Problemas de optimización de funciones - Minimizar la superficie de un cilindro SELECTIVIDAD EBAU
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- เผยแพร่เมื่อ 9 ก.พ. 2025
- Correspondiente a 2º de Bachillerato, en este problema clásico de optimización se pretende calcular el radio y la altura de un cilindro de volumen 1/3 de litro (como las latas de refrescos), de forma que el material empleado en la construcción de la lata sea mínimo. La función a optimizar es la superficie total del cilindro (bases y lateral). Al escribir la expresión del área, se observa que ésta depende del radio y la altura. Para poder derivar e igualar a cero es necesario relacionar las dos variables mediante una ecuación de forma que la función área dependa solamente de una de ellas. Esto se hace sabiendo que el volumen es un 1/3 de litro. Una vez derivada e igualada a cero, se obtiene el valor del radio que buscamos. Mediante la segunda derivada se comprueba que se trata de un mínimo. Finalmente, mediante la relación que liga las dos variables, se calcula la altura. Se puede comprobar que las latas reales no tienen exactamente, aunque parecidas, las mismas medidas que los valores que se obtienen al resolver el problema. Esto quiere decir que no emplean el mínimo material posible. Sin embargo, es posible que tengan en cuenta otros aspectos como la ergonomía que hacen que utilicen otras medidas.
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Excelente ejemplo 👌, lo aplique en mi tarea de cálculo y vaya que me sorprendí al obtener el resultado deseado.
Saludos desde México 🇲🇽
Que bien explicas los ejercicios, sigo varios canales de matemáticas y este me parece uno de los mejores por no decir el mejor de TH-cam 🤗
Muchísimas gracias de corazón 😊😊😊
Exelente sigue creando este tipo de videos, mejorando poco a poco para mostrar a una sociedad lo importante de un profesor
Muchas gracias 😊
Viejo, eres un crack te felicito por tu forma de explicar, me encantan tus vídeos porque explicas teoría antes de hacer ejercicios
La teoría es fundamental para entender los ejercicios.
Saludos desde Chile
HOLA ANDRÉS. Quería felicitarte por tu tutorial. La verdad no puedo creer que se parezca mucho a como lo explico yo. Sentí que era yo hablando jajjjajajjjajaj me encantó. Y de yapa le llamaste "mates con Andrés". Doy clases en la Universidad y, siendo argentina, suelo usar el MATE para distender el aula, para acompañar la clase, cosa que ya no se podrá. Y por eso, hice un blog matemático y le llamé "MATEANDO". Cuanta coincidencia!!!! da mucho gusto coincidir en maneras de enseñar y de explicar y proceder. Es bellísimo (también discrepar para aprender otros modos, claro que sí). UN PLACER HABER DADO CON TU TUTORIAL. FELICITACIONES A TI Y A QUIENES HAYAN PARTICIPADO DE SU CONSTRUCCIÓN.
Muchas gracias desde España. Te mando saludos cordiales y encantado de tenerte por mi canal.
Noooooo 😍😍me acaba de salvar la vida entera. Gracias!!!!!!!
Gran vídeo Andres, excelente!!!
Por fin he entendido este problema,gracias a usted
Excelente explicación de la optimización ... ingeniero Andrés de Mates...felicidades
Muy bien explicado, voy a transcribir todos los problemas de aplicaciónes de la derivada que subiste 😁
Muchas gracias Andrés, por usted pude obtener una buena calificación en mi examen
Muy buena explicación! Lo único que añadiría al final es aclarar que razones ergonómicas de la capacidad de agarre de una mano pesan más que los criterios de optimización superficial del material, y es por ello que las latas de refrescos no tienen una proporción tan achatada como la que se obtiene en el problema, sino algo más esbelta
Creo que es algo estúpido o mediocres ir mas allá de lo *objetivo* a no ser que tengas serios problemas o desorden en tu cerebro de pollo.
Vuelvo y reitero es estúpido introducir el término *ergonomía* cuando lo que se trata es entender el *concepto de optimización* para hacer uso de menor material posible.
Si quieres que te añadan razones ergonómicas, prueba a tener contactos íntimo con algún *Equus Asinus* para que tengas una proporción esbelta o achatada.
SOS UN CRACK TE AMO ANDRES!
Un ejercicio parecido que podría caer en el próximo examen de Selectividad de la Comunidad Valenciana:
Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto de altura 'h' y radio 'r' que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H=12 cm y radio R=5 cm.
Solución:
El volumen máximo del cilindro es de 139,62 centímetros cúbicos, siendo h=4 cm y r=10/3 cm. La relación entre las 2 variables se obtiene aplicando semejanza de triángulos.
Le diste animo a este pupilo
Me salvaste!1!1!1
linda explicacion. no estudio matematica, pero quiero aprender por mi cuenta, gracias
Muchas gracias :)
Gracias 😌😌
Excelente. Gran profesor.
Muchas gracias por explicarlo con claridad !
Muchas gracias 😊😊😊
que bien explicado!!!!!!! muchas gracias
Muy buen video 👌👌
muchas gracias por esta explicacion
Un ejercicio muy parecido que cayó en el examen de Selectividad de la Comunidad Valenciana en Septiembre de 2012:
Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 metros cúbicos de volumen y abierto en su parte superior. La base es un círculo en posición horizontal de radio 'x' y la pared vertical es una superficie cilíndrica perpendicular a la base. El precio del material de la base es de 4 € por metro cuadrado y el precio del material de la pared vertical es de 2 € por metro cuadrado. Se pide:
a) Calcular el área de la base en función de 'x'.
Solución: π•x^2
b) Calcular el área de la pared vertical en función de 'x'.
Solución: 200/x
c) Determinar la función de coste de construcción del depósito.
Solución:
C(x) = 4•π•x^2 + 400/x (siendo x>0)
d) Calcular el valor de 'x' que minimiza el coste.
Solución: √cúbica 50/π (2,52 metros aproximadamente)
e) Calcular el importe de dicho coste mínimo.
Solución: 238,53 €.
Una explicación excelente
Muchas gracias :)
exelente y magnifica clase profe
Gracias Guille :)
eres un crema
H es el doble del radio, es decir el volumen de optimiza cuando la altura es igual al diámetro
Lo que se optimiza es la superficie dado un determinado volumen
¿Y que tendríamos que hacer si nos dijeran que el material para construir tanto la base como la tapa es dos veces más pesado que el material para construir el cilindro, como afectaría esto a nuestro resultado?
Entiendo que en ese caso pretendes minimizar el peso y no la cantidad de material, ¿no?
muchas gracias ,buena explicación
No vendría mal un vídeo de introducción sobre ese tema
muy buena explicación.
Muchas gracias :) :)
veo que tienes muy buen contenido. excelentes me gustan son los de optimización.
Ottima spiegazione
#freeismaelenio🕊🕊
Woooow que buen video!
Muchas gracias 😊😊😊
Mates con Andrés y si llegara a salir un máximo?
Marina Méndez González En este caso no tendría sentido que saliera máximo porque te pide mínimo. Existen otros problemas de optimización donde la función a optimizar está definida en un intervalo cerrado y ahí hay que analizar qué pasa en los extremos porque puede haber máximos y mínimos absolutos en esos puntos. Te dejo el link a este vídeo donde pasa precisamente eso: th-cam.com/video/LqNMEHvH-nU/w-d-xo.html
Mates con Andrés muchas gracias!! Lo revisaré! Saludos desde México!
@Mates con Andrés mi problema sice así:
Queremos construir una lata cilíndrica que contenga 0.25 litros
(V = 250cm3). Resulta que el material para construir la base y la tapa es
dos veces más pesado que el material del cilindro. Qué dimensiones (radio de la base r y altura h) debe tener la lata en cuestión para que el peso de
la lata sea mínimo
En ese caso obtienes la expresión del área del cilindro, pero las tapas las multiplicas por un factor de 2.
Excelente video!! por favor podrias hacer un ejercicio para hallar la recta tangente y normal?
Muchas gracias. Pon en el buscador "recta tangente mates con andrés" y verás unos cuantos 😉
Andrés, la edición de tu video ES ESTUPENDA. Cómo lograste esa claridad/nitidez? aro de luz? con qué tecno editaste el video? tengo más dudas de audiovisual que de matemática. Sobre matemática, coincido en lo dicho jajaja saludos desde Argentina
Varios focos de luz suave colocados estratégicamente y un poco de corrección de color en edición.
gracias comprendí muy bien el tema, en caso de que en el problema me pidan calcular las dimensiones de un vaso cilíndrico sin tapa es lo mismo no, solo quito una base en la ecuación del área de la base ?
Muchas gracias. Así es. Solo tienes en cuenta una base, no las dos como hago en el problema.
Buena explicación!! Pero me quedó una duda 🤔 como se diferenciaria el procedimiento para hallar la máxima superficie a comparación del de la mínima?
Muchas gracias. El proceso es el mismo. Solo tienes que fijarte al evaluar la función en los puntos donde la derivada es cero y en los extremos del dominio, para así ver cuando la función toma el valor más alto posible. Pero en un problema como este parece que tiene poco sentido hablar de maximizar la superficie.
Profe deberias de ver la grafica de esa función y luego me explicas si es un minimo. Gracias se le aprecia mucho
Efectivamente es un mínimo. No hace falta hacer la representación gráfica. Con el criterio de la monotonía de la primera derivada o con la segunda derivada, se diferencia si se trata de un máximo o un mínimo.
@ Gracias profe solo queria ver como era la grafica excelente explicación
En 7:53 sería 3,76 verdad? Muchas gracias!!
Hola andres! Este tipo de problemas pueden aparecer en Mates II o solo en CsSociales?
Más en matemáticas II que en sociales. En sociales te suelen casi dar la función a optimizar, ya que suelen poner problemas de ingresos, gastos, beneficios, etc. Aunque todo esto, como digo siempre, depende de cada comunidad autónoma.
Aparecen muchísimo en mates. Estudios de optimización (maximización y minimización). minimizar costos, maximizar ganancias, minimizar superficies, maximizar volúmenes.....
MADRE MIA WILLY!! Qué haces aquí compañero?!
gracias por el video, pero podrias explicar también como hacerlo estudiando los signos? Gracias!
En la mayoría de vídeos que tengo de optimización lo hago de la otra manera porque no siempre resulta cómodo hallar la segunda derivada y cuesta menos estudiar el signo de la primera derivada un poco a la izquierda y a la derecha del punto. Échale un ojo a esos vídeos y verás como lo hago ;)
como se resolveria por el metodo de lagrange?
Excelente
Muchas gracias :) :)
en forma cilíndrica de 10cm de alto y 12cm de radio. Determine las dimensiones mínimas que debe tener las cajas para empacar dichas tortas.
¿Por qué las latas no tienen esas dimensiones? Si construimos una lata con esos valores que obtuvimos de radio y altura nos queda una lata que tiene el diámetro y la altura iguales, y las latas que vemos en el mercado no tienen esas dimensiones ....????
Quizás con esas medidas la lata resulta menos ergonómica y eso tiene más peso en la decisión que el coste del material.
Y que si mi profe me dio como dato 3 pi inches al cuadrado ? No se donde insertar el valor
Podrias hacer uno pero de un prisma Hexagonal ?
Me lo apunto 😉
OYE ANDRES. PERO COMO HICISTE PARA SACAR EL 37.69. LE CHEQUÉ, LO ELEVE AL CUADRADO Y LUEGO LO MULTIPLIQUÉ. Y LO DIVIDÍ Y ME SALE OTRA CANTIDAD
Lo metí tal cual a la calculadora y eso es lo que salió. No sé qué has podido hacer mal.
Muchas gracias profesor me puede ayudar con este problema 😔
Determinar la altura y el radio para dos tinacos de 1,100 litros de capacidad
El enunciado es seguramente incompleto. Hay infinitos tinacos que cumplen esa condición. Me imagino que habrá que imponer una condición más, como que la superficie sea mínima.
Disculpa en el minuto 6:38, creo que realizaste mal la resta de fracciones (debería quedar un resultado en fracción)
Es correcto como lo he hecho, aunque si no eliminas el denominador también es correcto. La cuestión es que elimino el denominador para resolver la ecuación de la derivada igual a cero.
ME DISTE ANIMO #animopupilos
Cuando se elimina π con π, por qué se hace después el r con el cuadrado?:(
Porque por propiedades de las potencias, r/r^2=1/r.
Profe, tu derivada al parecer está mal, al elevar el radio con el exponente -1 , sale diferente en efectuar todo el presentimiento .
Renato Tato La derivada está bien hecha. Expreso r elevado a -1 para derivarlo como una potencia. Si no lo hacemos así, habrá que derivarlo como un cociente, que es perfectamente válido. De hecho, puedes comprobar que obtienes el mismo resultado (si haces bien la derivada).
A mi me pasa lo mismo
Sale -6/9r^2
Y si me piden un un cuarto es decímetro que... Esa es mi duda plis
Seguís con el mismo procedimiento solo que en vez de poner 1/3 colocas el cuarto
Si hubieras manejado solo variables sin números, la respuesta es: la altura debe ser igual al diametro.
Cuanto equivale entonces 1/2 de kilogramo de azúcar
0.5 kg = 500 g
@ así lo utilizo con lo que dice en su video ?
@ no tiene que ser una equivalencia cúbica?
Como sacarle la densidad que sería 312.5 cm3
Mis amigos: ¿Para qué estudias mates a estas alturas?
Yo: Te apuesto a que te doy 8 decimales del radio de una lata de Pocacola sin necesidad de medirla.
Para que luego alguien diga que las matemáticas no sirven para nada 😆😆
diablos, a mi el radio me dio 4,3 cm :C
No puede ser. Revisa todos tus cálculos y me comentas.
Escribe culerisimo
todo esta bn solo q escribes feo y te puedes comfundir
todo esta bn solo q escribes feo y te puedes comfundir
Bueno, no se puede tener todo. Además, digo todo lo que voy escribiendo. Creo que los vídeos se siguen bien. Saludos.