31. Derivative of exponential function using definition as limit
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.ย. 2024
- ▼ IMPORTANT ▼ In this video we will see how to demonstrate the formula to derive an exponential function, using the definition as a limit, and the definition of the exponential function as a series of powers, all explained step by step.
#Calculation #Limits #Derivatives
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Para ser un profesor exitoso en TH-cam no solo se necesita del conocimiento vasto de la materia, también hay que poner en práctica vocalizacion, ritmo del video y hasta la correcta respiración. Ud amigo profesor de este canal, tiene todo lo anterior. Siga adelante, lo apoyamos
Es verdad!
Conocimiento nato...no, no creo que nadie nazca sabiendo derivar. Es conocimiento adquirido con esfuerzo.
una de la demostraciones mas hermosas y entendibles que he visto, muy bonita :)
Buenísimo video! Abrazos de Brasil
Esto sí que es calidad...
¡Excelente video!, gracias.
Espero que pronto subas más videos de cálculo vectorial pero que sean más complejos por favor. :)
Tus videos son muy claros, y te agradezco el esfuerzo que haces.
Muchas gracias!
Me ayudó mucho
Es lo que precisaba
Esa es, chévere, qué buena explicación, muchas gracias 😊👍
Gracias!
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Muy didáctica y pedagógica la explicación. Saludos desde la Universidad Territorial Deltaica "Francisco Tamayo", del Estado Delta Amacuro, Venezuela.
Hola, muy buen video las demostraciones siempre son útiles, espero hagas videos sobre límites exponenciales ya que en TH-cam casi no hay videos, muchas gracias por todos tus videos,
Estos vídeos demostración son oro
excelente vídeo
seria muy bueno que hicieras vídeos de optimizacion, aplicaciones de la deriva
Muy buena explicación, me quedó todo claro :)
Lo quiero mucho, muchas gracias por explicarme
Gracias, es la mejor tutorial que vi
muchas gracias. Muy buen profesor.
Gracias me salvaste la vidaaaaaa🤩
Oye amigo , podrías crear una sección del canal sobre aplicaciones de las matemáticas en distintos ámbitos en la ingeniería ( en forma de preguntas) , estaría genial , además así podríamos aplicar nuestros conocimientos de razonamiento matemático.
gracias, te amo
Espectacular! 🤯👏👏👏👏👏👏
¡Asombroso!
:'D
Ahora demuestra la derivada de f(x) = sinx
Hola!
Esa ya la demostre. Puedes encontrarla en la lista de reproducción, el enlace esta en la descripción de este video.
En el limite después de sacar e^x no sería más fácil aplicar la propiedad que nos da como resultado ln(e)?
Profesor puede subir videos de sólidos en revolución
o sea que para calcular el limite solo hay que reemplazar la definición de e que siga el lector? tu tomas e como serie de potencias y esa es la def, si yo lo defino como el limite de una sucesión serian los mismos pasos a seguir ? a eso te refieres?
A esto me refiero: th-cam.com/video/g9Tcc-crF0s/w-d-xo.html
Si usamos la serie para dacar la derivada, ¿Eso significa que sepuede sacar la serie sin la derivada?
Tienes algún vídeo en el que demuestras que e^x es igual a la suma de esos infinitos términos?? Parece una serie de Taylor...
Eso depende. Primero define qué es la función exponencial.
Puedes definirla directamente como esa serie (una vez que demuestres que converge). Otras formas de definir a la exponencial son: como la solución de un PVI (a partir del Teorema de existencia y unicidad de EDO); como la inversa de ln(x), una vez que se ha definido primero al logaritmo mediante una integral; o también como un límite.
Partiendo de una de esas definiciones, las otras se convierten en teoremas que pueden demostrarse. Dicho de otra forma, todas esas son equivalentes.
cómo sería con la base a?
Disculpa, una acotación, no puedes usar la serie de Taylor de e^x ya que se basa en la derivada de e^x que es lo que se supone se busca demostrar, es decir al usarla das por sentado que la derivada de e^x es e^x sin ninguna demostración
De hecho no necesariamente es así.
Existen diversas formas independientes de definir la exponencial y una vez definida lo demás son teoremas.
Una forma de definirla es como una serie de potencias y entonces a partir de eso toca demostrar que dicha serie converge para cualquier x, que la función es continua y derivable y calcular su derivada.
Otro punto de inicio es primero definir el logaritmo natural mediante una integral y luego demostrar que es función inyectiva y que tiene inversa y definir su inversa como la exponencial.
Otro punto de partida es demostrar que cualquier ecuación diferencial Lineal de primer orden con ciertas condiciones tiene solución única y entonces definir a la exponencial como la unica solución del problema:
y'=y, y(0)=1.
Otra forma es definirla a partir del límite de una sucesión. Etc.
Me reúno otra vez por conocimiento :v
:)
Y si le ponemos F(x)= e^g(x) para generalizar?
lo que utilizo para el limite se llama polinomio de Taylor.
profe donde puedo encontrar la play list de esta lista de ejercios??
¡Hola!
Es esta th-cam.com/play/PL9SnRnlzoyX2voBSX_YGG7qvpnDuLAW4V.html
Hola matefacil, te quiero. Xdd
Muy buenas, por favor alguien me explique, no entiendo eso de 3 y 4 factorial
3!= 1×2×3
4!= 1×2×3×4
Y así con cualquier valor factorial, se comienza desde el 1 hasta llegar al valor factorial inicial y todo eso se multiplican.
@@sabroson3694 Se puede realizar esto en una calculadora y obtener el valor del número de e ?
@@ersonpertuz4238 digitar un valor factorial si, pero realizar toda esta operación de forma inmediata no, a menos que sea una calculadora programable. Y el valor de e^x es infinito pero el valor de e es 2.718281828 por lo tanto es irracional
@@sabroson3694 muchas gracias Samuel, pues tenía la curiosidad de ver si era capaz de calcular ya Sean Los tres primeros dígitos del número e. De manera escrita a modo de ejercicio matemático
Empleas el desarrollo de Taylor de la exponencial que se obtiene con la derivada, para calcular la derivada. No tiene sentido. Se debe emplear la definición del número "e" como límite.
¡Hola!
De hecho existen funciones en Matemáticas que se definen a partir de series de potencias. Por lo que un punto de partida totalmente válido es definir a la exponencial a partir de una serie de potencias. Otras definiciones válidas son usando límites. Incluso se puede definir a la exponencial como la solución de una ecuación diferencial con ciertas condiciones dadas.
En cualquier caso, se llega al mismo resultado para el límite ahí planteado, ya que todas esas definiciones son equivalentes.
Totalmente cierto, pero siendo coherente con los conocimientos que se tienen a este nivel, la exponencial no se entiende como una suma infinita de polinomios, es una definición muy gratuita sin perspectiva. En cambio si se entiende como el límite de (1+1/n)^n.
Además el resultado con este límite es muy sencillo y elegante, desde mi punto de vista.
Gracias por la respuesta.
Pero en el video no usa la definicion de la exponencial usando series de MacLaurin, que se obtiene derivando infinitamente eso no seria un argumento circular?
No. Se puede definir la exponencial como una serie y a partir de ahí demostrar todas sus propiedades.
hola por favor puede resolverme ese ejercicio ?
FX=×^3*e^×
Vacanisimo pero esto no es solo para e tambien sirve para x
pero no puedes hacer eso en un curso donde están aprendiendo a derivar meter Taylor jajaja
un truco algebraico y la definición de Euler te creo
De hecho no necesariamente es así.
Existen diversas formas independientes de definir la exponencial y una vez definida lo demás son teoremas.
Una forma de definirla es como una serie de potencias y entonces a partir de eso toca demostrar que dicha serie converge para cualquier x, que la función es continua y derivable y calcular su derivada.
Otro punto de inicio es primero definir el logaritmo natural mediante una integral y luego demostrar que es función inyectiva y que tiene inversa y definir su inversa como la exponencial.
Otro punto de partida es demostrar que cualquier ecuación diferencial Lineal de primer orden con ciertas condiciones tiene solución única y entonces definir a la exponencial como la unica solución del problema:
y'=y, y(0)=1.
Otra forma es definirla a partir del límite de una sucesión. Etc.
@@MateFacilYT hola...una pregunta si quiero derivar por definición e^(xy) que parte deberia cambiar? Por favor
esa expresión exponencial no está basada en la expresión aproximada de maclaurin? En esa definición ya se utiliza el valor de la enésima derivada de la función exponencial jeje
De hecho no necesariamente es así.
Existen diversas formas independientes de definir la exponencial y una vez definida lo demás son teoremas.
Una forma de definirla es como una serie de potencias y entonces a partir de eso toca demostrar que dicha serie converge para cualquier x, que la función es continua y derivable y calcular su derivada.
Otro punto de inicio es primero definir el logaritmo natural mediante una integral y luego demostrar que es función inyectiva y que tiene inversa y definir su inversa como la exponencial.
Otro punto de partida es demostrar que cualquier ecuación diferencial Lineal de primer orden con ciertas condiciones tiene solución única y entonces definir a la exponencial como la unica solución del problema:
y'=y, y(0)=1.
Otra forma es definirla a partir del límite de una sucesión. Etc.
Oigan, soy el único que no escucha el audio del videos?
La definición que utlizas para e^x es la serie de Taylor de e^x, la cual se obiene a partir de la derivada de e^x, osea, usas lo que quieres demostrar, por lo tanto la demostración está mal hecha
De hecho no necesariamente es así.
Existen diversas formas independientes de definir la exponencial y una vez definida lo demás son teoremas.
Una forma de definirla es como una serie de potencias y entonces a partir de eso toca demostrar que dicha serie converge para cualquier x, que la función es continua y derivable y calcular su derivada.
Otro punto de inicio es primero definir el logaritmo natural mediante una integral y luego demostrar que es función inyectiva y que tiene inversa y definir su inversa como la exponencial.
Otro punto de partida es demostrar que cualquier ecuación diferencial Lineal de primer orden con ciertas condiciones tiene solución única y entonces definir a la exponencial como la unica solución del problema:
y'=y, y(0)=1.
Otra forma es definirla a partir del límite de una sucesión. Etc.
En este video se toma como punto de partida a la exponencial definida como una serie de potencias.
Muchas funciones en matemáticas se definen a partir de series, otro ejemplo son las funciones de Bessel.
Jmmm creo que no es una buena demostración, cuando usaste la definición de "e^h" usaste el polinomio de Taylor evaluado en 0, y ese polinomio se demuestra o se llega a el utilizando la derivada de "e^h" así que para usar la definición de "e^h" tienes que saber de antes cual es la derivada de "e^h" para hacer una aproximación mediante polinomios
En resumen estas demostrando la derivada de e^x utilizando la derivada de e^x, y cuando se quiere llegar a un resultado no tengo que dar por hecho que el resultado es ese
¡Hola!
Al tratar de demostrar el límite para la exponencial, lo primero que debes preguntarte es ¿qué es la función exponencial? ¿cuál es su definición?
En respuesta a esto, existen diversos puntos de partida, totalmente válidos para iniciar.
Un punto de partida válido, es definir la función exponencial como una serie de potencias (muchas funciones en matemáticas se definen a partir de series de potencias, por ejemplo las funciones de Bessel). Por supuesto, si definimos la exponencial como una serie de potencias, esta tendría que coincidir con su serie de Maclaurin.
Una vez definida la exponencial así, lo siguiente sería demostrar las propiedades de la función exponencial (que es continua, creciente, inyectiva, que es derivable y su derivada es ella misma, etc). En este video, yo usé esta definición para la exponencial.
Ahora bien, esta no es la única forma de definir a la exponencial, otra forma muy común de hacerlo, es primero definir la función ln(x) como la integral de 1 hasta x de (1/t)dt
(para esto primero se ha demostrado que dicha integral existe para cualquier valor de x mayor que cero), después se demuestra que ln(x) es creciente y continua, por lo tanto es inyectiva y tiene inversa, y a la función inversa se la define como función exponencial. Después se demostrarían las propiedades de la exponencial así definida, y una de esas propiedades es la serie de Maclaurin (en este caso quedaría como un teorema y no como una definición).
Otra manera para definir a la exponencial es como la única solución del PVI: y'=y, y(0)=1. Para esto primero debe haberse demostrado el teorema de existencia y unicidad para EDO de primer orden con condición inicial y funciones coeficientes continuas en algún intervalo, etc (problema de Cauchy). Una vez demostrado esto, se le llama función exponencial a la solución de ese PVI, y se procede a demostrar las propiedades de la exponencial, entre ellas se demostraría su serie de Maclaurin (que en este caso también sería un teorema y no una definición), y la existencia de una función inversa, etc.
Otra forma de definir a la función exponencial, es mediante un límite, se define e^x (para cada x en los reales) como el valor del límite cuando n tiende a infinito, de la sucesión (1+x/n)^n, para esto primero debes demostrar que dicha sucesión es convergente para cada valor de x, y a partir de esto demostrar las propiedades de la función exponencial (entre ellas demostrar la serie de Maclaurin).
Como puedes notar, existen diversos puntos de partida igual de válidos, una vez que escoges un punto de partida, los otros 3 quedan como teoremas (Matemáticamente se dice que estas 4 afirmaciones son equivalentes entre sí). Esto es algo muy usual en Matemáticas.
Para que este video sea didáctico y fácil de entender, elegí como punto de partida la definición de la exponencial como una serie de potencias. Lo cual es totalmente válido, no es usar lo que se quiere demostrar, sino que directamente se está usando como una definición, con lo cual lo demás queda como teoremas a demostrar.
momento si h/h queda solo 1, pero los demas terminos quedan como 0/0, no son 0 son indeterminaciones, y es curioso q de h resentando a 0 al dividirse entre ella misma salga uno ggg q curioso.