les sous-groupes de S4

cette vidéo décrit pas à pas tous les sous-groupes de S4
quelques connaissances sur les groupes et sous-groupes sont requises (Sylow) et sur les éléments de S4 (signature…)
on regarde aussi, parmi tous ces sous-groupes, lesquels sont distingués.
ça peut faire un développement d'agreg
ça peut, sinon, être utile à des L1-L2 qui veulent être au point sur les groupes, à partir d'exemples simples.
la connaissance des petits groupes (ordre inférieur ou égalà 8) est requise, mais un bref rappel en est fait
c'est toujours bien de potasser les bases…
BUGS : dans les sous-groupes d'ordre 4, j'ai oublié (Z/2Z)^3 : clairement aucun sous-groupe de S4 n'a cette structure car il faudrait 7 permutations d'ordre 2 dont les combinaisons soient d'ordre 2.

[@elastica8522]

Bonjour, Pourriez-vous svp donner le lien vers le pdf ? Des choses intéressantes dans votre vidéo notamment le travail sur la table. Pour les groupes d'ordre 8, je pense que le raisonnement est incorrect et incomplet pour Z/2Z x Z/4Z et idem pour D4 (vous faites une analyse incomplète et sans synthèse). En réalité, probablement nul besoin de Sylow ni de la connaissances des 5 groupes d'ordre 8, il suffirait d'utiliser votre table avec les éléments d'ordre 2 ou 4. Pour les sous-groupes d'ordre 12, on peut énormément simplifier : si un tel sous-groupe existait et était distinct de A4, alors, facilement, son intersection avec A4 serait d'ordre 6 et vous avez montré précédemment que les sous-groupes d'ordre 6 contiennent des permutations impaires.

[@eldouwen7839]

bonjour, merci de votre retour et voici le lien : www.dropbox.com/scl/fi/cl7az21ub61aon01wbldt/S4.pdf?rlkey=zl4ujr52jfovd0k2xakgv6as1&dl=0
j'y ai rajouté vos remarques :
- sauf que pour les sous-groupes 12 éléments, comme je ne vois pas pourquoi ce cardinal 6, j'ai étudié tous les cas
- vous avez raison pour Z/2ZxZ/4Z j'ai précisé les choses
- pour D4 je ne vois pas trop par contre
- pour Sylow, certes, on peut tout faire en manipulant uniquement les tables ; j'avais commencé comme ça ; bon c'est assez fastidieux et ça ne m'avait pas trop intéressé ; en manipulant Sylow on apprend des trucs et de toutes manières on s'en sert peu, puisqu'à peu près tout ce que dit Sylow, ici, peut être fait directement et il me semble que je le fais remarquer à chaque fois, à vérifier
- concernant la liste des petits groupes d'ordre

[@elastica8522]

​ @eldouwen7839 Bonjour et merci pour le lien. Si un sous-groupe H de Sn contient (au moins) une permutation impaire s alors exactement la moitié des permutations de H sont impaires (et donc l'autre moitié paires), car h dans H est impaire ssi h o s est paire.