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- เผยแพร่เมื่อ 4 มิ.ย. 2024
- Premier épisode, niveau licence, d'une série de vidéos sur le calcul différentiel à plusieurs variables, qui aboutira au Théorème de Stokes. Aujourd'hui, on aborde les champs de vecteurs. Plus précisément :
0:00 Intro
0:20 Définition et exemples du quotidien
3:48 Exemples en coordonnées
8:24 Gradient
11:32 Loi de transformation
13:18 Lien avec les opérateurs différentiels
Des liens utiles pour aller plus loin :
- Thomaths 1a sur les opérateurs différentiels : • Thomaths 1a : Opérateu...
- Thomaths 4 sur l'intégrale curviligne : • Thomaths 4 : Intégrale...
- Vidéo de la chaîne 3blue1brown sur divergence et rotationnel (en anglais) : • Divergence and curl: ...
- W. Rudin: "Principles of Mathematical Analysis" (McGraw-Hill), chapter 10, vector analysis, accessible ici :
fulviofrisone.com/attachments/...
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Les images proviennent de Wikimedia (domaine public), de notre stock personnel ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.
J'apprécie particulièrement les détails dans la description. Courage !
Mon dieu. Cette vidéo est incroyable… Je rentre en prépa dans quelques jours donc j’ai encore un niveau de Terminale/Etudes sup mais j’ai réussi à comprendre les notions de gradient que mes profs de physique essayaient de m’expliquer en vain ! Ta vidéo est si prenante, c’est génial, merci a toi !!
Ça va la moitié de ta première année ?
@@jamelbenahmed4788 Salut oui ça se passe plutôt bien, j’aime beaucoup ma filière et tout ce que j’apprends! Après c’est vrai que c’est un peu dur et rapide mais on s’y fait! J’ai quand même hâte d’être en vacances pour me reposer
Vos explications sont excellentes. J'ai juste eu du mal à avaler que ∂/∂x correspondait à *e1* !
Merci de cette contribution. J'espère que vous continuerez.
Mais bien évidemment, on est très motivés ! Merci pour votre intérêt. - Alex & Eve
Merci, très bien expliqué.
Super sympa vos vidéos! Bravo! J'ai hâte d'avoir une version vulgarisée du théorème de Stokes! En tout cas encore bravo, très jolie vidéo
Envoi la vidéo stp
Petite introduction ludique aux champs de vecteurs par Etienne Ghys et ses amis. th-cam.com/video/k3u34VEJnGI/w-d-xo.html
Excellente référence ! Les vidéos "Chaos" et "Dimensions" d'Etienne Ghys et al. sont superbes et librement accessible en ligne.
- Alex
Encore un super travail ! Merci à toi pour tes explications. Jamais été super à l'aise en maths/physiques, tes vidéos font beaucoup de bien !
Merci beaucoup Jérémie ! Si ça te plaît, n'hésite surtout pas à partager : c'est beaucoup de travail pour nous, donc plus ça sert, mieux c'est ! :) - Eve
@@Thomaths Je vais le partager à mes amis et sur mon compte Facebook !
@@Thomaths plus tu fais du bon travail plus ça sert
Superbes explications !
A 9:58, j'ai besoin de rechercher cette notation et la définition de produit scalaire et cette .
notation . Super c
omme d'habitude.
Bonjour Alex. Vous avez quel niveau de mathématiques svp ? Et à quel niveau de mathématiques ceci est abordé en faculté de sciences en France ? Est-ce en L2 ou en L3 ? Le savez-vous. En tous les merci de votre retour et bravo pour vos efforts.
Vraiment bonne qualité vos vidéos. Juste une idée : vous auriez un tableau pour ecrire et nous montrer l'évolution de votre pensée, ce serait pas mal, me semble-t-il. N'enlevez pas la partie où vous disparaissez (sic !?) et ou on voit des schémas ou des écritures. Ça c'est top ! Mais un tableau, vous aiderait et nous aiderait pédagogiquement.
Enfin, artistiquement, un conseil de connaisseur en vidéo, tout est au top, sauf votre décor de meuble en marron. Eh oui. Il a été formellement démontré que les meubles en marron dans des vidéos, futent elles d'excellentes factures, perdent jusqu'à 70% d'attrait en comparaison ou les couleurs des meubles sont blancs, bleus clairs, ou verts pastels. Je n'y peux rien, c'est statistique et factuels. L'œil et la pensée humaine dans nos civilisation sont ainsi fait. Bonne continuation, c'est vraiment bien. Bravo
Bonjour, merci beaucoup pour votre retour. Alex a un doctorat en mathématiques et est désormais chercheur. Et ce sujet est abordé en L2.
Concernant l'aspect visuel, nous n'avons pas eu le choix du décor, nous habitions dans un 25m² sous les toits, désolés. Jetez un œil à nos vidéos les plus récentes, le décor vous conviendra peut-être mieux. Et pour la même raison, pas de place du tout pour un tableau ! Tant mieux si cela vous a plu quand même :) - Eve (éditrice des vidéos)
Bonjour, dans l'expression donnée à 12:42 , le terme (da/dx) représente bel et bien la composante du champ (d/dx(a,b)) selon le vecteur (d/da) ? Ce terme n'est qu'une notation et non une véritable dérivée partielle , nous sommes bien d'accord ?
Bonjour,
Merci pour votre question. Le da/dx est à la fois la composante du champs d/dx dans la direction donnée par d/da, mais aussi la dérivée partielle ! D'où la notation ingénieuse. Prenez par exemple le champs radial r d/dr (en polaires) et exprimer le en cartésiennes (d/dx, d/dy). Vous allez constater que vous tombez sur les dérivées partielles. - Alex
J’ai rien compris.
Je découvre la chaine et c'est excellent ! Je ne connaissais pas le calcul différrentiel de façon aussi profonde. Du coup, si on écrit ∂/∂x et ∂/∂y pour les vecteurs \vec{x} et \vec{y} (désolé, les "flèches" au dessus des lettres ne fonctionnent pas en unicode), c'est parce qu'il existe l'isomorphisme entre champs de vecteurs et opérateurs differentiels d'ordre 1 comme à 15:38 dans la vidéo ?
Bonjour,
l'écriture ∂/∂x et ∂/∂y vient en effet de l'isomorphisme avec les opérateurs différentiels. Par contre, ∂/∂x n'est pas le vecteur \vec{x} mais le champ constant associé à \vec{x}. Il y a un isomorphisme entre les champs constants et les vecteurs. - Alex
@@Thomaths Merci ! C'est vrai que ∂/∂x, pour une seule valeur, n'a pas de sens.
Merci
Merci, c'est éclairant
Bonjour, je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire à 13.10 lorsque vous parlez des contributions des deux termes.
Merci en tout cas pour votre travail.
Bonjour,
Dans la formule qu'on voit à 13:08, il y a deux termes à droites. C'est d'eux que je parle à 13:11. L'idée est qu'on peut "simplifier" da/dx d/da en d/dx, mais il ne faut pas oublier le terme db/dx d/db. - Alex
C'est quoi la classe de régularité d'un champ de vecteurs ?
Sinon c'est extrêmement bien expliqué tu mérites plus de likes. Je like pour t'encourager.
Autre question qui n'a un peu rien avoir avec cette vidéo, quand on me parle des propriétés algébriques du produit scalaire, on me dit souvent que c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel. Comment symétrique ??? Pour le contre-exemple des quaternions, i ⋅ j=k mais j ⋅ i = - k, et compagnie. C'est donc une forme bilinéaire antisymétrique ? Merci d'avance.
Bonjour,
La régularité du champ de vecteur doit être donnée. C'est comme pour les fonctions usuelles à une variable : il y a des champs de vecteurs lisses, ou seulement continue etc.
Pour le produit scalaire, c'est en effet la définition que tu donnes. Sur R^n, c'est typiquement donné par (x,y) = x_1 y_1 + ... + x_n y_n, ce qui est bien symétrique. Le produit des quaternions n'est pas un produit scalaire. C'est un produit comme une opération algébrique dans un corps. Ca se voit aussi en regardant le domaine et l'image : un produit scalaire va de VxV vers R (V est un espace vectoriel, R les réels), tandis que le produit des quaternions va de HxH vers H (H désigne les quaternions, qui est un R-espace vectoriel). - Alex
C’est tout good
Bravo pour vos vidéos, vos explications sont très utiles. J'ai toujours une difficulté avec l'écriture ∂/∂x et ∂/∂y pour un champ de vecteur. Vous écrivez dans les commentaires "Il y a un isomorphisme entre les champs constants et les vecteurs. " . Je ne vois pas comment l'opérateur de dérivation partielle intervient , à moins de cela ne concerne qu'un champ de vecteurs dérivant d'un potentiel (gradient) et pas le cas d'un champ de vecteur quelconque. Auriez vous une référence (de cours, de site ou d'ouvrage) où ce point est développé ?
Bonjour et merci pour votre intérêt. Je vous invite à consulter l'ouvrage de Lee, "Introduction to smooth manifolds", en particulier le chapitre III (corollary 3.3). L'idée est qu'un champ de vecteur indique la direction dans laquelle on veut dériver (mesurer le changement d'une fonction). J'espère que cela vous aidera. - Alex
@@Thomaths Merci beaucoup !
Quel est la différence entre un champ de vecteur et un espace vectoriel?
Un champ de vecteur "vit" dans un espace vectoriel. Donc l'objet fondamental, c'est l'espace vectoriel (vous pouvez penser à l'espace). Puis dedans, un champ de vecteur est défini comme dans la vidéo (un vecteur pour chaque point). J'espère que cela vous éclaire.
- Alex
hello ! Est-ce que c'est un pi shirt de l'ADEM à Strasbourg ?
Oui en effet ! Acheté un 14 mars pour 3,14€ :)
10:03 du coup comment prouver qu un champ de vecteurs est un champ de gradient ?
Mais dans cette formule, on peut remplacer d x f par df/dx et d y f par df/dy?
Bonjour,
En effet à 10:03, d_x(f) est un abréviation pour df/dx. Un champ de vecteur sur R^3 est un gradient si et seulement si son rotationnel est nul. - Alex
Bonjour Monsieur
J'ai suivi avec grand intérêt vos cartouches traitant des champs de vecteurs et de formes différentielles qui sont tellement intuitives et très explicite
je vous en remercie pour les efforts et votre sens pédagogique
Cependant je n'arrive pas à admettre la formule des vecteurs de bases ( e1 et e2 ) à savoir: 𝜕/𝜕𝑥𝑖̇=𝑒𝑖
je ne sais si y a une démonstration pour cette formule ou une autre manière plus intuitive pour son explication.
Je vous remercie infiniment
Bonjour,
Merci pour votre intérêt. Deux remarques pour votre question : déjà, ce n'est pas le vecteur e_i, mais le champs de vecteurs constant (qui à chaque point de l'espace associe le vecteur e_i) qui est identifié avec 𝜕/𝜕𝑥𝑖. Pour l'identification, j'explique à la fin de la vidéo à 15:25 qu'on peut identifier le champs de vecteur V à V_x 𝜕/𝜕𝑥 + V_y 𝜕/𝜕y. Ainsi on voit que la dérivée 𝜕/𝜕𝑥 correspond au champ de vecteurs constant pointant dans la direction x. Notez bien que 𝜕/𝜕𝑥𝑖=𝑒𝑖 n'est pas une équation, mais une identification. Poincaré disait "Les mathématiques est l'art de donner le même nom à des choses différentes."
J'espère que cela vous aide. - Alex
@@Thomaths Merci M ALEX pour votre célérité et pertinente remarque concernant l'identification des deux termes de l'équation.
la question est un peu plus claire dans ma tête mais la connexion des espaces tangents par le biais de coefficients de Christoffel me taraude l'esprit. c'est ainsi que je suis impatient de voir votre vidéo qui sera consacrée aux tenseurs en général et au outils mathématiques de la relativité général en particulier.
Mes milles merci pour ce que vous faites et je vous souhaites des océans de mers d'amour et réussites.
Cordialement Ammar
la mathématique des champs et d'un abord difficile (...voir le théorème de stokes)