Très bon exo, ma méthode était similaire (ou pas) : - Conjecturer que x->1 est solution puis vérifier la conjecture (pas vraiment une étape nécessaire en soi) - Montrer que pour tout réel x, f(x)+xf(1-x)=1+x f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x - Poser le système : f(x)+xf(1-x)=1+x f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x Résoudre par combinaison linéaire (L1-xL2) : (x²-x+1)f(x)=x²-x+1 f(x)=(x²-x+1)/(x²-x+1) (car x->x²-x+1>0 sur R) f(x)=1 Et du coup on a montré que f:x->1 est la seule fonction vérifiant l'équation de départ. Je passe en terminale l'année prochaine la prépa c'est pas pour tout de suite, mais d'ici là ces exos sont géniaux pour s'entraîner ! :)
Dès le départ vous avez dit: on peut toujours écrire f(x) sous la forme f(x) = 1- g(x), c'est comme si vous dîtes soit une fonction g définie par : g(x) = 1 - f(x) pou tout x, ben forcément g(x) = 1 - f(x) = 1 - 1 = 0 pour tout x. Le raisonnement normal serait de dire : Soit g une autre solution de l'équation, montrons que g(x) est forcément égal à f(x) quelque soit x.
f(x)+xf(1-x)=1+x (1) qlq soit x dans R Donc , en remplaçant x par 1-x on obtient : f(1-x)+(1-x)f(x)=1+(1-x) =2-x (2) Puis on résout le système : f(x)+xf(1-x)=x+1 (1) (1-x)f(x)+f(1-x)=2-x (2) On obtient f(x)=f(1-x)= 1 qlq soit x dans R. Pas besoin de 'analyse- synthèse '.
Si f satisfait l'équation alors g(x) := f(x)-1 satisfait l'équation homogène g(x)+xg(1-x) = 0. Cette équation donne g(1-x)+(1-x)g(x) = 0 en remplaçant x par 1-x. Donc g(x)(1-x(1-x)) = 0. Donc comme 1-x+x² n'est pas nul, on trouve g(x) = 0. Donc f(x) = 1.
C'est astucieux, sinon une méthode beaucoup moins astucieuse mais qui fonctionne, c'est de mettre sous la forme h(x)=0, et que pour chaque fonctions composant h(x) elles doivent être égal a 0, donc à la fin on démontre bien l'unicité de la solution qu'est f(x) = 1.
Puisque qlq soit x réel : f(x)+xf(1-x)=1+x (1) est vraie alors elle est vraie aussi pour 1-x donc ,en remplaçant x par 1-x, on obtient : f(1-x)+(1-x)f(x)=1+(1-x) soit: f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x (2). En résolvant le système {(1) et (2)} , on obtient : f(x)=1.
Non normalement puisqu'on a montré que si f est une solution alors f(x) =1 pour tout x et en vérifiant on a la relation indiquée ce qui est analogue à une équivalence d'où l'unicité. Corrigez moi si ce que je dis est faux 😅.
J'aime moyen ... le gars qui explique mange pendant qu'il parle et prend trop de raccourcis. Après c'est surement un bon exercice, on aurait aimé un peu plus de contexte.
Le gars qui explique mange... Quel mépris pour mon travail. Un peu de respect merci. Vous n' aimez pas c est une chose, je l entends mais on peut rester courtois , j essaie juste de rendre service. Fin de discussion .
@@prepa-maths bien au contraire, j'admire ce savoir dont je n'ai qu'une illusion et ces explications qui me font le plus grand bien, mais rendez vous compte que vous vous parlez un peu dans la barbe. De toutes façons je n'en ai pas "pas liké" une seule.
Si simple en apparence... excellent.
Le 1- g(X) fallait le trouver quand même
Si j'ai bien compris, on aurais très bien pu faire la même démonstration avec f(x), mais ici on passe par g(x) pour simplifier les calculs, non ?
Effectivement et pourquoi pas 1+g(x) ?
Très bon exo, ma méthode était similaire (ou pas) :
- Conjecturer que x->1 est solution puis vérifier la conjecture (pas vraiment une étape nécessaire en soi)
- Montrer que pour tout réel x, f(x)+xf(1-x)=1+x f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x
- Poser le système :
f(x)+xf(1-x)=1+x
f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x
Résoudre par combinaison linéaire (L1-xL2) :
(x²-x+1)f(x)=x²-x+1
f(x)=(x²-x+1)/(x²-x+1) (car x->x²-x+1>0 sur R)
f(x)=1
Et du coup on a montré que f:x->1 est la seule fonction vérifiant l'équation de départ. Je passe en terminale l'année prochaine la prépa c'est pas pour tout de suite, mais d'ici là ces exos sont géniaux pour s'entraîner ! :)
Wow 20 ans et passe en terminale mdr
@@kr2388 ouep
C'est une bonne méthode: elle est postée il y a 9 mois.
Svp pourquoi vous avez multiplié la deuxième équations par x ?
Démonstration excellente
Merci ;)
Dès le départ vous avez dit: on peut toujours écrire f(x) sous la forme f(x) = 1- g(x), c'est comme si vous dîtes soit une fonction g définie par : g(x) = 1 - f(x) pou tout x, ben forcément g(x) = 1 - f(x) = 1 - 1 = 0 pour tout x.
Le raisonnement normal serait de dire :
Soit g une autre solution de l'équation, montrons que g(x) est forcément égal à f(x) quelque soit x.
mrc prf
f(x)+xf(1-x)=1+x (1) qlq soit x dans R
Donc , en remplaçant x par 1-x on obtient :
f(1-x)+(1-x)f(x)=1+(1-x)
=2-x (2)
Puis on résout le système :
f(x)+xf(1-x)=x+1 (1)
(1-x)f(x)+f(1-x)=2-x (2)
On obtient f(x)=f(1-x)= 1 qlq soit x dans R.
Pas besoin de 'analyse- synthèse '.
Mais du coup si on a autre paramètre y , peut ton fixer : x=y ?
@@minshawi_77 ?
Si f satisfait l'équation alors g(x) := f(x)-1 satisfait l'équation homogène g(x)+xg(1-x) = 0. Cette équation donne g(1-x)+(1-x)g(x) = 0 en remplaçant x par 1-x. Donc g(x)(1-x(1-x)) = 0. Donc comme 1-x+x² n'est pas nul, on trouve g(x) = 0. Donc f(x) = 1.
Comment on trouve f( x) = 1-g(x) ? Svp
C'est astucieux, sinon une méthode beaucoup moins astucieuse mais qui fonctionne, c'est de mettre sous la forme h(x)=0, et que pour chaque fonctions composant h(x) elles doivent être égal a 0, donc à la fin on démontre bien l'unicité de la solution qu'est f(x) = 1.
Puisque qlq soit x réel :
f(x)+xf(1-x)=1+x (1) est vraie alors elle est vraie aussi pour 1-x donc ,en remplaçant x par 1-x, on obtient :
f(1-x)+(1-x)f(x)=1+(1-x) soit:
f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x (2).
En résolvant le système {(1) et (2)} , on obtient : f(x)=1.
Ces exercices sont très classiques
S'il vous plaît prof , cherchez de nouveaux exercices 🙏🙏
Besoin de montrer l'unicité ?
Non normalement puisqu'on a montré que si f est une solution alors f(x) =1 pour tout x et en vérifiant on a la relation indiquée ce qui est analogue à une équivalence d'où l'unicité. Corrigez moi si ce que je dis est faux 😅.
J'aime moyen ... le gars qui explique mange pendant qu'il parle et prend trop de raccourcis. Après c'est surement un bon exercice, on aurait aimé un peu plus de contexte.
Le gars qui explique mange... Quel mépris pour mon travail. Un peu de respect merci. Vous n' aimez pas c est une chose, je l entends mais on peut rester courtois , j essaie juste de rendre service. Fin de discussion .
@@prepa-maths bien au contraire, j'admire ce savoir dont je n'ai qu'une illusion et ces explications qui me font le plus grand bien, mais rendez vous compte que vous vous parlez un peu dans la barbe. De toutes façons je n'en ai pas "pas liké" une seule.
Bonjour monsieur est ce que cette exercice de niveau bac ??
niveau bac +1