Wie groß ist die rote Fläche? - Mathe Rätsel Geometrie
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- เผยแพร่เมื่อ 3 ก.ค. 2024
- Mathe Rätsel Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Flächeninhalt eines unregelmäßiges Sechsecks berechnen kann, indem man das Sechseck in Trapeze aufteilt und deren Fläche berechnet. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:55 Lösung Trapez Flächeninhalt
3:51 Gleichungen aufstellen
6:57 Einsetzungsverfahren
9:01 Bis zum nächsten Video :)
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Danke für das tolle Rätsel :)
Ich habe es im Kopf berechnet.
Dafür habe ich die rote Fläche in ein Rechteck und zwei Dreiecke unterteilt.
Die Fläche des Rechtecks ist 6*12=72.
Die anderen beiden Dreiecke zusammen sind aufgrund der Diagonalen ein Viertel der restlichen Fläche, also (20-6)*12:4=14*3=42.
A=72+42=114.
Lg
Sehr genial, dass mit dem Viertel.
Das hast du gut gesehen.
Danke für den Hinweis und Frohe Ostern.
LG Gerald
Hab's ebenso gemacht wie du😀
Ja, so bin ich auch vorgegangen😊.
Ich auch. Viel einfacher. 😊
So bin ich auch vorgegangen. Macht die Aufgabe in unter 1 Minute lösbar.
Danke! Liebe Susanne, da hast Du ein schönes aber auch nicht so einfaches Geometrie-Rätsel aufgezeigt. Es braucht einige Überlegungen, um es zu lösen. Ich wünsche dir und auch den Teilnehmern dieses Kanals ein schönes Osterfest!
Bravo 😊
Was ein herzlicher Kommentar. Menschen wie dich brauchen wir mehr im Internet
Hallo Susanne, ich studiere Wirtschaftsinformatik und nicht zuletzt dank deiner Videos habe ich meine Klausur in Wirtschaftsmathematik und Statistik mit 2,3 bestanden. Vielen Dank für deine ganze Mühe! Grüße aus Saarbrücken. ☺️
Wow, vieeelen Dank lieber Julian!
Ein schönes Geometrierätsel! Aber das geht ja noch viel einfacher:
x + y = 14
Die „Dreiecke“ links bzw. rechts sind jeweils untereinander gleich groß, nämlich 3x bzw. 3y, daraus folgt:
3x + 3y + (6 * 12) = A
3(x + y) + 72 = A
3 * 14 + 72 = A
114 = A
Dauert keine Minute. 😄👍
Schöne Ostern!
Bin auch ein bisschen enttäuscht. Einfach vorstellen, die weißen Bereiche wären jeweils zu Rechtecken aufgefüllt. Deren Flächeninhalt dann um ein viertel erleichtern und vom gesamten Flächeninhalt abziehen. Vielleicht verliert man als Mathematiker manchmal den objektiven Blick des direkten Weges...
@@luikanami Ich denke, Susannes Zielgruppe sind eher mathe-ungeübte Schüler. Für die sind genaue Aufdröselungen und Schritt-für-Schritt-Lösungen nötig, damit sie den Lösungsweg genau verfolgen können. Ich habe den gleichen Lösungsweg wie @mozartkugel genommen. Ging auch im Kopf, ging auch recht schnell.
@@ralfbodemann1542 Ehrlich gesagt bin ich selbst so matheungeübt wie man nur sein kann, Formeln wirken da wie ein komplizierter Umweg, der unnötig um die Ecke geht. Aber du hast schon recht... und unser Schulsystem hat für intuitive Logik leider nicht viel übrig, sodass auch ich als Schülerin über den korrekten Lösungsweg, wie meine Lehrer in sich wünschen, Susanne extrem dankbar gewesen wäre.
Mit jetzt über 400.000 Abonnenten hast du Mathematik in Deutschland berühmt gemacht. Es gab mal Zeiten wo die Menschen wegen Mathe weggerannt sind und nun rennen sie alle darauf zu. Zu dieser Leistung möchte ich dir gratulieren und sage HERZLICHEN GLÜCKWUNSCH. 💝💐👍
Hübsches Rätsel, danke!
Und das Beste: Diesmal hatte ich eine einfachere Lösung gefunden ;-)
Setze y = 0, dann besteht die Fläche aus einem Rechteck 12x6 = 72 und einem Dreieck 12x7/2 = 42 (7 = Höhe), insgesamt A = 114.
Wo ist dein Rechenweg für die Höhe = 7?
Wie bist du darauf gekommen?
LG Gerald
@@GetMatheFit Die "Höhe" des Dreiecks ist in diesem Fall horizontal, und die vertikale Grundseite ist 12. Die Höhe ist x/2, und x ist ja 20-6, also 14.
@@rainerinedinburgh5807 Cool.
Da er y=0 gewählt hat, ist x=20-6=14.
Und h ist x/2, also 7.
Sehr clever von Theo.
Danke für die Antwort.
LG Gerald
Theo, sehr clever.
Für mich der beste und schnellste Lösungsweg.
Gratulation.
LG Gerald
Danke Susanne, schönes Rätsel, ich bin ganz anders an die Sache gegangen. Zuerst das Rechteck in der Mitte bilden, also 6 X12 = 72 dann bleiben rechts und links 2 Rechtecke mit gemeinsamer Breite von 14 und Höhe von 12, Ein Viertel davon gehört zur gesuchten Fläche , also 14 X 3 = 42
72 + 42 =114 . Kopfrechnen!
Mal endlich wieder Mathe!
Mal endlich wieder genauer hinsehen…
Man verlernt heutzutage beides!
Das ist sehr wertvoll was Du da machst!!!
Susanne ist die Queen. Sie wird sowieso einen Popstar werden
Hallo Susanne
Vorerst: x + y = 20 - 6 = 14
Statt die 2 Trapeze zu berechnen, schlage ich vor, dass wir das Sechseck in ein Rechteck verwandeln. Die Dreiecksseiten gerade stellen, so gibt es neben dem Mittelteil links ein Rechteck 12 x x/4, rechts entsprechend 12 x y/4
Das grosse Rechteck: 12 x (6 + x/4 + y/4) = 12 x (6 + 3.5) = 12 x 9.5 = 6 x 19 = 114
Mit einem schönen Ostergruss aus der Schweiz! HP
Ich bin sehr schnell und etwas anders vorgegangen: Die Fläche hat als Grundfläche schon einmal 6*12=72, ein stehendes Rechteck. Dann sind die langen Dreiecke an den Seiten rechts und links ja jeweils so groß wie x oder y, da es in der Mitte geteilt zweimal die Hälfte der x/y-Dreiecke darstellt. Heißt, würde man zB eine Fläche x*12 aufstellen (was zufällig den Rest beeinhaltet, der in der Grundfläche nicht enthalten war), wären diese Seitendreiecke jeweils 1/4 der Fläche. also rechne ich (14*12)/4 = 42. Das ist die kombinierte Fläche der beiden Seitendreiecke. Und dann 72+42=114.
genau! 🙂
So ähnlich habe ich es auch gelöst. Warum kompliziert, wenn es auch einfach geht.
Ohne den Schlaumeier geben zu wollen, aber es gibt einen viel einfacheren Lösungsweg, im Kopf in 30 Sekunden errechnet: Die quadratische Fläche 6x12 plus 25 % (Symmetrie) des Restes von 14x12. Voilà. Trotzdem dankeschön, Deine Videos machen stets viel Freude! Liebe Grüße aus Marbella / Spanien!
Da sieht man mal wieder: Erst sieht es so kompliziert aus, aber wenn man erst einmal beginnt, löst sich alles schnell auf und man hat die Lösung. Gesegnetes Osterfest, liebe Susanne und liebe Mathematik-Gemeinschaft.
Ich habe es enorm einfach gelöst, die 6m ganz zur Seite geschoben, dann bleiben 14m von den 20m übrig. Damit ist Y=0 und X=14, a wird damit automatisch 6+(14/2) = 13. Da ein Trapez die Summe der parallelen Seiten/2 ist, es aber zwei Trapeze gibt, ist das Ergebnis (13+6)x(12/2)=19x6=114.
Es hat wieder viel Spaß gemacht, Dir zuzuschauen! Vielen Dank! 👍😊👏🎶
Vielen Dank und schöne Ostern Euch 🤘
Bleibt gesund !
Dankeschön Martin!
Hallo Susanne, ich habe aus Bequemlichkeit einen wesentlich schnelleren Weg gewählt, das zu berechnen. Ich teile die große Rechteckfläche in drei rechteckige Teile. Das erste (linke) ist X * 12 groß, das zweite (mittlere) ist 6 * 12 (= 72) und das dritte (rechte) ist Y * 12. Da ich X und Y nicht kenne, aber die Differenz aus Kantenlänge 20 und der Kantenlänge 6 des mittleren Rechtecks = 14 ist, sind X + Y = 14. Damit sind X und Y also zwischen 7 und 7 (14 : 2) bis 14 und 0 lang. Für die Flächen der beiden äußeren Rechtecke zusammen ist es egal, wie groß sie beide sind, da sie in einem direkten Verhältnis zu einander stehen (je kleiner das Eine, desto größer das Andere). Also nehme ich für X und Y jeweils 7 an und berechne die beiden Rechtecke gleich, also 12 * 7 = 84 als Flächeninhalt (beide zusammen = 168). Aus jedem dieser beiden Rechtecke nehme ich ein Viertel ihrer Fläche (also je 84 : 4 = 21) als die beiden zur roten Fläche noch fehlenden Dreiecke und addiere diese zur Fläche des mittleren Rechtecks. Also 21 + 21 + 72 = 114.
Liebe Grüße, Florian
Hallo Zusammen,
ich stimme René zu, da hat Susanne ein schönes Rätsel zu Ostern ins "Nest gelegt".
Lieben Dank dafür!
Hier mein Lösungsvorschlag:
Weil die Massangaben x, y und 6 jeweils für oben und unten gelten liegt Symmetrie zur Spiegelachse, die durch die beiden Kreuzungspunkte der Dreiecke mit der Basis x bzw y gehen, vor.
Die Spiegelachse teilt somit die rote Fläche in 2 flächengleiche Trapeze jeweils der Basis-Seite 6 auf.
Es genügt also die Fläche 1 Trapez zu berechnen und das Ergebnis zu verdoppeln.
Ich lasse die Einheit "Längeneinheiten" (LE) und "Flächeneinheiten" (FE) zunächst weg.
Aus den vorher genannten Symmetrie folgt, dass die Dreiecke mit der Basis x bzw. y gleichschenklig sein müssen. was bedeutet das die Höhen jeweils die Basis halbieren.
Für die Länge der Strecke zwischen den beiden Kreuzungspunkte ergibt sich somit 6 + 1/2x + 1/2y oder anders geschrieben 6+ 1/2(x+y)
Wegen vorgenannter Symmetrie ergibt sich außerdem für die Höhe der Dreiecke bzw. des 1 Trapez 6 (=die Hälfte von 12)
Formel Fläche Trapez ((Grundseite + dazu parallele Seite) /2) * Höhe
A=( 6+ ((6+1/2(x+y) )/2)) * 6
Anstelle von x kann ich schreiben 20-6-y =14-y
Das in die Flächenformel eingesetzt:
(6+((6+1/2(14-y+y))/2))* 6
Das "/2" darf ich auch direkt mit der 6 verrechnen, dann wird die Gleichung übersichtlicher
(66+7) * (6/2) = 19 * 3 =39
Das Trapez hat also den Flächeninhalt von 57 FE
Dieses Trapez ist jedoch nur die Hälfte der gesamten roten Figur (wegen Symmetrie), daher ist die Gesamtfläche der roten Figur 57*2, also 14 FE
Allen schöne erholsame Osterfesttage.
LG aus dem Schwabenland.
Hier noch für alle die Lust haben ein knackiges Osterrätsel:
Paula, Steffi und Dagmar nehmen gemeinsam an einem Matherätsel teil.
Der Spielleiter denkt sich zwei ganze Zahlen zwischen einschließlich 1 und 1000 aus. Es kann sich hierbei auch zweimal um die gleiche Zahl handeln.
Paula bekommt zusätzlich das Produkt ins Ohr geflüstert, Steffi die Summe und Dagmar die Differenz
Anschließend dürfen sich die Damen beraten, aber natürlich weder die Zusatzinformationen preisgeben, noch sonst eine Aussage treffen, die direkte Rückschlüsse auf die Zahlen zulässt.
Da alle drei absolute Mathegenies sind, entsteht folgendes Gespräch, das versteckt alle notwendigen Hinweise enthält, um auf die Zahlen zu kommen:
Paula: "Ich kenne die Zahlen nicht."
Steffi: "Ich kenne die Zahlen auch nicht, aber mir ist klar, dass Du die Zahlen nicht kennen kannst!"
Paula: "Wenn das so ist, kenne ich die Zahlen jetzt."
Steffi: "Ok, dann kenne ich die Zahlen jetzt auch."
Dagmar: "Ich kenne die Zahlen immer noch nicht. Ich kann nur eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist."
Steffi: "Ich weiß, welche Zahl Du meinst, aber diese Zahl ist nicht dabei."
Dagmar: "Danke für den Hinweis. Jetzt kenne ich die Zahlen auch."
Viel Spaß beim knobeln.
Danke❤ tolle Lösung!
eine wunderbare aufgabe für die feiertage. bravourös gelöst - man könnte glatt denken, dass du schon mal was gerechnet hast...
ich hätte mit dreiecken begonnen, werde es auf dem weg mal probieren.
frohe ostern!
Hallo Susanne, herzlichen Danke für das kleine Intermezzo am Samstag Morgen 🙏Ich habe diverse Methoden versucht, sowie die Trigonometrie und dennoch bekam ich entweder a=a oder die x Werte haben sich gegenseitig aufgehoben.
Mein Lösungsvorschlag lautet: Wenn die Kante x ist, und die eine Seite des Sechsecks 6 LE ist, dann ist y= 14-x.Wenn man eine gerade Linie von x zu x zieht, sowie von y zu y (oder 14-x), dann hat man ein kleines Rechteck mit einer Höhe 12 LE und breite 6 LE, die Fläche wäre: 6*12=72 FE. Ganz links ist ein kleines Dreieck (ein Viertel von dem großen) mit der Basis 12 LE, die Fläche wäre: 12*(x/2)/2= 3x, die wäre identisch mit dem kleinen roten abgespaltenen Teil, also 3x. Das gleiche kann man für die andere Seite machen, das kleine rote Dreieck: (14-x)/2*12/2 = 42-3x. Somit ist die Fläche= 72 + 3x + 42 -3x = 114 FE ist die Lösung. Ich wünsche Dir noch ein frohes und gesegnetes Osterfest.
Ich sehe das auch so. Die weiße Fläche links ist 12*x×3/4, die Fläche rechts 12*y×3/4. Zusammen 12*3/4*(x+y).
Dabei ist x+y = 20-6 = 14
Also sind die beiden weißen Flächen
12*3/4*14=126
Zieht man das von der Gesamtfläche ab, erhält man
12*20 - 126 = 240 - 126 = 114
Danke! Liebe Susanne!!! Herzlichen Glückwunsch für die hervorragenden Videos, die auf Ihrem Kanal gepostet wurden, es sind sehr gut erklärte Videos. Wir können es auch so lösen: Es gibt ein Trapez mit 6 x 20 x 12. Da das Maß „a“ in der Mitte des Trapezes (Thales) liegt, ist es (6+20)/2 = 13 und die Gesamtfläche beträgt ((6+13)/2).6(halbe Höhe) x 2 Trapeze = 114. Frohe Ostern für Sie und Ihre Familie!!!! Ich bin Brasilianer, sorry für die Übersetzung!!!
Wow, Respekt. Das große Trapez zu sehen ist wirklich sehr sehr gut. Danke für diesen Kommentar! Bester Lösungsweg! ❤
Interessante Aufgabe, gerne mehr!
der Moment als du das x/2 gestrichen hast🤯. Magie!
A = 6 x 12 (Rechteck in der Mitte) + 1/4 * 14 * 12 (je ein Viertel der anderen 2 Rechtecke) = 72 + 42 = 114 , da Diagonalen Reckecke immer in 4 gleichgroße Flächen teilen. 🙂
The method shown is much more complicated than necessary. It took me 20 seconds to solve this, without needing to make any notes.
The selected area can be thought of as divided into three parts with vertical lines: Two triangles and a 6*12 rectangle.
The 6*12 triangle of course has area 6*12 = 72
From symmetry, we see that the triangles on each side make up a quarter of the remaining area on each side. The total remaining area is (20-6) * 12 = 14*12, and one quarter of this is 14*12/4 = 14*3=42.
So in total the area is 72 + 42 = 114.
An almost equally simple way of solving this is to divide the figure in two parts with a horizontal dividing line. You get two trapezoids. The shortest parallel side is given as 6, the longest parallel side length must be halfway between 6 and 20, i.e. 13. The area of one trapezoid is the average of its parallel side lengths times its height, ie. (6+13)/2 * (12/2) = 19/2*6=19*3=57. There are two of them, so the total area is 2 * 57 = 114.
Ich habe gedanklich y so weit verkleinert, bis es ganz Null war. Damit wird x maximal groß, also 20-6=14. Die rote Fläche ist damit ein Rechteck 6x12=72 und ein Dreieck mit Grundseite 12 und Höhe 7 (14/2)=42 geworden. Also zusammen 114.
Diese Idee find' ich super!
So bin ich auch an das Problem herangegangen.
Die Aufgabe habe ich in unter einer Minute ohne Anwendung von Gleichungen gelöst, und zwar mit folgender Überlegung: Wenn wir je einen senkrechten Strich ziehen von den beiden Endpunkten der 6er Strecke, dann zeigt sich, dass die Fläche beträgt: 6x12 plus ¼ von dem Rest der Gesamtfläche. Denn der „Rest“ des Sechsecks besteht aus je einem Viertel = einem Dreieck aus dem Rechteck, das sich ergibt der Restfigur. Egal, wo das Sechseck sich befindet. Es heißt immer: 6x12=72 plus ¼ mal 14x12= 42 macht 114.
Ich verstehe fast immer nur Bahnhof 😅
Trotzdem liebe ich deine Videos ❤
Vielen Dank dafür
Wir haben hier ein doppeltes Trapez:
- Höhe beider Trapeze = 12 Einheiten
- Kurze Seite (oben und unten) = 6 Einheiten
- Lange Seite (in der Mitte) = 6 + (20 - 6) / 2 = 13
A(rot) = 1/2 * 12 * (6 + 13) = 6 * 19 = 6 * 20 - 6 * 1 = 120 - 6 = 114 Flächeneinheiten
Ich greife das doppelte Trapez mal auf, aber verfolge nicht den Lösungsweg, sondern überlege selbst.
Ich brauche also x/2+y/2 als einen Zwischenwert.
x+y+6=20
x+y=14
x/2+y/2=7
A=2*(x/2+y/2+6+6)/2*12/2 = (x/2+y/2+12)*6 =(7+12)*6 = 19*6 =114
Das ist definitiv die kürzeste Überlegung. Absolut Ergebnisorientiert. Genauso hatte ich es auch gedacht, dass links und rechts nur die Hälfte von 20 - 6 also die hälfte von 14 übrigbleiben. Seite c des halben Trapezes ist ja mit 6 gegeben kommen nochmal unten 14halbe also 7 zu den 6 dazu macht 13. Dann die Trapezformel (a*c)/2*h=(13+6)/2*12/2. Einmal halbieren fällt weg weil es ja zweiTrapeze sind also (13+6)*6= 144.
@@Wildcard71 Gefällt mir auch gut. Ich habe x und y weggelassen, weil mir von Anfang an klar war, dass es keine Rolle spielt, wo man die rote Figur platziert. Die 6 Einheiten können oben und unten auch an unterschiedlichen Orten liegen.
@@Hammerweich Danke. Ich fand den Umweg mit x und y auch nicht nötig. Man sieht dann ja, dass man die im Grunde zusammenlegen kann.
Erneut eine sehr schöne Aufgabe! 😍
12x=a
y=14-a
(14-x)x12=b
168-12x=b
168-a=b
a+b=168
168:4=42
6x12=72
72+42=114
Andere Alternative) durchs 4ek zu bilden , und dann 4 Teile zu trennen, vielen Dank für deine Engagement, sehr Interessante Videos
Schöne Aufgabe! 🙂
Ich bins grafisch angegangen. Ich habe erstmal über die Winkel- und Dreieckssätze nachgewiesen, dass die Konstruktion horizontal achsensymmetrisch ist. Dann habe ich gedanklich das 20 x 12 Rechteck in drei nebeneinander liegende Rechtecke von 12 x X, 12 x 6 und 12 x Y zerlegt. Die nenne ich X-Stück, Mittelstück und Y-Stück. Anschliessend schau ich mir erstmal das X-Stück an. Ich habe die gleichen Hilfslinien und Gedankenschritte wie im Standbild bei 4:36 genutzt. Ich kann mit den Winkel- und Dreieckssätzen wie anfangs zeigen, dass die so entstandenen Hilfsdreiecke alle gleich groß sind. Das sind 8 Stück mit jeweils einem rechten Winkel, mit einer Kathete von einem halben X und mit einer Ankathete von 12 / 2 = 6. Von den 8 Hilfsdreiecken gehören 2 zur gesuchten Fläche. Kurz: ein Viertel des X-Stückes gehört zur gesuchten roten Gesamtfläche. Das gleiche gilt dann auch für das Y-Stück. Also besteht die gesuchte Fläche aus dem Mittelstück von 6x12 = 72 Quadratdingsbums plus einem Viertel der Restfläche (X-Stück und y-Stück) von (20-6)x12= 168/4 = 42 Quadratdingsbums. Macht zusammen 114 Quadratdingsbumse. Voila! 🙂
Schöner Lösungsweg auch wenn ich einen anderen gewählt habe.
In deinem Gleichungssystem kann man die erste mit 2 multiplizieren und erhält: 2a = 40-x-y; x und y einklammern (Achtung Vorzeichen), also 2a = 40-(x+y) = 40-14 = 26;
also a = 13 und weiter wie gezeigt.
Ich selbst habe wie einige vor mir das Sechseck in Rechteck (6x12) und zwei Dreiecke (3x und 3y) zerlegt.
Blickdiagnose: 3 Rechtecke, Restabschnitte (rote Dreiecke) bilden jeweils ein Viertel der entsprechenden Rechteckfläche bzw ein Viertel des Rechtecks aus x+y:
6x12 + (14x12):4 = 114. 10s ohne Formel oder Taschenrechner.
Love you ❤, thank you
6x + 3x + 6y + 3y + Fläche = 12x20
9 (x+y) + Fläche = 240
Aber x+y=20-6=14
Fläche = 240-9×14 = vielen Dank für dieses tolle Video
😮 Ganz schon kompliziert die Aufgabe 😂❤
Hat mir sehr gefallen, wäre im Leben nie darauf gekommen
Hihi freut mich, dass es dir gefallen hat! ☺️
😂 hab erst mal bei 2 sek Pause gemacht…wie Beutel Bärchen dann aufgestellt und ersetzt…und stand dann da: Mist wie bekomm ich das x weg….um dann zu sehen: LOL hebt sich auf. Danke für die Aufgabe
1. x+y=14
Die rote Fläche besteht aus zwei Trapezen, horizontal geteilt.
Die Grundseite "a" ist 20 minus die Summe der beiden Hälften von x und y, somit 13 lang.
Die Mittellinie des Trapezes ist (6+13)/2 = 19/2
Die Fläche eines Trapezes ist die Höhe mal die Mittellinie, somit 6 * 19/2
Zweimal die Fläche eines Trapezes ist 6*19 = 114
Hey, eine Geometrieaufgabe zu Ostern. DANKEEEE!
Die rote Fläche setzt sich aus zwei Trapezen zusammen:
A= 2* [(a+c)*h/2] = (a+c)*h
h = 6 und c = 6
I: x + y + 6 = 20 /-6
I: x + y = 14 (wird in II eingesetzt)
II: x/2 + y/2 + a = 20 /*2
II: x + y + 2a = 40 /einsetzen x + y = 14
II: 14 + 2a = 40 /:2
II: 7 + a = 20 /-7
II: a = 13
A= (a+c)*h = (13+6)*6 = 19*6 = 60+54 = 114 FE
Liebe Grüße und frohe Ostern an alle.
Gerald
x+y=14, trenne die Rechtecke die x und y breit sind ab, unterteile diese in je vier gleiche Rechtecke, stelle fest, dass dies durch die Diagonalen in je 8 gleich großen Dreiecke resultiert, von denen je zwei zur roten Fläche gehören, also gehören 2/8 bzw. 1/4 von der Fläche (x+y)*12 bzw. 14*12 zur roten Fläche, 1/4*12*14=3*14=42
das innere rote Rechteck hat die Fläche 12*6=72,
42+72=114
Frohe Ostern!
in dem Trapez mit G=20 und g=6 liegt a in der Mitte, die Länge von a ist also das arithmetische Mittel von 20 und 6, also 13😊
Richtig. Dann einfach das Sechseck in ein Parallelogramm umformen, davon die Fläche berechnen und fertig.
A=(13+6)*6=114 🙂
Groß genug !! 😄
Es werden aufgrund der Symmetrie weder X noch Y für die Berechnung benötigt. Einfach die rote Fläche mit der Trapezformel berechnen.
Die Hilfsstrecke a ist die gemeinsame Grundseite der beiden spiegelsymmetrischen Trapeze, die sich aufgrund der linearen Proportionalität aus dem großen Trapez aus der Grundseite 20 (=x+6+y) und der kurzen Seite 6 mit dem Mittelwertsatz berechnen lässt:
a = (20+6)/ 2 = 13, dann 2*Trapezformel: A = 2 * (a+6)/2 * 6 = 2 * (13+6)/2 * 6 = 19*6 = 114.
So habe ich das auch gemacht. Geht am einfachsten.
Diese Aufgabe könnte man auch mit Dreiecken lösen.
Da a=6, bleibt für X+Y=14.
Da die Figur symmetrisch ist, sind die gestürzten Dreiecke (jeweils x und y) identisch. Somit hat jedes Dreieck die halbe Höhe der Gesamtfigur, also 6.
Somit kann man deren Flächeninhalt schon mal ausrechnen.
(X+Y)6/2*2
2 kürzt sich raus.
14*6=84
Bleiben noch die beiden kleinen Dreiecke links und rechts davon.
Beide haben eine Grundseite von 12.
Das Dreieck x ist gleichschenkelig. Somit beträgt der Abstand der Spitze des Dreiecks genau 1/2X.
Das linke Dreieck hat somit eine Höhe von 1/2X.
Genauso verhält es sich mit dem rechten Dreieck und dem Dreieck y.
So kommt man auf
Linkes Dreieck + Rechtes Dreieck
12*(X/2)/2+12(Y/2)/2
=3X+3Y
=3(X+Y)
=3(14)=42
Das Rechteck hat 20×12=240.
Die ganzen Dreiecke abgezogen, erhält man die Fläche des Sechseckes.
240-84-42=114FE.
Frohe Ostern!
Mein Lösungsweg: Nach Kürzen und ausmultiplizieren der Flächenformel für Trapez steht: 18+3x/2+3y/2+18=36+3x/2+3y/2=72/2+3x/2+3y/2. Dann multiplieziere ich mit 2, da die gesuchte Fläche eh das doppelte Trapez ist. Ergo: A=72+3x+3y Wir wissen: x+y=14 |*3
3(x+y)=42= 3x+3y=42 setze das oben in die Flächengleichung: 72+42=114
Meine Lösung: Zerlegung in ein Rechteck 6x12 und zwei Dreiecke mit Seitenlänge 12 und Summe der Höhen 7. Damit Fläche 6*12+(7*12)/2=72+42=114 😊
Hallo...ich versuchs auch mal 😉...ich glaube ein Vorkommentierer hatte bereits schon eine ähnliche bzw. gleiche Lösung, wenn ich mich nicht irre.
Ich sah, dass die rote Fläche aus dem Rechteck 6×12 (=72) und zwei Dreiecken besteht. Die Fläche der zwei Dreiecke ergeben sich wenn man vom Rechteck 12×14 (also 12×(x+y)) die 3/4 Fläche also 9×12 davon abzieht --> 3×14 (=42). Jetzt noch 72+42 rechnen und man kommt auf die 114.
Normalerweise stelle ich mich bei Deinen Matheaufgaben total doof an, aber diesesmal habe ich es gleich gesehen 🙂
Viele Grüße und schöne Ostern !
Oder Gesammtfläche 12*20=240 abzüglich 3/4von 12*14 also gesammtbreite abzüglich der 6 längen in der mitte mal gesammthöhe, ergibt 240 - (9*14) = 114. Funktioniert auch nur weil sich die Dreiecke so schön symmetrisch gegeneinander aufheben ;-)
❤ Dieses T-Shirt!
Ich hab’s graphisch und dann im Kopf ausgerechnet: x und y scheint beliebig, bzw. die 6er Stecke kann beliebig nach links und rechts „verschoben“ werden. Ich hab dann y=0 gewählt, dadurch wird es einfach: x=14 und die rote Fläche besteht aus einem Rechteck 6x12=72 plus einem Dreieck (1/2)x12x7=42.
=> 72+42=114
Meine Überlegung war:
Der Flächeninhalt besteht aus einem Rechteck und zwei Dreiecken. Rechteck hat die Größe 12*6. Die Dreiecke die Grundseitenlänge 12 und die Höhe darauf von x/2 bzw. y/2.
Daraus berechnet sich der Flächeninhalt wie folgt: A = 12*6 + 12*(x/4) + 12*(y/4) oder zusammengefasst A = 12*(6+x/4+y/4). Nun ersetzt y durch 14-x ergibt: A = 12*(6+x/4+(14-x)/4) bzw. A = 12*(6+(x+14-x)/4) = 12*(6+14/4) = 12*(6+3,5) = 12*9,5 = 114.
Keine Ahnung welche Größe x und y haben, aber ja sollte passen.
PS.
War auch mein Ansatz beim Vorschaubild.
Eine weitere sehr schöne Lösung.
LG Gerald
@@alexanderweigand6758 Spielt auch keine Rolle, da bekannt ist, dass x + y=14 ist und die Fragestellung nur nach den Flächeninhalt des Sechsecks geht. Im Ergebnis ist es also völllig latte, ob die x und y getrennt oder zusammen betrachtest und berechnest.
@@michaeledwards8846 stimmt.
Wenn man eine Aufgabe wegen zu trivial gleich beiseite legt.
Diesmal habe ich eine sehr viel einfachere und schnellere Lösung. 😁
Da sich x und y nicht definieren lassen, kann man x gleich Null setzen und kann jetzt folgendes berechen:
1. y = 20 - 6
1. 6 * 12 - (( y*12) /4) = A Formeln --> A1 = a * b A2 = (a * b) /4)
6 * 12 - ((14*12) / 4) = 114
passt!!
Ich habs mir recht einfach gemacht: Erstmal die rechteckige Fläche 6*12 ausgerechnet (72). Und dann gesehen das die rote Fläche jeweils ein Viertel der beiden übrigen Rechtecke beansprucht. Ergo, einfach die restlichen Flächen ausgerechnet (14*12=168), das durch 4 geteilt (42), und auf die Fläche des roten Rechtecks addiert - et voila. 114.
Man kann das Rechteck wegen der Achsensymmetrie horizontal in der Mitte durchschneiden und hat dann zwei kleine rote Trapeze mit derselben Grundseite g = (20 + 6)/2 = 26/2 = 13 (die Mittelparallele des großen Trapezes) und der Höhe h = 12/2 = 6. Jedes dieser beiden roten Trapeze hat den Flächeninhalt (6 + 13)/2 * 6 = 19/2 * 6 = 19 * 3 = 57, die gesamte rote Fläche ist also 2 * 57= 114 groß.
Das x und y benötigt man überhaupt nicht zur Berechnung! :-)
Vielen Dank, für diesen Kanal! Ich liebe Matherätsel...
Ich habe vor etlichen Jahren ein Rätsel gehört, bei dem ich mir nicht sicher bin, ob meine Lösung richtig ist...
Gegeben ist eine Kugel mit einer zylindrischen Bohrung (mittig). Die Höhe der Bohrung ist 10cm. Wie groß ist das Volumen des Kugelrestes ???
Das ist Alles, was gegeben ist!
Vielleicht findest Du sie ja genauso interessant, wie ich... ;)
12.20- (X+Y)12/2 -(X+Y)6/2= Rest. Das heisst die Flaeche vom Rechteck - Flaeche der beiden grossen Dreiecke - Flaeche der beiden kleinen Dreiecke = Die Flaeche des Sechsecks
Ich wäre gar nicht auf die Idee gekommen, es über die zwei Trapeze anzugehen... 😅
Ich habe mir gedanklich 2 Rechtecke konstruiert. Eines aus 6*12 und eines aus (x+y)*12. Aus der Symmetrie ergibt sich, dass von diesem Rechteck ein Viertel rot markiert ist. Meine Rechnung war also:
6x12 + 14*12*1/4 = 114
Hallo, mein erster Lösungsweg war (im Kopf):
- die Rechteckfläche in der Mitte, 6*12=72, ist erstmal nicht bedeutend, die merke ich mir und denke sie aus der Figur raus
- übrig bleiben 12*14, wovon wir aber die Aufteilung nicht kennen. Was wir aber wissen, die gekreuzten Diagonalen vierteln die Rechtecke. Die 1/4 kann man auch ausklammern und kann also einfach mit dem großen Rechteck rechnen; 1/4 * 12 * 14 = 3*14 = 42.
- nun wieder den Anfang dazu, 72+42 = 114
Viele Grüße
x und y braucht man bei dieser Aufgabe nicht, kann man weglassen. Geht viel einfacher:
1. a berechnen: a=(20+6)/2=13
2. Das Sechseck in ein Parallelogramm umformen und davon die Fläche berechnen.
3. Gesamtfläche A=(13+6)*6=114
Ich hatte mal ein Rechenrätsel, bei dem die Fläche des Trapezes immer gleich geblieben ist, und bei diesem konnte man sowohl die Breite alsauch die Höhe variieren.
Ich vermute daher, daß hier auch die Fläche des Trapezes gleich bleibt, egal, ob man es nach links oder rechts verschiebt, und dabei x und y größer oder kleiner werden.
Dafür spricht, das sich + x/2 und - x/2 eliminieren.
Auch wenn man das Trapez ganz nach links schiebt und x = 0 werden läßt, ist a = 13 und die Fläche 114.
Das oben erwähnte Trapez konnte zwischen einem flachen liegenden Rechteck und einem schmalen hohen Dreieck variieren, und trotzdem war die Fläche immer gleich geblieben.
Fand ich echt verblüffend.
Lösung:
Wenn wir das Rechteck vertikal an der linken und rechten Seite der 6er-Linien zerschneiden, erhalten wir drei neue Rechtecke:
1. Ein Rechteck, das x breit und 12 hoch ist und zu genau einem Viertel rot ist. Es ist genau ein Viertel, da die Diagonalen jeweils halbieren!
2. Ein Rechteck, das 6 breit und 12 hoch ist und komplett rot ist.
3. Ein Rechteck, das y breit und 12 hoch ist und auch genau zu einem Viertel rot ist.
Der 2. Rechteck ist ja komplett rot, daher haben wir auf jeden Fall schon mal 6 * 12 = 72 FE
Wir wissen, von der Ausgangsgraphik, das die gesamte Breite 20 ist, daher ist 20 = x + y + 6 bzw. x + y = 14.
Wenn wir jetzt das 1. und 3. Rechteck zusammenschieben, haben wir ein Rechteck, das (x + y) breit und 12 hoch ist und das zu einem Viertel rot ist (Beide "kleinen" Rechtecke sind zu einem Viertel rot, also ist die Kombination auch zu einem Viertel rot, da 1/4 * a + 1/4 * b = 1/4 * (a+b) ist).
Die restliche rote Fläche ist also 1/4 * (x + y) * 12 bzw. 1/4 * 14 * 12 = 14 * 3 = 42 FE
Zusammen ist die rote Fläche also 114 FE.
Dieses Problem kann viel einfacher gelöst werden:
Alternativ wird das 6-Eck als ein Rechteck und 2 Seitendreiecke getrennt. Die Fläche ist dann:
A = (6x12) + [12x(x/2)]/2 + [12x(y/2)]/2
A = (6x12) + (12/4)(x+y)
Weil (x+y) = 20 - 6,
A = (6x12) + (12/4)(20-6)
A = 72 + (3)(14)
A = 72 + 42 = 114.
Ich habe auch das mittelfeld der roten Fläche mit 6×12 =72 gerechnet. + 1/4 Dr gesamten Rest Fläche
Sprich 12×14/4
=42
Insgesamt 114
Ist nämlich egal wo sich diese rote Fläche in diesem Rechteck befindet.
Kann man hin und her verschieben wie man will, bleibt IMMER 1/4 RestFläche
Eigentlich eins der einfacheren Rätsel. Ein bisschen enttäuscht vom komplizierten Lösungsweg. Man muss sich nur kurz vorstellen, die weißen Flächen wären jeweils zu kompletten Rechtecken aufgefüllt und jeweils das fehlende Viertel ebenfalls weiß. Wenn man nun die bekannten 6 von den 20 abzieht kann man ganz einfach eine 14x20 große weiße Fläche errechnen. Davon ein viertel wieder abziehen, und der Flächenihalt der weißen Bereiche ist bekannt. Das komplette Rechteck auszurechnen und dann die weiße Fläche abzuziehen ist selbsterklären.
Hier meine (zugegebenermaßen "unorthodixe"/nicht-wirklich-gut-mathematisch-formulierbare Lösung zur Länge a:
20 - 6 = 14 = x + y
-> (x + y) : 2 = 14 : 2
20 - 7 = 13
Das im Video gezeigte ist natürlich richtig, aber auch langwieriger und erfordert schriftliches Rechnen.
Ich hätte es nach (x+y)/2=14/2 aufgelöst und für -x/2-y/2=-7 eingesetzt, da kommt man schneller auf a=13.
Das ganze Rechteck daneben nochmal aufzeichnen und damit die 2. Gleichung aufstellen wäre auch gegangen.
20=x+y+c=x+y+6
x+y=14
40=2x/2+2y/2+2a
40=x+y+2a
2a=40-(x+y)=40-14=26
a=13
Also ich habe das so gemacht:
Die 6 x12 = 72 berechnet. Das ist sozusagen das rechtwinklige Kernstück der roten Fläche. Dann hab ich mir gedacht die Restfläche der Gesamtstruktur ist 12 x 14, denn die Restkantenlänge ist ja 20 - 6. Und dann dachte ich mir "wenn man sich dieses X x 12 und Y x 12 Feld anguckt, dann sieht es so aus, als ob der verbliebene rote Flächenrest jeweils ¼ ausmacht". Also hab ich (aus Bequemlichkeit) 12/4 = 3 und 3 x 14 = 42 gerechnet und als letztes 72 + 42 = 114. Vielleicht ein Spezialfall, erinnerte mich aber auch etwas an das Keplersche Gesetz bei Ellipsenbahnen mit gleiche Zeiten gleiche Flächen, aber das ist eher Inselwissen😅.
20 · 12 - 3/4 · 12x - 3/4 · 12y
= 240 - 9(x + y)
= 240 - 9(20 - 6)
= 240 - 9 · 14
= 240 - 126
= 114 FE.
Kann ich die erste Gleichung auch wie folgt umstellen: a=20-(x+y)/2? Dann könnte ich x+y durch 14 ersetzen. Damit kommt man in dem Fall auch auf a =13. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das nur Zufall ist.
❤❤
Mir fehlen die FE, auf die du sonst so achtest^^ bestimmt der Osterstress. Hab ein schönes Osterfest und Danke für das Video
Kopfrechnen gleich 114, weil der rote rechteckige Teil ist schon klar 6 x 12, und von den restlichen 14 x 12 muss es ein Viertel (3 x 14) sein was noch dazu kommt. Also 72 plus 42 gleich 114.
Grundgedanke ist ja das Wissen darum, dass wenn ich ein Rechteck über Kreuz diagonal Teile, die Teile jeweils ein Viertel der Fläche enthalten. Damit ist auch das Verhältnis von x zu y y irrelevant für die Aufgabe. Es kommt zur roten Fläche links ein Viertel und rechts ein Viertel hinzu, also von der gesamten übrigen Fläche außerhalb des roten Rechtecks ein Viertel.
😂😂🤣🤣😂😂 8:16 "Guat is ganga, sechs hand siebene gfanga" wie man bei uns im Allgäu sagt.
Hab 2 Möglichkeiten rausgesucht . Entweder x oder y gleich 0 setzen dann kann man sich die Fehlenden Zahlen einfach ausrechen und die Fläche über ein Dreieck und ein Rechteck ausrechnen . Die Zweite Möglichkeit währe einfach x gleich y setzen und dann die Fehlenden Werte ausrechnen . Natürlich könnte man das auch mit jedem x und y machen die zusammen Addiert plus 6 , 20 ergeben.
Susanne: ,, Wir nehmen alles was wir kriegen können." 😂
Auf dem halben Weg zwischen 6 und 20 liegt a, und das ist 6+(20-6)/2.
und bestimmt man nun x bzw y ?
bei dem Rätsel fehlt in der anleitung die annahme das die Winkel zudem gleichschenklig sind, aber davon ausgehend sollte es dann ja möglich sein x und y zu bestimmen oder?
Meine Lösung: X + Y = 14, das heißt X/2 + Y/2 = 14/2 = 7.
a wie im Video ist also 20 - X/2 - Y/2 oder anders 20 - 7 = 13 und dann auch wieder trapezformel
12*x /4 + 12*y /4 + 6*12. => 3*(x+y) + 6*12. x+y =14. 3*14 + 6*12 = 114.
Wähle y=0, x=14, dann haben wir links drei Hälften von 6•14 = 9•14. 20•12 - 9•14 = 240 - 126 = 114
A=6*12+12x/4+12y/4
A=72+3x+3y
x+y=20-6=14
A=72+42
A=114
Hi! Ich denke, das geht noch einfacher, oder? 6x12 + 1/4 von (20-6)x12 = 114. Also im 6-Eck einfach ein Quadrat einzeichnen und dann den Rest zusammenfügen, 1/4 davon nehmen, fertig. Oder ist das Quatsch????
Ich habe gesehen, dass x + y=20-6, also 14 ist. Außerdem ist a=20-(x/2 + y/2)
Wenn x+y=14, dann ist x/2 +y/2 die Hälfte, also 7. Demnach ist a=20-7, also 13
Ich bin scheinbar der Anti - Gleichungsrechner: Komme aber auch auf 114 ohne Buchstaben, Papier und nichts Aufschreiben!
Nur im Kopf + Taschenrechner: Rechne nur 12 x 6 = 72 (Teilfläche von Rot das Rechteck) und aus dem Rest stell ich mir nur 1 Rechteck vor mit 14 auf 12 und einem x drin, von den 4 Flächen die dann entstehen brauche ich nur 1 von 4 für das Ergebniss + meine 72.
14 x12 = 168 : 4 = 42 der 4. Teil vom Rest und 72 + 42 = 114
Blöd ist nur, das zuschreiben und die richtigen Worte zu finden um es zu Erklären, dauert 100 x länger wie es zu berechnen!
PS. Ich Rechne hier mit gar keinem 6 - eck! Nur mit 3 Viereck wobei 2. und 3. eins wird und das dann viertele ist aber das gleiche.
Meine Rechnung:
x+y=20-6=14
14*12:4=168:4=42
6*12+42=72+42=114
Hallo susanne darf ich dich kurz was fragen was kann man mit matheabscgluss machen außer Forschung😂
20-6=14 0,5×0,5×14=3,5 3,5+6=9,5 9,5×12=114
Zu viele Schritte! Das mittlere Quadrat ist 20 x 6 groß, ich muss also nur ein Viertel des Rests hinzufügen, also 42+72 = 114. Aber ein wirklich zufriedenstellend einfaches Rätsel bzw eine einfache Aufgabe!
Bin ich jetzt auf dem falschen Dampfer, oder ist das eigentlich ganz einfach...?
Das geht doch im Kopf mit folgender Überlegung:
Ich habe doch eine Fläche von 6x12=72 plus die zwei Dreiecke hochkant.
Und diese beiden Hochkant-Dreiecke haben in der Summe immer dieselbe Fläche, egal wie ich die Kante "6" hin und her schiebe.
Also schiebe ich die "6" ganz an den Rand und habe dann nur noch ein Dreieck übrig (das andere wird ja zu "Null"), und das verbleibende Dreieck ist dann ganz einfach 12*½h mit h=(20-6)/2=7.
Also Fläche des Dreiecks = 42.
Also Gesamtfläche 42+72=114
Oder stimmt der Gedanke mit dem hin und herschieben von "6" so nicht?
Aber ich sehe gerade, du hast auch 114, also muss das passen.
Hi, also wenn ich damals in den 80iger Jahren die Aufgabe so gelöst hätte, dann hätte mir mein Lehrer folgendes zur Antwort gegeben:
Die Lösung 114 ist korrekt, aber sind es 114 qm, 114 Steine, 114 Gramm. Da fehlen die Maßeinheiten. So hätte mein Mathelehrer das nicht durchgehen lassen.
Wenn nichts in der Aufgabe dabei steht, schreibt man einfach FE (Abkürzung für Flächeneinheiten)
Liebe Susanne, du wärst die beste Mathelehrerin der Welt. Na, wie wärs? >:->
Kann ja sein, dass ich was übersehe. Aber ich kann nirgendwo erkennen, dass in der Zeichnung und der Aufgabenstellung klar definiert ist, dass das Sechseck symmetrisch ist und dass deswegen die Dreiecke gleichschenklig sind. Der optische Eindruck lässt das zwar vermuten. Mathematik ist jedoch eine exakte Wissenschaft. Da muss alles definiert und bewiesen werden. Wenn man nach dem optischen Eindruck geht, dann ist der Mond auch deutlich größer als alle Sterne am Nachthimmel drum herum. Denkt mal drüber nach. Um genau zu sein, sollte für mein Verständnis statt der 12 zweimal 6 da stehen.
Warum nicht einfach 6*12+(14*12)*(1/4) oder teilen die Diagonalen eines Rechtecks nicht in 4 gleich große Dreiecke?
Lösung:
Das Sechseck kann man aufteilen in ein Rechteck von 6*12 und 2 Dreiecken von 12*(20-6-x/2-y)/2 und 12*(20-6-y/2-x)/2, denn alle Dreiecke, einschließlich der beiden Dreiecke, die zum Sechseck gehören, sind gleichschenklig und kongruent. Daher ergibt sich für das Sechseck die Fläche:
F = 6*12+12*(20-6-x/2-y)/2+12*(20-6-y/2-x)/2
= 72+6*(40-12-3x/2-3y/2)
= 72+6*[28-3/2*(x+y)]
= 72+6*[28-3/2*(20-6)]
= 72+6*[28-3/2*14]
= 72+6*[28-21]
= 72+6*7 = 114