67.5° ラ・サール
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- เผยแพร่เมื่อ 13 ต.ค. 2024
- 数学を数楽にする高校入試問題81
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数学を数楽にする高校入試問題81
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この問題を考えた出題者も凄い。
自分はこう解きました。
ADをDの方向に伸ばしてあげると、△ADCが2辺狭角が1,1,135°の二等辺三角形なので、CからADに下ろした垂線の足をHとしてCH=CD*1/√2、なので、△ADC=1/2*1*1/√2。
あとは△ABCですが、これもAC=BCで狭角が45°の二等辺三角形。なので、AからBCに下ろした垂線の足をIとして△ABC=1/2*BC*AIで、△AICは直角二等辺三角形なので、AI=AC*1/√2。
よって、△ABC=1/2*BC*AC*1/√2=1/2*AC^2*1/√2 あとはAC^2をさっきの△AHCに三平方の定理から求めて、△ADC+△ABCを出せば完了。
ACを求めなくても最後のAC^2で面積が求まり、三角比を持ち出す必要もなければ二重根号をわざわざ考えなくても良いのがいいですね。
これはラサール高校入試の最初のサービス問題。確かこの問題を筆頭に60分で120問、特に最後の40問は難しかったかと。
10分くらいかかったけど、暗算で解けました。
ABに平行になるようにDからBCへ線を引いてBCとの交点を点Eとする。
台形ABEDを作る。点Aと点Eを結び、台形を二等辺三角形ABEと直角二等辺三角形AEDに分ける。AE=ABなのでABの長さも分かる。台形の面積を出す。二等辺三角形ABEと二等辺三角形DECの面積比は辺の比から2:1。後は二等辺三角形DECと台形を足して終わり。
図形外に補助線を伸ばすと生徒は理解が複雑になると思うので、まずは図形内だけで解けるかを考えるのが良いかと思います。
角ADCが135度を利用してADの延長線上にCから垂線をおろしその交点をEとする。四角形ABCEは台形となり、三角形DCEは直角二等辺三角形となる。台形の面積から直角二等辺三角形の面積を引いて答えを導き出したのですが、同じ答えになりました。
ABとCDの交点Eの三角形を作り、辺ECを対称に合同な三角形ECB'を用意して、三角形EBB'は直角二等辺三角形で辺BB'は√2(√2+1)。辺ECは√2+1。EBCB'は菱形、EADA'は正方形になるのでABCD=(菱形-正方形)/2=((BB'*EC)/2-1)/2で求めました。
Eを取るところまでは同じですが、CHの補助線に気づかず、
Cを通るBCに平行な直線を書き、その直線とABの交点をFと置きました。
そうすると、△FADの面積は｛(√2-1)+1｝×1×1/2
相似を使いBCを求めて、三平方で高さを求める。
あとは面積を求めて△AECを引くという相当な遠回りをしました。
試験では時間不足でしょうが、色々解法があるのは良いと思います。
高校入試ということを忘れて、
ABとDCを延長してEを頂点とする二等辺三角形を作った後、
1/2*(√2+1)＾2*sin45°-1*1*1/2で解いてしまいました。
途中から同じ式になるのは不思議ですね。
△AEDは2等辺三角形でDE=√2よってAB=√2 ∴S=(1/2)(1+√2)^2sin45°-(1/2)√2sin45°=(2+3√2)/4
△EADと△EBCの面積比が√2：2√2＋3になるのでそこから求めました
√2：2√2＋3＝1/2：x これを解いて1/2を引く
△DAEと△DABの底辺比から面積を求め、△BEDと△DBCも底辺比から面積を求めていった方が計算が楽かな
全く同じ方法で解きました😃
先生の仰るとおり二等辺三角形だから最初、真ん中から真っ二つに垂線を下ろそうかとも思いましたが67.5°だからどうにもならないことにすぐ気付いて方針変更。
直角二等辺三角形ができ上がってからは即でした。
角度にクセがあるので、BAとCDを延長することに気づきやすいですね。
動画のとおり、AE：AB＝1：√2でED：DC＝√2：1まで求めて、
後は同じ高さで底辺違いの面積の比から、△EAD：△ABDが1：√2で、△EBD：△BDCが√2：1なので、
結果として△EADと△ABD＋△BDCつまり求めたい四角形の比が求まる。
△EADは高さと底辺が共に1の三角形だから面積ゆえ1/2ということで求めてみました。
今回は見た瞬間二等辺三角形見えて相似も見えたからとっつきやすい問題だった
BAと CDの交点をEとして、ACに補助線引いたとき△EBCと△CABが相似な二等辺三角形、△EADが直角二等辺三角形になることと条件AD＝DC=1などから、EA:AB=1:√2,ED:DC=√2:1を求め、面積比が△EAD:△DAC:△CAB=1:√2/2:2＋√2になることを求めて、ゴリゴリの力業で出しちゃいました…
川端先生の解き方の方がスッキリですね🤔
丁寧に作図しようとすると「でっかい二等辺三角形描いて、そこから上を切り取るか」となって、それがそのまま解く方針になる
さすがにラサール高校の入試問題ですね。この補助線を引くのを気づくは、なかなか難しいですね。企業の入社試験に出題してもいいかもしれません。
ACを繋いで、△ACD(頂角135°・二等辺が1の二等辺三角形)と△ABC(頂角45°・底角67.5)の二つの三角形に切り分け、S=1/2×a×b×sinCをゴリ押して計算してしまいました。ちなみにACは余弦定理を使って、求めてしまいました。
川端先生の解法の方がエレガントでスマートですね。
補助線2本でABの長さが解ったら、
CDに平行でAを通る追加補助線を引きました。
追加補助線とBCとの交点をGとすると、
三角形ABG=(√2)/2
台形AGCD=1/2 × ((√2)+1) × (√2)/2
とでます。
２つあわせて
四角形ABCD=三角形ABG + 台形AGCD
良く考えると、
ABに平行でDを通る追加補助線の方が計算が楽かも。
ここで学んだ気がします。角出しです。あと意味深な角度。2倍にどうしてもしたくなる。
筋道は一緒でした。
ただCHの長さを求める際に、DからCHに垂線を引いて、斜辺1の直角二等辺三角形を作ると計算の労力が減りますね。
4日かかってしまった。もうギブアップして解説みようかと思った時にAB、CDを延長する2等辺三角形に気がついて解けた。うれしい〜
最後の面積を出すのは辺CD上に直角二等辺三角形を描く方法だったので解説とは違ったけど答え合っててよかった（╹◡╹）
そのどれだけかかっても問題を解くという精神、大切にしてくださいね。
粘れる精神力に、脱帽...
△EBCをECの辺で折り返してあえて2倍の面積を求め、その結果に1/2を掛けて△EBCの面積を求めてから△EADを引いて求めました。
最後に先っぽの三角形の面積を引くのを忘れましたorz
図形を見た時、昨日ならったブレートシュナイダーの公式が思いついたけれど全く関係なかった。
辺の長さがわかってもcos157.5°わかんなくて草
点Eを取るのは一緒でFをBC上のAB//DFになる点で探しちゃったから求まりませんでした…
△EBC:△DFC=(1+√2)^2:1が分かっててもそもそも△EBCの面積が分からないし
四角形ABFDの面積が分かっても何の役にも立たなかった…
直線BC上にDE＝１となる点Eをおいて、AE、DEの２つの補助線を引く手もある。
小数点の計算とルートの計算のどっちが楽かな、という感じ。
三角形ADEが直角二等辺三角形になるんですね。素晴らしい!
@@切り雲 ありがとうございます
@@切り雲 動画の頭の方でそう解説してますけど
@@Couch-Tomato さん
聞き逃してました。ありがとうございます。
@@Couch-Tomato さん
動画を見直しましたが?辺BC上に点を取るとは言ってませんでした。
△EADと△EBCで共有角の公式使って引いてやるのが1番計算早いですかね
ABに平行にDから補助線入れて、台形と三角形に分けて面積を出すと暗算で行ける。
ACとAからBCに向けて垂線引いて三角形３つにして、余弦定理やら半角の定理やら使ってゴリ押しましたw
Eは気づいてもHが気づかなかった。面積だからそこですよね。√3とか出して意味不明なことになった。
最後、有理化しなければ減点でしょうか？
三角形にした後、BからDに補助線を引いて解きました。
具体的な解法過程を知りたいです
@@YUU-cq2gd 三角形にするまでは動画と同じです。
そしてBとDを結ぶと、△AEDと△ABDの面積比は1：√2
同様に△EBCと△DBCの比は√2：１
△AEDの面積は１/２なので、上記の比で面積を出しました。
EA×ED＝EB×ECでも面積比を出せます。
何故出せるか、その過程は上に書いた通りです。
@@無常チャンネル 上の説明は良く分かりました。下のEA×ED=EB×ECに悩みました。
＝が:でした。
サムネに中学入試なのか高校入試なのか明記してもらえると、より良い動画になると思います。
AB=√2に気づいたあと、ACとBDとの交点をEとして、メネラウスでAE:ECを出して面積比から求めた。
△EADと△EBCの比がEA×ED：EB×ECでわかるので、こちらの方が早いと思います。
角出しして、大きい二等辺三角形の面積を求めたら安心しちゃって、上の三角形を引くのを忘れました。
あー、動画と同じやり方でしたわ。なんか最初、「与えられた図形をいい感じに切って、辺 CD を辺 AD へくっつければ話が進むかなぁ」とか思いましたけど、結局何も起きませんでした。
さすがラサール！ラサール石井！
二等辺三角形EBCができたら、
△EADと△EBCの面積比を使えば、
式が一瞬で立ちそうだとおまったんですが。
補助線をBから伸ばしたせいでめちゃくちゃ遠回りになったけどなんとか解けた〜
伸ばしたあとsin45°使っちゃった💦
教育系ユーチューバーによく「しないで」って書かれてるのですが、この問題のADとBCの延長線上の交点の直角三角形で解いてみて下さい。
線分ABは台形AHCDと直角三角形HBCの高さの合計の長さだから、線分ABでくくって前述の２つの面積を求めたら、求める面積は求まるのでは？
線を伸ばしてEを作る以外には、解法無い？
サムネ見て数学的に面積のことをラ・サールって呼ぶのかと勘違いした
三角形EBCの面積＝三角形EBDの面積×EC/EDでも出ますね♪解説の垂線の引き方は気がつきませんでした…
直線ADにCから垂線下ろして台形を作ってもよさそう
面積（ラ・サール）は？
これはAB,CDの延長線上の補助線を引けるかだな
白板の上の方が空いてるということは？
HCの長さを相似比使った以外、先生の解説と全く同じ解き方(点の「E」「H」という置き方まで一緒)でした…
…が!
最後にアホな計算ミスやらかしました😂
小学校の算数からやりなおせ、俺!
二等辺三角形、すぐに気がついて、解けました！
最初の補助線が思いつかなかった
小数の角度の対処法はすぐに分かりますな。
塾のテキストに載ってて解きました〜
自分にしては珍しく秒で解けたので記憶に残ってます笑
面積と書いてラ・サールと読みそう
面積比でイチコロ
ラ・サール石井。母校の名前を落としたな。
頂点Eが歪んでるんや。何の為のマス目か
これは簡単だった。ラサールではボーナス問題なのでしょうね。
社会に出たら全く必要ない計算
なるほど分からん
ぐ
あ
い
これは簡単