Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
@@martinkehlenbeck2774 Hey Martin, ja die E-Mails lese ich alle. 😊 Allerdings kann ich leider nicht mehr auf alle antworten. Aber die ein oder andere Aufgabe nutze ich dann für meine Videos.
Gutes Video! Alternativer Lösungsvorschlag zu dem im Video gezeigten: Nachdem man weiß, dass im gleichseitigen Dreieck alle Winkel 60° sind, gilt nach dem Satz des Thales, dass alpha + 60° = 90° sein muss, und somit alpha = 30° . Für beta gilt: beta + 60° + 90° = 180°, ergo beta + 150° = 180° , also ist beta = 30°.
Danke! Liebe Susanne, Du hast da eine sehr schöne Geometrie-Aufgabe präsentiert. Konnte ich gut lösen. Kleines Erfolgserlebnis am Samstagmorgen. Herzliche Grüße!
Gutes Video! Mein Lösungsweg: Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60°. Nach dem Satz des Thales ergibt sich daher für alpha 30°. Da Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, ergibt sich für beta auch 30°.
Gute Auffrischung von Geometrie-Kenntnissen 👍🏻 Ich bin anders auf die Lösung gekommen. Gleichseitiges Dreieck und unten 120 Grad auch. Dann: oben ist wg. Satz des Thales ein rechter Winkel. 90 - 60 = 30 Grad. 180 - 120 - 30 = nochmal 30 Grad.
ABM ist ein gleichschenkliges Dreieck und damit gilt: α = β Das Dreieck mit den Seiten x ist gleichseitig und verfügt über drei 60°-Winkel. Aufgrund des Thaleskreises haben wir oben rechts einen 90°-Winkel, von dem wir 60° bereits kennen. Somit muss gelten: α + 60° = 90° α = 90° - 60° = 30° Weil α = β gilt, muss gelten: β = 30°
Herzlichen Dank für das kleine Intermezzo 🙏 Bei dem Dreieck mit der Kantenlege x, wären die Winkeln 60 °, der andere Winkel vom M, was im gesuchten Kreis ist, wäre 180-60= 120 °, die Länge x das zum Winkel Alpha eine Verbindung hat wäre r, sowie die andere Kante von Betha, somit Alpha = Betha. Alpha = (180-120)/2 = 30 °
Herzlichen Dank Frau Susanne ! Thales von Milet war immer schon mein Lieblings-Ionier. Diese Naturphilosophen sind unglaublich vielseitig gewesen. Verwende Ihre ausgezeichneten Videos als mathematisches Gehirnjogging und Kopfnuß-Training. Viele liebe Grüße aus Wien Gerhard Titze eh
3:28 Man kann auch argumentieren, daß es wegen des Thaleskreises einen rechten Winkel bei alpha gibt. Da rechts von alpha der Winkel 60 Grad wegen des gleichseitigen Dreiecks bereits feststeht, muß also alpha = 30 Grad sein, und wegen 120 Grad und Winkelsumme im linken Dreieck = 180 Grad also auch beta = 30 Grad.
Es ist immer wieder schön meine Geometrie-kenntnisse aus der 5ten und 6ten Klasse aufzufrischen. Ich hätte das komplizierter gelöst, aber wenn es doch so einfach geht!
Ich hab einfach mein Geodreieck an den Monitor gehalten und gemessen. Gilt das auch?! 😇 Abgesehen davon, danke für die Erklärung. Diesmal konnte ich gut folgen... 🤩
Hallo Susanne, gutewn Morgen, hier mein Lösungsweg: Da die Seiten im blau gezeichneten Dreieck alle gleich lang (nämlich x) sind, ist das blau gezeichnete Dreieck ein gleichseitiges Dreieck und somit alle Winkel in diesem Dreieck gleich groß, nämlich 60°. Der Radius des Halbkreises ist laut. Skizze x Längeneinheiten (LE) lang (M ist Mittelpunkt des Halbkreises) Somit weiß man, das die Katheten an Alpha und Beta jeweils auch x LE lang sind. Das linke Dreieck ist also ein gleichschenkliges Dreieck mit Alpha und Beta als Basiswinkel Alpha und Beta sind also gleich groß. Nach Satz des Thales gilt "Jeder Winkel über dem Halbkreis ist ein rechter Winkel. Der Winkel zwischen der rechten äußeren Seite X des blauen Dreieck und der Hypotenuse des schwarzen Dreieck Dreieck beträgt 90° Dieser Winkel setzt sich zusammen aus dem Winkel im blauen Dreieck, von dem man weiß, dass er 60° beträgt und Alpha. Somit gilt Alpha + 60° = 90° | -60° Alpha = 30° Da Beta=Alpha, gilt Beta 30° Probe: Gamma sei der Winkel am Mittelpunkt M zwischen der Kathete an Alpha und der Kathete an Beta Nach Winkelsummensatz ergibt die Summe aller Winkel in einem Dreieck 180° Alpha+Beta+Gamma =180° | Alpha und Beta einsetzen 30°+30°+Gamma =180 |Zusammenfassen 60° + Gamma = 180° | -60° Gamma = 120° Der Winkel Gamma lässt sich noch auf andere Weise bestimmen. Der Winkel zwischen der blauen Seite unten und der Kathete an Beta Beträgt 180°, da die blaue Seite und die Kathete an Beta den Durchmesser des Halbkreises bilden. Es gilt also Winkel im blauen Dreieck links unten + Gamma =180° 60° + Gamma =180° |-60° Gamma=120° Da in beiden Fällen für Gamma der selbe Winkel herauskommt sind die gefundenen Werte für Alpha und Beta korrekt. LG und allen hier ein schönes Wochenende aus dem Schwabenland.
Ich bin ein Genie! Ich habe das selbe Ergebnis, wie Susanne.🙂 Naja, lassen wir die Kirche im Dorf. Das war ja nicht so schwer, Winkel gegenüber der Hypotenuse ist 120°, die Katheten sind gleichlang, also 180°-120°=60°, 60°÷2=30°. Auch wenn meine Schulzeit schon 40 Jahre zurückliegt und ich in Mathe keine Leuchte war, aber in Geometrie war ich ganz gut.😉
Alle Winkel eines Dreiecks sind zusammen 180°. Die beiden Winkel bei M sind zusammen ebenfalls 180°. Somit muss alpha + beta = 60° sein (wg gleichseitigem Dreieck). Da M der Mittelpunkt des Kreises ist, ist die Strecke von dort zu allen Ecken des großen Dreiecks gleich lang, insbesondere zu den Ecken, in denen alpha und beta liegen. Das kleine schwarze Dreieck ist also gleichschenklig, damit ist alpha = beta. Mit oben ergibt das dann 30° für beide Winkel.
Hallo Susanne! Könntest Du vielleicht ein Video zum Richtungswinkel eines Vektors machen? Deine Playlisten zu Vektoren ist super! Ein Video zu dem Thema würde mir sehr helfen. Danke :)
Schönes Video ! Ich habe den Satz des Thales angwandt. Dann muß alpha + 60 ° = 90 ° sein. Für alpha ergibt sich dann auch 30°. Beta habe ich dann über die Winkelsumme im Dreieck bestimmt. Die Winkel am Mittlepunkt M müssen 60° und 120° betragen.
α = β = 30°. Begründung: Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks und Satz des Thales. α = 90° - 60° = 30°. Und Innenwinkelsumme des Dreiecks. β = 180° - 90° - 60° = 30° Für α = β ist es übrigens egal mit dem gleichseitigen Dreieck. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck teilt die Seitenhalbierende der Hypotenuse das rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige. Daher ist immer α = β. Wenn man das eine hat, hat man dann auch automatisch das andere.
Wieder ein tolles Video. Ich hätte Alpha und dadurch dann auch Beta anders ermittelt: und zwar mit dem satz des tales der besagt das ein Winkel über einem halbkreis 90* groß ist -> alpha: 90-60=30. Und dann nur noch 180-120-30=30. Das ist dann der Winkel beta
Unabhängig vom Rest ist immer α = β. Die Seitenhalbierende der Hypotenuse ist nach dem Satz des Thales immer der Radius, und damit entstehen immer zwei gleichschenklige Dreiecke. Man kann da also entweder α über den rechten Winkel oder β über die Innenwinkelsumme ausrechnen.
Mein Lösungsweg: Mit Satz von Thales und Trigonometrie: sin(beta) = x/(2x) = 1/2. => beta = 30°. Im gleichschenkligen Dreieck gilt dann alpha = beta = 30°. Die vorgestellte Lösung war aber die einfachste.
Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel 60° Nach dem Satz des Thales wird der obere zu 90° ergänzt. Damit ist α=30°. Da das zweite Dreieck gleichschenklig ist, ist auch β=30°.
Da das grosse Dreieck rechtwinklig ist (Satz des Thales) koennte man Beta auch als arcsin(1/2) bestimmen und erhielte auf diesem Wege 30° (die Hypotheuse ist 2x lang, dader Kreismittelpunkt sie in 2 gleiche Teile teilt). Da sich Alpha als Differenz aus rechtem Winkelund einemInnenwinkel des gleichseitigen blauen Dreicks bestimmen laesst, kommt man auch fuer Alphaauf 30° mit dieemLoesungsweg benoetigt man noch nicht einmal die Gleichschenkligkeit des linken Teildeiecks.
Nach dem Bild das zu sehen ist sind die 3 Dreiecke ein Thaleskreisdreieck, ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges Dreieck. Das Thaleskreisdreieck hat Winkel 90°; 60° und 30°, beim gleichseitigen Dreieck sind natürlich alle Winkel 60° und beim gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich also 30°.
Wieder mal ein interessantes Video. Ich guck hier gerne. Dennoch muß ich sagen, ist dieser Weg recht umständlich. Denn im Grunde muß man ja gar nicht rechnen. In den ersten Sekunden sieht man den Kreis des Thales mit der Info, daß das große Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Auch sieht man wegen des Mittelpunktes sofort, daß die Seiten BM, MC, MA gleich lang sind. Somit sieht man wegen x sofort, daß beim gleichseitigen Dreieck die Seiten genau so lange sind wie BM, MC und MA. Daß dies der Radius ist sieht man auch sofort und so sieht man auch innerhalb der ersten 20 Sekunden des Videos, daß das andere Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist. Der Winkel bei A ist 90° weil es ja ein rechtwinkliges Dreieck ist und alle Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen 60° so sieht man im ersten Blick, daß der Winkel alpha 30° groß ist. Und weiter sieht man daß beta auch 30° groß sein muß. Dies alles in den ersten 20 bis 30 Sekunden. Aber gut, der Rechenweg ist auch richtig. 😁
ich hatte keine Idee, welchen Rechenweg ich gehen sollte. Meine Schulzeit ist über 40 Jahre her. Nach der Erklärung sage ich "na klar, ist ja logisch". Kann es sein, das früher der „Satz des Thales“ anders genannt wurde - oder habe ich diesen Begriff total vergessen?
Lösung: Wenn alle Seiten x sind, ist es ein Gleichwinkliges Dreieck und dadurch sind alle Winkel dadrinnen 60° oder π/3. Und da das ganze Dreieck rechtwinklig ist(Laut dem Satz des Thales), ist Alpha = 90°-60° = 30° oder π/6. Und der Logik entsprechend ist das Dreieck mit den Winkeln Alpha und Beta ein gleichschenkliges und Alpha = Beta. Aber hier ist, warum es so ist: Der unbeschriftete Winkel ist 180°-60° = 120° oder 2π/3. Und Alpha ist 30°, und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180° oder π. Also: Beta + 120° + 30° = Beta + 150° => Beta = 30° oder π/6. Also: Alpha = Beta = 30° = π/6
Beide 30Grad. Die drei Innenwinkel des blauen Dreiecks sin 60Grad (Drei gleich lange Seiten). α + 60Grad sind 90Grad (Satz des Thales, wenn ich mich nicht beim Namen täusche). M sind 180Grad, also ist der fehlende Winkel im Dreieck von α und β 120Grad (180 - 60). 120 + α = 150. 30 fehlen zu 180
Ich hatte gesehen, dass nach dem Satz des Thales der Gesamtwinkel am Kreisbogen (Alpha + 60°) = 90° sein muss. Daher ist Alpha 30° und Beta ebenfalls 30°
Moin. Thales hatte gerade mit seinem Finger auf den oberen rechten Winkel gedeutet. Da viel mit die Lösung atok ein, die da lautet 30° für beite gesuchte Winkel.
Lösung: Das blaue Dreieck ist ja offensichtlich ein gleichseitiges Dreieck. Daher sind die 3 Winkel = 180°/3 = 60° = γ. Das ist auch schon alles was wir wissen müssen, da der Satz des Thales aussagt, dass der Winkel im Halbkreis immer 90° beträgt. Daher ist α = 90° - γ = 30° und β = 180° - 90° - 60° = 30°
da der Winkel "rechts außen" 60° ist (weil gleichseitiges Dreieck) und Thales einen rechten Winkel liefert, *muss* beta 30° sein als Teil des größeren Dreiecks. alpha ergibt sich nun nebenbei als Teil des rechten Winkels und auch 30° nun mal schauen, wie das Video das löst
Den 120° Winkel braucht man eigentlich gar nicht... Alpha muss 30° sein, denn, 60° (vom gleichschenkligen Dreieck) plus Alpha müssen zusammen 90°ergeben. (Thaleskreis). Und dass Alpha = Beta ist, ergibt sich aus den beiden gleich langen Katheten. ;)
Mein Lösungsweg(vor anschauen): Da ich annehme dass M der Mittelpunkt ist, würde die Strecke welche über M geht der Durchmesser sein. Dadurch ist gegeben dass der Winkel gegenüber des Mittelpunktes 90° ist(law of indcribed angles). -> a ist 30°(90°-60°). b ist 30° (180°-120°-30°). Schade, dass diese Geometrie nie in der Schule durchgenommen wurde.
Grund für 60° bei Rechnung für a: gleichseitiges Dreieck. Grunf für die 120° bei Rechnung für b: 180°-60°. Law of inscribed angles(wusste deutschen namen nicht): Wenn die Seite eines Dreieckes der Durchmesser ist, ust der Gegenüberliegende Winkel immer 90°.
wenn das Dreieck auf der Oberfläche (bzw auf der Innenseite) einer Kugel liegt, dann sind die Seiten entlang der Kugeloberfläche gebogen und dadurch ist die Winkelsumme leicht vergrößert
@@arthemisiaekuwa3581 Maximal, hast du drei rechte Winkel: 3 * 90° sind 270°. Das sind 50% mehr als 180° - ob das "leicht vergrößert" ist, lasse ich mal dahingestellt... ;-) Ist das Dreieck klein im Vergleich zur Kugel, so wird die Innenwinkelsumme im Grenzfall wieder zu 180°. Ergänzung: Wird die Fläche eines Sattels betrachtest, ist die Winkelsumme kleiner als 180°.
stimmt, es kommt auf den Radius der Kugel an, im Verhältnis zur Länge der Seiten, kleiner Radius bedeutet größere Verzerrung, je größer der Radius, desto geringer fällt die Verzerrung aus
Ich habe es ein bischen anders aufgelöst. Die Ecke mit die Winkel 60° und alfa zusameen ist immer 90°. Und damit ist alfa 30°. Die Winkel an Punkt M ist ingesamt 180°. Eine Ecke is 60°, so die andere Ecke ist 120°. Damit muss beta auch 30° sein, weil alle Ecke eines Dreiecks zusammen 180° sind
Der Moment, wenn du vom Thumbnail aus sofort siehst, dass beide Winkel 30° ergeben müssen, da der Sinus von 30° = 0,5 ist und M = 2x also 2x/ sin(90°) = x/ sin(30°) 2x / 1 = 1x / 0,5
Darf man einfach so annehmen, dass M der Mittelpunkt ist, wenn es nirgendwo geschrieben steht - hätte man das nicht erstmal aus der Tatsache, dass von dort aus zwei verschiedene Wege mit derselben Länge zum Halbkreisrand führen, herleiten müssen? 🤔 Dem Aufgabensteller schwebte vermutlich der von Marius 1986de beschriebene Lösungsweg mit dem Satz des Thales vor; dann braucht man M gar nicht.
ALFA UND BETTA SIND ALS BASISWINKEL IM GLEISCHENKLIGEN DREIECK IMMER GLEICH UND IM GLEICHZEITIGEN SIND ALLE WINKEL GLEICH ALSO 3 × 60 = 180 DIE ANDEREN WINKEL SIND DANN 30 + 30 + 120 = 180 GRAD ❤❤❤
Ist nicht auch der Winkel der am Kreis des Thales liegt immer 90°? Der Winkel oben des blauen Dreiecks sind 60°, Rest demnach 30° (weil Winkel am Thaleskreis = 90° Wenn der Gegenwinkel unten beim Mittelpunkt 120° sind und oben der Winkel demnach 30° sein müssen (Rest vom 60° Winkel des blaues Dreieck) dann bleiben ja nur noch 30° für Beta übrig 🙈
Das ist ja eigentlich nur eine reine Logik-Aufgabe, da man hier noch nicht einmal Mathematik braucht: Gleichseitiges Dreieck = alle Winkel 60° X = Radius des Halbkreises Alpha und Beta sind identisch, Der Winkel bei M muss 120° sein, somit sind Alpha und Beta je 30° Wozu braucht man Mathe, wenn man logisch denken kann? 😎 Aber natürlich sind Logik und Mathe eng miteinander verknüpft und es hilft grundsätzlich beides zu verstehen.
Zu einfach. Finde ich. M soll wohl der Mittelpunkt des Kreises sein. Das Dreieck mit den 3 Seiten mit Länge x ist offensichtlich gleichseitig. Also jeder Winkel 60 Grad. Das andere hat "nur" 2 gleiche Schenkel von der Länge x. Einer davon offensichtlich in Verlängerung von einer der Seiten des gleichseitigen Dreiecks. Gleichschenklig, also Alpha gleich Betha. Und der andere 180-60=120. Macht 60 Grad also je 30 Grad für die beiden anderen.
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Hi Susanne, list jemand die Nachrichten auf Deiner HP? VG Martin
@@martinkehlenbeck2774 Hey Martin, ja die E-Mails lese ich alle. 😊 Allerdings kann ich leider nicht mehr auf alle antworten. Aber die ein oder andere Aufgabe nutze ich dann für meine Videos.
@@MathemaTrick Vlt. kannst Du mal in meine Mail schauen ob Du antworten kannst . 🙏
Gutes Video! Alternativer Lösungsvorschlag zu dem im Video gezeigten: Nachdem man weiß, dass im gleichseitigen Dreieck alle Winkel 60° sind, gilt nach dem Satz des Thales, dass alpha + 60° = 90° sein muss, und somit alpha = 30° . Für beta gilt: beta + 60° + 90° = 180°, ergo beta + 150° = 180° , also ist beta = 30°.
So habe ich es auch gelöst.
ich auch
war auch mein Ansatz!
Satz des Thales war auch mein erster Gedanke. Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck ergibt sofort die Lösung der gesuchten Winkel.
Satz des Thales ist so underrated, immer nice wenn man den verwenden kann 😅
Du bist wunderhübsch, schlau und sympathisch!
Mit dem Satz des Thales kommt man 90-60=30 auch auf Alpha und Beta; so hätt‘s ich gemacht.
Schönes Wochenende 🙋🏻♀️
Danke! Liebe Susanne, Du hast da eine sehr schöne Geometrie-Aufgabe präsentiert. Konnte ich gut lösen. Kleines Erfolgserlebnis am Samstagmorgen. Herzliche Grüße!
Gutes Video! Mein Lösungsweg: Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60°. Nach dem Satz des Thales ergibt sich daher für alpha 30°. Da Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, ergibt sich für beta auch 30°.
Gute Auffrischung von Geometrie-Kenntnissen 👍🏻
Ich bin anders auf die Lösung gekommen. Gleichseitiges Dreieck und unten 120 Grad auch. Dann: oben ist wg. Satz des Thales ein rechter Winkel. 90 - 60 = 30 Grad. 180 - 120 - 30 = nochmal 30 Grad.
ABM ist ein gleichschenkliges Dreieck und damit gilt: α = β
Das Dreieck mit den Seiten x ist gleichseitig und verfügt über drei 60°-Winkel.
Aufgrund des Thaleskreises haben wir oben rechts einen 90°-Winkel, von dem wir 60° bereits kennen.
Somit muss gelten: α + 60° = 90° α = 90° - 60° = 30°
Weil α = β gilt, muss gelten: β = 30°
Genauso habe ich es auch gedacht^^
Boah, ich konnte es sehr schnell und einfach selber lösen. Deine Videos haben mir dabei geholfen!
Cool, das freut mich total, dass du so fleißig mit dabei bist! 😍
@@MathemaTrickZwei Lösungsmöglichkeiten habe ich gefunden.
Ich hab's auch über Alpha + 60 = 90 gelöst ... Super toll wie immer!! 🥰
Das war ja heute eine super einfache Aufgabe. Nach kurzem Betrachten war mir die Lösung bereits klar.
Herzlichen Dank für das kleine Intermezzo 🙏 Bei dem Dreieck mit der Kantenlege x, wären die Winkeln 60 °, der andere Winkel vom M, was im gesuchten Kreis ist, wäre 180-60= 120 °, die Länge x das zum Winkel Alpha eine Verbindung hat wäre r, sowie die andere Kante von Betha, somit Alpha = Betha. Alpha = (180-120)/2 = 30 °
Herzlichen Dank Frau Susanne ! Thales von Milet war immer schon mein Lieblings-Ionier. Diese Naturphilosophen sind unglaublich vielseitig gewesen.
Verwende Ihre ausgezeichneten Videos als mathematisches Gehirnjogging und Kopfnuß-Training. Viele liebe Grüße aus Wien
Gerhard Titze eh
3:28 Man kann auch argumentieren, daß es wegen des Thaleskreises einen rechten Winkel bei alpha gibt. Da rechts von alpha der Winkel 60 Grad wegen des gleichseitigen Dreiecks bereits feststeht, muß also alpha = 30 Grad sein, und wegen 120 Grad und Winkelsumme im linken Dreieck = 180 Grad also auch beta = 30 Grad.
du bist der Hammer 🥰🥰🥰.
es ist soo angenehm dir zuzuhören, ich mag mathe 🧮.
Es ist immer wieder schön meine Geometrie-kenntnisse aus der 5ten und 6ten Klasse aufzufrischen. Ich hätte das komplizierter gelöst, aber wenn es doch so einfach geht!
Satz von Thales kann man auch anwenden. So ergibt sich für Alpha 30 Grad. Danach gleichschenkliges Dreieck über Winkelsumme 180 Grad.
Daumen Hoch für Susanne. 🙂💝👍
Um dich vorab zu beruhigen, mir hat dein Video wieder gefallen. 😁
Ich hab einfach mein Geodreieck an den Monitor gehalten und gemessen. Gilt das auch?!
😇
Abgesehen davon, danke für die Erklärung. Diesmal konnte ich gut folgen...
🤩
Ich habe bei den vorhergehenden "Vorlesungen" gut aufgepasst und es daher ohne Probleme gelöst ;)
Hallo Susanne, gutewn Morgen,
hier mein Lösungsweg:
Da die Seiten im blau gezeichneten Dreieck alle gleich lang (nämlich x) sind, ist das blau gezeichnete Dreieck ein gleichseitiges Dreieck und somit alle Winkel in diesem Dreieck gleich groß, nämlich 60°.
Der Radius des Halbkreises ist laut. Skizze x Längeneinheiten (LE) lang
(M ist Mittelpunkt des Halbkreises)
Somit weiß man, das die Katheten an Alpha und Beta jeweils auch x LE lang sind.
Das linke Dreieck ist also ein gleichschenkliges Dreieck mit Alpha und Beta als Basiswinkel
Alpha und Beta sind also gleich groß.
Nach Satz des Thales gilt "Jeder Winkel über dem Halbkreis ist ein rechter Winkel.
Der Winkel zwischen der rechten äußeren Seite X des blauen Dreieck und der Hypotenuse des schwarzen Dreieck Dreieck beträgt 90°
Dieser Winkel setzt sich zusammen aus dem Winkel im blauen Dreieck, von dem man weiß, dass er 60° beträgt und Alpha.
Somit gilt Alpha + 60° = 90° | -60°
Alpha = 30°
Da Beta=Alpha, gilt
Beta 30°
Probe:
Gamma sei der Winkel am Mittelpunkt M zwischen der Kathete an Alpha und der Kathete an Beta
Nach Winkelsummensatz ergibt die Summe aller Winkel in einem Dreieck 180°
Alpha+Beta+Gamma =180° | Alpha und Beta einsetzen
30°+30°+Gamma =180 |Zusammenfassen
60° + Gamma = 180° | -60°
Gamma = 120°
Der Winkel Gamma lässt sich noch auf andere Weise bestimmen.
Der Winkel zwischen der blauen Seite unten und der Kathete an Beta Beträgt 180°, da die blaue Seite und die Kathete an Beta den Durchmesser des Halbkreises bilden.
Es gilt also Winkel im blauen Dreieck links unten + Gamma =180°
60° + Gamma =180° |-60°
Gamma=120°
Da in beiden Fällen für Gamma der selbe Winkel herauskommt sind die gefundenen Werte für Alpha und Beta korrekt.
LG und allen hier ein schönes Wochenende aus dem Schwabenland.
Wie Klasse gelöst! Ich schicke es gleich mal meiber Nachbarin:
Mathe für die Kids und Mukke für die ganze Familie.
Ein Cooles Video Susanne. Sehr interresant! Dir noch einen shönen Sonntag.😀 Lg, Reinhard
Ich bin ein Genie! Ich habe das selbe Ergebnis, wie Susanne.🙂 Naja, lassen wir die Kirche im Dorf. Das war ja nicht so schwer, Winkel gegenüber der Hypotenuse ist 120°, die Katheten sind gleichlang, also 180°-120°=60°, 60°÷2=30°. Auch wenn meine Schulzeit schon 40 Jahre zurückliegt und ich in Mathe keine Leuchte war, aber in Geometrie war ich ganz gut.😉
Alle Winkel eines Dreiecks sind zusammen 180°. Die beiden Winkel bei M sind zusammen ebenfalls 180°. Somit muss alpha + beta = 60° sein (wg gleichseitigem Dreieck). Da M der Mittelpunkt des Kreises ist, ist die Strecke von dort zu allen Ecken des großen Dreiecks gleich lang, insbesondere zu den Ecken, in denen alpha und beta liegen. Das kleine schwarze Dreieck ist also gleichschenklig, damit ist alpha = beta. Mit oben ergibt das dann 30° für beide Winkel.
Hallo Susanne! Könntest Du vielleicht ein Video zum Richtungswinkel eines Vektors machen? Deine Playlisten zu Vektoren ist super! Ein Video zu dem Thema würde mir sehr helfen. Danke :)
Machte Spaß die Aufgabe zu lösen.👍🙋
Schönes Video ! Ich habe den Satz des Thales angwandt. Dann muß alpha + 60 ° = 90 ° sein. Für alpha ergibt sich dann auch 30°.
Beta habe ich dann über die Winkelsumme im Dreieck bestimmt. Die Winkel am Mittlepunkt M müssen 60° und 120° betragen.
α = β = 30°.
Begründung: Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks und Satz des Thales. α = 90° - 60° = 30°. Und Innenwinkelsumme des Dreiecks. β = 180° - 90° - 60° = 30°
Für α = β ist es übrigens egal mit dem gleichseitigen Dreieck. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck teilt die Seitenhalbierende der Hypotenuse das rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige. Daher ist immer α = β. Wenn man das eine hat, hat man dann auch automatisch das andere.
Exterior angle theorem: x = 60° = 2α = 2β → α = β = 30° 🙂
Wieder ein tolles Video. Ich hätte Alpha und dadurch dann auch Beta anders ermittelt: und zwar mit dem satz des tales der besagt das ein Winkel über einem halbkreis 90* groß ist -> alpha: 90-60=30. Und dann nur noch 180-120-30=30. Das ist dann der Winkel beta
Unabhängig vom Rest ist immer α = β. Die Seitenhalbierende der Hypotenuse ist nach dem Satz des Thales immer der Radius, und damit entstehen immer zwei gleichschenklige Dreiecke.
Man kann da also entweder α über den rechten Winkel oder β über die Innenwinkelsumme ausrechnen.
Mein Lösungsweg: Mit Satz von Thales und Trigonometrie: sin(beta) = x/(2x) = 1/2. => beta = 30°. Im gleichschenkligen Dreieck gilt dann alpha = beta = 30°. Die vorgestellte Lösung war aber die einfachste.
Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel 60°
Nach dem Satz des Thales wird der obere zu 90° ergänzt. Damit ist α=30°.
Da das zweite Dreieck gleichschenklig ist, ist auch β=30°.
Super schön auf den Punkt gebracht... bravo und gute Besserung! 🤧
Da das grosse Dreieck rechtwinklig ist (Satz des Thales) koennte man Beta auch als arcsin(1/2) bestimmen und erhielte auf diesem Wege 30° (die Hypotheuse ist 2x lang, dader Kreismittelpunkt sie in 2 gleiche Teile teilt). Da sich Alpha als Differenz aus rechtem Winkelund einemInnenwinkel des gleichseitigen blauen Dreicks bestimmen laesst, kommt man auch fuer Alphaauf 30° mit dieemLoesungsweg benoetigt man noch nicht einmal die Gleichschenkligkeit des linken Teildeiecks.
Calculate quickly, since the angle at the centre is twice the angle at the circumference.
Nach dem Bild das zu sehen ist sind die 3 Dreiecke ein Thaleskreisdreieck, ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges Dreieck. Das Thaleskreisdreieck hat Winkel 90°; 60° und 30°, beim gleichseitigen Dreieck sind natürlich alle Winkel 60° und beim gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich also 30°.
Hätte man das auch mit dem Satz des Thales lösen können? Vielen Dank für deine tollen Videos und Liebe Grüße
Ja sehr gut, den kann man hier auch anwenden. 😊
Der Außenwinkelsatz am Dreieck führt schneller zum Ziel!
Wieder mal ein interessantes Video. Ich guck hier gerne.
Dennoch muß ich sagen, ist dieser Weg recht umständlich. Denn im Grunde muß man ja gar nicht rechnen.
In den ersten Sekunden sieht man den Kreis des Thales mit der Info, daß das große Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Auch sieht man wegen des Mittelpunktes sofort, daß die Seiten BM, MC, MA gleich lang sind. Somit sieht man wegen x sofort, daß beim gleichseitigen Dreieck die Seiten genau so lange sind wie BM, MC und MA. Daß dies der Radius ist sieht man auch sofort und so sieht man auch innerhalb der ersten 20 Sekunden des Videos, daß das andere Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Der Winkel bei A ist 90° weil es ja ein rechtwinkliges Dreieck ist und alle Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen 60° so sieht man im ersten Blick, daß der Winkel alpha 30° groß ist. Und weiter sieht man daß beta auch 30° groß sein muß.
Dies alles in den ersten 20 bis 30 Sekunden.
Aber gut, der Rechenweg ist auch richtig. 😁
Excelente
ich hatte keine Idee, welchen Rechenweg ich gehen sollte. Meine Schulzeit ist über 40 Jahre her. Nach der Erklärung sage ich "na klar, ist ja logisch".
Kann es sein, das früher der „Satz des Thales“ anders genannt wurde - oder habe ich diesen Begriff total vergessen?
Lösung:
Wenn alle Seiten x sind, ist es ein Gleichwinkliges Dreieck und dadurch sind alle Winkel dadrinnen 60° oder π/3.
Und da das ganze Dreieck rechtwinklig ist(Laut dem Satz des Thales), ist Alpha = 90°-60° = 30° oder π/6.
Und der Logik entsprechend ist das Dreieck mit den Winkeln Alpha und Beta ein gleichschenkliges und Alpha = Beta. Aber hier ist, warum es so ist: Der unbeschriftete Winkel ist 180°-60° = 120° oder 2π/3. Und Alpha ist 30°, und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180° oder π. Also: Beta + 120° + 30° = Beta + 150° => Beta = 30° oder π/6.
Also:
Alpha = Beta = 30° = π/6
Beide 30Grad. Die drei Innenwinkel des blauen Dreiecks sin 60Grad (Drei gleich lange Seiten). α + 60Grad sind 90Grad (Satz des Thales, wenn ich mich nicht beim Namen täusche). M sind 180Grad, also ist der fehlende Winkel im Dreieck von α und β 120Grad (180 - 60). 120 + α = 150. 30 fehlen zu 180
Ich hatte gesehen, dass nach dem Satz des Thales der Gesamtwinkel am Kreisbogen (Alpha + 60°) = 90° sein muss. Daher ist Alpha 30° und Beta ebenfalls 30°
Moin. Thales hatte gerade mit seinem Finger auf den oberen rechten Winkel gedeutet. Da viel mit die Lösung atok ein, die da lautet 30° für beite gesuchte Winkel.
❤️❤️
Lösung:
Das blaue Dreieck ist ja offensichtlich ein gleichseitiges Dreieck. Daher sind die 3 Winkel = 180°/3 = 60° = γ.
Das ist auch schon alles was wir wissen müssen, da der Satz des Thales aussagt, dass der Winkel im Halbkreis immer 90° beträgt.
Daher ist α = 90° - γ = 30° und β = 180° - 90° - 60° = 30°
(Das funktionniert nur wenn es ein halb-Kreis ist und M ist der Mittelpunkt.)
da der Winkel "rechts außen" 60° ist (weil gleichseitiges Dreieck) und Thales einen rechten Winkel liefert, *muss* beta 30° sein als Teil des größeren Dreiecks. alpha ergibt sich nun nebenbei als Teil des rechten Winkels und auch 30°
nun mal schauen, wie das Video das löst
Den 120° Winkel braucht man eigentlich gar nicht... Alpha muss 30° sein,
denn, 60° (vom gleichschenkligen Dreieck) plus Alpha müssen zusammen 90°ergeben.
(Thaleskreis).
Und dass Alpha = Beta ist, ergibt sich aus den beiden gleich langen Katheten. ;)
Mein Lösungsweg(vor anschauen):
Da ich annehme dass M der Mittelpunkt ist, würde die Strecke welche über M geht der Durchmesser sein. Dadurch ist gegeben dass der Winkel gegenüber des Mittelpunktes 90° ist(law of indcribed angles). -> a ist 30°(90°-60°). b ist 30° (180°-120°-30°).
Schade, dass diese Geometrie nie in der Schule durchgenommen wurde.
Grund für 60° bei Rechnung für a: gleichseitiges Dreieck.
Grunf für die 120° bei Rechnung für b:
180°-60°.
Law of inscribed angles(wusste deutschen namen nicht):
Wenn die Seite eines Dreieckes der Durchmesser ist, ust der Gegenüberliegende Winkel immer 90°.
Dass diese Lösung funktioniert, muss der Halbkreis alle drei Punkte des Dreiecks berühren.
Bonusfrage: in welchem Fall ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ungleich 180°?
Bonusantwort: ;-)
Wenn man mit nicht-euklidischer Geometrie arbeitet.
wenn das Dreieck auf der Oberfläche (bzw auf der Innenseite) einer Kugel liegt, dann sind die Seiten entlang der Kugeloberfläche gebogen und dadurch ist die Winkelsumme leicht vergrößert
@@arthemisiaekuwa3581 Maximal, hast du drei rechte Winkel: 3 * 90° sind 270°.
Das sind 50% mehr als 180° - ob das "leicht vergrößert" ist, lasse ich mal dahingestellt... ;-) Ist das Dreieck klein im Vergleich zur Kugel, so wird die Innenwinkelsumme im Grenzfall wieder zu 180°.
Ergänzung: Wird die Fläche eines Sattels betrachtest, ist die Winkelsumme kleiner als 180°.
stimmt, es kommt auf den Radius der Kugel an, im Verhältnis zur Länge der Seiten, kleiner Radius bedeutet größere Verzerrung, je größer der Radius, desto geringer fällt die Verzerrung aus
(sin alpha) = (R / (2xR)) =1/2 -> alpha=30°. Aber alpha = 180-60-90=30° ist einfacher
War einfach. Eine Sekunde überlegen, die Lösung lag auf der Hand. 😇
Bißchen kompliziert erklärt...
Ich habe es ein bischen anders aufgelöst.
Die Ecke mit die Winkel 60° und alfa zusameen ist immer 90°. Und damit ist alfa 30°. Die Winkel an Punkt M ist ingesamt 180°. Eine Ecke is 60°, so die andere Ecke ist 120°. Damit muss beta auch 30° sein, weil alle Ecke eines Dreiecks zusammen 180° sind
Ich hab es mit dem Satz des Thales gelöst.
Der Moment, wenn du vom Thumbnail aus sofort siehst, dass beide Winkel 30° ergeben müssen, da der Sinus von 30° = 0,5 ist und M = 2x also
2x/ sin(90°) = x/ sin(30°)
2x / 1 = 1x / 0,5
Darf man einfach so annehmen, dass M der Mittelpunkt ist, wenn es nirgendwo geschrieben steht - hätte man das nicht erstmal aus der Tatsache, dass von dort aus zwei verschiedene Wege mit derselben Länge zum Halbkreisrand führen, herleiten müssen? 🤔 Dem Aufgabensteller schwebte vermutlich der von Marius 1986de beschriebene Lösungsweg mit dem Satz des Thales vor; dann braucht man M gar nicht.
α=β=30°
Satz von Thales.
Satz des Thales: Alpha=Beta=30 Grad.
Satz des Thales. Lets go
Na gut, ich sags auch noch mal : Satz des Thales.
Lol das war übelst einfach
ALFA UND BETTA SIND ALS BASISWINKEL IM GLEISCHENKLIGEN DREIECK IMMER GLEICH UND IM GLEICHZEITIGEN SIND ALLE WINKEL GLEICH ALSO 3 × 60 = 180 DIE ANDEREN WINKEL SIND DANN 30 + 30 + 120 = 180 GRAD ❤❤❤
Ist nicht auch der Winkel der am Kreis des Thales liegt immer 90°? Der Winkel oben des blauen Dreiecks sind 60°, Rest demnach 30° (weil Winkel am Thaleskreis = 90°
Wenn der Gegenwinkel unten beim Mittelpunkt 120° sind und oben der Winkel demnach 30° sein müssen (Rest vom 60° Winkel des blaues Dreieck) dann bleiben ja nur noch 30° für Beta übrig 🙈
Ich bin über den Satz des Thales zur Lösung gekommen.
Ich denke man sollte noch erklären warum es eindeutig der Mittelpunkt ist.
Weil dies nur mit der Geraden Halbkreisschnitt funktioniert
Mit dem Satz des Thales wäre es auch gegangen
Das ist ja eigentlich nur eine reine Logik-Aufgabe, da man hier noch nicht einmal Mathematik braucht:
Gleichseitiges Dreieck = alle Winkel 60°
X = Radius des Halbkreises
Alpha und Beta sind identisch, Der Winkel bei M muss 120° sein, somit sind Alpha und Beta je 30°
Wozu braucht man Mathe, wenn man logisch denken kann? 😎
Aber natürlich sind Logik und Mathe eng miteinander verknüpft und es hilft grundsätzlich beides zu verstehen.
Trivial.
So, schnell mal Aufgabe überschlagen, Alpha = Beta = 30°? Richtig? Richtig!
Danke für die vielen sinnvollen Stunden des prokrastinierens
Meine Freundin hat auch zwei gleichlange Schenkeln.
Du nicht?
@@MathemaTrick Ja auch, wenn ich so nachmesse; aber nicht kongruent. ;-)
kommsch du aus lautre?
Man hätte noch den Satz des Thales erwähnen können.
Zu einfach.
Finde ich.
M soll wohl der Mittelpunkt des Kreises sein.
Das Dreieck mit den 3 Seiten mit Länge x ist offensichtlich gleichseitig. Also jeder Winkel 60 Grad.
Das andere hat "nur" 2 gleiche Schenkel von der Länge x. Einer davon offensichtlich in Verlängerung von einer der Seiten des gleichseitigen Dreiecks.
Gleichschenklig, also Alpha gleich Betha.
Und der andere 180-60=120.
Macht 60 Grad also je 30 Grad für die beiden anderen.
offensichtlich konntest du das Problem lösen und offensichtlich ist die Lösung richtig
90-60=30.
Die Lösung hat etwa 20 Sekunden gedauert.
ich nenne meine Winkel immer Z O V manchmal auch SS Oder DDR
Alpha ist doch einfach 90 Grad - den 60 Grad = 30 Grad.
Viel zu einfach
α = β = 30°