bonjour, j'ai suivi votre cartouche sur les formes différentielles avec grand intérêt et attention . tellement c'est très intuitif , je ne sais pas si on peut avoir la même chose sur les tenseurs en général et le tenseurs d'orientation en particulier. je vous remercie pour tout les efforts.
A 9:50, j'ai du mal a comprendre a quoi correspond dgamma ici, puisque gamma n'est pas une fonction de deux variables a valeurs dans R mais une fonction de R a valeurs dans R². Sauf erreur alpha = fdgamma n'est jamais explicité. Je ne comprend pas non plus à 10:30 ce à quoi correspond le fait "d'évaluer alpha en gamma(t)", l'entrée de alpha devrait être un champ de vecteur et pas un point non ? Que signifie mettre gamma(t) en indice ? Cette partie de la vidéo me parait très floue.
Bonjour, On peut définir une différentielle pour n'importe quelle application entre R^n vers R^m. Autour de 9:50, d(gamma) est la différentielle d'une application gamma qui va de R vers R^2. A 11:20, dans la formule qui définit l'intégrale d'une 1-forme alpha le long d'une courbe gamma, il y a un bien un champs de vecteur, à savoir la dérivée de gamma (c'est le champs de vecteurs des vitesses). Puis on regarde ce champs de vecteur au point gamma(t), ce qui donne juste un vecteur. J'espère que cela vous aide. - Alex
Merci beaucoup vraiment j'ai compris beaucoup de chose. Ma questions est sur ce qui concerne le tenseur et leur relation avec le formes différentielles car on peut définir cette dernière comme un tenseur alterné..mais c'est quoi tenseur? Merci beaucoup
Très bonne question ! ça mérite un "Mais Qu'est-ce Donc" spécial sur le sujet :) Pour faire court, un tenseur est la généralisation d'une matrice, un objet multilinéaire qui se transforme d'une certaine façon sous changement de coordonnées. Les formes différentielles sont un cas particulier. - Alex
Très bonne vidéo, merci beaucoup ! Juste une question, si j'arrive à expliciter f tel que df=alpha (comme on a fait pour f(x,y)=xy) alors la forme différentielle alpha est nécessairement exacte ? Encore merci !
Bonjour, oui, c'est exactement la définition d'une forme exacte. Il faut juste faire attention à ce que la fonction f soit définie sur le domaine de définition de alpha. - Alex
L'application f: x->ax+by est une forme linéaire, la pré-image de 0 est par exemple la droite qui passe par l'origine ax+by=0. Une forme linéaire correspond à une droite. Pourquoi pas les représenter comme avec des droites?
Bonjour, Je suppose que la fonction f est définie sur les couples (x,y) ? Dans ce cas, vous avez raison, on peut représenter le noyau de cette forme linéaire par une droite. En dimension plus grande, ce sera un hyperplan. - Alex
Bpnjour, C'est un opérateur différentiel, la dérivée par rapport à x. Voir par exemple la première vidéo de la chaîne. Et on peut l'identifier au champ de vecteurs constant pointant dans la direction x (voir la vidéo sur les champs de vecteurs). - Alex
Salut ! Je recherche un ouvrage de référence sur le sujet, est ce que tu as quelque chose en particulier à me conseiller ? J'ai aussi une petite question : je ne comprends pas comment évaluer la forme xdy sur un champ V, j'ai bien compris que dy(V) = Vy, mais je ne vois pas en quoi xdy(V) = xVy est une fonction à cause du premier x, quelle est son évaluation sur un point de lR² ? Un grand merci, je suis vos vidéos de près car on apprend beaucoup de choses en un rien de temps et de manière super claire.
Bonjour, Un ouvrage de référence, pour les formes différentielles et pour l'analyse niveau Licence en général, est W. Rudin "Principes d'analyse mathématique". Les formes différentielles sont dans le chapitre 10. Pour ta deuxième question : xV_y est une fonction, elle associe à (x_0,y_0) la valeur x_0 V_y(x_0,y_0), càd le produit de x_0 avec la fonction V_y évaluée au point (x_0,y_0). - Alex
Bonjour ou bonsoir Monsieur, Vos vidéos et vos éclaircissements procure un réel plaisir de découvrir les subtilités et profondeur de la chose mathématique, je vous en remercie énormément pour ce que vous faite. Il y a quelques mois je vous ai demandé si un jour on aura une vidéo avec les mêmes approches sur les tenseurs mais entre temps je n'ai pas pu résister aux différentes vidéos qui traitent du même sujet sur la toile. A ce jour la définition , elle même , d'un tenseur qui stipule que : Un tenseur est une application multilinéaire de de EXE....E*x E _________ IR me taraude l'esprit Sachant que les éléments de E* sont eux même des formes linéaires ( des applications linéaires de E dans IR) . Je ne sais pas si vous pouvez nous clarifier le fait de considérer l'ensemble de départ comme étant des éléments de E ( vecteurs) et E* ( applications de E dans IR) Dans l'Attente de vous lire, je vous prie d'agréer ,Monsieur, l'expression de ma parfaite considération.
Bonjour , petit confusion que j’aimerai faire partir.La base (d/dx,d/dy) génèrent donc tous les champs de vecteur de R2, soit donc les applications de R2 dans R2. Un tel champ s’écrit F=Fx*d/dx +Fy*d/dy .Prenons ce champ: F(x,y)=(x+y)^2*(d/dx) +cos(y-x)*(d/dy) , il serait donc combinaison linéaire de d/dx et d/dy mais les fonctions (x+y)^2 et cos(y-x) ne sont pas des constantes.On considère l’espace :vect(d/dx,d/dy) comme un K-espace vectoriel mais ce corps K ,c’est R ou bien F(R,R)(ensemble des fonctions de R dans R ) ?
Bonjour, vous pointez un point important : (d/dx, d/dy) est une base des champs de vecteurs en tant que F(R^2,R)-espace vectoriel. En tant que R-espace vectoriel, c'est de dimension infinie. Le point problématique est que F(R^2,R) n'est pas un corps. L'espace des champs de vecteurs est ce qu'on appelle un module (sur l'anneau F(R^2,R)). - Alex
J'ai compris l'importance de la notion d'invariant et de symétrie en physique, la nécessité des formes différentielles pour la première fois de façon nette et simple grâce à ce texte Electromagnétisme et formes différentielles, vers la relativité restreinte par Thierry Lévy : cm2.ens.fr/content/equations-de-maxwell-et-formes-diff%C3%A9rentielles-vers-la-relativit%C3%A9-restreinte
Bonsoir, votre référence a l'air bien. Malheureusement je n'arrive pas à l'ouvrir. Sur le site de CultureMath, le lien vers le pdf de l'article de Thierry Lévy mène à une "page non trouvée"... Vous avez un autre moyen d'accès ? - Alex
Bonjour, ce qui m'étonne lorsque vous dites dy= 2tdt c'est que y est une fonction définie sur R2 et t est une fonction définie sur R. Comment peut on égaler leurs différentielles ? Pour me clarifier la chose pourriez vous s'il vous plaît définir dt dans le cadre des formes différentielles ? Et ensuite m'expliquer comment dx peut être égal à dt ? A mes yeux pour l'instant, dt est une forme différentielle sur R donc elle associe à chaque point de R une forme linéaire. Plus précisément elle associe à chaque point de R la forme linéaire identité de R dans R dx est une forme différentielle sur R2 qui associe à chaque point de R2 la forme linéaire qui à un vecteur v=(vx, vy) associe le réel vx. Par conséquent je ne comprend pas l'egalite dx = dt.
J'arrive à recoller les morceaux si je prends x comme fonction de R3 dans R qui a (vx,vy,vt) associe vx; et y comme fonction de R3 dans R qui à (vx,vy,vt) associe y et t comme fonction de R3 dans R qui à (vx, vy, vt) associe vt. A ce moment là je peux dire que si je prends le chemin (t, t2,t) alors on a au point M(t,2t,t) une dérivée qui vaut V(1,2t,1) et je peux dire que dx(V) = dt(V) et dy(V) = 2t*dt(V) Est ce que c'est la logique sous jacente ?
Bonjour, Merci pour votre intérêt. Je ne suis pas sûr de quel moment de la vidéo vous parlez. Quand on écrit une égalité comme dy=2tdt, c'est dans le cadre d'une courbe paramétrée, càd. une application t → (x(t),y(t)), par exemple t → (t,t^2). Dans ce cadre, on a dy(t) = 2tdt. Sinon vous avez raison, on ne peut pas écrire quelque chose comme dy = dt pour des fonctions qui ne partent pas du même espace. - Alex
Oui en effet, mais ce n'est pas vraiment une égalité mais plutôt un "isomorphisme" (une correspondance bijective ici). Au vecteur e1 on peut associer le champ de vecteurs constant qui associe e1 partout, et ce champ de vecteur est d/dx. De même pour le dual. - Alex
Bonjour, en effet ce n'est pas facile. Localement, les trois objets se ressemblent, mais ils se transforment différemment quand on change de coordonnées. Dans l'écriture du formalisme, on écrit x pour un nombre (reste inchangé sous changement de coordonnées), dx pour une forme linéaire et la dérivée partielle en x pour un vecteur / champ de vecteur constant. - Alex
J'arrive aux 1-formes différentielles dans mon parcours en mathématique. La video de Grant Anderson alias 3blue1brown sur le produit scalaire et la dualité qu'il recèle m'a permis d'y accéder sereinement. Merci pour vos vidéo que je trouve limpides! th-cam.com/video/LyGKycYT2v0/w-d-xo.html
Tu es vraiment génial et passionnant, je salue ton sérieux et ta pédagogie 👍😁
Merci
bonjour,
j'ai suivi votre cartouche sur les formes différentielles avec grand intérêt et attention . tellement c'est très intuitif , je ne sais pas si on peut avoir la même chose sur les tenseurs en général et le tenseurs d'orientation en particulier.
je vous remercie pour tout les efforts.
Bonjour,
merci pour votre commentaire. Peut-être que je ferai une vidéo sur les tenseurs un jour. Ce serait un défi :)
- Alex
@@Thomaths je vous remercie infiniment pour votre intérêt à notre demande et je suis impatient de voir votre prochaine vidéo sur les tenseurs
@@Thomathsah mais moi je te demande que ça mais vraiment stp fais nous MQD : Tenseurs où une vidéo 2 tomates et une 3 tomates
Très bien expliqué
merci bccc
A 9:50, j'ai du mal a comprendre a quoi correspond dgamma ici, puisque gamma n'est pas une fonction de deux variables a valeurs dans R mais une fonction de R a valeurs dans R². Sauf erreur alpha = fdgamma n'est jamais explicité.
Je ne comprend pas non plus à 10:30 ce à quoi correspond le fait "d'évaluer alpha en gamma(t)", l'entrée de alpha devrait être un champ de vecteur et pas un point non ? Que signifie mettre gamma(t) en indice ? Cette partie de la vidéo me parait très floue.
Bonjour,
On peut définir une différentielle pour n'importe quelle application entre R^n vers R^m. Autour de 9:50, d(gamma) est la différentielle d'une application gamma qui va de R vers R^2. A 11:20, dans la formule qui définit l'intégrale d'une 1-forme alpha le long d'une courbe gamma, il y a un bien un champs de vecteur, à savoir la dérivée de gamma (c'est le champs de vecteurs des vitesses). Puis on regarde ce champs de vecteur au point gamma(t), ce qui donne juste un vecteur.
J'espère que cela vous aide. - Alex
@@Thomaths Je répond un peu tard, mais je saisis mieux la notion maintenant, merci.
Merci beaucoup vraiment j'ai compris beaucoup de chose.
Ma questions est sur ce qui concerne le tenseur et leur relation avec le formes différentielles car on peut définir cette dernière comme un tenseur alterné..mais c'est quoi tenseur?
Merci beaucoup
Très bonne question ! ça mérite un "Mais Qu'est-ce Donc" spécial sur le sujet :)
Pour faire court, un tenseur est la généralisation d'une matrice, un objet multilinéaire qui se transforme d'une certaine façon sous changement de coordonnées. Les formes différentielles sont un cas particulier.
- Alex
Ben moi j’arrête pas de te demander un épisode MQD pour des tenseurs mais tu le fais jamais 😢
Très bonne vidéo, merci beaucoup !
Juste une question, si j'arrive à expliciter f tel que df=alpha (comme on a fait pour f(x,y)=xy) alors la forme différentielle alpha est nécessairement exacte ?
Encore merci !
Bonjour,
oui, c'est exactement la définition d'une forme exacte. Il faut juste faire attention à ce que la fonction f soit définie sur le domaine de définition de alpha. - Alex
L'application f: x->ax+by est une forme linéaire, la pré-image de 0 est par exemple la droite qui passe par l'origine ax+by=0. Une forme linéaire correspond à une droite. Pourquoi pas les représenter comme avec des droites?
Bonjour,
Je suppose que la fonction f est définie sur les couples (x,y) ? Dans ce cas, vous avez raison, on peut représenter le noyau de cette forme linéaire par une droite. En dimension plus grande, ce sera un hyperplan.
- Alex
d/dx
C’est quoi cette notation ?
Bpnjour,
C'est un opérateur différentiel, la dérivée par rapport à x. Voir par exemple la première vidéo de la chaîne. Et on peut l'identifier au champ de vecteurs constant pointant dans la direction x (voir la vidéo sur les champs de vecteurs). - Alex
Salut ! Je recherche un ouvrage de référence sur le sujet, est ce que tu as quelque chose en particulier à me conseiller ? J'ai aussi une petite question : je ne comprends pas comment évaluer la forme xdy sur un champ V, j'ai bien compris que dy(V) = Vy, mais je ne vois pas en quoi xdy(V) = xVy est une fonction à cause du premier x, quelle est son évaluation sur un point de lR² ? Un grand merci, je suis vos vidéos de près car on apprend beaucoup de choses en un rien de temps et de manière super claire.
Bonjour,
Un ouvrage de référence, pour les formes différentielles et pour l'analyse niveau Licence en général, est W. Rudin "Principes d'analyse mathématique". Les formes différentielles sont dans le chapitre 10.
Pour ta deuxième question : xV_y est une fonction, elle associe à (x_0,y_0) la valeur x_0 V_y(x_0,y_0), càd le produit de x_0 avec la fonction V_y évaluée au point (x_0,y_0).
- Alex
@@Thomaths Merci beaucoup tout est plus clair !
Bonjour ou bonsoir Monsieur,
Vos vidéos et vos éclaircissements procure un réel plaisir de découvrir les subtilités et profondeur de la chose mathématique, je vous en remercie énormément pour ce que vous faite.
Il y a quelques mois je vous ai demandé si un jour on aura une vidéo avec les mêmes approches sur les tenseurs mais entre temps je n'ai pas pu résister aux différentes vidéos qui traitent du même sujet sur la toile.
A ce jour la définition , elle même , d'un tenseur qui stipule que : Un tenseur est une application multilinéaire de de EXE....E*x E _________ IR me taraude l'esprit
Sachant que les éléments de E* sont eux même des formes linéaires ( des applications linéaires de E dans IR) .
Je ne sais pas si vous pouvez nous clarifier le fait de considérer l'ensemble de départ comme étant des éléments de E ( vecteurs) et E* ( applications de E dans IR)
Dans l'Attente de vous lire, je vous prie d'agréer ,Monsieur, l'expression de ma parfaite considération.
Bonjour , petit confusion que j’aimerai faire partir.La base (d/dx,d/dy) génèrent donc tous les champs de vecteur de R2, soit donc les applications de R2 dans R2.
Un tel champ s’écrit F=Fx*d/dx +Fy*d/dy .Prenons ce champ: F(x,y)=(x+y)^2*(d/dx) +cos(y-x)*(d/dy) , il serait donc combinaison linéaire de d/dx et d/dy mais les fonctions (x+y)^2 et cos(y-x) ne sont pas des constantes.On considère l’espace :vect(d/dx,d/dy) comme un K-espace vectoriel mais ce corps K ,c’est R ou bien F(R,R)(ensemble des fonctions de R dans R ) ?
Bonjour,
vous pointez un point important : (d/dx, d/dy) est une base des champs de vecteurs en tant que F(R^2,R)-espace vectoriel. En tant que R-espace vectoriel, c'est de dimension infinie. Le point problématique est que F(R^2,R) n'est pas un corps. L'espace des champs de vecteurs est ce qu'on appelle un module (sur l'anneau F(R^2,R)). - Alex
très bien. C'est un sujet (le calcul différentiel) souvent mal aimé (mal compris ?) des étudiants. Ce genre de tableau blanc est très bien
J'ai compris l'importance de la notion d'invariant et de symétrie en physique, la nécessité des formes différentielles pour la première fois
de façon nette et simple grâce à ce texte Electromagnétisme et formes différentielles, vers la relativité restreinte par Thierry Lévy : cm2.ens.fr/content/equations-de-maxwell-et-formes-diff%C3%A9rentielles-vers-la-relativit%C3%A9-restreinte
Bonsoir,
votre référence a l'air bien. Malheureusement je n'arrive pas à l'ouvrir. Sur le site de CultureMath, le lien vers le pdf de l'article de Thierry Lévy mène à une "page non trouvée"... Vous avez un autre moyen d'accès ?
- Alex
@@Thomaths Le lien ne fonctionne plus, j'ai le texte en pdf je vous l'envoie si vous voulez.
Bonjour, ce qui m'étonne lorsque vous dites dy= 2tdt c'est que y est une fonction définie sur R2 et t est une fonction définie sur R. Comment peut on égaler leurs différentielles ?
Pour me clarifier la chose pourriez vous s'il vous plaît définir dt dans le cadre des formes différentielles ? Et ensuite m'expliquer comment dx peut être égal à dt ?
A mes yeux pour l'instant, dt est une forme différentielle sur R donc elle associe à chaque point de R une forme linéaire. Plus précisément elle associe à chaque point de R la forme linéaire identité de R dans R
dx est une forme différentielle sur R2 qui associe à chaque point de R2 la forme linéaire qui à un vecteur v=(vx, vy) associe le réel vx. Par conséquent je ne comprend pas l'egalite dx = dt.
J'arrive à recoller les morceaux si je prends x comme fonction de R3 dans R qui a (vx,vy,vt) associe vx; et y comme fonction de R3 dans R qui à (vx,vy,vt) associe y et t comme fonction de R3 dans R qui à (vx, vy, vt) associe vt.
A ce moment là je peux dire que si je prends le chemin (t, t2,t) alors on a au point M(t,2t,t) une dérivée qui vaut V(1,2t,1) et je peux dire que dx(V) = dt(V) et dy(V) = 2t*dt(V)
Est ce que c'est la logique sous jacente ?
Bonjour,
Merci pour votre intérêt. Je ne suis pas sûr de quel moment de la vidéo vous parlez. Quand on écrit une égalité comme dy=2tdt, c'est dans le cadre d'une courbe paramétrée, càd. une application t → (x(t),y(t)), par exemple t → (t,t^2). Dans ce cadre, on a dy(t) = 2tdt. Sinon vous avez raison, on ne peut pas écrire quelque chose comme dy = dt pour des fonctions qui ne partent pas du même espace.
- Alex
Peut-on dire que : e1 = d/dx et e*1 = dx ?
Oui en effet, mais ce n'est pas vraiment une égalité mais plutôt un "isomorphisme" (une correspondance bijective ici). Au vecteur e1 on peut associer le champ de vecteurs constant qui associe e1 partout, et ce champ de vecteur est d/dx. De même pour le dual.
- Alex
Super mais j'ai beaucoup de mal dans ce formalisme à distinguer les formes lineaires des vecteurs ou des nombres (dans R).
Bonjour,
en effet ce n'est pas facile. Localement, les trois objets se ressemblent, mais ils se transforment différemment quand on change de coordonnées. Dans l'écriture du formalisme, on écrit x pour un nombre (reste inchangé sous changement de coordonnées), dx pour une forme linéaire et la dérivée partielle en x pour un vecteur / champ de vecteur constant.
- Alex
J'arrive aux 1-formes différentielles dans mon parcours en mathématique. La video de Grant Anderson alias 3blue1brown sur le produit scalaire et la dualité qu'il recèle m'a permis d'y accéder sereinement. Merci pour vos vidéo que je trouve limpides! th-cam.com/video/LyGKycYT2v0/w-d-xo.html