Πανελληνιες 2η φορα το 2019 μετα το 2011 που ειχα πρωτοδωσει..και ακομα καθε χρονο περιμενω αυτη τη γιορτη των μαθηματικων με εσας κ.Νίκο! Καλη συνεχεια σε οτι κανετε και επιτυχια σε ολους
Νιωθω το ιδιο με εσας. Τα μαθηματικα απογοητευσαν φετος τους αριστους, οι οποιοι περιμενουν πως και πως να μεγαλουργησουν στο Δ, ακομα και στα τελευταια ερωτηματα του Γ, που θα περιμενε κανεις να ηταν τα δυσκολα, τα ευφυη, τα ωραια . Ελπιζω η χημεια και η φυσικη να εχουν τις πρωτοτυπιες τους, γιατι αν φετος μας κρινει η γλωσσα...καηκαμε.
Εχω να δω μαθηματικα λυκειου 5 χρονια και τα ελυσα σε κανα 45 λεπτό. Δεν λεω Πολυτεχνείο σπουδάζω αλλα τα ερωτηματα μου φανηκαν προφανη χωρις ιδιαιτερη εφευρετικοτητα. Κριμα
Το 15 εδωσα εγω τοσο ευκολα θεματα σαν τα φετινα δεν εχω ξαναδει ... ας κριθουν λοιπον τα παιδια που θα μπουν πολυτεχνεια απο την αποψη τους περι φεμινισμου, μου φαινεται αρκετα λογικο
Ωραία παρουσίαση συνάδερφε! Έχω μία ένσταση στο Γ4. Θεωρώ ότι αν έχει γίνει το σωστό σχήμα δεν είναι υποχρεωτική η εξήγηση του προσήμου της διαφοράς είτε μέσω κυρτότητας είτε αλλιώς . Δηλαδή το σχήμα από μόνο του εξηγεί το πρόσημο της διαφοράς. Και αυτό διότι το ίδιο το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί το σχήμα για να δικαιολογήσει το πρόσημο της διαφοράς σε τουλάχιστον δύο ανάλογες περιπτώσεις. (εφαρμογή 2, σελ. 229 και ασκ. 1Β, σελ 231
μια λυση για το Δ4 (ii): θα μπορουσαμε να τα χωρίσουμε ως εξής "x1F(x)-x1+x=-x2G(x)+x2-x" να θεωρήσουμε το πρώτο ως συνάρτηση h1(x) και το δεύτερο h2(x). H h1 δείχνουμε ότι είναι γν. αύξουσα και η h2 γν. φθίνουσα στο [x1,x2]. Το σύνολο τιμών της h1 είναι Α= [0, x1F(x2)+x2-x1] ενώ της h2 Β=[0, x2F(x2) +x2-x1]. Παρατηρώντας ότι "Α υποσύνολο του Β" και λόγω των διαφορετικών μονοτονιών των h1,h2 έπεται το ζητούμενο.
Κρίμα, αν το έκανες και το έσβησες!! Αν φαίνεται, θα σου δώσει, πιστεύω. Το ίδιο αν οι προσπάθεια που έκανες οδηγεί σε άλλη λύση με κάποιο τρόπο (ακόμα και αν δεν είναι ολοκληρωμένη).
Δυστυχώς εχασα το 20 επειδη στο β για την ασυμπτωτη εγω την βρηκα και στο -απειρο ενω δεν ορίζεται στους αρνητικους η f... Τωρα πιστευω οτι και κατι θα χασω απο καμια δικαιολόγηση αλλα πιστεύω ενα 19 το εχω πιασει... 2 πραγματα θελω να ρωτησω τωρα. Στο δ4i εγω το εκανα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκλ λογισμού δηλαδη το ολοκλήρωμα της f απο x1 εως x2, εφοσον ειναι αρχικες, θα ισχύει οτι θα ειναι ισο με F(x2)-F(x1) και G(x2)-G(x1) και εξισωνω και βγαινει το ζητούμενο, ειναι σωστη η αιτιολόγηση μου? Και τελος πως πιστεύετε οτι θα έπρεπε να εξετάζεται η θεωρια? Με ερωτησεις κρισεως? Σωστο λαθος με αιτιολόγηση? Πολλαπλής οπως στην φυσικη χημεια βιολογία? Θα ηθελα να ακουσω την αποψη σας! Εύχομαι καλα αποτελέσματα σε ολους τους μαθητες και να ανταμειφθούν οι κόποι τους!
Ναι, σωστή είναι η λύση με τις αρχικές, το ρώτησε και άλλο παιδί. Για την θεωρία θα τα πούμε άλλη στιγμή, αλλά, χοντρικά, ναι, είμαι υπέρ των ερωτήσεων κρίσεως και εκτός βιβλίου.
Γεια σου Τάσο! Έχουμε ένα φουλ 20ήμερο πριν αρχίσει το καλοκαίρι για μας! Προς στιγμήν θα θέλαμε τη δροσιά της Νορβηγίας! Είδα κάποια βιντεάκια σου με ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τη ζωή εκεί!
Καλημέρα. Αν στο Δ.2. έβγαλα σωστά τα όρια στο 0 και το 2 και είπα (ακριβώς έτσι το έγραψα, εννοείται με αριθμούς) limx->0f(x)*f(1)0+f(x)=-οο, υπάρχει xo κοντά στο 0 τέτοιο ώστε f(xo)
Για το Δ2 θα ήθελα να το είχες γράψει λίγο πιο σχολαστικά (ας πούμε το bolzano σε ποιο διάστημα γίνεται; Ανέφερες συνέχεια;). Αυτό δε σημαίνει ότι είναι λάθος η λύση. Δεν ξέρω αν θα σου κόψουν, να είμαι ειλικρινής. Εγώ θα έκοβα 0,5+. Δηλαδή, αν είχε το γραπτό κι άλλο σημείο που είμαι στο να κόψω ή να μην κόψω, θα έκοβα εδώ και δεν θα έκοβα στο άλλο. Αν δεν υπήρχε αλλού, μάλλον θα έκοβα 1 εδώ. Το Δ3 είναι σωστό, μάλιστα ήταν και η προτεινόμενη λύση της επιτροπής (το ΘΜΤ το είχε ως εναλλακτική).
Κυριε Νίκο καλησπερα. Αν στο β2 ι βρηκα αυτο που βρηκατε και εσεις αλλα χωρις το - και την εβγαλα γνησιος αυξουσα τοτε θα μου κοψουν και τις 4 μονάδες του ερωτήματος?
Καλησπέρα στο Δ4ιι έθεσα την συνάρτηση και υπέθεσα ότι έχει 2 ρίζες και καταλήγω σε άτοπο και επειδή η παραγωγός είναι θετική θα έχει μια ακριβώς ρίζα. Απλά δεν δικαιολόγησα ότι η παραγωγός είναι θετική γιατί δεν είχα χρόνο. Λέτε να το πιάσουν σωστό; Ευχαριστώ.
Επισης,μια εξυπνη εναλλακτικη λυση για προσημο της f με θεωρημα προσημου στο ανοιχτο χ1,χ2 αφου ξες προσημο f(1).φυσικα ολοι εκεινη την ωρα θα σκεφτουν συμβατικη λυση με μονοτονια οποτε μην εχουμε απαιτησεις
Καλησπέρα στο Δ4 που έθεσα συνάρτηση βρήκα μονοτονία και έκανα μπολζανο, αλλά έκανα αντικατσταση στην συνάρτηση που έθεσα και μετά αντικατέστησα την σχέση πιο πάνω και το πολλαπλασίασα, επειδή νόμιζα ότι βγάζουν αντίθετα πρόσημα και αιτιολόγησα αν ισχύει η ισότητα και αν μετά εσωτερικά θα πάρω κάτι παραπάνω από 2, αλλά στην ουσία είναι λάθος μπολζανο
Εγώ στο γ1 απαίτησα την συνέχεια για να βρω το α.Πιστεύετε θα χάσω και τις 4 μονάδες του ερωτήματος;Επίσης στην άσκηση με το εμβαδόν υπολόγισ- το οκοκληρωμα από 1 έως e fx-y πιστεύετε θα χάσω όλες τις μονάδες;
Πριν 1-2 ώρες διόρθωσα ένα γραπτό που το είχε γράψει αυτό! Ξεκίνησε "Έστω x0 στο R. Για x#x0...". Είναι λαθάκι, αλλά, κατ'εμέ, όχι για φουλ μόριο. Δηλαδή αν πάρεις 5/6 εκεί, μπορεί κάπου να σου δώσει "μισό".
@@siobaras75 Κύριε ξέρω ένα παιδί που στο Γ4 έγραψε το εμβαδόν ως το ολοκλήρωμα της f από 1 έως e , έπειτα αφαίρεσε το εμβαδό τριγώνου και καταλάθος πρόσθεσε και το τριγωνακι κάτω από τον x'x. Έχει κάνει καλό σχήμα και αιτιολόγησε τα πάντα με τα πρόσημα και δεν έκανε λάθος στις πράξεις. Θα χάσει 2 ή 3 μόρια σε αυτό? (Μου είπε κιόλας ότι στην αρχή το έβγαλε 1/2 οπότε φαίνεται και αυτό το αποτέλεσμα αν και μουτζουρωμένο)
Καλησπέρα σας μια ερώτηση θα ήθελα να σας κάνω .Στο τέταρτο θέμα στο σύνολο τιμών βρήκα από λάθος υπολογισμο το f(1) =ln2+2 ενώ ήταν κανονικά 2 οπότε βρήκα τα δύο σύνολα τιμών με αυτό τον αριθμό βέβαια δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα και στο τελευταίο ερώτημα το δ4 έγραψα στην παραγωγό που βρήκα f(x)(x1+x2)>0 και ξέχασα το +2 έχω δικαιολογήσει όμως πως είναι θετικό έχω γράψει τη μοναδικότητα ότι είναι 1-1 κτλπ έκανα αυτά τα δύο αριθμητικά συνολικά πιστεύετε θα μου κοστίσουν 1 μόριο;;; Επίσης στο γ4 βρήκα κυρτοτητα βρήκα το σημείο τομης έσπασα το ολοκλήρωμα από 1 έως e της f μείον την ευθεία αλλά βρήκα λάθος εμβαδόν αφού ήθελε αφαίρεση του τρίγωνο πόσο λέτε να έχω χάσει συνολικά από αυτά τα δύο μικρά λάθη και το λάθος στο γ4;;;Τα υπολοιπα είναι ολοσωστα και άψογα δικαιολογημένα
Συγγνώμη, άρα το έδειξες, απλά με άλλο τρόπο; Τότε γιατί να μην τα πάρεις όλα; Αν δεν το έδειξες σωστά και κατέληξες με λάθος σε αυτό που μου γράφεις, τότε, μάλλον παίρνεις 2/5.
Εγώ που στο γ2i βρήκα την παραγωγο και μετά έλυσα ως προς το Χο με την εξίσωση της εφαπτομενης λέτε να το χάσω όλο; βρήκα κανονικά το Χο=1 και ότι ορίζεται εφαπτομενη
Δεν το κατάλαβα ακριβώς. Πήρες όριο για την παράγωγο ή όχι; Στο Γ2i αν βρήκες την παράγωγο με τα πλευρικά, είσαι κομπλέ, τα παίρνεις όλα. Η εξίσωση είναι στο Γ2ii και δίνει άλλα 2 μόρια.
@@Mikebp58 Χμμ, εννοείς πήρες τον τύπο έτοιμο από το Γ4 ως δεδομένο και κατέληξες ότι το σημείο επαφής είναι στο x0=1 για το Γ2; Δε νομίζω να επιτρέπεται αυτό. Δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στοιχεία που δίνονται ως δεδομένα αργότερα για να λύσουμε προηγούμενο ερώτημα. Το αντίστροφο, βέβαια, γίνεται.
@@Mikebp58 Την παράγωγο έπρεπε να την βρεις με τον ορισμό στο σημείο 1, παίρνοντας πλευρικά όρια. Αν βρήκες την παράγωγο με κανόνες παραγώγισης για x1 και έβαλες στο τύπο με το "=" όπου x το 1, αυτό δεν είναι σωστό και δεν θα στο δώσουν για το (i), αλλά η ευθεία που θα βγει θα είναι σωστή, οπότε θα πάρεις 2 μονάδες από το Γ4 ii
Mια εναλλακτικη λυση για το δ4i) ειναι θμτ για την h(x)=F(X)-G(X) στο [χ1,χ2] που βγαινει το ζητουμενο.επισης στο δ4 ii) παλι μπορουμε να βγαλουμε το προσημο του G(x1) με θμτ για την G στο [χ1,χ2].Θεωρω παντως τα θεματα αρκετα ευκολα.ισως τα πιο ευκολα των τελευταιων πολλων ετων.Καλη ιδεα παντως το σχημα στο εμβαδον αλλα και παλι κλασσικο ερωτημα.
οκ αρα μετα κανεις την λυση που δινουν ολοι με το c.περιττο να το αποδειξεις.απλα λεω καποιος μπορουσε να το λυσει πλην της συμβατικης λυσης με θμτ για την F -G που βγαινει καρφι το ζητουμενο
Καλησπέρα.... Μαθητής στον ορισμό παραγωγού στο κλειστό, γράψει.... Παραγωγισιμη στο ανοιχτό και τα σωστά όρια, αντί για να ανηκουν R, το ένα ότι ισούται με f'(a) και το άλλο με f'(b)... Ti χάνει?
Στο τελευταίο ερώτημα του γ θέματος εκανα σχήμα αλλά καταλαθος γραμμοσκιασα και το κομμάτι μετά από την χ = e μεταξύ του χ’χ και της f.Παρ όλα αυτά έχω κάνει κανονικά το ολοκληρωμα με σπάσιμο και το βρήκα 1/2 ενώ στο σχήμα φαίνονται οι κατακόρυφες ευθείες.Λέτε να μου κόψουν κάτι απ αυτό;
Σχετικά με αυτό, έχω μία απορία. Εφόσον είχαμε βρει στο προηγούμενο ερώτημα το σύνολο τιμών της f και στο σχήμα φαίνεται ότι η εφαπτομένη είναι κάτω από τη Cf, αρκεί αυτό για να φύγουν τα απόλυτα ή χρειάζεται να πάρουμε και την κυρτότητα και να πούμε τα σχετικά; Ευχαριστώ.
@@siobaras75 όχι απέδειξα ότι η διαφορά f(x)-y είναι θετική αλλά πήρα αυτό το ολοκλήρωμα από το 1 κατευθειαν στο e χωρίς να το σπάσω σε δύο μέρη όπως είπατε
Εγω για το Δ4)i) ειπα οτι: Εστω οτι F(x2)+G(x1)=0, αφου F(x1)=G(x2)=0, τοτε θα ισχυει οτι: F(x2)-F(x1)+G(x1)-G(x2)=0 F(x2)-F(x1)=G(x2)-G(x1) F,G δυο παραγουσες της f στο [0,2] και ειναι συνεχεις σε αυτο ως παραγωγισιμες Επισης γνωριζω οτι [x1,x2] υποσυνολο του [0,2] αρα F(x2)-F(x1)= Ορισμενο ολολκληρωμα απο x1 εως x2 f(x)dx G(x2)-G(x1)= Ορισμενο ολοκληρωμα απο x1 εως x2 f(x)dx Αρα η ισοτητα ισχυει παντα επομενως επαληθευεται οτι F(x2)+G(x1)=0 ισχυει παντα Νομιζω ειναι λαθος ο τροπος που το εδειξα, ποσες μοναδες θα παρω ετσι;
Καλησπέρα σας!!! Στο Α4 δεν έγραψα ολη την λέξη αλλά έγραψα το αρχικό γράμμα Σ και Λ. Τα έχω όλα σωστά. Πιστεύετε θα τα πιάσουν για λάθος επειδή δεν έχω γράψει την λέξη ολόκληρη?
Εγώ που στο δ2 έκανα προφανή ρίζα στην f’ και έδειξα ότι είναι κοίλη άρα η μονοτονία της f έβγαινε σωστά και βρηκα σύνολο τιμών κτλ θα μου το πάρει σωστο ;
Καλησπέρα εγώ στο γ1) θεώρησα οτι η f εινα παραγωγίσημη στο 1 και βρηκα σωστα το α απο τα πλευρικά ομως, ξερω οτι ειναι λαθος να τη θεωρησουμε παραγωγίσημη αλλα πόσο πιστεύετε θα βαθμολογιθεί οτι το βρήκα σωστά? επίσης στο δ1 εγραψα οτι το κ πρεπει να ειναι 3 ωστε το οριο να ειναι 0/0 και να βγει πραγματικος με delhospital που εγραψα.Τι λέτε για αυτό?
Στο Γ.1, δυστυχώς, δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό, δε νομίζω ότι θα πάρεις κάτι από αυτό. Το ίδιο στο Δ.1, περίπου. Κανονικά έπρεπε να θέσουμε, αλλά ίσως πάρεις κάτι από εκεί.
κύριε Σιομο καταρχάς να σας πω οτι βρίσκω πολυ ενδιαφέρουσες τις ανάλυσης σας , προσφέρεται αρκετό δωρεάν υλικό. Κατά δεύτερον θελω να ρωτήσω ποια ειναι η πιθανή μοριοδοτιση για το γ4 . Έφτιαξα σωστα το σχήμα. Εγραψα το εμβαδο ως εξής ολοκλήρωμα 1-e |f(x)-y|dx -(το τριγωνακι που υπήρχε κατω του χ'χ) και ετοιολογισα κανονικα περα απο το σχήμα γιατι η f είναι μεγαλύτερη ιση στο [1,e] ... ωστόσο καπιο λαθος εγινε ειται στο ολοκλήρωμα ειται στο τριγωνακι και εχασα το αποτέλεσμα. Αν πουμε οτι χανω εντελώς το αποτέλεσμα ποσα μορια στα 7 θεωρείται οτι μπορούν να μου αποδοθούν;
Καλησπέρα φίλε μου, έκανα ακριβώς το ίδιο λάθος και ρώτησα έναν γνωστό μου που εξετάζει στο προφορικά και μου είπε 4-5, καθώς δεν είναι κάτι τελείως άσχετο. Βέβαια θα ήθελα να ακούσω και εγώ την άποψη του κυρίου Νίκου
Στο δ1 είπα ότι για να υπάρχει το όριο στο R αφού παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής μηδενίζεται θα πρέπει να είναι της μορφής 0/0 δηλαδή το 1 να είναι ρίζα του αριθμιτη και έτσι έβγαλα το κ=3 θα μου το κόψει??
Στο Δ4ι αν έλεγες ότι το ολοκλήρωμα της f από χ1 έως χ2 ισούται με τον εαυτό του και το εκφράζες στο ένα μέλος ως F(x2)- F(x1) και στο άλλο ως G( x2)- G(x1) ?
Κυριε Νικο στο δ2 αν κατεληξα σε σωστη μονοτονια και σωστη διαδικασια για τις ριζες χ1 και χ2 αλλα εχω βρει λαθος παραγωγο που ομως αλλαζει στο 1 ποσα μορια απο τα 4 χανω?Και επισης στο δ3 για το μοναδικο που βρηκα την f' γν φθινουσα αλλα παλι με λαθος παραγωγο απο το δ2 τοτε ποσα χανω απο τα 6 μορια?
Τη μοναδικότητα πώς την έδειξες; Κανονικά με παράγωγο; Θέλω να πω, εξήγησες το πρόσημο της f; Αν ναι, τότε, με τα σημερινά δεδομένα, παίρνεις 2/5. Μπορεί, τελικά να πάρεις 3. Αποκλείεται να πάρεις 1/5.
ειχα κανει το πινακακι στο προχειρο αλλα στο κανονικο το εξηγησα με σταθερο προσημο αναμεσα στα (χ1,χ2) με f(1)>0 και η παραγωγος αυτης που ειχα θεσει εξαρτιοταν απο το προσημο της f αρα εβγαινε η μοναδικοτητα
Καλησπέρα μια ερώτηση για το Γ4. Έδειξα οτκ η φ ειναι κυρτή στο διαστημα που μας έλεγε κ αιτιολόγηση γιατι ισχύει ουι φ>εφαπτομένη και πήρα ολοκληρωμα απο 1 εως e φ-εφαπτομενη. Πόσο λετε να χασω απο αυτό?
Το δ3 αν θέσουμε συνάρτηση αποδείξουμε ότι είναι φθίνουσα και μπολζανο θα είναι δεκτό? Ότι θα υπάρχει μοναδική πχ ξ ώστε η συνάρτηση που θέσαμε να έχει ρίζα κτλπ
Ξέρει κανένας εάν στο τετράδιό μπροστά γράψω με μικρά το όνομα του μαθήματος και μετά δίπλα με κεφαλαία υπάρχει περίπτωση μηδενισμού γραπτού λόγω συμβολισμού ?
@@siobaras75 Δηλαδή μιλάω για Έκθεση και ξεκίνησα να γραρω αυτό που μας είπαν νεοελληνική γλώσσα και λογοτεχνία και ξεκίνησα από αριστερά με κεφαλαία αλλά όσο περνούσε έπεφτα στα μικρά και στο τέλος στο δεξιό μέρος το έγραψα με μικρά Ξέρεις αν υπάρχει πρόβλημα ?
Στο Δ1 εγραψα οτι το οριο του 1/(x-1) οταν το x->1 δεν υπαρχει και ανελυσα γιατι δεν υπαρχει, επειτα ειπα οτι για να ειναι το δοθεν οριο πραγματικος αριθμος, αφου limx-1=0 οταν το x->1 πρεπει και το πανω μερος του να ειναι και αυτο 0 ωστε να εχουμε απροσδιοριστια. Για μια τετοια λυση το κοβετε ολο το Δ1?
Η πρώτη πρόταση που γράφεις ίσως σου δώσει κάτι, γιατί είναι προς την κατεύθυνση της διερεύνησης και η πλήρης διερεύνηση το παίρνει όλο. Το "για να είναι πραγματικός πρέπει να έχουμε απροσδιοριστία" δεν είναι δεκτό, δυστυχώς... Το εξηγώ λίγο καλύτερα στο νεότερο βίντεο (7/6)
Καλησπέρα άμα εχω γράψει τα σωστό λάθος με την μορφή "Σ - Λ" αντί για αυτολεξια "Σώστο λάθος " υπάρχει περίπτωση να μου κόψουν τις απαντήσεις μου λάθος ;
Μακαρι να μπει συναρτηση ολοκληρωμα του χρονου για να δουμε εμεις του 6 κανα σοβαρο θεμα και να μη κρινεται ποιος περναει στην εκθεση (θα λεγα και μιγαδικοι αλλα ειναι πιο επιστημονικης φαντασιας αυτο το ενδεχομενο)
Το Δ4 ήταν μια χαρά ερώτημα, άσχετα από το αν κάποιοι το έβγαλαν εύκολα, αντικείμενικα πολύ τσιμπημενο . Αυτό που δεν μου άρεσε καθόλου είναι το Δ3. Είναι αυτό Δ3 πανελλ? Να κάνεις ένα θμτ κ να βγαίνει, δικαιώνοντας τους φροντιστές που χαλάνε το μάθημα λέγοντας " δεν ξέρεις τι να κάνεις, κάνε ένα θμτ κ ότι γίνει"? Σκέψου ότι υπάρχουν πολύ καλοί που το υπερσκεφτηκαν κ ατυχησαν, και άλλοι το έβγαλαν έτσι στην τύχη. Θεωρώ ότι δεν ήταν σωστή η κλιμάκωση κ θα υπάρξουν αδικίες
Καλησπερα, επειδη λογω απροσεξιας δεν προσεξα στο β3 στην πλαγια συμπτωτη ενα προσημο και βρηκα λαθος το β που εβγαινε μηδεν με αποτελεσμα να βρω λαθος την ασυμπτωτη. Ποσα μορια θα χασω απο αυτο. Και κατι τελευταιο στο Δ4 1 εκανα ΘΜΤ στο [χ1,χ2] και εβγαλα το ιδιο αποτελεσμα. θα το χασω ολο η θα μου δωσουν κατι. Ευχαριστω πολυ
@@siobaras75 Εκανα 2 θμτ ενα για την F και ενα για την G στο [χ1,χ2]. Βρηκα F'(ξ1) και G'(ξ2) και αφου F'(x)=G'(x) καθως ειναι 2 αρχικες τις f F'(ξ1)=G'(ξ2) αρα F(x2)-F(x1)/x2-x1=G(x2)-G(x1)/x2-x1 αρα F(x2)+G(x1)=0.
@@antwniss6351 Σε αυτή τη λύση υπάρχει το εξής πρόβλημα: Ενώ όντως F'(x)=G'(x)=f(x) για κάθε x, θα πρέπει κάθε φορά να μιλάμε για το ίδιο x. Το ξ1 και το ξ2 δεν είναι απαραίτητα τα ίδια. Δεν ξέρω αν θα πάρεις κάτι από αυτό, ίσως κάτι λίγο...
@@aristotelismatthaios7258 Μπράβο!!! Ναι, μάλλον 2 μόρια θα έλεγα, αλλά δεν πειράζει, αν έλυσες τα άλλα είναι για να μη σε πιάνει το μάτι. Καλή συνέχεια!
3-4 μόρια θα έλεγα. Είναι πολλοί οι μαθηματικοί που είναι εξαιρετικά αυστηροί στα να βρούμε το σωστό χωρίο (κάποιοι απαιτούν και σχήμα ή λεπτομερέστατη εξήγηση).
Καλημερα κυριε Νικο!Εχω δυο ερωτησεις.Πρωτον,στο Γ4 εχω κανει μονο το σχημα,υπαρχει περιπτωση να παρω μοναδες;;Επισης στο Δ3 εκανα ΘΜΤ στο (1/3,3x1),μπορει να παρω κατι και απο εδω;
Στο σχήμα έχεις σημειώσει ποιο χωρίο θέλουμε; Αν ναι, τότε θα πάρεις κάποιο ή και κάποια μόρια. Στο Δ3, δυστυχώς, αυτό το ΘΜΤ φαίνεται ότι δεν οδηγεί σε λύση (δεν το έχω δοκιμάσει) γιατί δεν ξέρουμε το f(3x1), οπότε μάλλον δεν παίρνεις κάτι.
Στο ολοκληρωμα του Γ4 αν γραψω: ολοκληρωμα απο 1 εως 2 f(x)- εφαπτομενη (με αιτιολογηση προσημου) + ολοκληρωμα απο 2 εως 3 (αντι για e) f(x) ποσα μορια μπορει να χασω; Και εγω για εναν φιλο ρωταω.
Στο δ4i έκανα ένα ΘΜΤ για την F στο [χ1,χ2] και ένα ΘΜΤ για την G στο [x1,x2] και είπα επειδή είναι παραγουσες της f θα ισχύει F’(x)=G’(x) τα εξίσωσα και μου βγήκε το ζητούμενο πιστεύεται θα πάρω κάποιο μόριο
κριμα πραγματικα γτ σαν σκεψη ηταν ωραια.η λυση αυτη δουλευει με θμτ αν παρεις την διαφορα F-G και κανεις θμτ στο κλειστο χ1,χ2.αν παρεις ξεχωριστα τις F,G και κανεις θμτ απαγορευεται να τα εξισωσεις γτ δεν ξερεις οτι το ξ ειναι κοινο
Στο θέμα Γ στο εμβαδό, εγώ υπολόγισα λάθος ολοκληρώματα, διότι υπολόγισα από το 2 μέχρι το e Της /f(x)-y/ και θεώρησα κ(x)=f(x)-y ,βρήκα το πρόσημο για να βγάλω το απόλυτο και μετά το υπολόγισα.Κανα μόριο θα πάρω ή δεν θα πάρω τίποτα γιατί υπολόγισα λάθος Ολοκλήρωμα;
Ως Μαθηματικος, εχω να πω οτι ναι μεν τα θεματα ηταν βατα , αυτο βεβαια δεν ξερω αν ειναι καλο ή οχι , γιατι μπορει να παιχτούν σχολές στο μοριο αλλα απο θεμα μαθηματικης αισθητικης θεωρω οτι έχει κουράσει αυτο το μοτιβο που επαναλαμβανεται τα τελευταια χρονια,ειδικα στο θεμα Δ ! Μονοτονια,συνολο τιμων, ριζες χ1 και χ2 που μετα τις κουβαλαμε σε ολο το υπολοιπο θεμα ! Ειδικά φέτος,σε ολα τα θεματα , δεν υπηρχε πουθενα ουτε ενα Θ.Φερμα,ουτε καν ρυθμος μεταβολής και δεν αναφερω και άλλα πολλά! Υπερβολικα εύκολο Γ , ειδικα το Γ2 ειναι δωρεάν μόρια ! Σε γενικές γραμμές προφανώς και χάρηκα που οι μαθητες μου τα πήγαν καλα απλα ,βγαίνοντας απο τον ρολο του καθηγητη, θεωρώ οτι απο μαθηματικης σκοπιας έπρεπε να εξεταστούν περισσοτερες εννοιες , χωρις απαραιτητα τα θεματα να ειναι δυσκολα ! ΥΓ Περιμενα πως και πως την αναλυση σας ! Καλη συνεχεια στις εξετασεις των παιδιων
Στο δ3 δύστυχος έκανα σύνολο τιμών για την fτονος στο 0,2 όχι στο 0,1 και απέδειξα την ρίζα στο 0,2 .Θα πάρω καμιά μονάδα?Γενικά η μεθοδολογία ήταν σωστή
Πανελληνιες 2η φορα το 2019 μετα το 2011 που ειχα πρωτοδωσει..και ακομα καθε χρονο περιμενω αυτη τη γιορτη των μαθηματικων με εσας κ.Νίκο! Καλη συνεχεια σε οτι κανετε και επιτυχια σε ολους
Νιωθω το ιδιο με εσας. Τα μαθηματικα απογοητευσαν φετος τους αριστους, οι οποιοι περιμενουν πως και πως να μεγαλουργησουν στο Δ, ακομα και στα τελευταια ερωτηματα του Γ, που θα περιμενε κανεις να ηταν τα δυσκολα, τα ευφυη, τα ωραια . Ελπιζω η χημεια και η φυσικη να εχουν τις πρωτοτυπιες τους, γιατι αν φετος μας κρινει η γλωσσα...καηκαμε.
Εγω παντως αν και εδωσα περυσι ακομα σας παρακολουθω και πολυ ευχαριστα μαλιστα και ας ειμαι αγκαλια με τα επικαμπυλια και τα επιφανειακα
Εχω να δω μαθηματικα λυκειου 5 χρονια και τα ελυσα σε κανα 45 λεπτό. Δεν λεω Πολυτεχνείο σπουδάζω αλλα τα ερωτηματα μου φανηκαν προφανη χωρις ιδιαιτερη εφευρετικοτητα. Κριμα
Το 15 εδωσα εγω τοσο ευκολα θεματα σαν τα φετινα δεν εχω ξαναδει ... ας κριθουν λοιπον τα παιδια που θα μπουν πολυτεχνεια απο την αποψη τους περι φεμινισμου, μου φαινεται αρκετα λογικο
Του 17 ηταν πιστευω τα τελευταια δυσκολα χωρις μιγαδικους και ακολουθουν τα 22. Καλα για υλη χωρις ολοκληρωματα 20-21 δεν μιλαω καν
Και μετα οταν οι καθηγητές στη σχολη τους λενε ζαβα ποιος θα φταει?
Ωραία παρουσίαση συνάδερφε! Έχω μία ένσταση στο Γ4. Θεωρώ ότι αν έχει γίνει το σωστό σχήμα δεν είναι υποχρεωτική η εξήγηση του προσήμου της διαφοράς είτε μέσω κυρτότητας είτε αλλιώς . Δηλαδή το σχήμα από μόνο του εξηγεί το πρόσημο της διαφοράς. Και αυτό διότι το ίδιο το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί το σχήμα για να δικαιολογήσει το πρόσημο της διαφοράς σε τουλάχιστον δύο ανάλογες περιπτώσεις. (εφαρμογή 2, σελ. 229 και ασκ. 1Β, σελ 231
Πρακτικά, συμφωνώ. Δηλαδή παιδί με τέλειο σχήμα και τέλειο σπάσιμο στα ολοκληρώματα κλπ πρέπει να πάρει όλα τα μόρια.
Χωρίς πλάκα δάσκαλε μπήκα να δω από εσένα χωρίς να έχω ιδέα τι έπεσε( 5:10 ) , είσαι κορυφαίος .
μια λυση για το Δ4 (ii): θα μπορουσαμε να τα χωρίσουμε ως εξής "x1F(x)-x1+x=-x2G(x)+x2-x" να θεωρήσουμε το πρώτο ως συνάρτηση h1(x) και το δεύτερο h2(x). H h1 δείχνουμε ότι είναι γν. αύξουσα και η h2 γν. φθίνουσα στο [x1,x2]. Το σύνολο τιμών της h1 είναι Α= [0, x1F(x2)+x2-x1] ενώ της h2 Β=[0, x2F(x2) +x2-x1]. Παρατηρώντας ότι "Α υποσύνολο του Β" και λόγω των διαφορετικών μονοτονιών των h1,h2 έπεται το ζητούμενο.
Ενδιαφέρουσα προσέγγιση. Σίγουρα είναι πιο σύνθετη σκέψη από το Bolzano, αλλά μου φαίνεται μια χαρά. Ευχαριστούμε!
Καλησπερα. Εγω στο δ3 εκανα θμτ κ εκανα λαθος πραξη και το σβησα και ξεκινησα να κανω υπαρξιακα θεωρηματα. Παιρνω καμια μοναδα για τη προσπαθεια
Κρίμα, αν το έκανες και το έσβησες!! Αν φαίνεται, θα σου δώσει, πιστεύω. Το ίδιο αν οι προσπάθεια που έκανες οδηγεί σε άλλη λύση με κάποιο τρόπο (ακόμα και αν δεν είναι ολοκληρωμένη).
Δυστυχώς εχασα το 20 επειδη στο β για την ασυμπτωτη εγω την βρηκα και στο -απειρο ενω δεν ορίζεται στους αρνητικους η f... Τωρα πιστευω οτι και κατι θα χασω απο καμια δικαιολόγηση αλλα πιστεύω ενα 19 το εχω πιασει... 2 πραγματα θελω να ρωτησω τωρα. Στο δ4i εγω το εκανα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκλ λογισμού δηλαδη το ολοκλήρωμα της f απο x1 εως x2, εφοσον ειναι αρχικες, θα ισχύει οτι θα ειναι ισο με F(x2)-F(x1) και G(x2)-G(x1) και εξισωνω και βγαινει το ζητούμενο, ειναι σωστη η αιτιολόγηση μου? Και τελος πως πιστεύετε οτι θα έπρεπε να εξετάζεται η θεωρια? Με ερωτησεις κρισεως? Σωστο λαθος με αιτιολόγηση? Πολλαπλής οπως στην φυσικη χημεια βιολογία? Θα ηθελα να ακουσω την αποψη σας!
Εύχομαι καλα αποτελέσματα σε ολους τους μαθητες και να ανταμειφθούν οι κόποι τους!
Ναι, σωστή είναι η λύση με τις αρχικές, το ρώτησε και άλλο παιδί. Για την θεωρία θα τα πούμε άλλη στιγμή, αλλά, χοντρικά, ναι, είμαι υπέρ των ερωτήσεων κρίσεως και εκτός βιβλίου.
Καλό καλοκαίρι φίλε Νίκο! Ρίξε σε παρακαλώ μια βουτιά και για μένα..
Γεια σου Τάσο! Έχουμε ένα φουλ 20ήμερο πριν αρχίσει το καλοκαίρι για μας! Προς στιγμήν θα θέλαμε τη δροσιά της Νορβηγίας! Είδα κάποια βιντεάκια σου με ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τη ζωή εκεί!
Θα κάνεις προσομοιώσεις για το 2024;
Καλημέρα. Αν στο Δ.2. έβγαλα σωστά τα όρια στο 0 και το 2 και είπα (ακριβώς έτσι το έγραψα, εννοείται με αριθμούς)
limx->0f(x)*f(1)0+f(x)=-οο, υπάρχει xo κοντά στο 0 τέτοιο ώστε f(xo)
Για το Δ2 θα ήθελα να το είχες γράψει λίγο πιο σχολαστικά (ας πούμε το bolzano σε ποιο διάστημα γίνεται; Ανέφερες συνέχεια;). Αυτό δε σημαίνει ότι είναι λάθος η λύση. Δεν ξέρω αν θα σου κόψουν, να είμαι ειλικρινής. Εγώ θα έκοβα 0,5+. Δηλαδή, αν είχε το γραπτό κι άλλο σημείο που είμαι στο να κόψω ή να μην κόψω, θα έκοβα εδώ και δεν θα έκοβα στο άλλο. Αν δεν υπήρχε αλλού, μάλλον θα έκοβα 1 εδώ. Το Δ3 είναι σωστό, μάλιστα ήταν και η προτεινόμενη λύση της επιτροπής (το ΘΜΤ το είχε ως εναλλακτική).
Κυριε Νίκο καλησπερα. Αν στο β2 ι βρηκα αυτο που βρηκατε και εσεις αλλα χωρις το - και την εβγαλα γνησιος αυξουσα τοτε θα μου κοψουν και τις 4 μονάδες του ερωτήματος?
Όχι, λογικά τις 2 για την παράγωγο χάνεις
Την μονότονο δεν μπορώ να την βρω και κατασκευαστικά;
Καλησπέρα στο Δ4ιι έθεσα την συνάρτηση και υπέθεσα ότι έχει 2 ρίζες και καταλήγω σε άτοπο και επειδή η παραγωγός είναι θετική θα έχει μια ακριβώς ρίζα. Απλά δεν δικαιολόγησα ότι η παραγωγός είναι θετική γιατί δεν είχα χρόνο. Λέτε να το πιάσουν σωστό; Ευχαριστώ.
Μπορεί να πάρεις 1 μόριο, αν και κανονικά το μόριο δίνεται αν δείξεις ότι η παράγωγος είναι θετική.
Αν ξέχασα εντελώς την εφαπτομενη στο Γ4 και έχω βρει το εμβαδό μόνο της Cf και χ'χ με σχήμα χωρίς την εφαπτομενη, πόσο λέτε να μου κόψουν;
Επισης,μια εξυπνη εναλλακτικη λυση για προσημο της f με θεωρημα προσημου στο ανοιχτο χ1,χ2 αφου ξες προσημο f(1).φυσικα ολοι εκεινη την ωρα θα σκεφτουν συμβατικη λυση με μονοτονια οποτε μην εχουμε απαιτησεις
Καλησπερα, πρωτη φορα βλεπω το καναλι και ηθελα να ρωτησω, το bakcground ειναι φτιαγμενο απο magic καρτες? Αν ναι εισαι απιστευτος 😂
Ναι, έπαιζα παλιά... Πολύ ωραίο παιχνίδι...
Καλησπέρα στο Δ4 που έθεσα συνάρτηση βρήκα μονοτονία και έκανα μπολζανο, αλλά έκανα αντικατσταση στην συνάρτηση που έθεσα και μετά αντικατέστησα την σχέση πιο πάνω και το πολλαπλασίασα, επειδή νόμιζα ότι βγάζουν αντίθετα πρόσημα και αιτιολόγησα αν ισχύει η ισότητα και αν μετά εσωτερικά θα πάρω κάτι παραπάνω από 2, αλλά στην ουσία είναι λάθος μπολζανο
Το σημαντικό είναι αν έδειξες κάπως ότι F(x1)>0 ή G(x2)
@@siobaras75ναι την έβγαλα την μονοτονία της G και της F ουτοσιαλλως γιατί έδειξα την μοναδικότητα με χτίσιμο απλά δεν δούλεψε με χ1 και χ2
@@siobaras75επίσης στο θέμα β πήγα να υπολογίσω ασυμπτωτη στο 0 και το όριο το υπολόγισα λάθος θα χάσω και από εκεί?
Εγώ στο γ1 απαίτησα την συνέχεια για να βρω το α.Πιστεύετε θα χάσω και τις 4 μονάδες του ερωτήματος;Επίσης στην άσκηση με το εμβαδόν υπολόγισ- το οκοκληρωμα από 1 έως e fx-y πιστεύετε θα χάσω όλες τις μονάδες;
Στο Γ1 δυστυχώς, μάλλον ναι, το χάνεις όλο. Στο Γ4, αν έχεις δείξει πρόσημο και έχεις κάνει και τον υπολογισμό, θα πάρεις κάτι.
Στο Α1 πήρα το όριο κατευθείαν και το ανέπτυξα όπως πάνω και αιτιολόγησα τα πάντα μετά. Θα χάσω μόριο. Γιατί αν χάσω από αυτό θα χαλάσει το 20αρι😅
Αν πήρες απευθείας όριο δεν χρειάζεται το x#x0. Δεν κινδυνεύεις. Συγχαρητήρια!
Στο Α4 αντι για ολοκληρη την λεξη Σωστο/Λαθος εγραψα μονο τα αρχικα πιστευτε οτι θα μηδενιστω στο συγκεκριμενο; ερωτημα;
Ε όχι βέβαια!
Στο Α1 πηρα καταλαθος εστω χ0 ενα τυχαιο σημειο στο R, κινδυνευω αυστηρα ή μπορει και να μη μου κοψουν απο αυτο?
Πριν 1-2 ώρες διόρθωσα ένα γραπτό που το είχε γράψει αυτό! Ξεκίνησε "Έστω x0 στο R. Για x#x0...". Είναι λαθάκι, αλλά, κατ'εμέ, όχι για φουλ μόριο. Δηλαδή αν πάρεις 5/6 εκεί, μπορεί κάπου να σου δώσει "μισό".
@@siobaras75 εγινε ευχαριστώ πολυ!
αν στο γ4 περναμε ολοκληρωμα f(χ)-εφαπτομενη απο 1 έως e και δικαιολογουσαμε προσημα χαναμε και τα 7 μόρια. Ευχαριστώ
Όχι και τα 7, φυσικά, θα περίμενα να χαθούν 3, αν όλα τα άλλα είναι τέλεια.
@@siobaras75 ευχαριστω πολύ
@@siobaras75 Κύριε ξέρω ένα παιδί που στο Γ4 έγραψε το εμβαδόν ως το ολοκλήρωμα της f από 1 έως e , έπειτα αφαίρεσε το εμβαδό τριγώνου και καταλάθος πρόσθεσε και το τριγωνακι κάτω από τον x'x. Έχει κάνει καλό σχήμα και αιτιολόγησε τα πάντα με τα πρόσημα και δεν έκανε λάθος στις πράξεις. Θα χάσει 2 ή 3 μόρια σε αυτό? (Μου είπε κιόλας ότι στην αρχή το έβγαλε 1/2 οπότε φαίνεται και αυτό το αποτέλεσμα αν και μουτζουρωμένο)
Καλησπέρα σας μια ερώτηση θα ήθελα να σας κάνω .Στο τέταρτο θέμα στο σύνολο τιμών βρήκα από λάθος υπολογισμο το f(1) =ln2+2 ενώ ήταν κανονικά 2 οπότε βρήκα τα δύο σύνολα τιμών με αυτό τον αριθμό βέβαια δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα και στο τελευταίο ερώτημα το δ4 έγραψα στην παραγωγό που βρήκα
f(x)(x1+x2)>0 και ξέχασα το +2 έχω δικαιολογήσει όμως πως είναι θετικό έχω γράψει τη μοναδικότητα ότι είναι 1-1 κτλπ έκανα αυτά τα δύο αριθμητικά συνολικά πιστεύετε θα μου κοστίσουν 1 μόριο;;; Επίσης στο γ4 βρήκα κυρτοτητα βρήκα το σημείο τομης έσπασα το ολοκλήρωμα από 1 έως e της f μείον την ευθεία αλλά βρήκα λάθος εμβαδόν αφού ήθελε αφαίρεση του τρίγωνο πόσο λέτε να έχω χάσει συνολικά από αυτά τα δύο μικρά λάθη και το λάθος στο γ4;;;Τα υπολοιπα είναι ολοσωστα και άψογα δικαιολογημένα
Κύριε σιωμο βοήθεια.. Έλυσα τα πάντα μόνο στο Δ4ii είχα ένα θέμα. Δεν έδειξα σωστά λόγω χρόνου ότι h(x1) h(x2)
Συγγνώμη, άρα το έδειξες, απλά με άλλο τρόπο; Τότε γιατί να μην τα πάρεις όλα; Αν δεν το έδειξες σωστά και κατέληξες με λάθος σε αυτό που μου γράφεις, τότε, μάλλον παίρνεις 2/5.
Εγώ που στο γ2i βρήκα την παραγωγο και μετά έλυσα ως προς το Χο με την εξίσωση της εφαπτομενης λέτε να το χάσω όλο; βρήκα κανονικά το Χο=1 και ότι ορίζεται εφαπτομενη
Δεν το κατάλαβα ακριβώς. Πήρες όριο για την παράγωγο ή όχι; Στο Γ2i αν βρήκες την παράγωγο με τα πλευρικά, είσαι κομπλέ, τα παίρνεις όλα. Η εξίσωση είναι στο Γ2ii και δίνει άλλα 2 μόρια.
@@siobaras75 βρήκα την παραγωγο και μετέπειτα έλυσα ως προς y-f(x0) = f'(x0) (x-x0) και μου βγήκε κανονικά ότι ισχύει
@@Mikebp58 Χμμ, εννοείς πήρες τον τύπο έτοιμο από το Γ4 ως δεδομένο και κατέληξες ότι το σημείο επαφής είναι στο x0=1 για το Γ2; Δε νομίζω να επιτρέπεται αυτό. Δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στοιχεία που δίνονται ως δεδομένα αργότερα για να λύσουμε προηγούμενο ερώτημα. Το αντίστροφο, βέβαια, γίνεται.
@@Mikebp58 Την παράγωγο έπρεπε να την βρεις με τον ορισμό στο σημείο 1, παίρνοντας πλευρικά όρια. Αν βρήκες την παράγωγο με κανόνες παραγώγισης για x1 και έβαλες στο τύπο με το "=" όπου x το 1, αυτό δεν είναι σωστό και δεν θα στο δώσουν για το (i), αλλά η ευθεία που θα βγει θα είναι σωστή, οπότε θα πάρεις 2 μονάδες από το Γ4 ii
Οκ ευχαριστώ
Mια εναλλακτικη λυση για το δ4i) ειναι θμτ για την h(x)=F(X)-G(X) στο [χ1,χ2] που βγαινει το ζητουμενο.επισης στο δ4 ii) παλι μπορουμε να βγαλουμε το προσημο του G(x1) με θμτ για την G στο [χ1,χ2].Θεωρω παντως τα θεματα αρκετα ευκολα.ισως τα πιο ευκολα των τελευταιων πολλων ετων.Καλη ιδεα παντως το σχημα στο εμβαδον αλλα και παλι κλασσικο ερωτημα.
Το δ4 ι) βγαίνει και αν πάρεις τη συνάρτηση π είπες κ παραγωγισεις άρα αποδείξεις πως είναι σταθερή , δηλαδή πως h(x1)=h(x2)
@@eliasmarkopoulos3111 αυτό έκανα και γω
οκ αρα μετα κανεις την λυση που δινουν ολοι με το c.περιττο να το αποδειξεις.απλα λεω καποιος μπορουσε να το λυσει πλην της συμβατικης λυσης με θμτ για την F -G που βγαινει καρφι το ζητουμενο
Καλησπέρα.... Μαθητής στον ορισμό παραγωγού στο κλειστό, γράψει.... Παραγωγισιμη στο ανοιχτό και τα σωστά όρια, αντί για να ανηκουν R, το ένα ότι ισούται με f'(a) και το άλλο με f'(b)... Ti χάνει?
Μάλλον 2/4.
Ευχαριστω
@@siobaras75 στο βιντεο μεσα ομως λετε πως αν δεν βαλει το "ανηκει R" χανει μονο 1 μοναδα
Στο τελευταίο ερώτημα του γ θέματος εκανα σχήμα αλλά καταλαθος γραμμοσκιασα και το κομμάτι μετά από την χ = e μεταξύ του χ’χ και της f.Παρ όλα αυτά έχω κάνει κανονικά το ολοκληρωμα με σπάσιμο και το βρήκα 1/2 ενώ στο σχήμα φαίνονται οι κατακόρυφες ευθείες.Λέτε να μου κόψουν κάτι απ αυτό;
Λογικά όχι, η λύση σου δεν είναι στο σχήμα, είναι στην ανάλυση...
Σχετικά με αυτό, έχω μία απορία. Εφόσον είχαμε βρει στο προηγούμενο ερώτημα το σύνολο τιμών της f και στο σχήμα φαίνεται ότι η εφαπτομένη είναι κάτω από τη Cf, αρκεί αυτό για να φύγουν τα απόλυτα ή χρειάζεται να πάρουμε και την κυρτότητα και να πούμε τα σχετικά; Ευχαριστώ.
Κυριε Νίκο δεν βρηκα σωστα την γωνία στο Γ2 και στο Γ4 πηρα απο το 1 στο e κατευθείαν ποσα μόρια θα χάσω λετε ;
Η γωνία όπως λέω στο βίντεο (2μ). Στο Γ4 τι εννοείς κατευθείαν; Μόνο f; Χωρίς κουβέντα για το πρόσημο; Δεν ξέρω τι έχεις κάνει...
@@siobaras75 όχι απέδειξα ότι η διαφορά f(x)-y είναι θετική αλλά πήρα αυτό το ολοκλήρωμα από το 1 κατευθειαν στο e χωρίς να το σπάσω σε δύο μέρη όπως είπατε
Γ4 στο εμβαδό έβαλα μόνο την διαφορά f-y και αιτιολόγησα γιατί είναι αυτή με την κοιλότητα ποσα θα πιάσω ?
Μάλλον 2, αλλά θα έπρεπε να το δω. Σε αυτό το ερώτημα υπάρχουν διαφορετικές απόψεις, δες και το νέο βίντεο (7/6)
Εγω για το Δ4)i) ειπα οτι:
Εστω οτι F(x2)+G(x1)=0, αφου F(x1)=G(x2)=0, τοτε θα ισχυει οτι:
F(x2)-F(x1)+G(x1)-G(x2)=0 F(x2)-F(x1)=G(x2)-G(x1)
F,G δυο παραγουσες της f στο [0,2] και ειναι συνεχεις σε αυτο ως παραγωγισιμες
Επισης γνωριζω οτι [x1,x2] υποσυνολο του [0,2] αρα
F(x2)-F(x1)= Ορισμενο ολολκληρωμα απο x1 εως x2 f(x)dx
G(x2)-G(x1)= Ορισμενο ολοκληρωμα απο x1 εως x2 f(x)dx
Αρα η ισοτητα ισχυει παντα επομενως επαληθευεται οτι F(x2)+G(x1)=0 ισχυει παντα
Νομιζω ειναι λαθος ο τροπος που το εδειξα, ποσες μοναδες θα παρω ετσι;
Αν εξαιρέσουμε κάποιες μικρολεπτομέρειες, όπως το [0,2] που θα έπρεπε να είναι (0,2), η λύση είναι ολόσωστη!
@@siobaras75 Πιστευετε θα κοπει τιποτα απο αυτο;
@@maxai2699τελικα σε κοψανε κατι απο αυτο?
Καλησπέρα σας!!! Στο Α4 δεν έγραψα ολη την λέξη αλλά έγραψα το αρχικό γράμμα Σ και Λ. Τα έχω όλα σωστά. Πιστεύετε θα τα πιάσουν για λάθος επειδή δεν έχω γράψει την λέξη ολόκληρη?
Όχι βέβαια! Μια χαρά είναι και το Σ-Λ
@@siobaras75 Σας ευχαριστώ!!!
Εγώ που στο δ2 έκανα προφανή ρίζα στην f’ και έδειξα ότι είναι κοίλη άρα η μονοτονία της f έβγαινε σωστά και βρηκα σύνολο τιμών κτλ θα μου το πάρει σωστο ;
Φυσικά!
Καλησπέρα εγώ στο γ1) θεώρησα οτι η f εινα παραγωγίσημη στο 1 και βρηκα σωστα το α απο τα πλευρικά ομως, ξερω οτι ειναι λαθος να τη θεωρησουμε παραγωγίσημη αλλα πόσο πιστεύετε θα βαθμολογιθεί οτι το βρήκα σωστά? επίσης στο δ1 εγραψα οτι το κ πρεπει να ειναι 3 ωστε το οριο να ειναι 0/0 και να βγει πραγματικος με delhospital που εγραψα.Τι λέτε για αυτό?
Στο Γ.1, δυστυχώς, δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό, δε νομίζω ότι θα πάρεις κάτι από αυτό. Το ίδιο στο Δ.1, περίπου. Κανονικά έπρεπε να θέσουμε, αλλά ίσως πάρεις κάτι από εκεί.
Περνώντας τις πλευρικες παραγωγούς μπορεις να δείξεις οτι ειναι παραγωγισιμη στο 1, συνεπως και συνεχης σωστα?
Αν για να βρουμε το κ απαιτησαμε το οριο να ειναι της μορφης 0/0 αρα το οριο του αριθμητη να κανει 0 θα δωσουν ολες τις μοναδες ετσι?ευχαριστω
Δυστυχώς, μάλλον όχι.
κύριε Σιομο καταρχάς να σας πω οτι βρίσκω πολυ ενδιαφέρουσες τις ανάλυσης σας , προσφέρεται αρκετό δωρεάν υλικό. Κατά δεύτερον θελω να ρωτήσω ποια ειναι η πιθανή μοριοδοτιση για το γ4 . Έφτιαξα σωστα το σχήμα. Εγραψα το εμβαδο ως εξής ολοκλήρωμα 1-e |f(x)-y|dx -(το τριγωνακι που υπήρχε κατω του χ'χ) και ετοιολογισα κανονικα περα απο το σχήμα γιατι η f είναι μεγαλύτερη ιση στο [1,e] ... ωστόσο καπιο λαθος εγινε ειται στο ολοκλήρωμα ειται στο τριγωνακι και εχασα το αποτέλεσμα. Αν πουμε οτι χανω εντελώς το αποτέλεσμα ποσα μορια στα 7 θεωρείται οτι μπορούν να μου αποδοθούν;
Καλησπέρα φίλε μου, έκανα ακριβώς το ίδιο λάθος και ρώτησα έναν γνωστό μου που εξετάζει στο προφορικά και μου είπε 4-5, καθώς δεν είναι κάτι τελείως άσχετο. Βέβαια θα ήθελα να ακούσω και εγώ την άποψη του κυρίου Νίκου
Αν είναι κομπλέ η αιτιολόγηση προσήμου, συμφωνώ ότι παίζει κοντά στα 5/7.
Στο δ1 είπα ότι για να υπάρχει το όριο στο R αφού παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής μηδενίζεται θα πρέπει να είναι της μορφής 0/0 δηλαδή το 1 να είναι ρίζα του αριθμιτη και έτσι έβγαλα το κ=3 θα μου το κόψει??
Δυστυχώς ναι. Όχι εντελώς, θα πάρεις 1 μόριο, το εξηγώ καλύτερα γιατί γίνεται αυτό στο επόμενο βίντεο (7/6).
Στο Δ4ι αν έλεγες ότι το ολοκλήρωμα της f από χ1 έως χ2 ισούται με τον εαυτό του και το εκφράζες στο ένα μέλος ως F(x2)- F(x1) και στο άλλο ως G( x2)- G(x1) ?
Ωραίο και έτσι!
Μεγάλε νόμιζα ότι είμαι ο μόνος.Σου εύχομαι καλή επιτυχία
@@ΠετροσΞαρχακοσ-ξ4φ εγώ έδινα πέρυσι αδερφέ απλά τα βλέπω για την πορώση αλλά κ γτ δίνει αδερφή μου. Καλή επιτυχία 💯💯.
@@ΠετροσΞαρχακοσ-ξ4φ κι εγώ έτσι το έλυσα φίλε, καλά αποτελέσματα να έχουμε 🍻
Κυριε Νικο στο δ2 αν κατεληξα σε σωστη μονοτονια και σωστη διαδικασια για τις ριζες χ1 και χ2 αλλα εχω βρει λαθος παραγωγο που ομως αλλαζει στο 1 ποσα μορια απο τα 4 χανω?Και επισης στο δ3 για το μοναδικο που βρηκα την f' γν φθινουσα αλλα παλι με λαθος παραγωγο απο το δ2 τοτε ποσα χανω απο τα 6 μορια?
1 ή 2
Καλησπερα. Στο Γ4 πηρα ολοκληρωμα απο 1 εως e της f(x)-y και βρηκα σωστα προσημο και αποτελεσμα του. Ποσα μορια πιστευετε θα χαθουν;
Ρώτησα γνωστό που εξετάζει προφορικά και λέει 4-5
Μάλλον προς το 4, θα έλεγα. Αυτό είναι λίγο χειρότερο από αυτό που έκανε ο Jimmy Fragogiannakis και μπορείς να δεις στα σχόλια.
καλησπερα , στο Δ4 ii εκανα το μπολζανο και πηρα το γινομενο και αλγεβρικα κατεληξα καπου που χρειζοταν να δειξω οτι το G(x1)
Τη μοναδικότητα πώς την έδειξες; Κανονικά με παράγωγο; Θέλω να πω, εξήγησες το πρόσημο της f; Αν ναι, τότε, με τα σημερινά δεδομένα, παίρνεις 2/5. Μπορεί, τελικά να πάρεις 3. Αποκλείεται να πάρεις 1/5.
ειχα κανει το πινακακι στο προχειρο αλλα στο κανονικο το εξηγησα με σταθερο προσημο αναμεσα στα (χ1,χ2) με f(1)>0 και η παραγωγος αυτης που ειχα θεσει εξαρτιοταν απο το προσημο της f αρα εβγαινε η μοναδικοτητα
Καλησπέρα μια ερώτηση για το Γ4. Έδειξα οτκ η φ ειναι κυρτή στο διαστημα που μας έλεγε κ αιτιολόγηση γιατι ισχύει ουι φ>εφαπτομένη και πήρα ολοκληρωμα απο 1 εως e φ-εφαπτομενη. Πόσο λετε να χασω απο αυτό?
Φ>=εφαπτομένη*
3-4, λογικά
Το δ3 αν θέσουμε συνάρτηση αποδείξουμε ότι είναι φθίνουσα και μπολζανο θα είναι δεκτό? Ότι θα υπάρχει μοναδική πχ ξ ώστε η συνάρτηση που θέσαμε να έχει ρίζα κτλπ
Ναι, κομπλέ
Αν στο δ2 για χ1< 1/3, πεις ότι από 1/3 μέχρι 1 στο σύνολο τιμών το 0 δεν υπάρχει επομένως το χ1 θα είναι κάτω από το 1/3 , ισχύει;
Αν το έδειξες αυτό, μια χαρά μου φαίνεται.
Στο δ3 έβγαινε και με μπολζανο στο (χ1,1) στην Φ(Χ)=f’(1-3x1)-3f1/3???????
Δεν το έχω δοκιμάσει. Αν θες στείλε στο FB τη λύση γραμμένη αναλυτικά, να τη δω το βράδυ.
Ξέρει κανένας εάν στο τετράδιό μπροστά γράψω με μικρά το όνομα του μαθήματος και μετά δίπλα με κεφαλαία υπάρχει περίπτωση μηδενισμού γραπτού λόγω συμβολισμού ?
Ε όχι δα... Δίνω μηδέν πιθανότητα να στο μηδενίσουν (εκτός αν έδωσες λευκή κόλλα!)
@@siobaras75 Δηλαδή μιλάω για Έκθεση και ξεκίνησα να γραρω αυτό που μας είπαν νεοελληνική γλώσσα και λογοτεχνία και ξεκίνησα από αριστερά με κεφαλαία αλλά όσο περνούσε έπεφτα στα μικρά και στο τέλος στο δεξιό μέρος το έγραψα με μικρά Ξέρεις αν υπάρχει πρόβλημα ?
Στο Δ1 εγραψα οτι το οριο του 1/(x-1) οταν το x->1 δεν υπαρχει και ανελυσα γιατι δεν υπαρχει, επειτα ειπα οτι για να ειναι το δοθεν οριο πραγματικος αριθμος, αφου limx-1=0 οταν το x->1 πρεπει και το πανω μερος του να ειναι και αυτο 0 ωστε να εχουμε απροσδιοριστια. Για μια τετοια λυση το κοβετε ολο το Δ1?
Η πρώτη πρόταση που γράφεις ίσως σου δώσει κάτι, γιατί είναι προς την κατεύθυνση της διερεύνησης και η πλήρης διερεύνηση το παίρνει όλο. Το "για να είναι πραγματικός πρέπει να έχουμε απροσδιοριστία" δεν είναι δεκτό, δυστυχώς... Το εξηγώ λίγο καλύτερα στο νεότερο βίντεο (7/6)
@@siobaras75 Ευχαριστω πολυ!
Να ρωτήσω άμα έπαιρνα στο εμβαδό από το 1 ως το e και την συνάρτηση f - την ευθεια πόσες μονάδες θα μου εκοβαν
3-4, λογικά, αν έχεις κάνει εξήγηση για το πρόσημο
@@siobaras75 αν δεν εχεις εξηγήσει το πρόσημο;
Καλησπέρα άμα εχω γράψει τα σωστό λάθος με την μορφή "Σ - Λ" αντί για αυτολεξια "Σώστο λάθος " υπάρχει περίπτωση να μου κόψουν τις απαντήσεις μου λάθος ;
καθε χρονο το ρωτανε αυτο, οχι
εγω στο Β2 ii) εκανα ΘΜΤ στο (e,π) και ειπα οτι εφοσον f'(x)0) , πρέπει ο αριθμητής
Δεν είναι λάθος, γενικά. Εξήγησες τα πρόσημα στα 4-e^2 κλπ στην ανισότητα; Αν ναι, τότε κομπλέ.
Στο α2 με την συνεχεια πειραζει τοσο πολυ που εβαλα να ειναι συνεχης σε καθε σημειο του κλειστου α,β και μετα αυτο με ta lim kanonika to evala?
Στο Α2 δεν έχει συνέχεια, λέει για παραγωγισιμότητα. Δες και το νεότερο βίντεο για αυτό το σημείο (7/6)
Μακαρι να μπει συναρτηση ολοκληρωμα του χρονου για να δουμε εμεις του 6 κανα σοβαρο θεμα και να μη κρινεται ποιος περναει στην εκθεση (θα λεγα και μιγαδικοι αλλα ειναι πιο επιστημονικης φαντασιας αυτο το ενδεχομενο)
Το Δ4 ήταν μια χαρά ερώτημα, άσχετα από το αν κάποιοι το έβγαλαν εύκολα, αντικείμενικα πολύ τσιμπημενο . Αυτό που δεν μου άρεσε καθόλου είναι το Δ3. Είναι αυτό Δ3 πανελλ? Να κάνεις ένα θμτ κ να βγαίνει, δικαιώνοντας τους φροντιστές που χαλάνε το μάθημα λέγοντας " δεν ξέρεις τι να κάνεις, κάνε ένα θμτ κ ότι γίνει"? Σκέψου ότι υπάρχουν πολύ καλοί που το υπερσκεφτηκαν κ ατυχησαν, και άλλοι το έβγαλαν έτσι στην τύχη. Θεωρώ ότι δεν ήταν σωστή η κλιμάκωση κ θα υπάρξουν αδικίες
ρε αδελφούλη κάνε τα πολυώνυμα σου και άσε το τι θα αλλάξει στην υλη
Αν στο γ3 την έκανα με τον ορισμό της 1-1 μπορούν να κόψουν ;
Όχι, αρκεί να έκανες και την περίπτωση με x1 ή ίσο 1.
Καλησπερα, επειδη λογω απροσεξιας δεν προσεξα στο β3 στην πλαγια συμπτωτη ενα προσημο και βρηκα λαθος το β που εβγαινε μηδεν με αποτελεσμα να βρω λαθος την ασυμπτωτη. Ποσα μορια θα χασω απο αυτο. Και κατι τελευταιο στο Δ4 1 εκανα ΘΜΤ στο [χ1,χ2] και εβγαλα το ιδιο αποτελεσμα. θα το χασω ολο η θα μου δωσουν κατι. Ευχαριστω πολυ
Για την ασύμπτωτη θα έλεγα χάνεις 2 μόρια. Στο Δ4 ΘΜΤ για ποια συνάρτηση; Και πώς βγήκε το ίδιο αποτέλεσμα; Βοήθα με, δεν το κατάλαβα.
@@siobaras75 Εκανα 2 θμτ ενα για την F και ενα για την G στο [χ1,χ2]. Βρηκα F'(ξ1) και G'(ξ2) και αφου F'(x)=G'(x) καθως ειναι 2 αρχικες τις f F'(ξ1)=G'(ξ2) αρα F(x2)-F(x1)/x2-x1=G(x2)-G(x1)/x2-x1 αρα F(x2)+G(x1)=0.
@@antwniss6351 Σε αυτή τη λύση υπάρχει το εξής πρόβλημα: Ενώ όντως F'(x)=G'(x)=f(x) για κάθε x, θα πρέπει κάθε φορά να μιλάμε για το ίδιο x. Το ξ1 και το ξ2 δεν είναι απαραίτητα τα ίδια. Δεν ξέρω αν θα πάρεις κάτι από αυτό, ίσως κάτι λίγο...
Γ3 rolle και άτοπο έβγαινε
Στο Δ3 που λεει να αποδειξεται μοναδικο ξ αν γραφαμε η f γνησιως αυξουσα αντι για f' γνησιως αυξουσα πως θα χαναμε; (Για εναν φιλο ρωταω)
Πώς πήγες; Αν έχει κάνει τη δουλειά για την f ' (δηλαδή πήρε δεύτερη παράγωγο), τότε ελάχιστα ή και καθόλου.
Εκεινη την στιγμη δεν το προσεξα οποτε δεν εγραψα για την f'. Aρα εχω χασει 2-3 μοναδες; Τα υπολοιπα τα ελυσα.
@@aristotelismatthaios7258 Μπράβο!!! Ναι, μάλλον 2 μόρια θα έλεγα, αλλά δεν πειράζει, αν έλυσες τα άλλα είναι για να μη σε πιάνει το μάτι. Καλή συνέχεια!
Αν στο γ4 με το εμβαδόν καναμε τη μιση δουλεια δηλαδη τα παντα εκτος απο το τρίγωνο, ποσο θα κόψουν νομιζετε;
3-4 μόρια θα έλεγα. Είναι πολλοί οι μαθηματικοί που είναι εξαιρετικά αυστηροί στα να βρούμε το σωστό χωρίο (κάποιοι απαιτούν και σχήμα ή λεπτομερέστατη εξήγηση).
@@siobaras75 ευχαριστω
Καλημερα κυριε Νικο!Εχω δυο ερωτησεις.Πρωτον,στο Γ4 εχω κανει μονο το σχημα,υπαρχει περιπτωση να παρω μοναδες;;Επισης στο Δ3 εκανα ΘΜΤ στο (1/3,3x1),μπορει να παρω κατι και απο εδω;
Στο σχήμα έχεις σημειώσει ποιο χωρίο θέλουμε; Αν ναι, τότε θα πάρεις κάποιο ή και κάποια μόρια. Στο Δ3, δυστυχώς, αυτό το ΘΜΤ φαίνεται ότι δεν οδηγεί σε λύση (δεν το έχω δοκιμάσει) γιατί δεν ξέρουμε το f(3x1), οπότε μάλλον δεν παίρνεις κάτι.
Στο ολοκληρωμα του Γ4 αν γραψω: ολοκληρωμα απο 1 εως 2 f(x)- εφαπτομενη (με αιτιολογηση προσημου) + ολοκληρωμα απο 2 εως 3 (αντι για e) f(x) ποσα μορια μπορει να χασω; Και εγω για εναν φιλο ρωταω.
Επισης, εχω κανει το σχημα και εχω γραμμοσκιασει το ζητουμενο εμβαδο
Κι εσύ για να μη σε πιάνει το μάτι το έκανες, ε; Ο φίλος σου, εννοώ... 1 μόριο θα χάσεις, λογικά, το πολύ 2... Πώς πήγες στα υπόλοιπα;
@@siobaras75 Πολυ καλα! Ολα τα εγραψα. Εκανα κατι απροσεξιες ομως σε μερικα ερωτηματα του τυπου -1 ή -2 μοναδες, οπως πχ στο ερωτημα με το εμβαδο.
@@basilistriantafyllou1621 Μπράβο Βασίλη! Πάμε γερά και στα άλλα!
@@siobaras75 Ευχαριστώ!!
Στο δ4i έκανα ένα ΘΜΤ για την F στο [χ1,χ2] και ένα ΘΜΤ για την G στο [x1,x2] και είπα επειδή είναι παραγουσες της f θα ισχύει F’(x)=G’(x) τα εξίσωσα και μου βγήκε το ζητούμενο πιστεύεται θα πάρω κάποιο μόριο
Αυτό, νομίζω, δεν είναι σωστό, γιατί δεν έχω τρόπο να δείξω ότι τα ξ1 και ξ2 που βγαίνουν από τα ΘΜΤ ταυτίζονται, χωρίς να δείξω πρώτα αυτό που ψάχνω.
κριμα πραγματικα γτ σαν σκεψη ηταν ωραια.η λυση αυτη δουλευει με θμτ αν παρεις την διαφορα F-G και κανεις θμτ στο κλειστο χ1,χ2.αν παρεις ξεχωριστα τις F,G και κανεις θμτ απαγορευεται να τα εξισωσεις γτ δεν ξερεις οτι το ξ ειναι κοινο
@@siobaras75 δηλαδη δεν θα παρει ουτε 1 μοριο;
@@ΑλέξανδροςΜακεντούδης Το πολύ 1, αλλά, δυστυχώς, μάλλον κανένα...
@@siobaras75 ευχαριστω πολυ
Ποσό θα μου κόψουνε στο δ3 που δεν έχω δείξει ότι είναι μοναδικό;
2 μόρια, μάλλον.
Εγώ στο δ3 βρήκα λάθος πρόσημο της 2ης παραγώγου... Παρόλα αυτά απέδειξα την μοναδικότητα απλώς με λάθος πρόσημο της f". Πόσο θα κοπεί από αυτό;;
Αν εχω ξεχασε συνεχεια σε δυο θετ θα χασω πολλα μορια
Όχι, το πολύ 1 θα έλεγα. Φαντάζομαι μιλάμε για το Δ3;
Στο β2ι ) απο χαζο λαθος μου εγραψα οτι το 2 ειναι ριζα … και βρηκα δυο διαστηματα
Θα το χασω ολο,
Αν είναι σωστή η παράγωγος παίρνεις 2/4
Στο θέμα Γ στο εμβαδό, εγώ υπολόγισα λάθος ολοκληρώματα, διότι υπολόγισα από το 2 μέχρι το e
Της /f(x)-y/ και θεώρησα κ(x)=f(x)-y ,βρήκα το πρόσημο για να βγάλω το απόλυτο και μετά το υπολόγισα.Κανα μόριο θα πάρω ή δεν θα πάρω τίποτα γιατί υπολόγισα λάθος Ολοκλήρωμα;
Γμτ είναι λάθος και τα όρια ολοκλήρωσης, οπότε η ελπίδα πέφτει ελαφρώς... Αλλά δεν θα πάρεις 0.
@@siobaras75 εγω εκανα απο το 1 μεχρι το e της f(x) -y θα μου δωσουν τιποτα λετε;
Ως Μαθηματικος, εχω να πω οτι ναι μεν τα θεματα ηταν βατα , αυτο βεβαια δεν ξερω αν ειναι καλο ή οχι , γιατι μπορει να παιχτούν σχολές στο μοριο αλλα απο θεμα μαθηματικης αισθητικης θεωρω οτι έχει κουράσει αυτο το μοτιβο που επαναλαμβανεται τα τελευταια χρονια,ειδικα στο θεμα Δ ! Μονοτονια,συνολο τιμων, ριζες χ1 και χ2 που μετα τις κουβαλαμε σε ολο το υπολοιπο θεμα ! Ειδικά φέτος,σε ολα τα θεματα , δεν υπηρχε πουθενα ουτε ενα Θ.Φερμα,ουτε καν ρυθμος μεταβολής και δεν αναφερω και άλλα πολλά! Υπερβολικα εύκολο Γ , ειδικα το Γ2 ειναι δωρεάν μόρια ! Σε γενικές γραμμές προφανώς και χάρηκα που οι μαθητες μου τα πήγαν καλα απλα ,βγαίνοντας απο τον ρολο του καθηγητη, θεωρώ οτι απο μαθηματικης σκοπιας έπρεπε να εξεταστούν περισσοτερες εννοιες , χωρις απαραιτητα τα θεματα να ειναι δυσκολα ! ΥΓ Περιμενα πως και πως την αναλυση σας ! Καλη συνεχεια στις εξετασεις των παιδιων
Θα πούμε κι άλλα αργότερα, αλλά προς στιγμήν έχει σημασία τα παιδιά να πάνε με ηρεμία και στα υπόλοιπα μαθήματα που δίνουν. Ευχαριστώ για το σχόλιο!
Στο δ3 δύστυχος έκανα σύνολο τιμών για την fτονος στο 0,2 όχι στο 0,1 και απέδειξα την ρίζα στο 0,2 .Θα πάρω καμιά μονάδα?Γενικά η μεθοδολογία ήταν σωστή
Ναι, φυσικά θα πάρεις. Τώρα, το πόσα από τα 6, δεν είμαι σίγουρος... Σίγουρα 2-3, μπορεί παραπάνω.
Στο Δ3 η μοναδικότητα πόσο λέτε να έπαιρνε; Δεν το πρόσεξα...
2 μόρια
Αν στο Δ4ii το έκανες στον τονο αλλά δεν απέδειξες ότι είναι αύξουσα ή φθίνουσα και μετά είπες ότι είναι μονότονη άρα μοναδική. Πιάνεις τίποτα;
Εδώ δύσκολα....