalten können. Das Prinzip basiert darauf die Menschen einzeln ihren Zimmern zuzuteilen
Es geht noch einfacher. Wieviele Möglichkeiten gibt es, das Hilbertsche Hotel mit Gästen zu belegen? Es gibt auch jeden Fall unendlich viele. Denn wenn nur genau das n-te Zimmer belegt ist und alle anderen frei, haben wir eine und bei unendlich vielen Zimmer haben wir unendlich viele Möglichkeiten dieser Belegung.. Angenommen, wir könnten die Belegungen abzählen mit B1, B2 usw. Dann überlegen wir und eine Belegung B wie folgt: Bei dieser Möglichkeit ist das Zimmer 1 genau dann belegt, wenn es in B1 frei ist. Dass gilt dann für Zimmer 2 dann für B und B2, Zimmer 3 dann für B und B3 usw. Ist diese Belegung dann auf der Liste. Wäre sie es gäbe es ein m aus den natürlichen Zahlen, so dass B und Bm identisch sind. Insbesondere gibt das dann auch fürs m-te Zimmer, dass aber genau dann belegt ist, falls es in Bm frei st. Das ist ein Widerspruch. Diese doch auch für Nichtsmathemathiker anschauliche Menge ist überabzählbar.
Was ich nicht ganz verstehe: Warum ist die Menge aller natürlichen Zahlen und die der natürlichen Zahlen und Null gleich mächtig? Ich habe gelernt, null sei das neutrale Element der Addition. Dann trifft ja das erste Beispiel gar nicht zu, weil ja definitiv ein Gast hinzukommt im Beispiel, was ich eher als Addition von 1 verstehen würde.
Wenn ein unendlich langer Bus kommt, braucht er eine unendlich lange Straße. Diese kann maximal so lang sein wie das Universum diagonale Länge hat. Diese Länge (in M) muss man durch die Reisegäste pro Meter Bus teilen und man hat unendlich als Zahlenwert!!!
Ich stelle dazu mal eine interessante Frage in den Raum ;) Welchen Sinn würde es machen sich in einem Raum, der keinen Anfang und kein Ende besitzt, fortzubewegen? Und wie verhält es sich mit der Geschwindigkeit, mit der man sich fortbewegt? Spielt das in einem solchen Fall überhaupt irgendeine Rolle?
@@hardwarecollector2097 Ich denke die Geschwindigkeit ist schon interessant. Wenn man zum Beispiel auf einer unendlich langen Achterbahn ist, dann interessiert es einen schon, ob man schnell oder langsam fährt. Man kommt zwar nicht eher oder später an, aber es macht bei einer höreren Geschwindigkeit mehr Spaß (zumindest bei einer Achterbahn).
@Saskia Meiner Meinung nach spielt es keine Rolle wie schnell man sich dann fortbewegt. Da es kein Ende gibt, wird man auch niemals irgendwo ankommen können. In diesem System gäbe es keinerlei Bezugspunkte und ohne die könnte man gar nicht sagen, wo man sich genau befindet.
Mir ist gerade wieder etwas aufgefallen. Die Zahl Pi soll unendlich lang sein. Demnach hat sie keinen Anfang und kein Ende. Warum fängt diese Zahl mit 3,14.. u.s.w. an? Warum hat sie überhaupt EINEN ANFANG? Es müssten also auch unendlich viele Zahlen VOR der 3,14... stehen. In sofern scheint sie mir definierbar zu sein. In einem unendlichen System kann es nach unserer Logik weder Anfang noch Ende geben und somit existiert nach meinem Verständnis auch keine Definierbarkeit (keine Ecke, keinen Rand, keine Grenzen, keine Bezugspunkte).
Hatte ich im letzten (bzw. ersten) Semester. Ist 'ne ganz spannende Geschichte mit der Unendlichkeit. Aber rein mathematisch betrachtet ist doch ∞ + ∞ , ∞ * ∞ etc. gar nicht definiert, weil das doch nur Abbildungen zb. auf den reellen Zahlen sind und ∞ kein Element der reelen, natürlichen, ganzen oder komplexen (oder was auch immer) Zahlen ist, oder nicht? Uns wurde direkt gesagt "Nein. Nein. Nein. Ihr dürft sowas niemals schreiben!" :D
Hab dich grad durch Zufall entdeckt, Klasse erklärt so hätte ich das damals auch verstanden! Da ich zwei Kinder habe die es schwer in Mathe haben und (audivisuelle Lerntypen sind), hier meine Frage: Kannst du bitte auch was für Grundschüler machen also einfach Division, Multiplikation, Brüche ect. ???? Bitte ich möchte nicht die nächste Hartz IV Generation großziehen.......
PC 1 hat eine Festplatte die unendlich viel speichern kann und PC 2 hat unendlich viele Festplatten, die unendlich viel speichern können. Meine Frage, kann PC 2 jetzt mehr speichern oder können beide unendlich viel speichern ? :D
Also das Hotel hätte vermutlich keine gute Bewertung. Stellt euch vor, ihr seid in einem Hotel und plötzlich klopft mitten in der Nacht irgendwer an euer Zimmer und sagt, dass ihr es räumen und ins nächste Zimmer umziehen sollt.
Entschuldigung seit seit 2020 ist diese Aufgabe nicht mehr zu lösen. Jedem Hotel ist die Unterbringung von Übernachtungsgästen leider verboten. Da Hilberts Hotel unendlich viele Gäste aufganommen hatte und jetzt nicht mehr aufnehmen kann ist der Schuldenberg so unendlich hoch, dass Hotel Hilbert Insolvenz anmelden musste. :-)
Da bin ich bei einem Problem, dass ich seit Monaten ungelöst mit mir rumtrage: Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist Aleph-0, die der reellen Zahlen ist Aleph-1, also größer. Das wurde ja im Video superanschaulich erläutert. Gibt es im erweiterten Sinne eigentlich ein Aleph-2 oder gar ein Aleph-n? Allerbeste Grüße, Joe
1. Es ist nicht klar dass die Mächtigkeit der rellen Zahlen gleich das nächste in der Liste ist (das ist die Kontinuumshypothese, die man nicht beantworten kann) oder ob es nocht eine Mächtigkeit dazwischen gibt. Was man aber einfach beantworten kann ist die Frage ob es immer größer geht, und die Antwort ist ja, denn zum Beispiel die Menge aller Teilmengen einer bestimmten Menge (zum Beispiel den reellen Zahlen) ist immer größer als diese Menge.
Was ist überhaupt die Fakultät von ♾️? Man könnte zwar sagen ♾️, das Problem ist aber, bei der Fakultät wird ja immer die nächst kleinere Zahl als Faktor genommen, sprich bei 5!=5*4*3*2*1; aber unendlich hat keine nächst kleinere Zahl, sprich es wäre immernoch ♾️=♾️*♾️*♾️*♾️*♾️ ♾️; auch wenn immer die nächste Zahl - 1 der vorherigen gerechnet wird, also ♾️=♾️*(♾️-1)*(♾️-2)*(♾️-3)......... Und da ♾️-1 ja immernoch ♾️ ist, könnte man ja auch sagen ♾️^♾️, oder? Aber jetzt ist das Problem, dass bei der unendlichsten Stelle (ja ich weis die erreicht man nie, aber es geht ja bis in das unendliche.) stehen würde..................... (♾️-(♾️-1)), und das müsste ja 0 sein, oder doch 1, weil ♾️-1=♾️, also wäre es (♾️-♾️), also doch 0 oder? Wenn ja dann wäre ja ♾️*♾️*♾️......... *0, und es ist ja bei reelen Zahl so, dass wenn 0 ein Faktor ist, immer 0 raus kommt, aber ist das bei ♾️ auch so, es ist ja keine reele Zahl?
Wenn du eine unendliche Menge von Zahlen von einer unendlichen Menge von Zahlen abziehst, kann immer noch eine unendliche Menge von Zahlen übrige bleiben. Schau dir mal Numberphile zu dem Thema an
Solche Spielereien sind nur möglich, wenn man Theorie und Praxis in einen Topf wirft. Denn wenn durch Umsetzung der Gäste plözlich ein Zimmer frei wird, war es auch schon vorher frei.
Baden tv bei mir Neunhunderneunundneunsichdezilionenneunhunderneuundneunsichdezilionenneunhunderdneunundneunzignonilliardenneunhundertneuundneuzignonillionenneunhunderneuundneuzigoktilliardeneuhunderneunundneunzigoktillionenneunhundertneunundneunzigoktillionenneunhundertneunundneunzigseptilliardeneunhundertneuneundneunzigseptillionenneunhunderneunundneunzigsextilliardenneunhundertneunundneunzigsextillionenneunhundertneunundneunzigquinntilliardenneunhunderneunundneunzigquinntillionenneunhundertneunundneuzigquatrilliliardenneunhundertneunundneunzigquatrillionenneunhunderneunundneunzigtrilliardenneunhundertneunzigtrillionenneunhundertneunundneunzigbilliardeneunhundertneunundneunzigbillionenneunhunderneunundneunzigmilliardenneunhunderneunundneunzigmillionenneunhundertneunundneunzigtausendneunhunderneunundneunzig
Alle 7 Jahre kommt ein kleines Vöglein zum Mount Everest und wetzt sein Schnäblein dort, wenn der ganze Berg abgewetzt ist, ist eine Sekunde der Unendlichkeit vergangen!
Ich bin zwar ab unendlich vielen Bussen mit unendlich vielen Personen nicht mehr mitgekommen, aber ich bin mir sicher, dass selbst ich das noch verstehen werde, wenn ich mir deinen Film noch unendlich viele Male ansehe.
Geht mir genauso.
Und wo ist der Bus, mit den Leuten, die das interessiert?
@@Parapascal Ich weiß zwar auch nicht wo der Bus steckt den du meinst, aber aktuell hat es 281 Leuten darin interessiert. Nur mal von der Logik her.
@@dkhaterina Wo kriegste unendlich viel Zeit her?
Nunja, die Erklärung wurde nicht geliefert... Es gibt für unendliche Busse mehrere Möglichkeiten. Beispielsweise kann jeder bereits ansässige Gast seine Zimmernummer verdoppeln, was dazu führt, dass die ungeraden Zimmer frei sind. Und dann kann der erste Bus seine n Gäste in der Form 3^n schicken (3, 9, 27...), der zweite Bus seine Gäste in die 5^n (5, 25, 125...), der dritte in die 7^n (7, 49, 343...), und so alle ungeraden Zahlen durchmachen. Das hätte zur Folge, dass dann sogar noch unendlich Zimmer frei sind, nämlich die ungeraden Zimmer, die keine Potenz einer ungeraden Zahl sind (beispielsweise 15).
Eine andere Möglichkeit wäre, die ansässigen Gäste in die ungeraden Zimmer ziehen zu lassen: Gast n -> 2n-1, und dann jeden Insassen des n-ten Busses in das Zimmer gehen, das teilbar durch 2^n, aber nicht teilbar durch 2^(n+1) ist. Da wären alle Zimmer belegt. Also Gast 1 aus Bus 1 in Zimmer 2 (2^1), Gast 1 aus Bus 2 in Zimmer 4 (2^2), Gast 2 aus Bus 1 in die 6 (3*2^1), Gast 1 aus Bus 3 in Zimmer 8 (2^3), Gast 3 aus Bus 1 in Zimmer 10 (5*2^1), Gast 2 aus Bus 2 in die 12 (3*2^2), Gast 4 aus Bus 1 in die 14 (7*2^1), Gast 1 aus Bus 4 in die 16 (2^4)... und so weiter...
Das hier dargestellte Verfahren, das Cantorsche Diagonalverfahren, ist eine dritte Möglichkeit, aber, wie gesagt, nicht die einzige. Die hier dargestellte Bijektion ist, dass also jedes zweite Zimmer frei gemacht wird, und dann das Verfahren entsprechend abgearbeitet wird, wie ab 4:42 dargestellt, und dann die freigewordenen Zimmer entsprechend der Reihe des Verfahrens abgearbeitet werden.
Die Unendlichkeit gibt einem einen richtigen Brainfuck :O
Mathematik kann aber auch Spaß machen. Schon 'mal was von den Potenzmengen gehört?
Überabzählbarkeit von den Reellen Zahlen wuuunnderbaaar dargestellt. Verständlich und super erklärt.
Ist Unendlich * Unendlich * Unenedlich größer als Unendlich?
@@TruthandjusticeXXL kommt drauf an
@@TruthandjusticeXXL nein, ist es nicht.
Das mit den Speisen musste ich zwar kurz pausieren, um es nachzuvollziehen, aber sonst waren die Grafiken echt hilfreich für das Verständnis :)
Wie “Spaß mit Flaggen”, aber gut 😄👍
TBBT ist so ne geile Serie
Ich frag mich echt, wie du es hin bekommst, so viele geniale Videos zu machen. Für einen Vortrag in der Schule oder so, der nur ansatzweise so gut komplizierten Inhalt einfach erklärt wie dieses Video beispielsweise, bräuchte ich schon mal Wochen... Du bist ein Naturtalent der Rhetorik und Veranschaulichung! :)
Wer hat bemerkt, dass auf seinem T-Shirt die Wurzel aus 2 steht :D
21 Leute
Und zwar mit dem Text zum passenden Song ;)
Also eigentlich steht sie nur ungefähr da :P
ich kann dir nicht sage wie groß sie ist, aber ich kann dir sagen, dass sie existiert
Nicht ganz. Wurzel 2 ist ja eine irrationale Zahl ;-)
Wenn wir unendlich viele Leute auf so kleinem Raum haben ist der Sauerstoff unendlich schnell aufgebraucht und alle ersticken. Außerdem ist der Hotelbesitzer unendlich Reich und kann sich mal ein schönes Leben machen und das Hotel verglüht aufgrund von unendlicher Masse im Erdkern. So Problem gelöst ;)
Like. Dann brauch ich auch nicht mehr drüber nachdenken ob man unendlich + eins überhabt rechnen kann, da es ja eig alles umfasst.
Aber wir packen doch unendlich viele Leute auf unendlich großen Raum, oder hab ich da was falsch verstanden? :D
***** das stimmt. Die Dichte wird ja nicht unendlich groß, sondern bleibt im normalen Maß
DAWGoro Stimmt haha
Es entsteht ein unendlich großes Schwarzes Loch durch die unendlich viel Masse und das Universum ist zerstört
8:35 Die Enten-Stelle
xD xD haha :´D
🦆
is egal, Chuck Norris hat bis Unendlich gezählt, zwei Mal^^
MsModock
Chuck Norris hat überabzählbar unendlich mal bis Unendlich gezählt.
Und er hat jedes Mal bei minus Unendlich angefangen.
@@noname676 und er hat danach wieder zurückgezählt , außerdem hat er auch alle Kommazahlen mitgezählt
Chuck Norris hat durch Null geteilt
Chuck Norris hat sich Pi tätowiert, das sogar Unendlich^Unendlich mal
Nur C
Super Video, ich kannte Hilberts Aufgaben schon vorher, aber du hast das sehr schön erklärt! Daumen hoch!
kann das Hotel überhaupt "voll" sein? Das würde dann ja heissen, dass unendlich - unendlich null ergibt.
Unendlich-unendlich=unendlich
Man muss auch sagen dass unendlich keine definierte Zahl ist. 567 ist z.b endlich .
@@trophyycsc4453
Im Gegensatz zu unendlich + unendlich = 2 x unendlich ist allerdings die Umkehrung unendlich - unendlich nicht möglich. Ganz einfach, weil unendlich kein konkreter Zahlenwert darstellt, genau wie der Begriff viel, den früher noch vor der Antike manche Völker gebrauchten. Würde man eine solche Rechenoperation zulassen, würde man bereits spätestens bei der Menge der natürlichen Zahlen auf Probleme stoßen, algegraischer Strukturen betreffend. Denn angenommen man würde unendlich - (unendlich + x) rechnen dann kämen u.U. negative Zahlen heraus und man würde nicht mehr in der Menge der natürlichen Zahlen landen.
@@trophyycsc4453 Das ist falsch. Unendlich minus unendlich kann alles sein. Zum Beispiel plus unendlich, aber auch minus unendlich, null oder 3,14.
Um das klar zu machen, betrachte die Variablen
A = 3,14 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = unendlich,
B = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = unendlich.
Und jetzt schau ich mir A - B an, also "unendlich minus unendlich". Und das berechne ich, indem ich den ersten Summanden von A minus den ersten Summen von B rechne, plus den zweiten Summanden von A minus den zweiten von B usw. Dann erhältst du:
A - B = (3,14 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …
Die Klammern kann ich jetzt aber auch anders setzen:
A - B = 3,14 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1 ) + (-1 + 1) + …
Und nun ist jede Klammer gleich 0, also
A - B = 3,14 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 3,14
Also hast du als Ergebnis: "Unendlich minus unendlich ist 3,14"!
Und wenn ich nicht 3,14 eingesetzt hätte, sondern 0,6, dann wäre unendlich minus unendlich gleich 0,6. Oder auch jede andere Zahl.
Es ist daher keine Aussage für unendlich minus unendlich möglich, d.h.: "∞ - ∞ = ?".
@@trophyycsc4453 Nein. Es gibt keine Lösung. ∞ - ∞ ergibt einfach keinen Sinn. Höchstens, wenn die Mächtigkeiten verschieden sind, z.B. |N| - |R| = -|R|, wobei N die natürlichen Zahlen und R die reellen Zahlen sind. Was @Max Simon schreibt, ist auch nicht richtig. Für divergente Folgen gilt das Assoziativgesetz nicht. Man kann keine Klammern setzen (das wird ja im Grunde hier demonstriert), man kann nur schreiben A - B = ∞ - ∞ = nicht definiert.
Die Frage ist nur wer hat bock jeden Tag das Zimmer zu wechseln?
Der arme Typ im Zimmer Googolplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplexplex
@@omnipotencebeyondlogic1786 @Omnipotence Beyond Logic Kann'se mir das mal als Zehnerpotenz rüberschicken
@@omnipotencebeyondlogic1786 Ich schätze 10 hoch 40000
Googol ist 10^100
Googolplex ist 10^10^100
Googolplexplex ist 10^10^10^100
@@omnipotencebeyondlogic1786 Also doch ein Potenzturm
Tolles Video Dorfuchs! Wir freuen uns auf neue Mathe-Songs demnächst von dir!
Hey 🙃
Coole Idee, mit den Bussen - ich hatte bisher nur eine andere Lösung...
Und zwar, dass die Personen aus dem Ersten Bus in die Zimmer mit 3^n gehen (3, 9, 27 etc) und die aus dem zweiten Bus in 5^n (5, 25, 125 etc) und so weiter 🙃
Was anderes hatte ich bisher auch noch nie gehört, aber das mit dem Cantors Diagonalargument ist richtig cool! - so sind die reelen Zahlen noch mit drin... Sehr cool - und sehr gut erklärt (würde ich so sagen - kannte das ja schon) 👍🏻
Oha, du erklärst das echt immer so, dass selbst ich das verstehe! :D
Ich habe Philosophie studiert mit Schwerpunkt Logik und Wissenschaftstheorie. Daher kannte ich alle diese Probleme und deren Lösungen schon. Aber so mächtig hat die Sache mit den Mächtigkeiten noch selten jemand dargestellt! Das Video müsste in allen Schulen allen Lernenden gezeigt werden - egal in welchem Fach!
Ich habe mir zwar schon mehrere Videos über hilberst hotel angeschaut und das war hier auch alles gut erklärt. Vor allem hast du noch rein gebracht, weswegen die menge der reelen zahlen und die der rationalen bzw ganzen und natürlichen zahlen nicht gleichmächtig ist. Jedoch habe ich nicht ganz verstanden wie du alle leute aus den unendlichen vielen bussen in das hotel bringen kannst. Das mit der Bijektion habe ich verstanden und daher muss das auh gehen, aber die analogie habe ich hier vermisst. Das gestaltete sch auch schwer für mich dies vorzustellen, weil ich eine andere erklärung kenne die ganzen leute unterzubringen.
Dennoch eines der besten videos über hilberts hotel die ich kenne.
Ich nehmen an, dass deine Frage auf die andere Erklärung für die unendlichen vielen Leute aus den unendlich vielen Bussen bezogen ist. Die Antowrt ist recht mathematisch und ohne bildiche Unterstützung wahrscheinlich nur sehr schwer zu verstehen. Aber ich versuche es trotzdem.
Für die Erklärung muss man 2 mathematische Dinge wissen
(1): Nach dem Satz von Euklid gibt es unendlich viele Primzahlen.
(2): Man muss wissen was die Primfaktorzerlegung ist: Jede Zahl lässt EINDEUTIG als Produkt von Primzahlen schreiben.
Z.B. 9=3*3 , 21=3*7 , 50=2*5*5 , 120=2*5*2*3*2 (Die Reihnfolge der Zahlen spielt dabei keine Rolle). Zur Erinnerung: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch GENAU 2 verschiedene Zahlen teilbar sind (z.B. 2, 3, 5 , 7, 11, 13, 17, ...).
[Achtung "Klugscheißerargument": Man sagt auch gerne, dass Primzaheln nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Diese Aussage ist aber nur fast richtig, weil man dadurch denken könnte, dass 1 auch eine Primzahl ist. Dies ist aber nicht der Fall, weil 1 nur durch eine und nicht durch 2 Zahlen teilbar ist. Dies ist aber nicht für die Erklärung wichtig.]
Dann macht man folgendes: Jeder Gast, der sich gerade im Hotel befindet, nimmt seine Zimmernummer und rechnet diese hoch 2. Das wäre dann ungefähr so
1 -> 2 , 2 -> 4 , 3 -> 9 , 4 -> 16 , ... , 10 -> 1024 , ...
Nun geben wir jedem Bus die nächst höhere Primzahl. Bus 1 hat also die 3, Bus 2 die Zahl 5, Bus 3 die Zahl 7 usw. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir jedem Bus auch eine Zahl zuordnen. Jeder Fahrgast hat ja eine Sitznummer. Nun muss jeder die Zahl seines Bussen hoch Sitznummer rechnen. Als Formel wäre das, wenn B die Primzahl des Busses und S die Sitznummer ist, folgendes: B^S
z.B: zweiter Bus (mit Primzahl 5) und Sitznummer 2 -> 5^2=25
Somit bekommt jeder Fahrgast seine Zimmernummer. Man fragt sich dann nur, ob es nicht vielleicht irgendwelche Überschneidungen gibt. Hat vielleicht der Hotelgast aus dem Zimmer 7 die gleiche neuer Zimmernummer wie der Fahrgast 3 aus dem zweiten Bus? Oder der Fahrgast 10 aus dem dritten Bus die gleiche Nummer wie der Fahrgast 5 aus dem vierten Bus?
Es wird zu keiner Überschneidung kommen. Die Primfaktorzerlegung der Gäste im Hotel besteht nur aus Zweien. Also jeder Gast hat ein Zimmer mit Z=2*2*2*...
Für die Fahrgäste in den Bussen ist die Primfaktorzerlegung immer eine andere (pro Bus verschiedene) Zerlegung, also aus dem ersten Bus Z=3*3*3*... aus dem zweiten Bus Z=5*5*5*... usw.
Somit taucht keine Zahl aus der Primfaktorzerlegung der Hotelgäste in der Primfaktorzerlegung der Fahrgäst auf. Und untereinander haben die Fahrgäste auch unterschiedliche Primfaktorzerlegungen, weil jeder Bus eine andere Primzahl hat. Zu guter letzt werden natürlich auch die Fahrgäste aus dem gleichen Bus keine Überschneidungen habe, weil sie unterschiedliche Sitznummern haben.
"witzigerweise" bleiben sogar noch (unendlich viele) Zimmer unbesetzt, weil nur Zimmer besetzt werden, die eine Primzahlpotenz bilden. Z.B ist Zimmer 6 leer.
Das war jetzt recht mathematisch und wahrscheinlich etwas unverständlich. Dies erscheint mir aber (warscheinlich gerade weil es so mathematish ist) einleuchtender und daher besser verständlich.
Wow, sprichst du langsam. Ich meine... das ist nicht unbedingt schlecht, wenn man noch nie von irgendeinem der Begriffe gehört hat muss man vielleicht langsam machen, aber es ist schon außergewöhnlich, dass ich bei einem TH-camr auf 1,5-fache Geschwindigkeit stellen muss, um ein angenehmes Tempo zu erreichen.
Genau deswegen finde ich die Unendlichkeit in der Mathematik so schön. Bei ihr laufen die Regeln was Mengen angeht etwas anders als sonst. :)
Wer gönnt sich das auch um 2 Uhr nachts! xD
Ein Super-Video! Alle Achtung, sehr gut erklärt.
Toll erklärt, hat mir wirklich gut gefallen.
Richtig gut :) Hatte das vor 3 Wochen in Theoretischer Informatik aber die Tafelanschriebe von dem Prof. kannst vergessen. Da sind deine Grafiken echt genial ^-^
ich bin zwar schon über 30 Jahre raus, aber schön so was mal wieder zu hören :-)
Sehr gut erklärt und gut veranschaulicht, danke! :)
Sehr cool, danke fürs Hochladen!
1:58
Denke ich mir auch manchmal.
Warum so faszinierende Themen komplizierter machen?
O gott! So viele Menschen! Das wird mir alles zu viel😭😂
Super video, kann mir unendlich besser vorstellen👍🏼
Mehr davon! War einfach zu verstehen, trotzdem hoch interessant.
unendlich + 1 = unendlich | - unendlich
1 = 0!
EIN FEHLER IN DER MATRIX ! :D
+didination Aber unendlich - unendlich ist nicht 0...
1 = 0! ist sogar wahr xD
Schaut da jemand Numberphile? :D Ja hast recht.
Jaaa, Numberphile
Stefan Rau unendlich ist keine Zahl xD
Hui! Das hat mir Spaß gemacht, danke.
Was ist unendlich durch unendlich? wenn ich unendlich viele Gerichte auf unendlich viele Leute aufteile, bekommt dann jeder Gast eins oder unendlich viele?
Wenn unendlich viel Zeit ist bekommen unendlich viele Leute unendlich viele Gerichte.
Bin zwar etwas spät dran, aber du bräuchtest halt
-unendlich viel Zeit
oder
-unendlich viele Kellner
oder
-unendlich viele Portale, durch die das Essen zu den Gästen teleportiert wird.
Ich würde ja die Portale empfehlen, sonst kommt man irgendwann an den Punkt, dass das Essen kalt ist, bevor es ankommt ^^
@@mauriceimholze1831 joooooo Maurice du altter Specknacken
Ist wie 0 durch 0 teilen - jede Antwort ist richtig, deswegen ist es undefiniert. Jede Person kann ein Gericht oder unendlich viele essen, denn es gibt ja unendlich viele Gerichtem
Das ist ein WIRKLICH gutes Video!
Wie kommt auf einmal die Ente her?!
ernst gemeinte Frage ??
schlechter scherz
och ich fand ihn gut
Ich liebe diese Flachwitze :-D
Ich wollte etwas ab 9:37 anmerken. Es gibt noch eine einfachere Beschreibung einer überabzählbaren Menge. Wir können jedes Zimmer im Hilbertschen mit einem Gast belegen oder nicht. Das nennen wir BELEGUNGSZUSTAND. Ein Belegungszustand ist, dass alle Zimmer frei sind oder alle belegt. Soweit so gut.
Es gibt unendlich viele davon, z.B. wenn das n-te Zimmer belegt, und alle anderen frei sind. Wieviele Belegungszustände gibt es denn. Sie sind überabzählbar und der Beweis ist sehr einfach.
Angenommen, wir können diese Zustände abzahlen mit Z1, Z2, ... Zn. Dann kreieren wir den Zustand Z wie folgt: bei Z ist das erste Zimmer genau dann belegt, wenn es bei Z1 frei ist. Das zweite Zimmer bei Z ist genau dann belegt, wenn es bei Z2 frei ist, und das nte immer ist genau dann belegt wenn es bei Zn frei ist.
Was ist mit Z, kommt es in der Liste vor? Z kann wegen der Konstruktion nicht Z1 sein, denn beide unterscheiden sich im ersten Zimmer, auch nicht Z2, denn beide unterscheiden sind im zweiten Zimmer, auch nicht Zn, denn beide unterscheiden sich im n-ten Zimmer. Z erscheint gar nicht auf der Liste!
Wir haben eine Menge gefunden, die überabzählbar ist. Sie ist viel anschaulicher als die Menge der reellen Zahlen.
"Ein Belegungszustand ist, dass alle Zimmer frei sind oder alle belegt."
Erinnert mich irgendwie an Schrödingers Katze. :D
super video und echt gut erklärt, danke dir und weiter so! :)
sehr sehr gutes video, ich find mathe ja eigentlich.. blöd aber das Video war wirklich interessant und ich habe es mir gerne angeshen. Auch so locker wie du es erklärt hast!
Hi!
Erkläre doch mal, weshalb eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
Au. Der Zimmerservice hat viel zu tun
5:00 man kann ja auch den bussen Primzahlen zuordnen. Bus 1, bekommt die primzahl 3. Und jeder gast aus bus 1 bekommt eine hochzahl fahrgast 1 bekommt 3hoch1 fahrgast 2 3hoch2...
Ganzzahlige positive Potenzen der jeweiligen Primzahl
Ich hab noch eine frage: Was ist wenn unendlich viele Straßen zu dem hotel führen auf denen jeweils unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Personen zu dem hotel fahren?🤔
Easy. kannste auch unendlich viele Elemente nehmen z.B.:1. Personen , 2. Busse , 3. Strassen , 4. Universen etc. bis n. Du musst einfach beim zählen nach der 1. Person im n-ten Element zurück zur ersten Ebene. Wichtig ist nur das auf jeder Elementebene Fortschritt gemacht wird. alle Angaben ohne Gewähr, denn die Mathe n-dimensionaler Räume übersteigt mein Vorstellungsvermögen.
Das kann man sich im 3D-Raum noch ganz gut vorstellen.
Du nummerierst erstmal alle Straßen, alle Busse auf jeder Straße und alle Personen in jedem Bus.
Dann hast du 3 Achsen, jeweils für Straße, Bus und Person. (1,1,1) wäre also bspw. die erste Person in Bus 1 auf Straße 1 und (2,3,4) Person 4 in Bus 3 auf Straße 2.
Nun hast du alle unendlich viele Personen im 3D-Raum dargestellt. Jetzt legst du eine Kugel mit Radius 10 (die konkrete Zahl ist egal) und Mittelpunkt (0,0,0) in den Raum. Alle Personen in diesem Raum (das sind definitiv endlich viele, da alle Personen mit einem Koordinatenwert von 11 oder mehr definitiv außerhalb liegen) können jetzt den ersten paar Zimmern zugeordnet werden (wie genau spielt keine Rolle). Danach erhöhst die den Radius auf bspw 20 und sortierst die neu in der Kugel eingeschlossenen (wieder endlich vielen) Personen ein, dann erhöhst du den Kugelradius auf 30 usw.
Dadurch wird tatsächlich jeder Person ein Zimmer zugewiesen. Um das zu sehen, kann man das ganze aus der Perspektive einer einzelnen Person sehen. Wenn du Person Z in Bus Y auf Straße X bist, dann ist das in unserer Darstellung Punkt (X,Y,Z). Den Abstand zu (0,0,0) kann man sich dann leicht ausrechnen mit Pythagoras, nämlich sqrt(X²+Y²+Z²). Wichtig ist, das ist eine endlich Zahl! Das heißt irgendwann wird der Kugelradius größer sein (sei es auch erst nach Milliarden von Iterationen) und deine Koordinaten innerhalb der Kugel. Dann bekommst auch du dein Zimmer zugeordnet.
@@patrickwienhoft7987
Perfekt erklärt👌
Klappt die Logik mit dem R4 alalog zum R3? Dürfte ja eigentlich nicht mehr so easy zu erklären sein als mit 3 unendlichen Achsen...
Bei unendlich Verzweigungen machts schlichtweg keinen Sinn mehr aber davor muss ja auch irgendeine Logik vorhanden sein mit der man das Problem lösen kann...
@@andreasroth838 Ja, im R4 funktioniert das auch, dann hat man eben kein Tripel als Koordinate, sondern ein Quadrupel und eben eine 4D-Kugel. Visuell wird das natürlich sehr schwer, aber rein mathematisch klappt das genauso.
Cantorsches Diagonaverfahren in 3D. Noch mehr Dimensionen möglich; z. B. Gäste aus unendlich vielen Ländern. Unendlich viele Vorlieben bei den Gästen usw.
4:11 die Begründung stimmt nicht.
Man muss die Anweisung ja immer gleichzeitig geben, dass die Gäste das Zimmer wechseln. Man würde es deshalb schon schaffen, Bus 1 unterzubringen! Nur da es unendlich viele Busse gibt, würde man nie fertig werden, alle Busse nacheinander unterzubringen.
@dorfuchs
gut erklärt ! Frage. Es heißt, dass man nicht durch die 0 teilen darf. Wenn aber im zähler eine positive natürliche Zahl wie die 2 steht, dann müßte das gehen. Denn 2:0,1= 20 oder 2: 0,01 = 200. Geht man so weiter vor wird das Ergebnis immer höher und strebt gegen unendlich. Es klappt aber eben nur wenn der Zähler eine positive natürliche Zahl ist.
Das stimmt, wenn man sich von positiven Werten an die Null annähert.
2/0.1= 20
2/0.01= 200
etc
Aber was passiert, wenn man sich von negativen Werten nähert?
2/(-0.1)= -20
2/(-0.01)= -200
etc
Wie ist denn jetzt der Grenzwert definiert?
+Unendlich oder -Unendlich?
Es gibt eigentlich nur unendlich, also positiv.
Persönlich kann ich es mir auch umgekehrt vorstellen, das ist aber nicht definiert und von daher besagt die Regel: Die Division durch positive Zahlen als Element von N ist erlaubt.
Das hat was wie 0 hoch null, mal ist es 1, dann wieder null. Träfe der erste Fall ein hätten wir wieder ein Problem, denn dann wäre 0=1 !. Nicht zu viel drüber nachdenke, da sind schon Mathematiker in der Klapse gelandet
Im Zähler kann auch eine andere Zahl ungleich Null stehen z. B. pi
Architekt:Wie viele Zimmer soll das Hotel haben?
Manager: JA
Was ist denn das für ein Service in dem Hotel wenn die alle ständig umziehen müssen😐
Pontus 234: Das ist ein unendlich schlechter Service!
Das gute ist, dass nicht zwingend jeder umziehen muss. Es reicht wenn der erste Gast Zimmer 1 frei macht und nach Zimmer 10 geht, der Gast von Hotelzimmer 10 in Zimmer 100 geht, der Gast von Zimmer 100 in Zimmer 1000, der Gast dort zu 10000, der nach 100000 etc.
Dann müssen zwar immer noch unendlich viele Gäste umziehen, aber nicht alle. Unendlich viele Gäste können auch in ihren Zimmern bleiben. Viel besser noch: Der Anteil der Gäste der umziehen muss, ist 0% ;)
Mein Hotel baut unendlich viele Zimmer
9:23 hinter 5- steht pi/10
Stimmt
Hinter 6- steht Pi minus 3
Genial!
Jetzt will ich noch wissen, warum 1+2+3+4+...=-1/12 ist :D
Da gibt's doch auch schon ein gutes Video dazu.. =)
Ich weiß, das von Numberphile :D
Ich wills aber einfach so nochmal erklärt haben vom Fuchs ^^
***** Ja, das wäre echt super. =)
gut erklärt tolles Video
Also - am liesten wäre ich da schon Gast Nummer *1* :-) Der weiß immer und sofort, wohin er gehen muss - und er hat nie unendlich weit zu gehen, ehe er endlich zu seinem Zimmer findet :-)) …
Keiner der gäste muss unendlich weit gehen!
Hmm lecker Ente beim Thai. Eine gute Wahl Doir Fuchs.
Ich glaub ich habs verstanden. Allerdings: Wie will man aber die unendlich mal unendlich vielen Gäste nun effektiv im Hotel unterbringen. Natürlich wäre ja für jeden noch ein Zimmer verfügbar, aber wie wollen sie die unendlich viel Meter zu ihrem Zimmer zurücklegen. Natürlich könnte man sie, wie schon gezeigt einfach zwischendrängeln. Allerdings müsste dann jeder Gast seiner zimmernummer mal unendlich nehmen. Das heißt, wir haben wieder eine unendlich große Masse an Menschen, die eine unendlich große Strecke zurücklegen muss, um ihr Zimmer zu erreichen. Nur mit dem unterschied, dass jetzt dir schon vorhandenen Bewohner und die die mit dem Bus gekommen sind angepisst sind. Schon zwischen dem vorhandenen Bewohner Nummer Eins und Nummer Zwei sind ja jetzt unendlich viele Zimmer vorhanden. Dass heißt zwar, dass meinetwegen nur alle Gäste ab Zimmernummer Zwei, ihre Zimmernummer mit unendlich addieren müssen (und ein Gast weniger angepisst ist ;) ), Trotzdem müssen sie ja die selbe Strecke zurücklegen da n mal undenlich = n + unendlich ist. Und schon wenn man dass Zimmer, vor dem vorhandenen Gast nummer zwei bekommen hat, müsste man diese unendlich Strecke zurücklegen. Wäre es nicht einfacher, nochmal ein Hotel mit unendlich viel leeren Zimmern zu bauen, und dann jedem zu sagen, er solle sich halt ein Zimmer suchen und gut is? Zu dem Thema hätte ich aber noch eine Frage: Wenn ein Gast in ein leeres Zimmer geht, kann man sagen unendlich minus 1, weil ein Zimmer jetzt besetzt ist. Wenn alle ihr Zimmer haben, wäre das quasi unendlich minus unendlich. Ergibt sich dann daraus 0, weil jetzt kein Zimmer mehr verfügbar ist? Wenn ja, dann wär das schon komisch, da mann ja immer noch einen Gast dazwischen drängeln könnte, wie du in deinem Video ja bewiesen hast. Das heißt, obwohl jedes Zimmer besetzt sind, ist immer noch eins für den neuen Gast da. Also 0 leere Zimmer sind da und gleichzeitig ist nich 1 für den neuen Gast da. Macht das nicht aus 0=1? Bzw. 0=n?
Halt Stop! Jetzt muss ich mich mal selber korrigieren. XD Natür lich bekommt man alle neuen Gäste unter, indem man einfach wieder jedem Gast sagt, er solle seine Zimmernummer verdoppeln. XD Dann sind ja wieder unendlich viele Zimer frei... usw.
LeSpeederus Der Fehler liegt einfach darin, dass unendlich keine Zahl ist, genauso wie zum Beispiel x/0. Das heißt, du kannst nicht damit rechnen.
dro
Sone Zahlen die eigentlich keine sind nerven mich einfach -.- schon im Matheunterricht konnt ich die nich leiden
***** Auch das alles ist mir durch den Kopf gegangen. XD Aber ich bin einfach mal davon ausgegangen, dass jeder Mensch unsterblich ist (oder unendliche Strecken in endlicher Zeit zurücklegen kann) Und einfach unendlich viel Fläche und Materiel für unendlich viele Hotels vorhanden ist.
Wie ist das bei folgendem Sachverhalt?
Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Die Ebene, in der die Gerade liegt, besteht aus unendlich vielen Geraden. Und der Raum, zu dem die Ebene gehört, besteht aus unendlich vielen Ebenen. Ist dann die Anzahl der Punkte in der Ebene unendlich mal so groß , wie die Anzahl der Punkte in der Geraden? Und ist die Anzahl der Punkte im Raum unendlich mal so groß, wie die Anzahl der Punkte in der Ebene. Und müsste man die Anzahl der Punkte in der Geraden mit unendlich hoch 2 multiplizieren, um die Anzahl der Punkte im Raum zu erhalten. Sprich: Sind das 3 unterschiedliche Mächtigkeiten der Unendlichkeit?
Ich als Durchschnittsbürger frage: "Wofür braucht man das?"
Und ja ich würde mich *wirklich* freuen, wenn du mir sagen könntest, wo sowas tatsächlich praktische Anwendung findet!
ich glaub ich habs kapiert: Großes Hotel+fleißiger Koch+viele Busse=Unendlich:)
Ne ernsthaft, du kannst echt gut erklären und ich hab mal wieder was zum nachdenken;)
War aber schon sehr interessant.
Wenn ich jetzt die Zahl unendlich unendlichfach mit sich selbst potenziere, stünde das dann für die Komplexen Zahlen? Und wenn ja, sind diese dann mächtiger als die Reelen Zahlen? Da nach diesem Muster (unendlich + 1, unendlich + unendlich, ... ) bei genanntem keine sinnvolle Erweiterung mehr möglich ist, lässt sich daraus schließen, dass die Komplexen Zahlen die höchste, zumindest für den Menschen, vorstellbare Zahlenmenge ist?
Zunächst: Die Komplexen Zahlen sind genau so mächtig wie die Reellen Zahlen.
Durch Potenzmengen kann man beliebig große Mengen erzeugen. Die Potenzmenge der reellen Zahlen ist mächtiger als die Menge der reellen Zahlen, die Potenzmenge der Potenzmenge der reellen Zahlen nochmal größer etc.
Die Potenzmenge der reellen Zahlen hat aber keine wirkliche Kongruenz zu "sinnvollen" Zahlenmengen mehr. P(R) bildet eine boolsche Algebra, aber keinen Körper. Insbesondere heißt das, dass P(R) keine totale Ordnung hat, das heiß, wenn man irgendwie Zahlen findet, die so mächtig sind wie P(R), dann gibt es Zahlen x, y, z für die eine dieser unintuitiven Bedingungen gilt:
x>y und y>x
weder x>y noch y>x
x>y und y>z aber nicht x>z
Insofern kann man denke ich sagen, das die reellen Zahlen (zusammen mit allen gleich mächtigen Zahlenmengen) nicht nur die höchste für den Menschen vorstellbare Zahlenmenge, sondern auch die höchste sinnvolle Zahlenmenge ist.
Mach doch mal was über die Thompson Lamp (Intervalle)
Schaut euch mal das das von BBC Wissen über Hilbert Hotel an, gibt es auf Vimeo ;) tracking the point of infinity....... :)
aber wenn jedes der unendlichen zimmer besetzt ist wie soll es dann ein nicht besetztes zimmer geben
Ja, das ist die Frage. Stell dir die Zimmer mal in einem Kreis vor. Wenn jeder im (oder gegen den) Uhrzeigersinn ein Zimmer weiter geht, dann kann von außen jemand in das erste freigewordene Zimmer gehen. Allerdings würde der letzte nicht in das erste Zimmer können, weil dort der erste ist. Doch wenn dieser ein Zimmer weiter rückt und der nächste wieder ein Zimmer weiter, dann rücken alle immer ein Zimmer weiter.
Bei dem Hotel würde der letzte nicht wieder bei dem ersten reinwollen, aber es wären wohl nie alle in einem Zimmer, weil immer einer weiter rückt. Hm... da sich dann immer einer bewegt, und dieser in dem Moment in keinem Zimmer ist, heißt das doch, das garnicht einer mehr untergebracht ist. Zumindest nicht in einem Zimmer, im Hotel ist er ja vielleicht.
Ach keine Ahnung :D. Hab ich dich jetzt verwirrt? xD
Ich glaube man kann sich die Unendlichkeit einfach nicht vorstellen :D.
Diese Erklärung müsste man sich wirklich mal breit angucken.
Habe jetzt nicht verstanden wie das mit den unendlich viele Busse gehen soll weil sie haben gesagt dass die diagonal verteilt werden allerdings nicht welches Zimmer dann sozusagen wem zugeordnet... also ich habe die Erklärung dafür nicht verstanden
Wieder alle "geraden" zimmer
Kann mir bitte jemand erklären wie eine Unendlichkeit, die einzig dadurch definiert ist, dass sie kein Ende hat Teilmenge ihrer selbst sein kann.
Und wie passen die komplexen Zahlen da rein?
Tun sie nicht
hi
tolles Video!
Ich hätte da aber noch eine (glaube ich ) recht komplexe Frage:
Wie sieht der Graph von (-1)^x aus
Ich habe im Internet nichts dazu gefunden
Ich schätze mal eine Mischung aus komplexen und reellen Zahlen?
Wäre jedenfalls echt cool wenn du das aufklären könntest, da es mir doch nicht aus den Kopf gehen will xD
Der Betrag von -1 ist 1, der Winkel in der kompexen Zahlenebene ist pi,
daraus folgt mit der eulerschen Formel:
(-1)^x=(e^(i*pi))^x=e^(i*pi*x)=cos(pi*x)+i*sin(pi*x)
Das bedeutet der Realteil sieht aus wie der Cosinus, der Imaginärteil wie der Sinus.
Würde man nun die komplexe Zahlenebene hernehmen und nach oben durch die x-Achse erweitern, ergäbe sich ein "schraubenförmiger" Graph.
Falls x die Zeit wäre, könntest du dir einen Punkt vorstellen, welcher sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit Radius 1 bewegt.
Ich habe da mal eine Verständnis-Frage dazu: Heißt das, dass unendlich x unendlich auch gleich (abzählbar) unendlich ist, aber unendlich^3 (also beispielsweise, unendlich viele Busse mit unendlich vielen Personen, die jeweils unendlich viele Zimmer belegen wollen), dass das dann schon "überabzählbar" unendlich ist? Oder könnte das Hotel Hilbert diese Personen auch aufnehmen? Oder, als Beispiel: jeder der unendlichen Gäste aus unendlichen Bussen hat unendlich viele Essenswünsche (dass kein Essen dem eines anderen Gastes gleicht), also unendlich^3, und, wenn man es weiter spinnt: jedes dieser unendlichen Essenswünsche hat unendlich viele Zutaten, von der keine Zutat der anderen gleicht (unendlich^4)... Ab wann ist es "überabzählbar"?
Faszinierend!
Erfolgreich verwirrt😬
Bei den unendlich vielen Bussen mit unendlich vielen Personen können doch einfach alle Personen aussteigen und dann macht man es so wie beim einen Bus mit unendlich Personen also alle Hotelgäste gehen in das Zimmer mit der doppelten Zimmerzahl. Korregiert mich wenn ich falsch liege.
Es ist halt ein gedankenexperiment und sowas wie „alle steigen aus“ ist nicht erlaubt und funktioniert auch nicht, da sich nicht unendlich viele Menschen vor dem Hotel aufhalten können. Das Prinzip basiert darauf die Menschen einzeln ihren Zimmern zuzuteilen
Unendlicher als unendlich :D
Es geht noch einfacher. Wieviele Möglichkeiten gibt es, das Hilbertsche Hotel mit Gästen zu belegen? Es gibt auch jeden Fall unendlich viele. Denn wenn nur genau das n-te Zimmer belegt ist und alle anderen frei, haben wir eine und bei unendlich vielen Zimmer haben wir unendlich viele Möglichkeiten dieser Belegung..
Angenommen, wir könnten die Belegungen abzählen mit B1, B2 usw. Dann überlegen wir und eine Belegung B wie folgt: Bei dieser Möglichkeit ist das Zimmer 1 genau dann belegt, wenn es in B1 frei ist. Dass gilt dann für Zimmer 2 dann für B und B2, Zimmer 3 dann für B und B3 usw.
Ist diese Belegung dann auf der Liste. Wäre sie es gäbe es ein m aus den natürlichen Zahlen, so dass B und Bm identisch sind. Insbesondere gibt das dann auch fürs m-te Zimmer, dass aber genau dann belegt ist, falls es in Bm frei st. Das ist ein Widerspruch.
Diese doch auch für Nichtsmathemathiker anschauliche Menge ist überabzählbar.
Was ich nicht ganz verstehe: Warum ist die Menge aller natürlichen Zahlen und die der natürlichen Zahlen und Null gleich mächtig? Ich habe gelernt, null sei das neutrale Element der Addition. Dann trifft ja das erste Beispiel gar nicht zu, weil ja definitiv ein Gast hinzukommt im Beispiel, was ich eher als Addition von 1 verstehen würde.
aber was ist wenn alle auschhecken dann gibt es keine zimmer mehr?
und wenn wir einfach die unendlich vielen busse ins hotel tun?
Erwin Bogumil
Busse ins Hotel tun?
Dafür bräuchte das Hotel eine (undendlich) große Tiefgarage. Davon hat DorFuchs aber nichts gesagt.
noname676 aber wir haben doch unendlich platz in den unendlichen zimmern da kann ma auch wände einreißen
Es gibt ja noch die Enten Zimmer
Wenn ein unendlich langer Bus kommt, braucht er eine unendlich lange Straße. Diese kann maximal so lang sein wie das Universum diagonale Länge hat. Diese Länge (in M) muss man durch die Reisegäste pro Meter Bus teilen und man hat unendlich als Zahlenwert!!!
Ich stelle dazu mal eine interessante Frage in den Raum ;) Welchen Sinn würde es machen sich in einem Raum, der keinen Anfang und kein Ende besitzt, fortzubewegen? Und wie verhält es sich mit der Geschwindigkeit, mit der man sich fortbewegt? Spielt das in einem solchen Fall überhaupt irgendeine Rolle?
@@hardwarecollector2097
Ich denke die Geschwindigkeit ist schon interessant. Wenn man zum Beispiel auf einer unendlich langen Achterbahn ist, dann interessiert es einen schon, ob man schnell oder langsam fährt. Man kommt zwar nicht eher oder später an, aber es macht bei einer höreren Geschwindigkeit mehr Spaß (zumindest bei einer Achterbahn).
@Saskia
Meiner Meinung nach spielt es keine Rolle wie schnell man sich dann fortbewegt. Da es kein Ende gibt, wird man auch niemals irgendwo ankommen können. In diesem System gäbe es keinerlei Bezugspunkte und ohne die könnte man gar nicht sagen, wo man sich genau befindet.
Mir ist gerade wieder etwas aufgefallen. Die Zahl Pi soll unendlich lang sein. Demnach hat sie keinen Anfang und kein Ende. Warum fängt diese Zahl mit 3,14.. u.s.w. an? Warum hat sie überhaupt EINEN ANFANG? Es müssten also auch unendlich viele Zahlen VOR der 3,14... stehen. In sofern scheint sie mir definierbar zu sein. In einem unendlichen System kann es nach unserer Logik weder Anfang noch Ende geben und somit existiert nach meinem Verständnis auch keine Definierbarkeit (keine Ecke, keinen Rand, keine Grenzen, keine Bezugspunkte).
@@hardwarecollector2097
Pi ist nicht unendlich groß, die Zahl befindet sich zwischen 3 und 4. Sie hat nur unendlich Nachkommastellen.
Haben wir in der Mathestunde angeschaut direkt lachflash 😂
Hatte ich im letzten (bzw. ersten) Semester. Ist 'ne ganz spannende Geschichte mit der Unendlichkeit. Aber rein mathematisch betrachtet ist doch ∞ + ∞ , ∞ * ∞ etc. gar nicht definiert, weil das doch nur Abbildungen zb. auf den reellen Zahlen sind und ∞ kein Element der reelen, natürlichen, ganzen oder komplexen (oder was auch immer) Zahlen ist, oder nicht? Uns wurde direkt gesagt "Nein. Nein. Nein. Ihr dürft sowas niemals schreiben!" :D
Hier sind die Gleichungen als zusammengefasste Merkhilfe zu verstehen - also "symbolisch". Mit ∞ sollte man weiterhin sehr vorsichtig sein ;)
DorFuchs
Ich hätte mal ne frage. Wo kommst du her?
Hab dich grad durch Zufall entdeckt, Klasse erklärt so hätte ich das damals auch verstanden! Da ich zwei Kinder habe die es schwer in Mathe haben und (audivisuelle Lerntypen sind), hier meine Frage: Kannst du bitte auch was für Grundschüler machen also einfach Division, Multiplikation, Brüche ect. ???? Bitte ich möchte nicht die nächste Hartz IV Generation großziehen.......
9:29 Einfach mal die Zahl π÷10 eingebaut :D
cooles T-Shirt :D
Aber was passiert wenn man 1 von unendlich abzieht?
Für die die es nicht wissen : "Abbildung" ist das gleiche wie "Funktion" ;)
PC 1 hat eine Festplatte die unendlich viel speichern kann und PC 2 hat unendlich viele Festplatten, die unendlich viel speichern können.
Meine Frage, kann PC 2 jetzt mehr speichern oder können beide unendlich viel speichern ? :D
Also das Hotel hätte vermutlich keine gute Bewertung. Stellt euch vor, ihr seid in einem Hotel und plötzlich klopft mitten in der Nacht irgendwer an euer Zimmer und sagt, dass ihr es räumen und ins nächste Zimmer umziehen sollt.
Entschuldigung seit seit 2020 ist diese Aufgabe nicht mehr zu lösen. Jedem Hotel ist die Unterbringung von Übernachtungsgästen leider verboten.
Da Hilberts Hotel unendlich viele Gäste aufganommen hatte und jetzt nicht mehr aufnehmen kann ist der Schuldenberg so unendlich hoch, dass Hotel Hilbert Insolvenz anmelden musste. :-)
Die Ente Zahl!😂😂😂
Da bin ich bei einem Problem, dass ich seit Monaten ungelöst mit mir rumtrage: Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist Aleph-0, die der reellen Zahlen ist Aleph-1, also größer. Das wurde ja im Video superanschaulich erläutert. Gibt es im erweiterten Sinne eigentlich ein Aleph-2 oder gar ein Aleph-n?
Allerbeste Grüße, Joe
1. Es ist nicht klar dass die Mächtigkeit der rellen Zahlen gleich das nächste in der Liste ist (das ist die Kontinuumshypothese, die man nicht beantworten kann) oder ob es nocht eine Mächtigkeit dazwischen gibt. Was man aber einfach beantworten kann ist die Frage ob es immer größer geht, und die Antwort ist ja, denn zum Beispiel die Menge aller Teilmengen einer bestimmten Menge (zum Beispiel den reellen Zahlen) ist immer größer als diese Menge.
@@zairaner1489 Ich kenne diese Aussage, aber ich kann die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählen:
leere Menge - 1 - 2 - 2, 1 - 3 - 3, 1 - 3, 2 - 3, 2, 1 - 4 - 4, 1 - 4, 2 - 4, 2, 1 - 4, 3 - 4, 3, 1 - 4, 3, 2 - 4, 3, 2, 1 - 5 - usw.
Erinnert mich an das Belegen von Stellen im Binärsystem mit »belegt« oder »nicht belegt«.
Ups, sorry, ich habe die unendlichen Mengen weggelassen. Von ihnen gibt es auch noch ein paar.
wie aolt bist du eigendlich?
Hilbert hat auf jeden Fall ausgesorgt mit seinem Hotel
Gibt es doppelt so viele Ganze Zahlen wie Natürliche Zahlen?
Nein. Es gibt von beidem unendlich viele
Senor Dingdong Ja, und unendlich mal 2 ist unendlich. Passt doch.
Was ist überhaupt die Fakultät von ♾️?
Man könnte zwar sagen ♾️, das Problem ist aber, bei der Fakultät wird ja immer die nächst kleinere Zahl als Faktor genommen, sprich bei 5!=5*4*3*2*1; aber unendlich hat keine nächst kleinere Zahl, sprich es wäre immernoch ♾️=♾️*♾️*♾️*♾️*♾️ ♾️; auch wenn immer die nächste Zahl - 1 der vorherigen gerechnet wird, also ♾️=♾️*(♾️-1)*(♾️-2)*(♾️-3).........
Und da ♾️-1 ja immernoch ♾️ ist, könnte man ja auch sagen ♾️^♾️, oder? Aber jetzt ist das Problem, dass bei der unendlichsten Stelle (ja ich weis die erreicht man nie, aber es geht ja bis in das unendliche.) stehen würde..................... (♾️-(♾️-1)), und das müsste ja 0 sein, oder doch 1, weil ♾️-1=♾️, also wäre es (♾️-♾️), also doch 0 oder? Wenn ja dann wäre ja ♾️*♾️*♾️......... *0, und es ist ja bei reelen Zahl so, dass wenn 0 ein Faktor ist, immer 0 raus kommt, aber ist das bei ♾️ auch so, es ist ja keine reele Zahl?
Ist Unendlich minus Unendlich gleich Unendlich oder 0 ??
Wenn du eine unendliche Menge von Zahlen von einer unendlichen Menge von Zahlen abziehst, kann immer noch eine unendliche Menge von Zahlen übrige bleiben. Schau dir mal Numberphile zu dem Thema an
Je nach dem, was man mit den jeweiligen Unendlichs meint....
4:04 min. Das arme Hotel und der Koch...
Solche Spielereien sind nur möglich, wenn man Theorie und Praxis in einen Topf wirft. Denn wenn durch Umsetzung der Gäste plözlich ein Zimmer frei wird, war es auch schon vorher frei.
Aber mit unendlich besetzten Zimmern haben wir auch unendlich viele Menschen also ist jeder raum besetzt
8:24 die grosse erleuchtung dieses systems.
(Ich kannte es schon aber es klang immer so unlogisch.)
Danke dorfuchs
Bitte ein lied über kegelschnitte ;)
Maximilian Thaler
Kegelschnitte wird der neue Kosename für meine Freundin.
Je schräger man sie anguckt desto dicker wird sie. :-D
Was ist die höhste Zahl die du kennst außer unendlich
Fümf.
Baden tv unendlich ist keine Zahl..
Baden tv bei mir Neunhunderneunundneunsichdezilionenneunhunderneuundneunsichdezilionenneunhunderdneunundneunzignonilliardenneunhundertneuundneuzignonillionenneunhunderneuundneuzigoktilliardeneuhunderneunundneunzigoktillionenneunhundertneunundneunzigoktillionenneunhundertneunundneunzigseptilliardeneunhundertneuneundneunzigseptillionenneunhunderneunundneunzigsextilliardenneunhundertneunundneunzigsextillionenneunhundertneunundneunzigquinntilliardenneunhunderneunundneunzigquinntillionenneunhundertneunundneuzigquatrilliliardenneunhundertneunundneunzigquatrillionenneunhunderneunundneunzigtrilliardenneunhundertneunzigtrillionenneunhundertneunundneunzigbilliardeneunhundertneunundneunzigbillionenneunhunderneunundneunzigmilliardenneunhunderneunundneunzigmillionenneunhundertneunundneunzigtausendneunhunderneunundneunzig
999 Septendezilliarden...
Zumindest wenn man Googolplex weglässt.
Alle 7 Jahre kommt ein kleines Vöglein zum Mount Everest und wetzt sein Schnäblein dort, wenn der ganze Berg abgewetzt ist, ist eine Sekunde der Unendlichkeit vergangen!
und was ist mit den komplexen zahlen
***** genausoviele wie die reellen (damit natürlich mehr als die natürlichen)
Komplexe Zahlen aber bitte nur auf rationaler Basis. Wo kämen wir denn sonst hin
Lustig: n-tes Menü kann man auch als Entes Menü verstehen